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立体几何公理及定理

一、空间点、线、面之间的关系

1、两条直线的位置关系有：

2、两个平面的位置关系有：

公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。

推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。

公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。

二、平行关系

直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。平面与平面平行的性质定理：

1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。

4、平行于同一平面的两个平面平行。

三、垂直关系

直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。直线与平面垂直的性质定理：

1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。平面与平面垂直的性质定理：

如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

三角公式汇总

一、任意角的三角函数

1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}

Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈?=,180| ββ

③终边在y 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈?=,90| ββ

⑤ 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π

弧度与角度互换公式： 1rad ＝π

180°≈57.30° 1°＝180

3、弧长公式：r l ?=||α

. 扇形面积公式：211

||22

s lr r α=

=?扇形 4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割

5、在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：22y x r +=，

正弦：r y =

αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y

=αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：α

αcos sin tan =

平方关系：1cos sin 2

2=+αα，2

1tan cos αα

，

212sin cos (sin cos )αααα+=+ 212sin cos (sin cos )αααα-=-

三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵

απ

+2、απ

-2

、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看．成．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）公式组一公式组二公式组三公式组四

sin(2)sin cos(2)cos tan()tan k x x

k x x k x x

πππ+=+=+=

sin()sin cos()cos x x x x ππ+=-+=-sin()sin cos()cos x x

x x

ππ-=-=- 四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβα

sin cos cos sin )sin(?-?=-

sin(2)sin cos(2)cos x x x x

ππ-=--=

βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=

2675cos 15sin -=

, tan15= tan 752=

615cos 75sin +=

= 五、二倍角公式

αααcos sin 22sin = α

α2tan 1tan 22tan -=

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-

2 2

)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a

22sin b a b +=

?，2

2cos b a a

+=?，a b =?tan . 七、正弦定理

R C

B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB

C ?外接圆半径）八、余弦定理

A bc c b a cos 2222?-+=

B ac c a b cos 2222?-+=

C ab b a c cos 2222?-+=

222cos 2b c a A bc +-=? 222cos 2a c b B ac +-=? 222

cos 2a b c C ab

+-=?

九、三角形的面积公式高底??=

?21

ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21

sin 21sin 21===?（两边一夹角） R

abc S ABC 4=?（R 为ABC ?外接圆半径） r c b a S ABC

?++=?2

（r 为ABC ?内切圆半径）

（1）

y sin =与x y cos =的周期是π.

（2）)sin(

?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω

2=T .

2tan

x y =的周期为2π（πω

π2=?=T T ，

）. （3）x y sin =不是周期函数；x y cos =是周期函数.

函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||

T πω=，频率1||2f T

ωπ

==，相位;x ω?+初相?（即当x

＝0时的相位）．

(3) 若 o

,则sinx

16. 几个重要结论:

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有：公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。二、平行关系直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。三、垂直关系直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。三角公式汇总一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ

立体几何公理、定理推论汇总(修订)

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：作用：用来证明线线平行。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：////a b a c ??? 图形语言：

线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言：////a b a a b ααα???????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα??????=?I 图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? I 图形语言：面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6）符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=?I I 图形语言：面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）符号语言：////a a βααβ????? 图形语言：面面平行的性质如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8）符号语言：//a a ββαα????⊥⊥ 图形语言：面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。（9）符号语言：//////αβαγγβ??? 图形语言：

高中立体几何八大定理

线面位置关系的八大定理、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。图形语言： I//：符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言：符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理：文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行

图形语言：符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二：作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：一 a 丄a 〕任符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另个平面图形语言：符号语言: a 1 P l AB : AB _丨作用：面面垂直=线面垂直五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,

初中数学知识内容概况：公理和定理

初中数学知识内容概况《公式和法则》一、数的有关概念和运算 1、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数. 2、零的相反数是零 3、一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数. 4、两个负数，绝对值大的反而小. 5、有理数的运算：（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数. （2）有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数. （3）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同零相乘，都得零.不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零. （4）有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数. (注意：0不能作除数.) 有理数除法符号法则:两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 零除以任何一个不等于零的数，都得零. （5）有理数乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. （6）有理数混合运算的运算顺序规定如下：① 先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 6、（1）加法交换律：a+b =b+a ；加法结合律：a+b+c =a+（b+c ）；乘法交换律：a ·b =b ·a ；乘法结合律：abc =a （bc ）；乘法分配律：a （b +c ）=ab +ac . （2）幂的运算：a m ·a n =a m+n （m 、n 为正整数）；mn n m a a =)(（m 、n 为正整数）；()n n n b a ab =（n 为正整数）；n m n m a a a -=÷（m 、n 为正整数，m >n ，a ≠0），a 0=1（a ≠0）；n n a a 1=-（a ≠0，n 为正整数）. （3）乘法公式：平方差公式：()()2 2b a b a b a -=-+；完全平方公式：()2b a +=222b ab a ++ 二、式的有关概念和运算 1、合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变． 2、去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号． 3、添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号． 4、整式加减的一般步骤可以总结为： (1) 如果有括号，那么先去括号；(2) 如果有同类项，再合并同类项． 5、二次根式的运算：()0,0≥≥=?b a ab b a ；b a b a =（0,0>≥b a ）

(完整版)高中立体几何八大定理

l m β α α b a 线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。图形语言：符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言： //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行

n m A α a α b a B A l β αa β α五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 作用：线线垂直?线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言： //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用：线面垂直?线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：符号表示：a a ααββ⊥? ?⊥??? 注：线面垂直?面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? I 作用：面面垂直?线面垂直

初中几何公理、定理

初中几何公理、定理一、线与角 1、两点之间，线段最短 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等 4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”） 6、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行③同旁内角互补，两直线平行④平行于同一直线的两直线平行⑤垂直于同一直线的两直线平行 7、平行线的性质： ①经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 ③两直线平行，同位角相等④两直线平行，内错角相等⑤两直线平行，同旁内角互补 ⑥平行线间的距离处处相等 9、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 10、垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、三角形、多边形 11、三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ②三角形的外角和等于360° （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° （3）三角形的任何两边的和大于第三边、两边的差小于第三边（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 12、多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180° （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360° （3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2 13、等腰三角形中的有关公理、定理：

高中立体几何公理定理汇编

高中数学立体几何模块公理定理汇编公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． ?．（作用：证明直线在平面内） ∈，Bα ∈?lα ∈，B l A l ∈，且Aα 公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面）推论①直线与直线外一点确定一个平面． ②两条相交直线确定一个平面． ③两条平行直线确定一个平面．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∈，且Pβ ∈．（作用：证明三点/多点共线） Pα ＝l，且P l ∈?αβ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行．线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行．面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行．三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直．射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短．面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线．线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行．面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．

立体几何判定定理与性质定理汇总

文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：α?a ，α?b ，且b a //α//a ?．图形语言：定理二（平面与平面平行的判定定理）文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号语言：β?a ，β?b ，P b a = ，α//a ，α//b αβ//?．图形语言：定理三（直线与平面平行的性质定理）文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言：α//a ，β?a ，且b =βα b a //?．图形语言：证明：因为b =βα ，所以α?b ．又因为α//a ，所以a 与b 无公共点．又因为β?a ，β?b ，所以b a //．定理四（平面与平面平行的性质定理）文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：βα//，a =γα ，b =γβ b a //?．图形语言： α b a P βα b a a α βa b αγ a b αβ

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ，α?a ，α?b α//c ?．图形语言：定理六（平面与平面垂直的判定定理）文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：α⊥a ，β?a ，αβ⊥?．图形语言：定理七（直线与平面垂直的性质定理）文字语言：垂直于同一平面的两条直线平行．符号语言：α⊥a ，α⊥b b a //?．图形语言：定理八（平面与平面垂直的性质定理）文字语言：对于两个相互垂直的平面，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面．符号语言：βα⊥，m =βα ，β?a ，m a ⊥α⊥?a ．图形语言： c a b αP αβa αb a βa m α

高中立体几何公理及推论及定理总汇表

高中立体几何公理及推论及定理总汇表公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据（2 ）判定点在平面内的方法公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据（2）判断若干个平面重合的依据（3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依据（1）判定若干条直线共面推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。立体几何直线与平面空间二直线平行直线公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线空间直线和平面位置关系（1）直线在平面内一一有无数个公共点（2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点（3 ）直线和平面平行一一没有公共点立体几何直线与平面直线与平面所成的角（1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判定性质（1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平面垂直判定性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内立体几何多面体、棱柱、棱锥多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。球到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。欧拉定理简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

立体几何公式定理大全

立体几何公式定理大全一、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。范围为(]0,90?? 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面（三）平行关系 1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

平面几何定理公理总结

平面几何定理公理总结一、线与角 1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。 2.直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。 3.一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。 4.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 5.不在同一直线上的三点确定一个角。 6.两直线相交，对顶角相等。 7.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 8.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 9.经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 10.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 11.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 12.平行线 (1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (2)平行线的判定方法： (3)①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 (4)②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 (5)③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (6)④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 (7)平行线的性质： (8)①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 (9)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 (10)③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (11)④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。 (12)⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 (13)⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。 13.平行线等分线段定理： (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 (2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。 (3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。 14.平行线分线段成比例定理： (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。 15.线段的垂直平分线： (1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 (2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 16.角平分线： (1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

高中立体几何公式

高中立体几何公式长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长 C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长 : C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长、h－a边上的高、s－周长的一半、A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长、h－a边的高、α－两边夹角 '

S＝ah ＝absinα 菱形a－边长、α－夹角、D－长对角线长、d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长、h－高、m－中位线长 S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径、d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径、a—圆心角度数 ( C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长、b－弦长、h－矢高、r－半径、α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 ) 圆环R－外圆半径、r－内圆半径、D－外圆直径、d－内圆直径 S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴、d－短轴 S＝πDd/4 立方图形名称符号面积S和体积V 正方体a－边长 { S＝6a2 V＝a3

立体几何8个定理

立体几何定理 1、直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. a b a a b ααα???????? P P 2、直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。 l l l m m αβαβ???????=? P P 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH . 3、直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥??⊥???=?⊥??????? 4、直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 a a b b αα⊥???⊥? P 证明过程：书本P37

5、两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. a b a b A a b β βαβαα?????=????????P P P 6、两个平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。 a a b b αβαγβγ???=????=? P P 7、平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. l l ααββ⊥??⊥??? 8、平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥? ??=??⊥??? ?⊥? 在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC 求证：BC ⊥AB 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。定理：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行

也不相交。异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直

立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理定理推论汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言：作用：用来证明线线平行。二、平行关系

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? 图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=? ? ???? 图形语言：面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）符号语言： ,,//oo oo ααββ? ??? ⊥⊥ 图形语言：面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6）符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=? 图形语言：面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）符号语言：////a a βααβ? ???? 图形语言：

初中数学常用的定理(公理)汇总

初中常用的定理（公理）大全汇总初中常用的定理（公理）大全汇总。本文旨在让学生了解初中数学中的初中数学几何定理、初中数理化公式定理等知识点概念，最后灵活运用到中考当中。另外初中数学网也为大家准备了初中数学公式定理、初中数学... 初中常用的定理（公理）大全汇总。本文旨在让学生了解初中数学中的初中数学几何定理、初中数理化公式定理等知识点概念，最后灵活运用到中考当中。另外初中数学网也为大家准备了初中数学公式定理、初中数学几何定理等复习资料。初中常用的定理（公理）大全 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

立体几何公理及定理

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