《数列》练习题及答案
《数列》练习题
姓名_________班级___________
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．12 2 C ．13 2 D ．14 2
2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *
)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2
3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )
A ．33个
B ．65个
C ．66个
D ．129个
4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174
5．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12
，a n ＝f (n )(n ∈N *
)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )
A ．[12，2)
B ．[12，2]
C ．[12，1)
D ．[1
2，1]
6．小正方形按照如图所示的规律排列：
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；
③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *
)．其中正确的命题序号为( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．①
7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1
(n ∈N *
)，则a 20＝( )
A ．0
B ．－ 3 C. 3
D.
32
8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n
－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ
3
n
}为等差数列的
实数λ＝( )
A ．2
B ．5
C ．－1
2
D.12
9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( ) A ．S 17 B ．S 18 C ．S 19 D ．S 20
10．将数列{3
n －1
}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100
组中的第一个数是( )
A ．3
4 950
B ．3
5 000
C ．3
5 010
D ．3
5 050
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 12．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.
13．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3
2a n －3，则数列{a n }的通项公式是________．
14．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝_________________ 三、解答题(本大题共5个小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（6分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S ，a 5＝5，S 5＝15，求数列{
1
a n a n ＋1
}的前100项和。
16．(本小题满分8分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
17．(本小题满分8分)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}?{－4，－3，－2,0，1,2,3,4}． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当b n ＝1(1)2
n --a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.
18．(本小题满分8分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .
19．(本小题满分10分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝n n a log a 2
1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值
范围．
参考答案
选择题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
A
B
C
C
C
B
C
C
A
填空题答案
第11题 24
第12题
第13题
a n ＝2·3n
第14题
-7
【第15题】S 5＝5a 1＋a 52
＝
5
a 1＋5
2
＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝
a 5－a 15－1＝5－1
5－1
＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .
∴
1
a n a n ＋1
＝
1n n ＋1.设{1
a n a n ＋1
}的前n 项和为T n ，
则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101 ＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100
101.
【第16题】(1)设{a n }的公差为d .
由题意，a 2
11＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2
＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.
又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.
(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n
2(－6n ＋56)＝－3n 2
＋28n . 【第17题】(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．
又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，
∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝1
2
.
∴a n ＝a 1q
n －1
＝82
n . (2)由已知得b n ＝1
2])1(1[8+--n n ，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *
)时，b n ＝a n .
即b n ＝?
??
??
0，
n ＝2k ，k ∈N *，
a n ，n ＝2k －1，k ∈N *.
∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1
＝
4
1
1]
)41(1[4--n ＝163[1－(14)n ]<163. 【第18题】（1）a n ＝(12)n
;
(2)b n ＝3＋log 4(12)n ＝3－n 2＝6－n
2.
当n ≤6时，b n ≥0，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝
4
)
11(n n -；
当n >6时，b n <0，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n )
＝6×54－ [(n －6)(－12)＋2
)
7)(6(--n n ·(－12)] ＝
n 2－11n ＋60
4
.
综上，T n ＝??
???≥+-≤-)
7(,46011)6(,4)
11(2n n n n n n
【第19题】(1)n
n 2a =
(2)∵b n ＝2n ·log 12 2n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n
，①
－2S n ＝1×22
＋2×23
＋3×24
＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2
n ＋1
.②
①－②，得S n ＝2＋22
＋23
＋ (2)
－n ·2n ＋1
＝2
1)21(2--n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1
－2.
∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1
－n ·2
n ＋1
－2＋n ·2
n ＋1
＋m ·2
n ＋1
<0对任意正整数n 恒成立．
∴m ·2
n ＋1
<2－2
n ＋1
对任意正整数n 恒成立，即m <1
2
n －1恒成立．
∵1
2
n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．