12.7 分数指数幂
12.7 分数指数幂
教材
本节课是七年级下第12章第4节《分数指数幂》的内容，是在整数指数幂的基础上做的进一步推广，在学习的N 次方根的基础上，学生在这一节课中出现的问题主要在于幂指数和根指数与分数指数之间关系的寻找，要解决这一问题关键是从具体的特殊实例总结归纳并推广到一般情形，使学生从感性到理性，从一般到特殊理解并掌握根式和分数指数幂之间的互化以及其运算规律。 教学目标
1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.
2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学重点及难点
重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教法学法
观察发现、启发引导、探索相结合的教学方法。启发、引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程；在此基础上，提供给学生交流的机会，学生学会对自己的数学思想进行 组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想；能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识和使用数学语言的能力。学生会自觉地、主动地、积极地学习。 教学过程设计 一、 情景引入 1．回顾
加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？ 2．思考： 把3
2表示为2的m 次幂的形式
解：假设
m 223
=成立，那么333)2()2(m = 左边=21，右边=m 32
要使 左边=右边 成立，则13=m ，即3
1=m 所以 3
1
322=
[说明]因为2的任何整数指数幂都是有理数，而
3
2是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将
指数的取值范围扩大，才有可能把3
2表示为m
2的形式. 3．讨论
通过31
3
22=的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？
二、学习新课 1．概念辨析
（1）分数指数幂
)
0(1
)0(>=
≥=-a a a
a a a
n
m n
m
n
m n
m
（其中m 、n 为整数，1>n ）.
上面规定中的n
m
a 和n
m a
-
叫做分数指数幂，a 是底数.
[说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂. （3）有理数指数幂的运算性质：
设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么
（ⅰ）q p q p a a a +=?，q
p q
p
a a a -=÷
（ⅱ）pq q p a a =)(
（ⅲ）p
p
p
b a ab =)(，p p
p b
a b a =)(
2．例题分析
例1 把下列方根化为幂的形式： （1）35； （2）
3
2
5
1
；
（3）435； （4）49 解：（1）3
1
3
55= （2）
3
23
2
55
1
-
=
（3）4
3
4
355=
（4）)333
9(99
214242
4
41
4＝＝＝或=
例2 计算：
（1）4
1
81； （2）31
)8
1
(；
解：（1）333
)3(8114
144
144
1
====
?
（2）2
1
)21(])21[()81(31
331331===?
3．问题拓展 例3 计算：
（1）3
1)278(?； （2）2
12
182?
解：（1）6632)32()278(31
3313313331
＝＝）＝（?
???=
?
（2）44416828221
22122121212
1＝＝）
＝（＝）＝（?
??
[说明] 在教学中，要注意以下几点：
（1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意.
（2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.
（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其
中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：632)3()2(2783
1
33
133
13
1
=?=?=?.
三、巩固练习
1、课本P 练习12.7（1）
2、把下列方根化为幂的形式： （1）46 （2）5
3
7 （3）
4
3
31
（4）3
25-
3、计算：
（1）6213
1
)2
3(-
? （2）384323)52(?
（3）2
1
46
)53
(? （4）3
13193?
四、课堂小结
带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：
1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；
2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.
五、作业布置
练习册P12-13，习题12.7（1） 教学设计说明
分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，
除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.
在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.
根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂的互化（一） 一．标教学目 1.知识与技能 ①初步了解指数幂和指数函数； ②通过类比平方根、立方根，认识n次方根，进而初步理解根式的概念． 2.过程与方法 会求或化简根指数为正整数的根式。 3.情感.态度与价值观 通过具体的情景，引发学生思考，激发求知欲，培养学生对数学的情感。 二．重点 利用n次方根式性质化简n次方根式。 三．难点 指数幂的含义与根式互化 四、教学过程设计 （一）教学基本流程 （二）教学情景 1．本章学习引导 问题1：给出化石图片，归纳出函数关系式。 设计意图：引导同学对本章内容有一个概括性的认识，并大致清楚学习的目标和方法．问题2：对于a n，当n是正整数时的意义我们已经知道；当n是有理数时，它的意义又是什么呢？ 设计意图：引导同学建立与根式的联系．
2．概念的引入 问题3：我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x 叫做a的立方根（3次方根）．请问： （1）你由此想到，还有哪些方根？ （2）你能否根据上述定义，给你所说的这些方根进行定义？ 设计意图：通过回顾平方根和立方根，让同学在已有认知基础上，与同类概念进行比较，通过类比得到对新概念的认识方法上的启发，并为领会新概念找到一个固着点，从而引出n 次方根的定义．以此促进概括，明确n次方根概念的内涵，进而准确把握此概念．师生活动：为了帮助同学进行类比，可以将平方根和立方根的定义上下对齐写在黑板上，然后让同学将类比出的定义写在它们的下面． 3．概念的形成 问题4：根据平方根和立方根的定义，我们可以举例，例如，由于（±2）2=4，所以±2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根．类似地，请根据你所给出的其他方根的定义，举出相应的例子． 设计意图：当n较大时，同学举例困难了，于是引入n次方根的表示． 师生活动：可引导同学类比平方根和立方根的表示，给出n次方根的表示： （1）我们知道，4的平方根是±2，可以表示为±4=±2；8的立方根是2，可以表 =-2．那么类似地，16的4次方根怎样表示为38=2；-8的立方根是-2，可以表示为38 示？32的5次方根怎样表示？-32的5次方根怎样表示？a的n次方根又怎样表示？ （2）从上述例子中我们是否能看出什么规律？也就是： n是奇数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？负数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？ n是偶数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？ （3）负数有没有偶次方根？ （4）0的n次方根是多少？可以怎样表示？ 4．概念的明确
分数指数幂运算
数学学科导学案 教师: 学生: 年级: 高一日期: 星期: 时段: 课题分数指数幂 学情分析 熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重． 教学目标理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂的运算方法. 教学重点分数指数幂的运算 考点分析分数指数幂的化简、求值是常考题型. 教学方法讲授法、训练法 学习内容与过程 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*. (2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这 时，a的n次方根用符号n a表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－ n a表示．正负两个n次方根可 以合写为±n a(a＞0)． 注：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
③? ????n a n ＝a . ④当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝ |a |＝????? a a ≥0 －a a ＜0 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N * )； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)； ③负整数指数幂：a －p ＝1 a p (a ≠0，p ∈N *)； ④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q ) ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 指数幂的化简与求值 【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数)．
【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案
4.1.1 n 次方根与分数指数幂 教学设计 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性 质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠ ，且0>(a a a n m 、实数指数幂R)∈1；；≠ 且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】 理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】 能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备 引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程： （一）自主预习——探新知： 问题导学 预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？ 2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？ （二）创设情景，揭示课题 （1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性． （2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题： ４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根， 类似的，（±2）4 ＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：
分数指数幂公开课教案
《分数指数幂》教学设计 陈炜明(2013/3/5公开课) 一、教学目标： 知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。 过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。 情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。 二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质 三、教学难点：分数指数幂的概念 四、教学过程： 【问题情境】 里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。 假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则 （1）第3级地震所释放的能量为多少？ 31.6227 答：3 （2）第x级地震所释放的能量为多少？ y 答：31.6227x （3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？ 教师举例
引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？ （此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出） 【温故知新】 问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运 算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。 , ,(,0)(), ()m n m n m m n n m n mn m m m a a a a a m n a a a a a b a b +-==>≠== （此处板书） 在这里,m n 均为正整数。 问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？ 若m n <呢？ 答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到 01a =(0)a ≠。同理，可以对负分数指数幂进行规定。 小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。 问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？
高中数学-指数(分数指数幂)教案
高中数学-指数（分数指数幂）教案 第二课时 提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =?????=≠无意义 1(0)n n a a a -=≠ ;()m n m n m n mn a a a a a +?== (),()n m mn n n n a a ab a b == 什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0 ① 1051025255()a a a a === ② 884242()a a a a === ③ 1212343444()a a a a === ④5105102525 ()a a a a === 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 2323 (0)a a a ==> 1 2(0)b b b ==> 5544(0)c c c ==> *(0,,1)m n m n a a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： *(0,,)m n m n a a a m n N =>∈ 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1 (0,,)m n m n a a m n N a -=>∈
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n m m m m a a a a a =????> 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ （2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ?=>>∈ 若a ＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示) 所以，25是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂 的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：3 2的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： (0,,)r s r s a a a a r R s R +?=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈
分数指数幂
12.7分数指数幂（1） 教学目标 1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想. 2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学重点及难点 重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学过程设计 一、 情景引入 1．回顾 加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？ 2．思考： 把32表示为2的m 次幂的形式 解：假设m 223=成立，那么333)2()2(m = 左边=21，右边=m 32 要使左边=右边成立，则13=m ，即31=m 所以31 322= [说明] 因为2的任何整数指数幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把32表示为m 2的形式. 3．讨论 通过31322= 的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？ 二、学习新课 1．概念辨析
（1）分数指数幂 ) 0(1)0(>=≥= -a a a a a a n m n m n m n m （其中m 、n 为整数，1>n ）. 上面规定中的n m a 和n m a -叫做分数指数幂，a 是底数. [说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算. 方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项： 整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂. （3）有理数指数幂的运算性质： 设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=?，q p q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)( （ⅲ）p p p b a ab =)(，p p p b a b a =)( 2．例题分析 例1 把下列方根化为幂的形式： （1）35；（2）3251； （3）435；（4）49 解：（1）3 1355= （2）3 232551 -= （3）43 4355=
第一课时根式及分数指数幂教案
第一课时根式及分数指数幂 教学目的： 1. 掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中 2. 理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4．培养学生用联系观点看问题. 教学重点：1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 授课类型：新授课 教学过程： 一、复习引入 1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个； )0(10≠=a a ； *),0(1 N n a a a n n ∈≠= - 2．运算性质： ) ()(),()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=n m a - ② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?=n n b a 二、讲解新课 1、根式 知识回顾：中学的平方根和立方根是如何定义的呢？ 一般地，如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根， a 的正平方根叫做a 的算术平方根，正数有两个平方根， 负数没有平方根，0的平方根是0，0的算术平方根也是0。 一般地，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根。 类比上述两定义，一般地，如果 一个数的四次方等于a ，则这个数叫做a 的四次方根； 一个数的五次方等于a ，则这个数叫做a 的五次方根；…… 定义形成：
一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,且n ∈ N+. 定义1：如果n x a = (n>1, * n N ∈)，那么x 叫做a 的n 次方根。 定义2：式子n x a =叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 【小试牛刀1】 一、填空： （1）27的立方根等于 （2）-32的五次方根等于 （3）6a 的三次方根等于 （4）25的平方根等于 （5）16的四次方根等于 （6）0的七次方根等于 总结：根式性质： ① 当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。 记作：n a x = ② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）。记作： n a x ±= ； 负数没有偶次方根。 ③ 0的任何次方根为0。记作：00=n ④ a a n n =)( 【师生探究1】a a n n =一定成立吗？ 总结：当n 为奇数时，a a n n =。 当n 为偶数时，{ )0(a ) 0(><-= =a a a n a a n 二、化简下列等式 （1）33 8-）（ （2）2 10-）（ （3）44 -3）（π （4）)(a 2 b a b >-） （ 【变式】去掉‘a>b ’结果如何？ 2、分数指数幂 【师生探究2】：观察下列式子，并总结出一定的规律（a>0）
根式与分数指数幂计算
指数与指数幂的运算（一） 一、学习目标 1.了解指数函数的产生背景，认识学习指数与指数幂运算的必要性，理解根式的概念。 2.通过列举，认识根式产生的背景，理解根式的表示、含义，掌握根式化简公式与方法，培养观察、概括能力。 3.于学习过程中理解运算及其要义，建构正确的运算心理与观点。 二、学习过程 （一）阅读课本，梳理知识 1.阅读课本4750P P -的内容。 2.梳理知识： （1）n 次方根的定义： （2）____，它是____运算的结果，n 叫做____，a 叫做_______。 （3）乘方与开方互为逆运算。因此： ① _____n = ；②2_____= ，_____=。 （二）基础自测 1.下列说法正确的是___________(符合条件的都填上) （1）加法运算的结果叫和；（2）减法运算的结果叫差；（3）乘法运算的结果叫商；（4）除法运算的结果叫积；（5）乘方运算的结果叫幂；（6）开方运算的结果叫方根。 ____=，____=。 ____=____=，____=。 4. 2 ____=，(2 ____=， 5 ____=，(5 ____=。 ____=____=，____=，____=。 （三）疑惑摘要 自学之后，你还有哪些没有弄清的问题请记在下面，课堂上我们共同探讨： 三、课中互动 （一）概念形成 1.本课时的核心概念是什么、它是如何产生的？ 2.小组合作，解决自学“疑惑”，举正、反例理解核心概念。 （二）展示交流 例1 求下列各式的值：
(1) (2)； (3) ) (4) 例2 设33x -<< 例3 2x =-，求x 的取值范围。 （三）课堂小结 四、课外延伸 （一）练习 1．下列说法错误的是（ ） A ．正数有两个偶次方根 B ．零的偶次方根是零 C ．负数只有一个偶次方根 D ．负数没有偶次方根 2．已知5 3x =，则x = ________。 3．化简：2____+= 。 4．已知0,1a b n <<>且n N * ∈
分数指数幂(一)
第3章指数函数、对数函数和幂函数 §3.1指数函数 3．1.1分数指数幂(一) 一、基础过关 1.4 (－2)4运算的结果是________． 2．若2
(2)2n (x－y)2n(n>1，且n∈N*)； (3)5＋26＋7－43－6－4 2. 二、能力提升 9.3 (－6)3＋ 4 (5－4)4＋ 3 (5－4)3的值为______． 10．当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果是________． 11．已知a∈R，n∈N*，给出下列四个式子：①6 (－2)2n； ②5 a2；③ 6 (－3)2n＋1；④ 9 －a4，其中没有意义的是 ________．(填序号) 12．已知a
分数指数幂教案及练习
分数指数幂 复习引入： 1．整数指数幂的运算性质： = == ?n n m n m ab a a a )()( )(),() ,(Z n Z n m Z n m ∈∈∈ 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =. ②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. 3．引例：当a ＞0时 ①5 102 55 2510 )(a a a a === ②=312a ③3 23 3323 2 )(a a a == ④=a 上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. 一．建构数学： 1.正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N * ,且n ＞1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)n m n m a a 1= - (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)； (2)0的正分数指数幂等于0； (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
分数指数幂教案及练习
分数指数幂 活动一：复习引入： 1．整数指数幂的运算性质： = == ?n n m n m ab a a a )()( )(),() ,(Z n Z n m Z n m ∈∈∈ 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =. ②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n n a =|a|=???<-≥)0()0(a a a a . 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. 3．引例：当a ＞0时 ①5102552510)(a a a a === ②=312a ③3 23332 32)(a a a == ④=a 上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. 活动二：建构数学： 1.正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N * ,且n ＞1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)n m n m a a 1 =- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)； (2)0的正分数指数幂等于0； (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
高一数学教案：分数指数幂
【课题】分数指数幂 【教学目标】 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4．培养学生用联系观点看问题. 【教学重点】 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 【教学难点】对分数指数幂概念的理解。 【教学过程】 一．复习引入 1．整数指数幂的运算性质： ) ()() ,()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，()n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . 3．引例：当a ＞0时 ①5 102 510 10 5 2)(a a a a a ==?=3 124 312 12 34)(a a a a a ==?= 推广：n m n m a a = 二．讲解新课 1．正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式； n a
⑵根式与分数指数幂可以进行互化. ⑶“a>0”为什么？ 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)n m n m a a 1= - (a ＞0，m ,n ∈N * ,且n ＞1) (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质. 3.有理指数幂的运算性质: ) ()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 三、讲解例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： a a a a a a ,,3232?? ， 43)( b a +(式中a ＞0) 例3计算下列各式（式中字母都是正数） . ))(2();3()6)(2)(1(88 34 16 56131212132n m b a b a b a -÷-