一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.综合题
(1)如图,、、是一条公路上的三个村庄,、间的路程为,、间的路程为,现要在、之间建一个车站,若要使车站到三个村庄的路程之和最小,则车站应建在何处?______
A.点处
B.线段之间
C.线段的中点
D.线段之间
(2)当整数 ________时,关于的方程的解是正整数.
【答案】(1)A
(2)或
【解析】【解答】(1)故答案为:A;(2)或
【分析】(1)根据图形要使车站到三个村庄的路程之和最小,得到车站应建在C处;(2)根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一;求出m的值.
2.甲、乙两班学生到集市上购买苹果,苹果的价格如下:
购苹果数不超过10千克超过10千克但不超过20千克超过20千克
每千克价格10元9元8元
苹果30千克.
(1)乙班比甲班少付出多少元?
(2)设甲班第一次购买苹果x千克.
①则第二次购买的苹果为多少千克;
②甲班第一次、第二次分别购买多少千克?
【答案】(1)解:乙班购买苹果付出的钱数=8×30=240元,
∴乙班比甲班少付出256-240=16元
(2)解:①甲班第二次购买的苹果为(30-x)千克;
②若x≤10,则10x+(30-x)×8=256,
解得:x=8
若10<x≤15,则9x+(30-x)×9=256
无解.
故甲班第一次购买8千克,第二次购买22千克
【解析】【分析】(1)根据20kg以上每千克的价格为8元可求出乙班付出的钱数,从而可求出乙班比甲班少付出多少.(2)设甲班第一次购买x千克,第二次购买30-x千克,则需要讨论①x≤10,②10<x≤15,列出方程后求解即可得出答案.
3.已知数轴上A.B两点对应的数分别为?4和2,点P为数轴上一动点,其对应的数为x.
(1)若点P到点A.点B的距离相等,写出点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到点A.点B的距离之和为10?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)若点A点B和点P(点P在原点)同时向右运动,它们的速度分别为2、1、1个长度单位/分,问:多少分钟后P点到点A点B的距离相等?(直接写出结果)
【答案】(1)解:∵A、B两点对应的数分别为?4和2,
∴AB=6,
∵点P到点A. 点B的距离相等,
∴P到点A. 点B的距离为3,
∴点P对应的数是?1
(2)解:存在;
设P表示的数为x,
①当P在AB左侧,PA+PB=10,
?4?x+2?x=10,
解得x=?6,
②当P在AB右侧时,
x?2+x?(?4)=10,
解得:x=4
(3)解:∵点B和点P的速度分别为1、1个长度单位/分,
∴无论运动多少秒,PB始终距离为2,
设运动t分钟后P点到点A. 点B的距离相等,
|?4+2t|+t=2,
解得:t=2
【解析】【分析】(1)根据点P到点A、点B的距离相等,结合数轴可得答案;(2)此题要分两种情况:①当P在AB左侧时,②当P在AB右侧时,然后再列出方程求解即可;(3)根据题意可得无论运动多少秒,PB始终距离为2,且P在B的左侧,因此A也必须在A的左侧,才有P点到点A、点B的距离相等,设运动t分钟后P点到点A、点B 的距离相等,表示出AP的长,然后列出方程即可.
4.对于任意有理数,我们规定 =ad-bc.例如 =1×4-2×3=-2
(1)按照这个规定,当a=3时,请你计算
(2)按照这个规定,若 =1,求x的值。
【答案】(1)解:当a=3时,
=2a×5a-3×4
=10a2-12
=10×32-12
=90-12
=78
(2)解:∵ =1
∴4(x+2)-3(2x-1)=1
去括号,可得:4x+8-6x+3=1
移项,合并同类项,可得:2x=10,
解得x=5
【解析】【分析】(1)根据规定先求出的表达式,再化简,然后把a=3代入求值即可;
(2)根据新定义的规定把=1的右式化成整式,然后去括号、移项、合并同类项,x项系数化为1即可解出x.
5.某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件进价15元,售价20元;乙种商品每件进价35元,售价45元.
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件,恰好用去2700元,求能购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)按规定,甲种商品的进货不超过50件,甲、乙两种商品共100件的总利润不超过760元,请你通过计算求出该商场所有的进货方案;
(3)在“五一”黄金周期间,该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动:
打折前一次性购物总金额优惠措施
不超过300元不优惠
超过300元且不超过400元售价打九折
超过400元售价打八折
按上述优惠条件,若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元,第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元,那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件?
【答案】(1)解:设:购进甲商品x件,购进乙商品(100-x)件。
由已知得15x+35(100-x)=2700
解得x=40
答:购进甲商品40件,乙商品60件。
(2)解:设:购进甲商品x件,购进乙商品(100-x)件。
利润W=5x+10(100-x)
根据题意可得5x+10(100-x)≤760和x≤50;
解得48≤x≤50,
∴进货方案有三种
①甲48件,乙52件,
②甲49件,乙51件
③甲50件,乙50件
(3)解:第一天:没有打折,故购买甲种商品:200÷20=10(件)
第二天:打折,
打九折,324÷0.9=360(元)购买乙种商品:360÷45=8(件)
打八折,324÷0.8=405(元)购买乙种商品:405÷45=9(件)
答:购买甲商品10件,乙商品8件或者9件。
【解析】【分析】(1)设购进甲商品x件,则购进乙商品(100-x)件,根据总进价为2700元,列方程求解即可;(2)甲种商品的进货不超过50件,甲、乙两种商品共100件的总利润不超过760元,列出不等式求出x的取值即可(3)根据购买甲种商品付款200元可求出甲商品的个数,根据乙商品打九折或八折付款324元,求出乙商品的个数即可
6.试根据图中信息,解答下列问题.
(1)一次性购买6根跳绳需________元,一次性购买12根跳绳需________元;
(2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元,你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
【答案】(1)150;240
(2)解:设小红购买x跳绳根,那么小明购买(x-2)根跳绳,
25x×0.8=25(x-2)-5,
解得: x=11;
小明购买了:11-2=9根.
答:小红购买11根跳绳.
【解析】【解答】解:(1)一次性购买6根跳绳需25×6=150(元);
一次性购买12根跳绳需25×12×0.8=240(元);
故答案为:150;240.
【分析】(1)根据单价×数量=总价,求出6根跳绳需多少元;购买12根跳绳,超过10根,打八折是指现价是原价的80%,用单价×数量×0.8即可求出购买12根跳绳需多少元;(2)有这种可能,可以设小红购买x跳绳根,那么小明购买x-2根跳绳,列出方程25x×0.8=25(x-2)-5,解答即可.
7.阅读下列例题,并按要求回答问题:
例:解方程.
解:①当时,,解得;
②当时,,解得.
所以原方程的解是或.
(1)以上解方程的方法采用的数学思想是________.
(2)请你模仿上面例题的解法,解方程:.
【答案】(1)分类讨论
(2)解:①当时,,
解得,
②当时,,
解得,
∴原方程的解是或.
【解析】【分析】(1)材料中是分①、②两种情况来解答题目,明确的体现了“分类讨论”的数学思想;(2)模仿例题,分两种情况分别求解即可.
8.2016年春节即将来临,甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩.甲、乙两单位共102人,其中甲单位人数多于乙单位人数,且甲单位人数不够100人.经了解,该风景区的门票价格如下表:
数量(张)1﹣5051﹣100101张及以上
单价(元/张)60元50元40元
5500元.
(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票,那么比各自购买门票共可以节省多少钱?(2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩?
(3)如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩,那么你有几种购买方案,通过比较,你该如何购买门票才能最省钱?
【答案】(1)解:如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102=4080(元),
则比各自购买门票共可以节省:5500﹣4080=1420(元)
(2)解:设甲单位有退休职工x人,则乙单位有退休职工(102﹣x)人.
依题意得:50x+60×(102﹣x)=5500,
解得:x=62.
则乙单位人数为:102﹣x=40.
答:甲单位有62人,乙单位有40人
(3)解:方案一:各自购买门票需50×60+40×60=5400(元);
方案二:联合购买门票需(50+40)×50=4500(元);
方案三:联合购买101张门票需101×40=4040(元);
综上所述:因为5400>4500>4040.
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱
【解析】【分析】(1)运用分别购票的费用和﹣联合购票的费用就可以得出结论;(2)设甲单位有退休职工x人,则乙单位有退休职工(102﹣x)人,根据“如果两单位分别单独购买门票,一共应付5500元”建立方程求出其解即可;(3)有三种方案:方案一:各自购买门票;方案二:联合购买门票;方案三:联合购买101张门票.分别求出三种方案的付费,比较即可.
9.如图,面积为30的长方形OABC的边OA在数轴上,O为原点,OC=5.将长方形OABC 沿数轴水平移动,O,A,B,C移动后的对应点分别记为O1, A1, B1, C1,移动后的长方形O1A1B1C1与原长方形OABC重叠部分的面积记为S
(1)当S恰好等于原长方形面积的一半时,数轴上点A1表示的数是多少?
(2)设点A的移动距离AA1=x
①当S=10时,求x的值;
②D为线段AA.的中点,点E在线段OO1上,且OE= OO1,当点D,E所表示的数互为相反数时,求x的值.
【答案】(1)解:∵S长方形OABC=OA·OC=30,OC=5,
∴OA=6,
∴点A表示的数是6,
∵S=S长方形OABC=×30=15,
①当向左移动时,如图1:
∴OA1·OC=15,
∴OA1=3,
∴A1表示的数是3;
②当向右移动时,如图2:
∴O1A·AB=15,
∴O1A=3,
∵OA=O1A1=6,
∴OA1=6+6-3=9,
∴A1表示的数是9;
综上所述:A1表示的数是3或9.
(2)解:①由(1)知:OA=O1A1=6,OC=O1C1=5,∵AA1=x,
∴OA1=6-x,
∴S=5×(6-x)=10,
解得:x=4.
②如图1,
∵AA1=x,
∴OA1=6-x,OO1=x,
∴OE=OO1=x,
∴点E表示的数为-x,
又∵点D为AA1中点,
∴A1D=AA1=x,
∴OD=OA1+A1D=6-x+x=6-x,
∴点D表示的数为6-x,
又∵点E和点D表示的数互为相反数,
∴6-x-x=0,
解得:x=5;
如图2,当原长方形OABC向右移动时,点D、E表示的数都是正数,不符合题意.
【解析】【分析】(1)根据长方形的面积可得OA长即点A表示的数,在由已知条件得S=15,根据题意分情况讨论:①当向左移动时,②当向右移动时,根据长方形面积公式分别计算、分析即可得出答案.
(2)①由(1)知:OA=O1A1=6,OC=O1C1=5,由AA1=x得OA1=6-x,由长方形面积公式列出方程,解之即可.
②当向左移动时,由AA1=x得OA1=6-x,OO1=x,根据题意分别得出点E、点D表示的数,由点E和点D表示的数互为相反数列出方程,解之即可;当向右移动时,点D、E表示的数都是正数,不符合题意.
10.某城市开展省运会,关心中小学生观众,门票价格优惠规定见表.某中学七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目,其中乙班人数多于甲班人数,甲班人数不少于35人.如果两班都以班级为单位分别团体购买门票,则一共应付8120元.
购票张数 1~40张 41~80张 81张(含81张)以上
平均票价(元/张) 100 90 80
买门票能节省多少钱?
(2)问甲、乙两个班各有多少名学生?
(3)如果乙班有m(0<m<20,且m为整数)名学生因事不能参加,试就m的不同取值,直接写出最省钱的购买门票的方案?
【答案】(1)解:一起购买门票,所需费用为:80×86=6880(元),
能节省8120﹣6880=1240(元),
答:联合起来购买门票能节省1240元钱
(2)解:设甲班有x人,
86×90=7740(元),
7740<8120,
∴35≤x≤40,40<86﹣x≤80,
根据题意得:100x+90(86﹣x)=8120,
解得:x=38,
86﹣x=48,
答:甲班有38人,乙班有48人
(3)解:若0<m<6时,此时总人数大于等于81人,则最省钱的购买门票的方案为:购买(86﹣m)张,
当m≥6时,若90(86﹣m)>81×80,解得:m<14,
即6≤m<14时,最省钱的购买门票的方案是:购买81张,
若90(86﹣m)=81×80,解得:m=14,
即m=14时,最省钱的购买门票的方案是:购买81张或72张,
若14<m<20时,最省钱的购买门票的方案为:购买(86﹣m)张,
综上可知:当0<m<6或14<m<20时,购买(86﹣m)张最省钱,
当m=14时,购买72或81张最省钱,
当6≤m<14时,购买81张最省钱
【解析】【分析】(1)依据表格中的数据计算出联合购票的钱数,与分别购买团体票的钱数之间的差为节省出来的钱;(2)依题意设甲班有x人,并且x≥35,确定x的取值范围,假设两班人数都是41人到80人之间,则方程无解;因为乙班人数多于甲班人数,所以甲班人数在35≤x≤40 乙班人数在40<86﹣x≤80,列方程解方程即可.(3)依据题意分类讨论:①总人数在81人以上时,即0<m<6时,求出(86﹣m)张;②当总人数小于81,当总价款又大于团购81张的总价款时,即6≤m<14时,按81张购买即可;③当总人数小于81,当平均票价为90元的总价款等于团购81张的总价款时,即m=14时,有两种方式购买81张或72张;④当总人数小于81,平均票价为90元是最省钱方式,即14<m<20时,得出(86﹣m)张.
11.在数轴上,点A表示数a,点B表示数b,在学习绝对值时,我们知道了绝对值的几何含义:
数轴上A、B之间的距离记作|AB|,定义:|AB|=|a﹣b|.如:|a+6|表示数a和﹣6在数轴上对应的两点之间的距离.|a﹣1|表示数a和1在数轴上对应的两点之间的距离.
(1)若a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小,b与3a互为相反数,直接写出点A对应的数,点B对应的数.
(2)在(1)的条件下,已知点E从点A出发以1单位/秒的速度向右运动,同时点F从点B出发以2单位/秒的速度向右运动,FO的中点为点P,则下列结论:①PO+AE的值不变;②PO﹣AE的值不变,其中有且只有一个是正确的,选出来并求其值.
(3)在(1)的条件下,已知动点M从A点出发以1单位/秒的速度向左运动,动点N从
B点出发以3单位/秒的速度向左运动,动点T从原点的位置出发以x单位/秒的速度向左运动,三个动点同时出发,若运动过程中正好先后出现两次TM=TN的情况,且两次间隔的时间为4秒,求满足条件的x的值.
【答案】(1)解:a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小,所以数a和﹣6,a和﹣4,a和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小,
∴a=﹣4,b=12
∴点A对应的数﹣4,点B对应的数12
(2)解:PO﹣AE的值不变
设运动时间为t秒,根据题意可得:BF=2t,AE=t,则OF=12+2t
∵FO的中点为点P
∴OP=6+t
∴PO﹣AE=6+t﹣t=6
PO﹣AE的值不变
(3)解:设运动时间为t秒,则AM=t,OT=xt,BN=3t
根据第一次TM=TN得:xt+12﹣3t=4+t﹣xt
根据第二次TM=TN得:x(t+4)﹣{3(t+4)﹣12}=4+(4+t)﹣x(4+t)
两式联立得:x=2
∴满足条件的x的值为2
【解析】【分析】(1)a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小,所以数a和﹣6,a和﹣4,a 和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小,据此求出a、b的值即可.
(2)设运动时间为t秒,从而可得BF=2t,AE=t,则OF=12+2t,利用线段的中点求出OP的长,求出PO-AE的值即可求出结论.
(3)设运动时间为t秒,则AM=t,OT=xt,BN=3t,根据两次TM=TN,分别列出方程组,求出x的值即可.
12.数轴上点A对应的数为,点B对应的数为,且多项式的二次项系数为,常数项为 .
(1)直接写出: ;
(2)数轴上点A、B之间有一动点P,若点P对应的数为,试化简
;
(3)若点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动;同时点N从点B 出发,沿数轴每秒2个单位长度的速度向左移动,到达A点后立即返回并向右继续移动,求经过多少秒后,M、N两点相距1个单位长度?
【答案】(1)-2|5
(2)解:∴数轴上点A对应的数为a,点B对应的数为b,
∴数轴上点A对应的数为?2,点B对应的数为5,
∵数轴上点A、B之间有一动点P,点P对应的数为x,
∴?2<x<5,
∴2x+4>0,x?5<0,6?x>0,
∴|2x+4|+2|x?5|?|6?x|=2x+4?2(x?5)?(6?x)=2x+4?2x+10?6+x=x+8
(3)解:设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,
由运动知,AM=t,BN=2t,
①当点N到达点A之前时,
a、当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度,
∴t+1+2t=5+2,
∴t=2秒,
b、当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,
∴t+2t?1=5+2,
∴t=秒,
②当点N到达点A之后时,
a、当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度,
∴t?[2t?(5+2)]=1,
∴t=7秒;
b、当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,
∴[2t?(5+2)]?t=1,
∴t=8秒;
即:经过2秒或秒或7秒或8秒后,M、N两点相距1个单位长度.
【解析】【解答】(1)解:∵多项式6x3y?2xy+5的二次项系数为a,常数项为b,
∴a=?2,b=5,
故答案为:?2,5
【分析】(1)根据多项式的定义可求出a、b的值.
(2)由于数轴上点A、B之间有一动点P,可得出?2<x<5,从而可得2x+4>0,x?5<0,6?x>0,根据绝对值的性质将原式化简,即可求出结论.
(3)设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,由运动知,AM=t,BN=2t,①当点N到达点A之前时,分两种情况:当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度或当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,②当点N到达点A之后时,分两种情况:当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度或当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,据此分别列出方程,求出t值即可.