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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第20课 导数的综合应用 文

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第20课 导数的综合应用

(本课时对应学生用书第 页)

自主学习 回归教材

1.(选修2-2P27习题15改编)如图,水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张,当半径为250 cm 时,水波面的圆面积的膨胀率是 cm 2

/s .

(第1题)

【答案】25 000π

【解析】设时间t 对应的水波面的圆的半径为r ,面积为S ,则r=50t ,S=πr 2

=2 500πt 2

,当

r=250时,t=5,故有s'=(2 500πt 2)'=5 000π2t=25 000π(cm 2/s).

2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱,为使它的用料最省(全面积最小),则它的高为 . 【答案】4

【解析】设高为h ,底边长为x ,则x 2h=256,所以S=4hx+x 2=4x 22256x +x 2=1024x +x 2

,S'=-21024

x +2x.令S'=0,解得x=8,此时h=4,S 取最小值.

3.(选修2-2P34习题4改编)设函数f (x )=1

3x-ln x (x>0),则y=f (x )的最小值为 .

【答案】1-ln 3

【解析】函数f (x )的定义域为(0,+∞),由f'(x )=13-1

x =0,得x=3,所以f (x )在(0,3)上单

调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以f (x )min =f (3)=1-ln 3.

4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v 0的圆柱形饮料罐,为了使它的用料最省,则它的高为 .

【解析】设圆柱的高为H ,底面半径为R ,则表面积为S=2πRH+2πR 2,又πR 2

H=v 0,H=0

2v R π,

故S=2πR 202v R π+2πR 2=02v R +2πR 2

,由S'=-0

22v R +4πR=0,解得,此时S 最小,

H=02

πv R

5.(选修2-2P35例1改编)用长为90 cm ,宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折90°角,再焊接而成,则该容器的高为 cm 时,容器的容积最大. 【答案】10

【解析】设容器的高为x cm ,即小正方形的边长为x cm ,该容器的容积为V ,则V=(90-2x )(48-2x )x=4(x 3

-69x 2

+1 080x ),0

-46x+360)=12(x-10)(x-36),当0

V'>0;当10

时,V 最大.

1.最值与不等式

各类不等式与函数最值的关系如下表:

(续表)

2.实际应用题

(1)解题的一般步骤:理解题意,建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.

(2)注意事项:注意实际问题的定义域;实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数),这样的极值点也是最值点.

【要点导学】

要点导学各个击破

利用导数研究函数的性质

例1设函数f(x)=c ln x+1

2x2+bx(b,c∈R,c≠0),且x=1为f(x)的极值点.

(1)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示);

(2)若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围.

【思维引导】(1)条件:x=1为f(x)的极大值点;目标:确定函数f(x)的单调区间;方法:利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件:使用c表达的函数解析式;目标:c的取值范围;方法:讨论函数的单调性和极值点,根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件.

【解答】f'(x)=c

x+x+b=

2

x bx c

x

++

又因为f'(1)=0,所以b+c+1=0,

所以f'(x)=(-1)(-)

x x c

x且c≠1,b+c+1=0.

(1)因为x=1为f(x)的极大值点,所以c>1.

当00;

当1

当x>c时,f'(x)>0,

所以f(x)的单调增区间为(0,1),(c,+∞);单调减区间为(1,c).

(2)①若c<0,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,要使f(x)=0恰有两解,如图(1)所示,只需f(1)<0,

即1

2+b<0,所以-

1

2

(1)

图(2)

图(3) (例1)

②若0

+bc=c ln c-22c -c ,f (x )极小值=f (1)=12+b=-1

2-c ,显然f (c )=c ln c-c-22c <0,f (x )极小值=-1

2-c<0,如图(2)所示,所以f (x )=0只有一解;

③若c>1,则f (x )极小值=c ln c-c-22c <0,f (x )极大值=-1

2-c<0,如图(3)所示,所以f (x )=0只

有一解.

综上,使f (x )=0恰有两解的c 的取值范围为1-02??

???,

.

【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想,在定义域区间端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数,当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点,当其中一个极值点等于零时函数有两个零点,当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的,还要结合端点值和极值的情况进行综合比较.

变式 (20152哈尔滨三中模拟)已知函数f (x )=x 3

+ax 2

-a 2

x+m+2(a>0). (1)若f (x )在[-1,1]内没有极值点,求实数a 的取值范围;

(2)当a=2时,方程f (x )=0有三个互不相同的解,求实数m 的取值范围.

【思维引导】(1)若f (x )在[-1,1]内没有极值点,则f'(x )=0的根不在区间[-1,1]上;(2)方程f (x )=0有三个互不相同的解,则函数f (x )的极大值大于零、极小值小于零.

【解答】(1)因为f'(x )=3x 2+2ax-a 2

=3-3a x ?? ???(x+a ),

令f'(x )=0,得x=3a

或-a ,

因为f (x )在[-1,1]内没有极值点,而且a>0,

所以

1

3

--1

a

a

?

>

?

?

?<

?

解得a>3,故实数a的取值范围是(3,+∞).

(2)当a=2时,f'(x)=3

2

-

3

x

??

?

??(x+2)=0的两根为

2

3,-2,要使方程f(x)=0有三个互不相同

的解,需使

(-2)0

2

3

f

f

>

?

?

???

<

?

???

?

解得-10

14

27,

所以m的取值范围为

14

10,

27

??

--

???.

利用导数解决实际生活中的优化问题

例2在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB,BC,CD由长为6 dm的材料弯折而成,BC边的长

为2t dm

3

1

2

t

??

≤≤

?

??.曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C

1是一段余弦曲线,在如图

所示的平面直角坐标系中,其解析式为y=cos x-1,此时记门的最高点O到BC边的距离为

h1(t);曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为9

8,此时记门的最高点O到BC边的距离为

h2(t).

(1)试分别求出函数h1(t),h2(t)的表达式;

(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少

?

(例2)

【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离;(2)利用导数的方法求出最大值,并进行比较.

【解答】(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y=cos x-1,所以点D的坐标为(t,cos t-1),

所以点O到AD的距离为1-cos t,而AB=DC=3-t,

则h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4,1≤t≤3 2.

对于曲线C2,因为抛物线的方程为x2=-9

4y,

即y=-4

9x2,所以点D的坐标为

2

4

-

9

t t

??

?

??

所以点O到AD的距离为4

9t2,而AB=DC=3-t,

所以h2(t)=4

9t2-t+3,1≤t≤

3

2.

(2)由(1)知h'1(t)=-1+sin t<0,

所以h1(t)在

3

1

2

??

??

??

上单调递减,

所以当t=1时,h1(t)取得最大值3-cos 1.

又h2(t)=

2

49

-

98

t

??

?

??+

39

16,而1≤t≤

3

2,

所以当t=3

2时,h

2(

t)取得最大值

5

2,

因为cos 1>cos π

3=

1

2,

所以3-cos 1<3-1

2=

5

2.

故选用曲线C2,当t=3

2时,点O到BC边的距离最大,最大值为

5

2 dm.

【精要点评】用导数解决实际问题的注意事项:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在

区间内只有一个点使得f'(x )=0的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值,就是问题的最优解.(3)在列函数关系式解决优化问题中,不仅要注意函数关系式表达要恰当,还要注意自变量的实际意义,依此确定定义域.

变式 (20142南京、盐城一模)如图,现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心,在四个角分别建半径为x m(x ≥9)的扇形花坛,以正方

形的中心为圆心建一个半径为15x 2

m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m ,绕

岛行驶的路宽均不小于10 m .

(1)求x 的取值范围(

1.4);

(2)若中间草地的造价为a 元/m 2,四个花坛的造价为4

33ax 元/m 2

,其余区域的造价为1211a

元/m 2,问:当x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低

?

(变式)

【解答】(1)

由题意得29100-2601

-22105x x x x ?

?≥?

≥????≥??,,,

解得

920-2015x x x ≥??

≤??≤≤?

,即9≤x ≤15.

所以x 的取值范围是[9,15]. (2)记“环岛”的整体造价为y 元,

则由题意得

y=a3π32215x ?? ???+433ax3πx 2+1211a 3

24221105x x ππ????-?-?? ???????=11a 432414*********x x x π???? ????+???+-?-.

令f (x )=-125x 4+4

3x 3-12x 2

则f'(x )=-425x 3+4x 2-24x=-4x

21-625x x ??+ ???, 由f'(x )=0,解得x=0(舍去)或x=10或x=15.列表如下:

所以当x=10答:当x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低.

导数在研究方程、不等式中的应用

例3 已知函数f (x )=2x 2

,g (x )=a ln x (a>0). (1)若不等式f (x )≥g (x )恒成立,求a 的取值范围;

(2)求证:44ln22+44ln33+…+44

ln n n <2

e .

【思维引导】(1)条件:已知函数f (x ),g (x )的解析式;目标:在不等式f (x )≥g (x )恒成立时求参数a 的取值范围;方法:构造函数F (x )=f (x )-g (x ),只要函数

F (x )在(0,+∞)上的最小值大于0即可得参数a 的不等式,解此不等式即得所求.(2)条件:(1)的求解结果;目标:证明(2)中的不等式;方法:根据(1)中结果得到不等式,使用特殊赋值法和放缩法可得.

【解答】(1)令F (x )=f (x )-g (x )=2x 2

-a ln x ,a>0,x>0,

则F'(x )=4x-a

x ,令F'(x )=0,得x=2,

所以F(x)

的单调减区间为

?

??

,单调增区间为

?

+??

??,F(x)

min=F(x)极小值

=F

2

?

??=2

a

-a

ln ,

只要2

a

-a

ln ≥0即可,得a≤4e且a>0,

即a∈(0,4e].

(2)由(1)得2x2≥4eln x,即4

4ln x

x≤2

2

e x,

所以

4

4

ln2

2+

4

4

ln3

3+…+

4

4

ln n

n≤222

2111

e23n

??

+++

?

??<

2

e

1

12

?

??

?+

1

23

?+…+

1

(-1)

n n

?

?

?<

2

e.

【精要点评】含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型,解决这类试题的基

本思想是转化思想,即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题,根据函数的最值或者值域找到参数所满足的不等式,即得到了参数的取值范围.

变式(20162苏州期中)已知函数f(x)=x2-2ax+1.

(1)若函数g(x)=log a[f(x)+a](a>0,a≠1)的定义域是R,求实数a的取值范围;

(2)当x>0时,不等式

()

f x

x>ln x恒成立,求实数a的取值范围.

【解答】(1)由题意知,对任意的x∈R,f(x)+a>0恒成立,即x2-2ax+1+a>0恒成立,即Δ=4a2-4(1+a)<0,

即a2-a-1<0

,解得

又因为a>0,a≠1,所以实数a的取值范围是(0,1)

∪?

??.

(2)当x>0时,不等式

()

f x

x>ln x等价于x-2a+

1

x>ln x,即2a

1

x-ln x.

设g(x)=x+1

x-ln x(x>0),

则g'(x )=1-2

1x -1x =22--1

x x x ,

令g'(x )=0,得

x=,

当0

x>12时,g'(x )>0,g (x )单调递增.

故当

x=时,g (x )取得极小值,也是最小值,且g (x )min

=g

12? ??

ln .因为2a

x -ln x ,

所以2

ln 12+,

所以实数a 的取值范围是

11,ln 222?-∞- ??.

1.(20152全国卷)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,且当x>0时,xf'(x )-

f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .

【答案】(-∞,-1)∪(0,1)

【解析】记函数g (x )=()f x x ,则g'(x )=2'()-()

xf x f x x ,因为当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,故当x>0

时,g'(x )<0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数,故函数g (x )是偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递增,且g (-1)=g (1)=0.当00,则

f (x )>0;当x<-1时,

g (x )<0,则f (x )>0,综上所述,使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).

2.(20152启东调研)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm ,要使其体积最大,则高应为 cm .

【答案】

【解析】设圆锥的高为x cm

V=1

3πx (202-x 2

)(0

V'=1

3π(400-3x 2),令V'=0,解得x 1

=,x 2

=-(舍去).当0

0

;当3

x=3时,V 取最大值.

3.(20142苏锡常镇连徐调研(一))已知函数f (x )=22

(2-)e 0-430x x x x x x x ?≤?++>?,,,,g (x )=f (x )+2k ,若函

数g (x )恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围为 .

【答案】73--22?? ???,

∪0?????

(第3题)

【解析】当x ≤0时,f'(x )=(2-x 2)e x

,当

f (

=-

1)2e

x<0时,f (x )<0,且f (0)=0,函数f (x )的图象如图所示,函数g (x )恰有两个不同的零点,就是

f (x )的图象与直线y=-2k 有两个不同的交点,所以3<-2k<7或-2k=0或-2k=-

1)e

k ∈73,22??-- ???

∪??????

.

4.(20152江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l.如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5 km 和40 km ,点N 到l 1,l 2的距离分别为20 km 和2.5 km ,以l 1,l 2所在的直线分别为x

轴、y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数y=2

a x

b +(其中a ,b 为常数)的模型.

(1)求a ,b 的值.

(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ,点P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度

.

(第4题)

【解答】(1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=2

a x

b +,

得4025 2.5400a

b

a b ?=??+??=?+?,,

解得10000.a b =??

=?,

(2)①由(1)知,y=2

1000

x (5≤x ≤20),

则点P 的坐标为21000t t ?? ?

?

?,.

设在点P 处的切线l 交x 轴、y 轴分别于A ,B 两点,y'=-32000x ,则直线l 的方程为y-2

1000t =-

3

2000t (x-t ),由此得A 302t ?? ???,,B 230000t ?? ??

?,. 所以f (t )

t ∈[5,20].

②设g (t )=t 2

+64410t ?,则g'(t )=2t-6

51610t ?.

令g'(t )=0,解得t=

当t ∈(5,

时,g'(t )<0,g (t )是减函数; 当t ∈

20)时,g'(t )>0,g (t )是增函数. 从而,当t=

g (t )有极小值,也是最小值, 所以g (t )min =300,此时f (t )min =

答:当t=

l 的长度最短,最短长度为

.

【融会贯通】

融会贯通 能力提升

(20142南京学情调研)已知函数f (x )=ax 2-ln x (a 为常数).

(1)当a=1

2时,求f (x )的单调减区间;

(2)若a<0,且对任意的x ∈[1,e],f (x )≥(a-2)x 恒成立,求实数a 的取值范围.

【思维引导】

【规范解答】(1)f (x )的定义域为(0,+∞),

f'(x )=2ax-1x =22-1

ax x .

当a=1

2时,f'(x )=2-1x x (2)

由f'(x )<0及x>0,解得0

所以函数f (x )

(0

1).

………………………………………………………4分

(2)方法一:设F (x )=f (x )-(a-2)x=ax 2

-ln x-(a-2)

x.

因为对任意的x ∈[1,e],f (x )≥(a-2)x 恒成立, 所以当x ∈[1,e]时,F (x )≥0恒成立.

F'(x )=2ax-1

x -(a-2)=22-(-2)-1ax a x x =(1)(2-1)ax x x .

因为a<0,令F'(x )=0,得x 1=-1a ,x 2=1

2<1.………………………………………………7分 ①当0<-1

a ≤1,即a ≤-1时,因为x ∈(1,e),所以F'(x )<0,

所以F (x )在(1,e)上单调递减.

因为对任意的x ∈[1,e],F (x )≥0恒成立,

所以F (x )min =F (e)≥0,

即a e 2

-1-(a-2)e≥0,解得a ≥21-2e e -e . 因为2

1-2e e -e >-1,

所以此时a 不存在.…………………………………………………………………………10分

②当1<-1a

e 时,

因为x ∈11-a ?? ???,时,F'(x )>0;x ∈1-e a ?? ???,时,F'(x )<0, 所以F (x )在11-a ?? ???,上单调递增,在1-e a

?? ?

??,上单调递减. 因为对任意的x ∈[1,e],F (x )≥0恒成立, 所以F (1)=2>0,且F (e)≥0,

即a e 2

-1-(a-2)e≥0,解得a ≥21-2e

e -e . 因为-1<2

1-2e e -e <-1e ,

所以2

1-2e e -e ≤a<-1e (13)

③当-1a ≥e,即-1

e ≤a<0时,因为x ∈(1,e),所以F'(x )>0,

所以F (x )在(1,e)上单调递增,由于F (1)=2>0,符合题意.……………………………15分

综上所述,实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ??

???

?,.………………………………………………16分 方法二:因为f (x )≥(a-2)x 在x ∈[1,e]上恒成立, 即a (x 2

-x )≥ln x-2x 在x ∈[1,e]上恒成立.

2 当x=1时,此不等式恒成立,故此时a ∈R .……………………………………………6分

②当x ∈(1,e]时,a ≥2

ln -2-x x x x 在x ∈(1,e]上恒成立,

令g (x )=2

ln -2-x x x x ,x ∈(1,e],

g'(x )=22

(2-1)[(1)-ln ]

(-)x x x x x +, …………………………………………………………………9分

令h (x )=x+1-ln x ,x ∈(1,e],

则h'(x )=1-1x =-1

x x >0在x ∈(1,e]上恒成立,

故h (x )在x ∈(1,e]上单调递增,从而h (x )>h (1)=2>0.……………………………………12分

从而知,当x ∈(1,e]时,g'(x )>0恒成立, 故g (x )在(1,e]上单调递增,

14分

所以g (x )max =g (e)=21-2e e -e ,故a ≥2

1-2e e -e ,

又a<0,故实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ??

??

??, (16)

【精要点评】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;三是凭借函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析,验证其不符合题意,即可确定所求.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第39~40页.

【检测与评估】

第20课 导数的综合应用

一、 填空题

1.若函数y =ax 3

-x 在R 上是减函数,则实数a 的取值范围是 .

2.已知函数f (x )=x 3

-3a 2

x +1的图象与直线y =3只有一个公共点,那么实数a 的取值范围是 .

3.(20152无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y (单元:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关

系式为y =-13x 3

+81x -234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.

4.若函数y =m 与y =3x -x 3

的图象有三个不同的交点,则实数m 的取值范围为 .

5.(20152海门中学)若对任意的x ∈[1,e ],都有a ln x ≥-x 2

+(a +2)x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .

6.已知a ∈R ,且函数y =e x

+ax ,x ∈R 有大于零的极值点,那么实数a 的取值范围是 .

7.(20142河北质检)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,那么当正六棱柱的体积最大时,其高为 .

8.(20152汇龙中学)现有一张长为80 cm ,宽为60 cm 的长方形铁皮ABCD ,准备用它做成一个无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处的损失.如图,若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,则该铁皮盒体积V 的最大值为 cm 3

.

(第8题)

二、解答题

9.(20142南京一中)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的

年利润x(单位:元)与年产量t(单位:t)满足函数关系x

.若乙方每生产1 t产品必须

赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).

(1)将乙方的年利润ω(单位:元)表示为年产量t的函数,并求出乙方获得最大利润时的年产量;

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?

10.(20152曲塘中学)设函数f(x)=x3-9

2x2+6x-a.

(1)若对于任意实数x,f'(x)≥m恒成立,求实数m的最大值;

(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求实数a的取值范围.

11.(20152全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求实数a的取值范围.

三、选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)

12.(20152福建卷)已知函数f(x)=ln x-

2 (-1)

2

x

.

(1)求函数f(x)的单调增区间;

(2)求证:当x>1时,f(x)

(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1).

【检测与评估答案】

第20课 导数的综合应用

1.(-∞,0] 【解析】y'=3ax 2

-1,因为函数y=ax 3

-x 在R 上是减函数,所以3ax 2

-1≤0在R 上恒成立,所以a ≤0.

2.(-1,1) 【解析】f'(x )=3x 2

-3a 2

,令f'(x )=0,则x=±a.由题意知当a<0时,f (a )=a 3

-3a 3

+1<3,即a 3

>-1,所以-10时,f (-a )=-a 3

+3a 3

+1<3,即a 3

<1,所以0

3.9 【解析】因为y'=-x 2

+81,所以当x>9时,y'<0;当x ∈(0,9)时,y'>0,所以函数y=-1

3x 3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点.又因

为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.

4.(-2,2) 【解析】y'=3(1-x )(1+x ),令y'=0,得x=±1,所以y 极大值=2,y 极小值=-2,作出函数

y=3x-x 3和y=m 的大致图象如图所示,根据图象知-2

.

(第4题)

5.(-∞,-1] 【解析】由a ln x ≥-x 2

+(a+2)x ,得(x-ln x )a ≤x 2

-2x.由于x ∈[1,e],ln

x ≤1≤x ,且等号不能同时取得,所以ln x0.从而a ≤2-2-ln x x

x x 恒成立,即

a ≤2min -2-ln x x x x ?? ???.设t (x )=2-2-ln x x x x ,x ∈[1,e].求导,得t'(x )=2(-1)(2-2ln )(-ln )x x x x x +,x ∈[1,

2017年江苏高考数学真题及答案

2017年江苏高考数学真题及答案 数学I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页,包含非选择题(第1题 ~ 第20题,共20题).本卷满分为160分,考 试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作 答一律无效。 5.如需改动,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{} =1,2A ,{} =+2 ,3B a a ,若 A B I ={1}则实数a 的值为________ 2.已知复数z=(1+i )(1+2i ),其中i 是虚数单位,则z 的模是__________ 3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.右图是一个算法流程图,若输入x 的值为 1 16 ,则输出的y 的值是 .

5.若tan 1 -= 4 6 π α ?? ? ?? ,则tanα= . 6.如图,在圆柱O1 O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱O1O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2,则1 2 V V 的值是 7.记函数2 ()6 f x x x +-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈ D的 概率是 8.在平面直角坐标系xoy中 ,双曲线 2 21 3 x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是 9.等比数列{}n a的各项均为实数,其前n项的和为S n,已知36 763 , 44 S S ==, 则 8 a= 10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用

2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;

2017年江苏省高考数学试卷【高考真题】

2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数

x,则x∈D的概率是. 8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=. 10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是. 11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是. 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,, 与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=. 13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是. 14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是. 二.解答题 15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.

2017年高考全国卷一文科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A I B =3|2x x ? ?

2017江苏高考数学卷(文科)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学I 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上........ . 1.已知集合{}2,1=A ,{}3,2+=a a B ,若{}1=B A 则实数a 的值为 . 2.已知复数)21)(1(i i z ++=,其中i 是虚数单位,则z 的模是 . 3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200, 400, 300, 100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.右图是一个算法流程图,若输入x 的值为 161,则输出的y 的值是 . 5.若6 1)4tan(=-π α,则αtan = . 6.如图,在圆柱21O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切. 记圆柱 21O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则 21V V 的值是 . 7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间]5,4[-上随机取一个数x ,则 D x ∈的概率是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线2 213 x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ,2F ,则四边形Q PF F 21的面积是 .

9.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知473=S ,4 636=S ,则=8a . 10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为x 4万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 11.已知函数x x e e x x x f 12)(3- +-=,其中e 是自然数对数的底数,若0)2()1(2≤+-a f a f ,则实数a 的取值范围是 . 12.如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且7t a n =α, OB 与OC 的夹角为 45. 若OB n OA m OC +=),(R ∈n m ,则=+n m . 13.在平面直角坐标系xOy 中,)0,12(-A ,)6,0(B ,点P 在圆50:22=+y x O 上,若20≤?PB PA ,则点P 的横坐标的取值范围是 . 14.设)(x f 是定义在R 上且周期为1的函数,在区间)1,0[上,? ???∈=,,,,)(2D x x D x x x f 其中集合? ?????∈-==*N n n n x x D ,1|,则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是 . 二、解答题: 本大题共6小题, 共计90分.请在答题卡指定区域....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图,在三棱锥BCD A -中,AD AB ⊥,BD BC ⊥,平面⊥ABD 平面BCD ,点E ,F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且AD EF ⊥. 求证:(1)//EF 平面ABC ; (2)AC AD ⊥.

9--2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(解析版)

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.函数f(x)=ln的定义域为. 2.若复数z满足z(1﹣i)=2i(i是虚数单位),是z的共轭复数,则=. 3.某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为. 4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示: 不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众4010 女性青年观众4060 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研,若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人,则n的值为. 5.根据如图所示的伪代码,输出S的值为. 6.记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1=1,S4﹣5S2=0,则S5的值为. 7.将函数f(x)=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x) 的最大值为. 8.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率k=﹣,则线段PF的长为. 9.若sin(α﹣)=,α∈(0,),则cosα的值为. 10.α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的是(填上所有正确命题的序号). ①若α∥β,m?α,则m∥β; ②若m∥α,n?α,则m∥n; ③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β; ④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β. 11.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx﹣y+2=0与直线l2:x+ky﹣2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为. 12.若函数f(x)=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.13.已知平面向量=(1,2),=(﹣2,2),则?的最小值为. 14.已知函数f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0恒成立,则的最小值为. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2017年江苏高考数学试卷

年江苏省高考数学试卷2017 填空题一. 2a2},B={a,∩+3}.若AB={1},则实数a .的值为,已知集合.1(5分)A={1 2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值 是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱OO内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均21 相切,记圆柱OO的体积为V,球O的体积为V,则的值是.2112

7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数第1页(共31页) .x,则x∈D的概率是 2的右准线与它的两条渐﹣y=1(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线8.PFQ 的面积是.,其焦点是近线分别交于点P,QF,F,则四边形F2112 9.(5分)等比数列{a}的各项均为实数,其前n项和为S,已知S=,S=,63nn.a=则8次,万元/吨,每次购买x运费为610.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,x4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则一年的总存储费用为.的值是 x3af(,其中e=xe﹣2x+是自然对数的底数.若﹣11.(5分)已知函数f(x)2)≤0.则实数a的取值范围是(2a .﹣1)+f 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,

2017年高考新课标全国3卷文科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ) 文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A?B中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至 2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图 . 根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知 4 sin cos 3 αα -=,则sin2α= A. 7 9 -B. 2 9 -C. 2 9 D. 7 9 5.设x,y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ,则z=x-y的取值范围是 A.[–3,0] B.[–3,2] C.[0,2] D.[0,3]

6.函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x ?6π )的最大值为 A .6 5 B .1 C .35 D .15 7.函数y =1+x +2sin x x 的部分图像大致为 A . B . C . D . 8.执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A .5 B .4 C .3 D .2 9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A .π B . 3π4 C . π2 D . π4

2017年江苏数学高考试卷含答案和解析

2017年江苏数学高考试卷 一.填空题 1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是. 3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D 的概率是.

8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是. 9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是. 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且ta nα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=. 13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是. 14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=, 其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是. 二.解答题 15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.

2017高考全国3卷理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国) 理科数学 (试题及答案解析) 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合{} 22 (,)1A x y x y =+=,{}(,)B x y y x ==,则A B 中元素的个数为() A .3 B .2 C .1 D .0 【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合, 故A B 表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2,故选B. 2.设复数z 满足(1i)2i z +=,则z =() A .1 2 B . 2 C .2 D .2 【答案】C 【解析】由题,()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2 z -+= ===+++-,则22112z =+=,故选C. 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是 A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A 选项错误,故选A. 4.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为() A .-80 B .-40 C .40 D .80 【答案】C 【解析】由二项式定理可得,原式展开中含33x y 的项为 ()()()()2 3 3 2 233355C 2C 240x x y y x y x y ?-+?-=,则33x y 的系数为40,故选C. 5.已知双曲线22221x y C a b -=:(0a >,0b >)的一条渐近线方程为5 y x =,且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点.则C 的方程为() A .221810x y - = B .22145x y -= C .22154x y -= D .22 143 x y -= 【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =,则5 b a = ① 又∵椭圆22 1123 x y + =与双曲线有公共焦点,易知3c =,则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==,则双曲线C 的方程为22 145 x y - =,故选B. 6.设函数π ()cos()3 f x x =+,则下列结论错误的是() A .()f x 的一个周期为2π- B .()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C .()f x π+的一个零点为π6x = D .()f x 在π (,π)2 单调递减 【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到, 如图可知,()f x 在π,π2?? ???上先递减后递增,D 选项错误,故选D. π23π53 -π36 π x y O 7.执行右图的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为() A .5 B .4 C .3 D .2

(完整word)2019年江苏高考数学压轴题技巧

2017年江苏高考数学压轴题技巧 虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分,但是毕竟已是整场考试的最后阶段,强弩之末势不能穿鲁缟,疲劳不可避免,因此所有同学在做最后一题时,都要格外小心谨慎,避免易得分部分因为疲劳出错,导致失分的遗憾结果出现。 2017年江苏高考数学压轴题技巧 1. 复杂的问题简单化,就是把一个复杂的问题,分解为 一系列简单的问题,把复杂的图形,分成几个基本图形,找相似,找直角,找特殊图形,慢慢求解,高考(微博)是分步得分的,这种思考方式尤为重要,能算的先算,能证的先证,踏上要点就能得分,就算结论出不来,中间还是有不少分能拿。 2. 运动的问题静止化,对于动态的图形,先把不变的线段,不变的角找到,有没有始终相等的线段,始终全等的图形,始终相似的图形,所有的运算都基于它们,在找到变化线段之间的联系,用代数式慢慢求解。 3. 一般的问题特殊化,有些一般的结论,找不到一般解法,先看特殊情况,比如动点问题,看看运动到中点怎样,运动到垂直又怎样,变成等腰三角形又会怎样,先找出结论,再慢慢求解。 需要掌握的主要的数学思想: 1. 方程与函数思想 利用方程解决几何计算已经不能算难题了,建立变量间的函数关系,也是经常会碰到的,常见的建立函数关系的方法有比例线段,勾股定理,三角比,面积公式等 2. 分类讨论思想

这个大家碰的多了,就不多讲了,常见于动点问题,找等腰,找相似,找直角三角形之类的。 3. 转化与化归思想 就是把一个问题转化为另一个问题,比如把四边形问题转化为三角形问题,还有压轴题中时有出现的找等腰三角形,有时可以转化为找一个和它相似的三角形也是等腰三角形的问题等等,代数中用的也很多,比如无理方程有理化,分式方程整式化等等 4. 数形结合思想 高中用的较多的是用几何问题去解决直角坐标系中的函数问题,对于高中生,尽可能从图形着手去解决,比如求点的坐标,可以通过往坐标轴作垂线,把它转化为求线段的长,再结合基本的相似全等三角比解决,尽可能避免用两点间距离公式列方程组。切记先用几何方法,实在做不出再用解析法。

2017年度高考数学江苏试题及解析

2017年江苏 1.(2017年江苏)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为. 1.1 【解析】由题意1∈B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1. 2. (2017年江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是. 2.10 【解析】|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i||1+2i|=2×5=10.故答案为10. 3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为 检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取▲ 件. 【答案】18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取 300 6018 1000 ?=件,故答案为18. 【考点】分层抽样 【名师点睛】在分层抽样的过程中,为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的,这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比,即n i∶N i=n∶N. 4. (2017年江苏)右图是一个算法流程图,若输入x的值为1 16,则输出y的值是. 4. -2 【解析】由题意得y=2+log21 16=-2.故答案为-2.

5. (2017年江苏)若tan(α+ π4)=1 6则tan α= . 5. 75 【解析】tan α= tan[(α-π4)+π4]=tan(α-π4)+tan π41- tan(α-π4) tan π4=1 6+11-16=75.故答案为75. 6. (2017年江苏)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V 1 V 2的值是 . 6. 32 【解析】设球半径为r ,则V1V2=πr2×2r 43πr3=32.故答案为32. 7. (2017年江苏)记函数f (x )=6+x-x 2的定义域为D .在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 . 7. 5 9 【解析】由6+x-x 2≥0,即x 2-x-6≤0,得-2≤x≤3,根据几何概型的概率计算公式得x ∈D 的概率是3-(-2)5-(-4)=5 9. 8. (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2 3-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是 . 8. 2 3 【解析】右准线方程为x=310=31010,渐近线方程为y=±33x ,设P (31010,30 10),则Q (31010,-3010),F 1(-10,0),F 2(10,0),则S=210×30 10=2 3. 9.(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=63 4, 则a 8=________.

2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全)

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.=++i 1i 3 A .i 21+ B .i 21- C .i 2+ D .i 2- 2. 设集合{}4 2 1,,=A ,{} 042=+-=m x x B ,若{}1=B A ,则=B A .{}3 1-, B. .{}0 1, C .{}3 1, D .{}5 1, 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A .π90 B .π63 C .π42 D .π36 5.设y x 、满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+,,,0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A .15- B .9- C .1 D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 A .12种 B .18种 C . 24种 D .36种 理科数学试题 第1页(共4页)

2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷(解析版)

2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷(解析版)

2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷 一.填空题:本大題共14小败,每小題5分,共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z},则? U M= .2.若复数z满足z+i=,其中i为虚数单位,则|z|= . 3.函数f(x)=的定义域为. 4.如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 5.某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级学生人数为. 6.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为.7.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的槪率为. 8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点,则双曲线的离心率为. 9.设等比数列{a n }的前n项和为S n ,若S 3 ,S 9 ,S 6 成等差数列.且a 2 +a 5 =4,则 a 8 的值为. 10.在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B 两点,其中A点在第一象限,且=2,则直线l的方程为. 11.在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足=+,且?=1,则实数λ的值为.

12.已知sinα=3sin(α+),则tan(α+)= . 13.若函数f(x)=,则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为.14.若正数x,y满足15x﹣y=22,则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为. 二.解答题:本大题共6小题,共计90分 15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=l,且A﹣B= (1)求边c的长; (2)求角B的大小. 16.如图,在斜三梭柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中,侧面AA 1 C 1 C是菱形,AC 1 与A 1 C交于点O, E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC 1B 1 (1)求证:E是AB中点; (2)若AC 1⊥A 1 B,求证:AC 1 ⊥BC. 17.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图),设计要求彩门的面积为S (单位:m2)?高为h(单位:m)(S,h为常数),彩门的下底BC固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度和记为l. (1)请将l表示成关于α的函数l=f(α); (2)问当α为何值时l最小?并求最小值.

2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x => D .A B =? 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A . 14 B . π8 C .12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A .13,p p B .14,p p C .23,p p D .24,p p 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD

B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C

P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.

(完整版)2017年江苏省高考数学试卷

精心整理 2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a 的值为. 2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是. 3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是. 8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是. 9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是. 11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是. 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=. 13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若 ≤20,则点P的横坐标的取值范围是.

2017年高考文科数学江苏卷有答案

数学试卷 第1页(共16页) 数学试卷 第2页(共16页) 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 参考公式: 柱体的体积h V S =,其中是柱体的底面积,h 是柱体的高. 球的体积 3 43R V π= ,其中R 是球的半径. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{}1,2A =,{} 2 ,3B a a =+.若A B={1},则实数a 的值为________. 2.已知复数(1)(12)z i i =++,其中i 是虚数单位,则z 的模是________. 3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件. 4.右图是一个算法流程图.若输入x 的值为 1 16 ,则输出y 的值是________. (第4题) 5.若1 tan()4 6 π α- = ,则tan α=________. 6.如图,在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则 1 2 V V 的值是________. (第6题) 7. 记函数()f x 的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是________. 8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2 213 x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ,Q ,其焦点是1F ,2F ,则四边形12F PF Q 的面积是________. 9.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763 44 S S ==,,则8a = ________. 10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________. 11.已知函数31()2x x f x x x e e =-+- ,其中e 是自然对数的底数.若 2 (1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________. 12.如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1 ,OA 与OC 的夹角为α,且tan 7α=,OB 与OC 的夹角为45°.若=m OC OA nOB +(m,n R ∈),则6m n += ________. 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ----------------

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