第20课 导数的综合应用
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1.(选修2-2P27习题15改编)如图,水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张,当半径为250 cm 时,水波面的圆面积的膨胀率是 cm 2
/s .
(第1题)
【答案】25 000π
【解析】设时间t 对应的水波面的圆的半径为r ,面积为S ,则r=50t ,S=πr 2
=2 500πt 2
,当
r=250时,t=5,故有s'=(2 500πt 2)'=5 000π2t=25 000π(cm 2/s).
2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱,为使它的用料最省(全面积最小),则它的高为 . 【答案】4
【解析】设高为h ,底边长为x ,则x 2h=256,所以S=4hx+x 2=4x 22256x +x 2=1024x +x 2
,S'=-21024
x +2x.令S'=0,解得x=8,此时h=4,S 取最小值.
3.(选修2-2P34习题4改编)设函数f (x )=1
3x-ln x (x>0),则y=f (x )的最小值为 .
【答案】1-ln 3
【解析】函数f (x )的定义域为(0,+∞),由f'(x )=13-1
x =0,得x=3,所以f (x )在(0,3)上单
调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以f (x )min =f (3)=1-ln 3.
4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v 0的圆柱形饮料罐,为了使它的用料最省,则它的高为 .
【解析】设圆柱的高为H ,底面半径为R ,则表面积为S=2πRH+2πR 2,又πR 2
H=v 0,H=0
2v R π,
故S=2πR 202v R π+2πR 2=02v R +2πR 2
,由S'=-0
22v R +4πR=0,解得,此时S 最小,
H=02
πv R
5.(选修2-2P35例1改编)用长为90 cm ,宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折90°角,再焊接而成,则该容器的高为 cm 时,容器的容积最大. 【答案】10
【解析】设容器的高为x cm ,即小正方形的边长为x cm ,该容器的容积为V ,则V=(90-2x )(48-2x )x=4(x 3
-69x 2
+1 080x ),0 -46x+360)=12(x-10)(x-36),当0 V'>0;当10 时,V 最大. 1.最值与不等式 各类不等式与函数最值的关系如下表: (续表) 2.实际应用题 (1)解题的一般步骤:理解题意,建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题. (2)注意事项:注意实际问题的定义域;实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数),这样的极值点也是最值点. 【要点导学】 要点导学各个击破 利用导数研究函数的性质 例1设函数f(x)=c ln x+1 2x2+bx(b,c∈R,c≠0),且x=1为f(x)的极值点. (1)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示); (2)若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围. 【思维引导】(1)条件:x=1为f(x)的极大值点;目标:确定函数f(x)的单调区间;方法:利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件:使用c表达的函数解析式;目标:c的取值范围;方法:讨论函数的单调性和极值点,根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件. 【解答】f'(x)=c x+x+b= 2 x bx c x ++ , 又因为f'(1)=0,所以b+c+1=0, 所以f'(x)=(-1)(-) x x c x且c≠1,b+c+1=0. (1)因为x=1为f(x)的极大值点,所以c>1. 当0 当1 当x>c时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调增区间为(0,1),(c,+∞);单调减区间为(1,c). (2)①若c<0,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,要使f(x)=0恰有两解,如图(1)所示,只需f(1)<0, 即1 2+b<0,所以- 1 2 图 (1) 图(2) 图(3) (例1) ②若0 +bc=c ln c-22c -c ,f (x )极小值=f (1)=12+b=-1 2-c ,显然f (c )=c ln c-c-22c <0,f (x )极小值=-1 2-c<0,如图(2)所示,所以f (x )=0只有一解; ③若c>1,则f (x )极小值=c ln c-c-22c <0,f (x )极大值=-1 2-c<0,如图(3)所示,所以f (x )=0只 有一解. 综上,使f (x )=0恰有两解的c 的取值范围为1-02?? ???, . 【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想,在定义域区间端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数,当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点,当其中一个极值点等于零时函数有两个零点,当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的,还要结合端点值和极值的情况进行综合比较. 变式 (20152哈尔滨三中模拟)已知函数f (x )=x 3 +ax 2 -a 2 x+m+2(a>0). (1)若f (x )在[-1,1]内没有极值点,求实数a 的取值范围; (2)当a=2时,方程f (x )=0有三个互不相同的解,求实数m 的取值范围. 【思维引导】(1)若f (x )在[-1,1]内没有极值点,则f'(x )=0的根不在区间[-1,1]上;(2)方程f (x )=0有三个互不相同的解,则函数f (x )的极大值大于零、极小值小于零. 【解答】(1)因为f'(x )=3x 2+2ax-a 2 =3-3a x ?? ???(x+a ), 令f'(x )=0,得x=3a 或-a , 因为f (x )在[-1,1]内没有极值点,而且a>0, 所以 1 3 --1 a a ? > ? ? ?< ? , , 解得a>3,故实数a的取值范围是(3,+∞). (2)当a=2时,f'(x)=3 2 - 3 x ?? ? ??(x+2)=0的两根为 2 3,-2,要使方程f(x)=0有三个互不相同 的解,需使 (-2)0 2 3 f f > ? ? ??? < ? ??? ? , , 解得-10 14 27, 所以m的取值范围为 14 10, 27 ?? -- ???. 利用导数解决实际生活中的优化问题 例2在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB,BC,CD由长为6 dm的材料弯折而成,BC边的长 为2t dm 3 1 2 t ?? ≤≤ ? ??.曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C 1是一段余弦曲线,在如图 所示的平面直角坐标系中,其解析式为y=cos x-1,此时记门的最高点O到BC边的距离为 h1(t);曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为9 8,此时记门的最高点O到BC边的距离为 h2(t). (1)试分别求出函数h1(t),h2(t)的表达式; (2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少 ? (例2) 【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离;(2)利用导数的方法求出最大值,并进行比较. 【解答】(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y=cos x-1,所以点D的坐标为(t,cos t-1), 所以点O到AD的距离为1-cos t,而AB=DC=3-t, 则h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4,1≤t≤3 2. 对于曲线C2,因为抛物线的方程为x2=-9 4y, 即y=-4 9x2,所以点D的坐标为 2 4 - 9 t t ?? ? ?? , , 所以点O到AD的距离为4 9t2,而AB=DC=3-t, 所以h2(t)=4 9t2-t+3,1≤t≤ 3 2. (2)由(1)知h'1(t)=-1+sin t<0, 所以h1(t)在 3 1 2 ?? ?? ?? , 上单调递减, 所以当t=1时,h1(t)取得最大值3-cos 1. 又h2(t)= 2 49 - 98 t ?? ? ??+ 39 16,而1≤t≤ 3 2, 所以当t=3 2时,h 2( t)取得最大值 5 2, 因为cos 1>cos π 3= 1 2, 所以3-cos 1<3-1 2= 5 2. 故选用曲线C2,当t=3 2时,点O到BC边的距离最大,最大值为 5 2 dm. 【精要点评】用导数解决实际问题的注意事项:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在 区间内只有一个点使得f'(x )=0的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值,就是问题的最优解.(3)在列函数关系式解决优化问题中,不仅要注意函数关系式表达要恰当,还要注意自变量的实际意义,依此确定定义域. 变式 (20142南京、盐城一模)如图,现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心,在四个角分别建半径为x m(x ≥9)的扇形花坛,以正方 形的中心为圆心建一个半径为15x 2 m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m ,绕 岛行驶的路宽均不小于10 m . (1)求x 的取值范围( 1.4); (2)若中间草地的造价为a 元/m 2,四个花坛的造价为4 33ax 元/m 2 ,其余区域的造价为1211a 元/m 2,问:当x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低 ? (变式) 【解答】(1) 由题意得29100-2601 -22105x x x x ? ?≥? ≥????≥??,,, 解得 920-2015x x x ≥?? ≤??≤≤? , , ,即9≤x ≤15. 所以x 的取值范围是[9,15]. (2)记“环岛”的整体造价为y 元, 则由题意得 y=a3π32215x ?? ???+433ax3πx 2+1211a 3 24221105x x ππ????-?-?? ???????=11a 432414*********x x x π???? ????+???+-?-. 令f (x )=-125x 4+4 3x 3-12x 2 , 则f'(x )=-425x 3+4x 2-24x=-4x 21-625x x ??+ ???, 由f'(x )=0,解得x=0(舍去)或x=10或x=15.列表如下: 所以当x=10答:当x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. 导数在研究方程、不等式中的应用 例3 已知函数f (x )=2x 2 ,g (x )=a ln x (a>0). (1)若不等式f (x )≥g (x )恒成立,求a 的取值范围; (2)求证:44ln22+44ln33+…+44 ln n n <2 e . 【思维引导】(1)条件:已知函数f (x ),g (x )的解析式;目标:在不等式f (x )≥g (x )恒成立时求参数a 的取值范围;方法:构造函数F (x )=f (x )-g (x ),只要函数 F (x )在(0,+∞)上的最小值大于0即可得参数a 的不等式,解此不等式即得所求.(2)条件:(1)的求解结果;目标:证明(2)中的不等式;方法:根据(1)中结果得到不等式,使用特殊赋值法和放缩法可得. 【解答】(1)令F (x )=f (x )-g (x )=2x 2 -a ln x ,a>0,x>0, 则F'(x )=4x-a x ,令F'(x )=0,得x=2, 所以F(x) 的单调减区间为 ? ?? ,单调增区间为 ∞ ? +?? ??,F(x) min=F(x)极小值 =F 2 ? ??=2 a -a ln , 只要2 a -a ln ≥0即可,得a≤4e且a>0, 即a∈(0,4e]. (2)由(1)得2x2≥4eln x,即4 4ln x x≤2 2 e x, 所以 4 4 ln2 2+ 4 4 ln3 3+…+ 4 4 ln n n≤222 2111 … e23n ?? +++ ? ??< 2 e 1 12 ? ?? ?+ 1 23 ?+…+ 1 (-1) n n ? ? ?< 2 e. 【精要点评】含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型,解决这类试题的基 本思想是转化思想,即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题,根据函数的最值或者值域找到参数所满足的不等式,即得到了参数的取值范围. 变式(20162苏州期中)已知函数f(x)=x2-2ax+1. (1)若函数g(x)=log a[f(x)+a](a>0,a≠1)的定义域是R,求实数a的取值范围; (2)当x>0时,不等式 () f x x>ln x恒成立,求实数a的取值范围. 【解答】(1)由题意知,对任意的x∈R,f(x)+a>0恒成立,即x2-2ax+1+a>0恒成立,即Δ=4a2-4(1+a)<0, 即a2-a-1<0 ,解得 又因为a>0,a≠1,所以实数a的取值范围是(0,1) ∪? ??. (2)当x>0时,不等式 () f x x>ln x等价于x-2a+ 1 x>ln x,即2a 1 x-ln x. 设g(x)=x+1 x-ln x(x>0), 则g'(x )=1-2 1x -1x =22--1 x x x , 令g'(x )=0,得 x=, 当0 当 x>12时,g'(x )>0,g (x )单调递增. 故当 x=时,g (x )取得极小值,也是最小值,且g (x )min =g 12? ?? ln .因为2a x -ln x , 所以2 ln 12+, 所以实数a 的取值范围是 11,ln 222?-∞- ??. 1.(20152全国卷)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,且当x>0时,xf'(x )- f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 . 【答案】(-∞,-1)∪(0,1) 【解析】记函数g (x )=()f x x ,则g'(x )=2'()-() xf x f x x ,因为当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,故当x>0 时,g'(x )<0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数,故函数g (x )是偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递增,且g (-1)=g (1)=0.当0 f (x )>0;当x<-1时, g (x )<0,则f (x )>0,综上所述,使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 2.(20152启东调研)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm ,要使其体积最大,则高应为 cm . 【答案】 【解析】设圆锥的高为x cm V=1 3πx (202-x 2 )(0 V'=1 3π(400-3x 2),令V'=0,解得x 1 =,x 2 =-(舍去).当0 ;当3 x=3时,V 取最大值. 3.(20142苏锡常镇连徐调研(一))已知函数f (x )=22 (2-)e 0-430x x x x x x x ?≤?++>?,,,,g (x )=f (x )+2k ,若函 数g (x )恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围为 . 【答案】73--22?? ???, ∪0????? (第3题) 【解析】当x ≤0时,f'(x )=(2-x 2)e x ,当 f ( =- 1)2e 当 x<0时,f (x )<0,且f (0)=0,函数f (x )的图象如图所示,函数g (x )恰有两个不同的零点,就是 f (x )的图象与直线y=-2k 有两个不同的交点,所以3<-2k<7或-2k=0或-2k=- 1)e k ∈73,22??-- ??? ∪?????? . 4.(20152江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l.如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5 km 和40 km ,点N 到l 1,l 2的距离分别为20 km 和2.5 km ,以l 1,l 2所在的直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数y=2 a x b +(其中a ,b 为常数)的模型. (1)求a ,b 的值. (2)设公路l 与曲线C 相切于点P ,点P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度 . (第4题) 【解答】(1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=2 a x b +, 得4025 2.5400a b a b ?=??+??=?+?,, 解得10000.a b =?? =?, (2)①由(1)知,y=2 1000 x (5≤x ≤20), 则点P 的坐标为21000t t ?? ? ? ?,. 设在点P 处的切线l 交x 轴、y 轴分别于A ,B 两点,y'=-32000x ,则直线l 的方程为y-2 1000t =- 3 2000t (x-t ),由此得A 302t ?? ???,,B 230000t ?? ?? ?,. 所以f (t ) t ∈[5,20]. ②设g (t )=t 2 +64410t ?,则g'(t )=2t-6 51610t ?. 令g'(t )=0,解得t= 当t ∈(5, 时,g'(t )<0,g (t )是减函数; 当t ∈ 20)时,g'(t )>0,g (t )是增函数. 从而,当t= g (t )有极小值,也是最小值, 所以g (t )min =300,此时f (t )min = 答:当t= l 的长度最短,最短长度为 . 【融会贯通】 融会贯通 能力提升 (20142南京学情调研)已知函数f (x )=ax 2-ln x (a 为常数). (1)当a=1 2时,求f (x )的单调减区间; (2)若a<0,且对任意的x ∈[1,e],f (x )≥(a-2)x 恒成立,求实数a 的取值范围. 【思维引导】 【规范解答】(1)f (x )的定义域为(0,+∞), f'(x )=2ax-1x =22-1 ax x . 当a=1 2时,f'(x )=2-1x x (2) 分 由f'(x )<0及x>0,解得0 所以函数f (x ) 的 单 调 减 区 间 为 (0 , 1). ………………………………………………………4分 (2)方法一:设F (x )=f (x )-(a-2)x=ax 2 -ln x-(a-2) x. 因为对任意的x ∈[1,e],f (x )≥(a-2)x 恒成立, 所以当x ∈[1,e]时,F (x )≥0恒成立. F'(x )=2ax-1 x -(a-2)=22-(-2)-1ax a x x =(1)(2-1)ax x x . 因为a<0,令F'(x )=0,得x 1=-1a ,x 2=1 2<1.………………………………………………7分 ①当0<-1 a ≤1,即a ≤-1时,因为x ∈(1,e),所以F'(x )<0, 所以F (x )在(1,e)上单调递减. 因为对任意的x ∈[1,e],F (x )≥0恒成立, 所以F (x )min =F (e)≥0, 即a e 2 -1-(a-2)e≥0,解得a ≥21-2e e -e . 因为2 1-2e e -e >-1, 所以此时a 不存在.…………………………………………………………………………10分 ②当1<-1a e 时, 因为x ∈11-a ?? ???,时,F'(x )>0;x ∈1-e a ?? ???,时,F'(x )<0, 所以F (x )在11-a ?? ???,上单调递增,在1-e a ?? ? ??,上单调递减. 因为对任意的x ∈[1,e],F (x )≥0恒成立, 所以F (1)=2>0,且F (e)≥0, 即a e 2 -1-(a-2)e≥0,解得a ≥21-2e e -e . 因为-1<2 1-2e e -e <-1e , 所以2 1-2e e -e ≤a<-1e (13) 分 ③当-1a ≥e,即-1 e ≤a<0时,因为x ∈(1,e),所以F'(x )>0, 所以F (x )在(1,e)上单调递增,由于F (1)=2>0,符合题意.……………………………15分 综上所述,实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ?? ??? ?,.………………………………………………16分 方法二:因为f (x )≥(a-2)x 在x ∈[1,e]上恒成立, 即a (x 2 -x )≥ln x-2x 在x ∈[1,e]上恒成立. 2 当x=1时,此不等式恒成立,故此时a ∈R .……………………………………………6分 ②当x ∈(1,e]时,a ≥2 ln -2-x x x x 在x ∈(1,e]上恒成立, 令g (x )=2 ln -2-x x x x ,x ∈(1,e], 则 g'(x )=22 (2-1)[(1)-ln ] (-)x x x x x +, …………………………………………………………………9分 令h (x )=x+1-ln x ,x ∈(1,e], 则h'(x )=1-1x =-1 x x >0在x ∈(1,e]上恒成立, 故h (x )在x ∈(1,e]上单调递增,从而h (x )>h (1)=2>0.……………………………………12分 从而知,当x ∈(1,e]时,g'(x )>0恒成立, 故g (x )在(1,e]上单调递增, 14分 所以g (x )max =g (e)=21-2e e -e ,故a ≥2 1-2e e -e , 又a<0,故实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ?? ?? ??, (16) 分 【精要点评】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;三是凭借函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析,验证其不符合题意,即可确定所求. 趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第39~40页. 【检测与评估】 第20课 导数的综合应用 一、 填空题 1.若函数y =ax 3 -x 在R 上是减函数,则实数a 的取值范围是 . 2.已知函数f (x )=x 3 -3a 2 x +1的图象与直线y =3只有一个公共点,那么实数a 的取值范围是 . 3.(20152无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y (单元:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关 系式为y =-13x 3 +81x -234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件. 4.若函数y =m 与y =3x -x 3 的图象有三个不同的交点,则实数m 的取值范围为 . 5.(20152海门中学)若对任意的x ∈[1,e ],都有a ln x ≥-x 2 +(a +2)x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 6.已知a ∈R ,且函数y =e x +ax ,x ∈R 有大于零的极值点,那么实数a 的取值范围是 . 7.(20142河北质检)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,那么当正六棱柱的体积最大时,其高为 . 8.(20152汇龙中学)现有一张长为80 cm ,宽为60 cm 的长方形铁皮ABCD ,准备用它做成一个无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处的损失.如图,若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,则该铁皮盒体积V 的最大值为 cm 3 . (第8题) 二、解答题 9.(20142南京一中)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的 年利润x(单位:元)与年产量t(单位:t)满足函数关系x .若乙方每生产1 t产品必须 赔付甲方s元(以下称s为赔付价格). (1)将乙方的年利润ω(单位:元)表示为年产量t的函数,并求出乙方获得最大利润时的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少? 10.(20152曲塘中学)设函数f(x)=x3-9 2x2+6x-a. (1)若对于任意实数x,f'(x)≥m恒成立,求实数m的最大值; (2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求实数a的取值范围. 11.(20152全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求实数a的取值范围. 三、选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.(20152福建卷)已知函数f(x)=ln x- 2 (-1) 2 x . (1)求函数f(x)的单调增区间; (2)求证:当x>1时,f(x) (3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1). 【检测与评估答案】 第20课 导数的综合应用 1.(-∞,0] 【解析】y'=3ax 2 -1,因为函数y=ax 3 -x 在R 上是减函数,所以3ax 2 -1≤0在R 上恒成立,所以a ≤0. 2.(-1,1) 【解析】f'(x )=3x 2 -3a 2 ,令f'(x )=0,则x=±a.由题意知当a<0时,f (a )=a 3 -3a 3 +1<3,即a 3 >-1,所以-10时,f (-a )=-a 3 +3a 3 +1<3,即a 3