恒成立与存在性问题的基本解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略
一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型
1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立
2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立
3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??
在上恒成立
在上恒成立
另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤
8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上
的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B.
9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；
10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；
恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.
函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等…
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略
大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。
（一）两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在
如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导
等等方法求函数f （x ）的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。
（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8
π
- 对称，那么a=（ ）.
A .1
B .-1
C .2
D . -2. 略解：取x=0及x=4
π
-
，则f(0)=f(4
π
-
),即a=-1，故选B.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
例（备用）．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )
A.10
B.7
C.-1
D.0
略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，
故选D
（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型：
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有
)(0)(< f m f 例2．对于满足|a|≤2的所有实数 a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题. 解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立, 设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有： ?? ?>>-0)2(0)2(f f 即?????>->+-0 10 3422 x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞) 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可. 2、二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解 题中自觉运用。 （1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00且a （2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立， （1） R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2） R x x f ∈<在0)(上恒成立00 类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立 （1）当0>a 时， ],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ ?< )(0 )(βαf f （2）当0 时， ],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈ )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 (-∞ , α]上恒成立。 f(x)>0?a>0且?<0或-b/2a>α且f(α)>0 f(x)<0?a<0且?<0或-b/2a>α且f(α)<0 类型4：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 [α，+∞)上恒成立。 f(x)>0?a>0,?<0或-b/2a<α且f(α)>0 f(x)<0?a<0,?<0或-b/2a<α且f(α)<0 例3． 若函数1 2 )1()1()(22++ -+-= a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围. 分析：该题就转化为被开方数01 2 )1()1(2 2 ≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论. 解：依题意，当时，R x ∈ 01 2 )1()1(22≥++ -+-a x a x a 恒成立， 所以，①当,1, 01, 01{,0122 =≠+=-=-a a a a 时，即当 此时.1,011 2 )1()1(2 2 =∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当01 2 ) 1(4)1(, 01{ 012222≤+---=?>-≠-a a a a a 有,91, 09101 { 2 2≤a a a a 综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示： 略解：()22434120a a a a ?=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解析一. （零点分布策略） 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分 无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(2 20f f a ，即a 的取值范围为 [-7，2]. 解法二分析：（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可. 略解：（分类讨论）2 2()324a a f x x a ? ?=+--+ ?? ?，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a . ⑴当22a - <-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 7 3 a ∴≤ 又4a > a ∴不存在. ⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2 ()()3024a a g a f a ==--+≥ 62a ∴-≤≤ 又 44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ ⑶当22 a - >，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <- 74a ∴-≤<- 综上所述，72a -≤≤. 变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边 二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题. 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 略解：2 ()320f x x ax a =++--≥，即2 ()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立. ⑴()2410a a ?=--≤ 22 a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222 a a f f a a ??=-->? ≥?? ?-≥? ?-≥-≤-??或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a . 解法二：（运用二次函数极值点的分布） ⑴当22a - <-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥ ()5 4,3 a ∴≤?+∞ a ∴不存在. ⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2 ()()3224 a a g a f a ==- -+≥， 222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a ⑶当22 a - >，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥， 5a ∴≥- 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a . 此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样. 对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 3、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相 关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a) 例5.已知三个不等式①0342 <+-x x ，②0862 <+-x x ，③0922 <+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围. 略解：由①②得2 要使同时满足①②的所有x 的值满足③, 即不等式0922 <+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立， 即)3,2(922∈+- 例 6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的 ]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 . 解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f 又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在 12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立. 因此，只需122 +-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1， 0211222≥-?≥+-∴at t at t 都成立对所有又]1,1[-∈a ， 即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立， 2 020202{2 2-≤=≥?≥+≥-∴t t t t t t t 或或 即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题 补例． 已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 解：当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||b x a x --< 即b b x a x x x + <<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b b x a x x x x +<<-∈ 又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1b x g b x +==+； 对于函数(](),0,1b h x x x x =-∈ ①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1b x h b x -==-，又11b b ->+， 所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分 ②当10b -≤<，在(]0,1 上，()b h x x x =-≥ 当x = min ()b x x -=a 存在， 必须有110 b b ?+ ? -≤ 即13b -≤<，此时a 的取值范围是(1b + 综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +- ；当13b -≤<时，a 的取值范围是(1b +； 当30b ≤<时，a 的取值范围是?． ……………………………2分 4、根据函数的奇偶性、周期性等性质 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x))恒成立； 若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。 5、直接根据图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过 画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围. 解：令?? ???≥<<---≤-=--+=23211213 21x x x x x x y 在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立， 只需3- . 故实数.3），的取值范围是（ -∞-a 注：本题中若将a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21改为 ①a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数<--+21，同样由图象可得a>3; ②a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>-++21,构造函数，画出图象，得a<3. 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数 图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围. 例8. 设常数a ∈R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a 的取值范围为 。 解：1）a<=0 x<=a/2<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a a/2<=x<=0时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-a x>=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a ， 最小值为-a<=2则与g(x)有交点，即：-2<=a<=0。 2）a>0 x<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a 0<=x<=a/2时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+a x>=a/2时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a 最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0 综上所述，-2<=a<=2时f(x)=3|x|+|2x-a|与g(x)=2-x 有交点。 三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。 （一）换元引参，显露问题实质 1、对于所有实数x ，不等式 x a a x a a a a 2 2222 2 41221140log ()log log ()+++++>恒成立，求a 的取值范围。 解：因为log 2 21a a +的值随着参数a 的变化而变化，若设t a a =+log 221 ， 则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式()32202 -+->t x tx t 恒成立”。 这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于 求解关于t 的不等式组：302830 2 ->=+- a +<，易得01< 2=-+y x 上任意一点，若不等式x+y+c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围。 （二）分离参数，化归为求值域问题 3、若对于任意角θ总有sin cos 2 2410θθ++- 解：此式是可分离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<， 又cos θ+>20，则原不等式等价变形为22 2m <+cos cos θ θ恒成立。 根据边界原理知，2m 必须小于2cos cos )(2+=θθ θf 的最小值，这样问题化归为怎样求cos cos 22θθ+的最小值。因 为2 cos cos )(2+=θθ θf = +-+++=+++-≥-=(cos )(cos )cos cos cos θθθθθ24242 24 2 4 440 2 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0。 （三）变更主元，简化解题过程 4、若对于01≤≤m ，方程x mx m 2 210+--=都有实根，求实根的范围。 解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m 为主元，则m x x ()()-=-212， 由原方程知x ≠2，得m x x =--122 又01≤≤m ，即012 12 ≤ --≤x x 解之得 --≤≤-11321x 或1113 2 ≤≤ -+x 。 5、当1≤a 时，若不等式039)6(2 >-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 （四）图象解题，形象直观 6、设]40(， ∈x ，若不等式ax x x >-)4(恒成立，求a 的取值范围。 解：若设)4(1x x y -= ，则()()x y y -+=≥24021 2 1为上半圆。 设y ax 2=，为过原点，a 为斜率的直线。 在同一坐标系内 作出函数图象 依题意，半圆恒在直线上方时，只有a <0时成立，即a 的取值范围为a <0。 7、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2 解：设y 1=(x-1)2,y 2=log a x,则y 1的图象为右图所示的抛物线 要使对一切x ∈ (1,2),y 1 8、已知关于x 的方程lg(x 2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。 分析：方程可转化成lg(x 2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x 2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x 2+4x 及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。 解：令y 1=x 2+4x=（x+2）2-4,y 2=2x-6a-4, y 1的图象为一个定抛物线 y 2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y 1和y 2在x 轴上方有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。（包括l 1但不包括l 2） 当直线为l 1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2-; 当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0，a=3 2-∴a 的范围为)3 2,2[-- （五）合理联想，运用平几性质 9、不论k 为何实数，直线y kx =+1与曲线x y ax a a 2222240+-+--=恒有交点，求a 的范围。 分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A （0，1），而曲线x y ax a a 2222240+-+--=为圆,圆心C （a ，0），要使直线恒与圆有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。 解：()x a y a -+=+2242，C （a ，0），当a >-2时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆内，即点A （0，1）到圆心距离不大于半径，则有a a a 21242+≤+>-()，得-≤≤13a 。 （六）分类讨论，避免重复遗漏 10、当||m ≤2时，不等式2112x m x ->-()恒成立，求x 的范围。 解：使用||m ≤2的条件，必须将m 分离出来，此时应对x 2 1-进行讨论。 ①当x 2 10->时，要使不等式 2112x x m -->恒成立，只要21122 x x -->， 解得113 2<<+x 。 ②当x 2 10-<时，要使不等式 2112x x m --<恒成立，只要21122x x --<-，解得-+<<17 2 1x 。 ③当x 2 10-=时，要使210x ->恒成立，只有x =1。 综上①②③得 -+<<+17213 2 x 。 解法2：可设f m x m x ()()()=---2 121，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， ；令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)( )12()1(20 )12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是 )2 3 1,271( ++-∈x 。此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可. 11、当31< >+-ax x 恒成立，求实数a 的取值范围。 解：x x a 32+< 当31< 62 3 232=≥+x x ，当x x 32=，即6=x 时等号成立。 故实数a 的取值范围:6 12、（1990年全国高考题）设f x n n a n x x x x x ()lg ()=++++-+1231 ，其中a 为实数，n 为任意给定的自 然数，且n ≥2，如果f x ()当x ∈-∞(]，1时有意义，求a 的取值范围。 解：本题即为对于x ∈-∞(]，1，有1210x x x x n n a ++-+> ()恒成立。 这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得 a n n n n n x x x >-+++-≥[()()()]()1212 ，对于x ∈-∞(]，1恒成立。 构造函数g x n n n n x x x ()[()()( )]=-+++-121 ，则问题转化为求函数g x ()在x ∈-∞(]，1上的值域。 由于函数u x k n k n x ()()()=-=-121，，， 在x ∈-∞(]，1上是单调增函数， 则g x ()在(]-∞，1上为单调增函数。于是有g x ()的最大值为：g n ()()11 2 1=--，从而可得 a n >--1 2 1()。 （八）利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即： []()(),,m n f a g a ?????，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。 例13、当1 ,33x ??∈ ??? 时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。 解： 1log 1a x -<< （1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ???? ? ? ????? 3 113 a a ≥??∴?≤?? 3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ????? ? ?????13 13 a a ?≤ ??∴? ?≥??103a ∴<≤ 综上所得：1 03 a <≤ 或3a ≥ 四、其它类型恒成立问题 能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。 1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：令n(a)=g max (x)=a/2； 令m(a)=f min (x),f(x)=(x-a)2 +1-a 2 , 故(1)对称轴x=a<1，即或0 171+->a 或417 1-- （注意到a 的范围）从而得a 的范围21≤ 2、已知两函数2)(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x -?? ? ??=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴4 1 ≥m 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 1、存在实数x ，使得不等式2 313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。 解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2 min 3a a f x ?-≥， 又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴234a a -≥，解得41a a ≥≤-或。 1、求使关于p 的不等式x p px x 212+<++在p ∈[-2,2]有解的x 的取值范围。 解：即关于p 的不等式012)1(2<+-+-x x p x 有解,设()()2121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上的最小值小于0。 (1)当x>1时，f(p)关于p 单调增加，故f min (p)=f(-2)=x 2 -4x+3<0,解得1 (2) 当x<1时，f(p)关于p 单调减少，故f min (p)=f(2)=x 2 -1<0,解得-1 例、设命题P:x1,x2是方程x 2-ax-2=0的二个根，不等式|m 2 -5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈[-1,1]恒成立； 命题Q ：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命题P 和命题Q 都是真命题，求m 的值范围。 解：(1)由P 真得：8||221+= -a x x ，注意到a 在区间[-1,1], 3||max 21=-x x , 由于|m 2 -5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈[-1,1]恒成立，故有3|||35|max 212=-≥--x x m m 解得： m ≤-1或m ≥6或0≤m ≤5 (1)由Q 真，不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得（|x-2m|-|x|）max =2m>1,解得：m>1/2 由于（1）（2）都是相公命题，故m 的值范围：1/2 ［举例］（1）已知不等式0224>+?-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围. （2）若不等式0224>+?-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围. 分析：（1）由0224>+?-x x a 得：x x a 222+ <对于+∞ -∈,1[x ）恒成立，因212≥x ，所以22222≥+x x ，当22= x 时等号成立.所以有22 （2）注意到0224>+?-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a 的一次不等式.不妨设 )24(2)(++?-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则问题等价于0)3(>f ，所以 2202234>?>+?-x x x 或12 小结： 恒成立与有解的区别： 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M ??<，x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M ??<，x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M ??>，x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ?>，x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ； 高中数学难点强化班第四讲（140709）课后练习答案： 一．填空选择题（每小题6分，共60分） 1、对任意的实数x ，若不等式a x x >--+21恒成立，那么实数a 的取值范围 。 答案：|x+1|-|x-2|≥ -|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数a 的取值范围：a <-3 2、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是 解：原不等式有解()()2 2sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ?>-+=---≤≤有解，而()2 min sin 232x ??--=-??，所以2a >-。 3.若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） 答案：选B 4．当(1,2)x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 解析: 当(1,2)x ∈时，由2 40x mx ++<得24x m x +<-.令244 ()x f x x x x += =+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4 ()5x x +->-∴5m ≤-. 5．已知不等式223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立，那么实数x 的取值范围为 ． 分析：已知参数a 的范围，要求自变量x 的范围，转换主参元x 和a 的位置，构造以a 为自变量x 作为参数 的一次函数()g a ，转换成?(0)a ∈+∞， ，()0g a >恒成立再求解。 解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对?(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对?(0)a ∈+∞，都成立。设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈）， 则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。2 20x +>恒成立，则对?x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。 所 以对?(0)a ∈+∞， ，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。 6．已知函数()()()2 2241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正 ()f x 与()g x 的值至少有一个为正数则只需()0f x >在(,0]-∞上恒成立。(如图3) 则有24024(4)80m m m m -? 或402m m -≥解得48m <<或04m <≤， 综上可得08m <≤即(0,8)m ∈。 故选B 。 ７、已知两函数()2728f x x x c =--，g(x)=6x 2 -24x+21。 （1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，那么实数c 的取值范围 c ≥0 ； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，那么实数c 的取值范围 c ≥-25 ； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那么实数c 的取值范围 c ≥150 ； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那么实数c 的取值范围 c ≥-175 ； 解析：（1）设()()()32 2312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[]3,3x ∈-时，()0h x ≥恒成立，故()mi n 0h x ≥。令 ()()()266126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2。由导数知识，可知()h x 在[]3,1--单调递增，在[]1,2-单调递减， 在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值，()()220h x h c ==-极小值，()39h c =-，∴( )()m i n 345h x h c =-=-，由450c -≥，得45c ≥。 （2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由（1）知()max 70h x c =+≥，于是得7c ≥-。 （3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是： max min ()(),[3,3]f x g x ??x ?≤∈-。∵()()[]27228,3,3f x x c x =---∈-∴ ()()max 3147f x f c =-=-， ∵()2 6840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =。 ∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥. （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得()()min 1228f x f c ==--， ()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤?≥- 点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。 二．简答题（每题10分） ８、（10分）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 解：)10,2[ 9、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 的范围。 ②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 的范围。 ③若方程32x x a --+=有解，求实数a 的范围。 解：①5- 10.已知函数()() 2 lg x ax a x f --= (Ⅰ)若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围. (Ⅱ) 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围. (Ⅲ)若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值. 解答：这三问中,第(Ⅰ)问是能成立问题,第(Ⅱ)问是恒成立问题,第(Ⅲ)问是恰成立问题. (Ⅰ) ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02 >--x ax a 成立, 即()2x ax a x --=?的最大值大于0成立,(), 04 4442 2max >+=---=a a a a x ? 解得 4-a . (Ⅱ)()x f 在区间()3,2上有意义,等价于()2x ax a x --=?0>在()3,2恒成立,即()x ?的最小值大于0. 解不等式组 ()?????≥≤-,03,252?a 或()?????≥>-,02,252?a ???≥---≥,093,5a a a 或???≥---<042, 5a a a 解得 .2 9 -≤a (Ⅲ)()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12 >--x ax a 的解集为()3,2;于是有 012 <-++a ax x , 这等价于方程012 =-++a ax x 的两个根为2和3, 于是可解得5-=a . 11、对于函数)0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f ，若存在实数0x ，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点。 （1）当a =2，b=－2时，求)(x f 的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若)(x f y =的图象上A 、B 两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且直线 1 212 ++ =a kx y 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围。 解),0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f （1）当a =2，b=－2时， .42)(2--=x x x f 设x 为其不动点，即.422 x x x =-- 则.04222 =--x x )(.2,121x f x x 即=-=∴的不动点是－1，2. （2）由x x f =)(得：022 =-++b bx ax . 由已知，此方程有相异二实根， 0>?x 恒成立，即.0)2(42>--b a b 即0842>+-a ab b 对任意R b ∈恒成立. .200 3216. 02<<∴<-∴ （3）设),(),,(2211x x B x x A ，直线121 2 ++ =a kx y 是线段AB 的垂直平分线， 1-=∴k 记AB 的中点).,(00x x M 由（2）知,20a b x -= .12122,1 2122++=-∴++=a a b a b a kx y M 上在 化简得：)2,0(2 2(421221121)(,1 22∈=- =? - ≥+ - =+- =a a a a a a g a a b 当时，等号成立）; 又a a a h 12)(+ =在)2 2 ,0(∈a 上单调递减，且值域为（22，+∞），所以h(a)在a ∈(0,2)值域为（22，+∞）。 从而g(a)在a ∈(0,2)的值域为)0,42(-，即).0,4 2 [-∈b “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则? ? ?>>-0)1(0 )1(g g ，得 133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左 侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(2 20f f a ，即a 的取值范围为 [-7，2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立 ?2)(],2,2[m in ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2 37)2()(2 2 m in a f x f a 或??? ???? ≥--=-=≤-≤-243)2()(2222 m in a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >?m in )(；m x f <)(恒成立m x f 专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 恒成立问题的求解策略 辽宁锦州义县高级中学高二数学组王双双 高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③分离变量型； ④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤数形结合。 一?一次函数型 给定一次函数y=f（x）=ax+b（a丰0）,若y=f（x）在［m,n］内恒有f（x）＞0 ,则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于 a＜0 J/（加）＞0 弘）＞0亦可合并定成1/何＞0 严)€0 同理，若在［m,n］内恒有f(x)＜0 ,则有I.- L'--'.. ■"-- 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 2 例i ?对任意兀［一1」］，不等式x +（—4）X+4-2Q0恒成立，求x的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把丿看成主元，则问题可转化 为一次不等式在：］_ L」上恒成立的问题。 解：令：- ■,则原问题转化为恒成立 （一丄） 当汁工、时，可得他二0 ，不合题意。 a＞0 ；「-或ii 当二：］时，应有1/(-1) > 0 解之得-■''■ ' O 故」的取值范围为「二..-O 二.二次函数型 (1)判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函 2 T 数/(X)二处+加+血# R),有 tj > 0 1)>。对x E R恒成立上v ° ； a <0 2)J D■=：(〕对X E R 恒成立［△ < o 例1.已知函数y = ^+(a-l)x + df2］的定义域为R求实数必的取值范围。 2 2 解：由题设可将问题转化为不等式八：■■ 对「丄匸恒成立，即有A = (H八0解得“—I或呜。 (-0J,-1) U (；,+°°) 所以实数“的取值范围为-■ O 若二次不等式中:.的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2 .设'■.：「「.：，当—一」⑴时，了萬聖泾恒成立，求实数匸的 取值范围。 解：设:二'丄J则当■- |［J,时，恒成立 当- :- 门―.- “ .1 时，『I.;汕显然成立; 当丄二H时，如图，小二J恒成立的充要条件为: 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0< 关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3; 处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。 ≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注 意地问题. 【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题 不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问 题. 1 最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种 非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n> min>m,f(n>0. ∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0. <1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a. <2）当0a1-a. 为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n 地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数 地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃. 2 数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问 题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、 下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法. 例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{a n}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范 围. 解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n- 1a0, 故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15. 此式对k=1,2,…恒成立,有 a0>-15×322×1-3+15=0. 综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 高中数学恒成立问题的解题策略 论文摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质;二是变量分离。本文对此进行了分析。 关键词：恒成立问题;函数图像;数学 在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等…… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等;二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。 一、利用函数图像与性质 例1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：令， 本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。 若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。 我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。 变式1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像， ，得 变式2：若时，恒成立，求的取值范围。 分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理，若在内恒有，则有， 利用的函数图像可知， 变式3：对任意及时，恒成立，求的取值 范围。 分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。 方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即， 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0< 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想． 存在性与恒成立问题 1.已知函数f(x)=? ??ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 ,若存在x 0,使得f(x 0) 函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 专题一：恒成立与存在性（精简型） 一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------ 模型------ αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二 间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可 例5已知322)(2 +-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f 恒成立与存在性问题的基本解题策略
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