充分必要条件

1.8 充要条件

孟晓华（20061021134）

教学目标：

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； （4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

教学重点难点：关于充要条件的判断 教学用具：幻灯机或实物投影仪 教学过程设计

1．复习引入

练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）： （1）若1≥x ，则12≥x ； （2）若22y x =，则y x =； （3）全等三角形的面积相等；

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形； （5）若0=ab ，则0=a ；

（6）若方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不等的实数解，则

042>-ac b ．

（学生口答，教师板书．）

（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

置疑：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看p 能不能推出q ，如果p 能推出q ，则原命题是真命题，否则就是假命题．

对于命题“若p ，则q ”，如果由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立．换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件，记作

q p ?．

2．讲授新课

（板书充分条件的定义．）

一般地，如果已知q p ?，那么我们就说p 是q 成立的充分条件． 提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

（1）“1≥x ，”是“12≥x ”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件； （3）“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实数解”是“042>-ac b ”成立的充分条件．

从另一个角度看，如果q p ?成立，那么其逆否命题q p ???也成立，即如果没有q ，也就没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题． （学生口答）．

（1）因为112≥?≥x x ，所以1≥x 是12≥x 的充分条件，12≥x 是1≥x 的必要条件；

（2）因为y x y x =?=22，所以22y x =是y x =的必要条件，y x =是

22y x =的充分条件；

（3）因为“两三角形全等”?“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（4）因为“四边形的对角线互相垂直”?“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

（5）因为00=?=a ab ，所以0=ab 是0=a 的必要条件，0=a 是

0=ab 的充分条件；

（6）因为“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”?“042>-ac b ”，而且“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”?“042>-ac b ”

，所以“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”是“042>-ac b ”充分条件，而且是必要条件．

总结：如果p 是q 的充分条件，p 又是q 的必要条件，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作q p ?．

（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

例1 （用投影仪投影．）

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以A是B 的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

②5

x不一定推出5

x，所以A是B的

>

>

>

x，而3

x一定能推出3

>

充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

③m、n是奇数，那么n

m+是偶数，m、n不

m+一定是偶数；n

一定都是奇数（可能都为偶数），所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

④b

a>成立的必要非充分条

a≥是b

a≥表示b

a>或b

a=，所以b

件；

⑤由交集的定义可知A x ∈且B x ∈是B A x ∈成立的充要条件； ⑥由0≠ab 知0≠a 且0≠b ，所以0≠ab 是0≠a 成立的充分非必要条件；

⑦由0)2)(1(=-+y x 知1-=x 或2=y ，所以0)2)(1(=-+y x 是1-=x ，

2=y 成立的必要非充分条件；

⑧易知“m 是4的倍数”是“m 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）

例2 已知a 是β的充要条件，S 是r 的必要条件同时又是β的充分条件，试a 与r 的关系．（投影）

解：由已知得

r S a ???β，

所以r 是a 的充分条件，或a 是r 的必要条件．

4．小结回授

今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A 是B 的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．

课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35

页练习l 、2；第36页练习l 、2．

（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）