随机信号分析习题

随机信号分析习题一

1. 设函数???≤>-=-0 ,

0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列

概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为

(), 0, 0

(,)0 , other

x y XY e x y f x y -+?≥≥=?

?， 求{}10,10<<<

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ??

????++-=

)52(21exp 1

),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y

（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y

4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3

()Y g X X X ==-。 （1）求Y 的可能取值

（2）确定Y 的分布。 （3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：

)()(3

1

)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ

试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。 （2）X 与Y 统计独立时所有A 值。 6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：

?

?sin cos ==Y X

?为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2

bX Y =的概率密度)(y f 。

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度

()Y f y

\

10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数

22

2

W X Y Z X ?=+?=?

设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。

11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数

2()

W X Y

Z X Y =+??

=+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。

12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1

,()0X a x b f x b a ?≤≤?

=-???，

其它

（1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。

13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。

14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞

=，则n X 必依概率收敛于X 。

15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞

=，l.i.m n n Y Y →∞

=，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞

=。

随机信号分析习题二

1. 设正弦波随机过程为

0()cos X t A w t =

其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即

1,01

()0,others

A a f a ≤≤?=?

? (1) 试求000

30,

,

,44t w w w π

ππ

=时，()X t 的一维概率密度；

(2) 试求0

2t w π

=

时，()X t 的一维概率密度。

2. 若随机过程()X t 为

(),X t At t =-∞<<+∞

式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为

0()sin X t V w t =

其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

4. 设随机相位信号

0()cos()X t a w t φ=+

式中a 、0w 皆为常数，φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

5. 设()sin(),X t A wt t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B wt t θφ=++-∞<<+∞，其中

A ，

B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。

6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2

210.5()12(,)3t t X R t t e --=的随机信号()X t 输入 微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t =

。求()Y t 的均值和相关函数。

7. 设随机信号3()cos2t

X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的

随机信号0

()()t

Y t X d λλ=

?

。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程

cos ,()2,t X t t π?=?

?出现正面

出现反面

设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。 (1) 求()X t 的一维分布函数(,1/2)X F x 和(,1)X F x ； (2) 求()X t 的二维分布函数12(,;1/2,1)X F x x 。

9. 给定一个随机过程()X t 和任一实数x ，定义另一个随机过程

1,()()0,()X t x

Y t X t x

≤?=?

>? 证明()Y t 的均值函数和自相关函数分别为()X t 的一维和二维分布函数。 10. 定义随机过程

1,()1,n X t n ?=?

-?

第次投掷均匀硬币出现正面

第次投掷均匀硬币出现反面 0,1,2,,(1)n n S t nS =±±-<< ，S 为正常数，设[0,]U S ξ ，且ξ与()X t 相互独立，

令()()Y t X t ξ=-，试求(,)X R s t 与(,)Y R s t 。

11. 考虑一维随机游动过程n Y ，0,1,2,n = ，其中00Y =，1

n

n i

i Y X

==

∑，i X 为一取值1-

和1+的随机变量，已知(1)i P X q =-=，(1)i P X p =+=，0,1p q ≤≤，1p q +=，且i X ，

1,2,i = 相互独立，试求：

1) ()n P Y m =;

2)

n EY 和n DY 。

12. 考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每 个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量

01,0()0,others

T T t T

p t ≤≤?=?

?

求()X t 的一维概率密度()X p x

13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅度A 为服从麦克斯韦(Maxwell)分 布的随机变量

222,0()20,0A a a p a b a ???

-≥ ?=??

其中0T 的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度A 之间统计独立，并均与0T 统计独立，求

()Y t 的一维概率密度()Y p y 。

14. 考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视 为一个随机过程

()sin()X t A t =Ω+Θ

其中振幅A 、角频率Ω和相位Θ是相互独立的随机变量，并且已知：

20

2,0()0,others A a

a A A p a ?≤≤?=??? 1

,250350()100

0,

others w p w Ω?≤≤?

=???

1

,02()20,others

p θπ

θπ

Θ?≤≤?=??? 求()X t 的一维概率密度。

随机信号分析习题三

1. 设有零均值的平稳过程{}()0X t t ≥，，其相关函数为()X R τ，令

()()t

Y t X s ds =? 0t ≥

求{}()0Y t t ≥，的方差函数和协方差函数。

2. 设{}()X t t -∞<<+∞，是平稳过程，且()1EX t =，2()1X R e

τ

τ-=+，求随机变量

1

()S X t dt =?

的数学期望和方差。 3. 设随机过程

()()()Z t VX t Y t = t -∞<<+∞

其中平稳过程()X t 和()Y t 及随机变量V 三者相互独立，且0X Y m m ==，()X t 的相关函数为2()2cos X R e

τ

τπτ-=，()Y t 的相关函数为3()9Y R e ττ-=+，又2EV =，9DV =。

求()Z t 的数学期望，方差和相关函数。

4. 设平稳过程{}()X t t -∞<<+∞，，其相关函数为()X R τ，且()(0)X X R T R =，0T >是常数。证明：

(1) (()())1P X t T X t +== (2) ()()X X R T R ττ+=

5. 设()cos X t A wt =，t -∞<<+∞，其中w 是常数，A 是随机变量，具有概率密度函数

1 01

()0 others A x f x ≤≤?=?

?

讨论{}()X t t -∞<<+∞，的严平稳性。

6. 设A 是任意的随机变量，Θ是与A 相互独立的，且在[0,2]π上服从均匀分布的随机变

量，令()sin()X t A wt =+Θ，t -∞<<+∞，0w >是常数，证明{}()X t t -∞<<+∞，是严平稳过程。

7. 设{}()X t t -∞<<+∞，是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令

()()(0)Y t X t X =+，t -∞<<+∞。判断{}()Y t t -∞<<+∞，是否为平稳过程。

8. 设()cos sin Z t Y t X t =+，t -∞<<+∞，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，且

2(1)(1)3P X P Y =-==-=

，1

(2)(2)3

P X P Y ====。 (1) 求{}()Z t t -∞<<+∞，的均值函数和相关函数；

(2) 证明{}()Z t t -∞<<+∞，是宽平稳过程，但不是严平稳过程。

9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量

01,0()0,others

T T t T

p t ≤≤?=?

? 判断()X t 平稳性。

10. (上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程

()()sin X t A t =Ω+Θ

其中振幅A 、角频率Ω和相位Θ是相互独立的随机变量，并且已知

20

2 0()0 A a

a A A p a others ?≤≤?=???

1

250350()100

0 w p w others Ω?≤≤?

=??? 1

02()20 p others

θπ

θπ

Θ?≤≤?=??? (1)求()X t 的一维概率密度； (2) ()X t 是一阶平稳过程吗？ 11. 设

{}()X t t -∞<<+∞，

是平稳过程，其协方差()X C τ是绝对可积，即

()X C d ττ+∞

-∞

<+∞?

。证明{}()X t t -∞<<+∞，的均值具有各态历经性。

12. 设随机过程()()Z t X t Y =+，其中()X t 是一平稳过程，Y 是与()X t 无关的随机变量，讨论过程()Z t 的遍历性。

13. 设()()cos X t A wt =+Φ，t -∞<<+∞，其中0w >是常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且[0,2]U πΦ ，研究{}()X t t -∞<<+∞，的各态历经性。

14. 随机过程()X t X =，t -∞<<+∞，其中X 是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从单点或两点分布()1P X a =±=，0a >，讨论它的各态历经性。

随机信号分析习题四

1. 已知平稳过程()X t 的相关函数如下，试求它的功率谱密度

(1) 0()cos ,0a X R e

w a τ

ττ-=>

(2) 0

001,()0,X T T R T τ

τττ?-≤?=??>?

2. 设()X t 为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。已知在任一时刻波形取

A +和A -的概率相同，在时间间隔τ内波形变号的次数n 服从参数为λ的泊松分布

()(,)!

n P n e n λτ

λττ-=

(1) 求()X t 的自相关函数； (2) 求()X t 的功率谱密度函数。

3. 已知平稳过程()X t 和()Y t 的功率谱密度为

2424

()109X w S

w w w +=++

2

42

()32

Y w S w w w =++

求()X t 和()Y t 的自相关函数和均方值。

4. 若()X t 是平稳随机过程，如图所示证明过程()Y t 的功率谱密度为

()2()(1cos )Y X S w S w wT =+

5. 设()S w 是一个平稳过程的功率谱密度函数，证明2

2

()d S w dw 不可能是平稳过程的功

率谱密度函数。

6. 设随机过程()cos()X t a t =Ω+Θ，其中a 为常量，Ω和Θ为相互独立的随机变量，

且Θ均匀分布于(0,2)π，Ω的一维概率密度为偶函数，即()()a a f w f w =-，求证()

X t 的功率谱密度为

2()()X a S w a f w π=

7. 设()X t 和()Y t 是联合平稳的。试证明

{}{}Re ()Re ()XY YX S w S w = {}{}Im ()Im ()XY YX S w S w =-

8. 给定一个随机过程

0()cos()X t A w t =+Θ

式中，A 和0w 为常数，Θ为均匀分布于(0,2)π的随机变量 （1） 求()X t 的平均功率； （2） 求()X t 的功率谱密度。

9. 若平稳过程()X t 的功率谱密度为()X S w ，又有

0()()cos Y t aX t w t =

式中，a 为常数，求功率谱密度()Y S w 。

10. 设()X t 和()Y t 是两个相互独立的平稳过程，均值函数X m 和Y m 都不为零，已知X m 和

Y m ，以及()X t 和()Y t 的功率谱密度()X S w 和()Y S w ，令()()()Z t X t Y t =+

，试计算()XY S w 和()XZ S w 。

11. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为

2221

1(,)exp exp()()()222XY x y p x y g x g y πππ??+=-+

- ??

? 其中

cos ,()0,x x g x x π

π?

(1) 求边缘分布()X p x 和()Y p y ； (2) 证明X 和Y 不相关，但不统计独立。

12. 一个零均值高斯过程，其协方差为

(,)s t

C t s e

--=

求在时刻10t =，21t =，32t =抽样的三维概率密度。

13. 设随机过程

()cos sin X t U wt V wt =+

其中w 为常数，U 和V 是两个相互独立的高斯随机变量，已知

()()0E U E V ==

222()()E U E V σ==

求()X t 的一维概率密度函数。

14. 设()X t 为平稳高斯过程，其均值为零，自相关函数为()R e

τ

τ-=，求随机变量

1

()Y X t dt =?的概率密度函数()Y p y 。

15. 设()X t 为一个零均值高斯过程，其功率谱密度()X S f 如图所示，若每

1

2W

秒对()X t 取样一次，得到样本集合1

(0),(

),2X X W

，求前N 个样本的联合概率密度。

随机信号分析习题五

1. 非周期平稳过程()X t 的自相关函数为

2()X R a be τ

τ-=+

式中，a 和b 是正实常数，系统的冲激响应为

()()t h t e U t -Ω=

其中Ω为正实常数，求该系统输出过程的均值。 2. 假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下

1

()1H w jwRC =+，1

1()RC h t e RC

-=

输入为白噪声，其功率谱密度为0()2X G w N =，求 (1) 滤波器输出功率谱密度；

(2) 滤波器输出自相关函数； (3) 证明

322131321()()

(),(0)

Y Y Y Y R t t R t t R t t t t t R ---=

>>

3. 设有冲激响应为()h t 的线性系统，系统输入()X t 为零均值、平稳过程，该过程的自相

关函数为

()()X R τδτ=

问：()h t 具备什么条件，可使输入过程()X t 与输出过程()Y t 在时刻1t t =的随机变量不相关。

4. 设n X 是纯随机序列，且在1+与1-间均匀分布，试利用下列滤波方程求出n W ，n Z 与n

Y 的自相关函数与功率谱密度。

1n n n W X X -=- 122n n n n Z X X X --=++

11

2

n n n Y Y X -=-+

5. 线性系统()H j ω的输入为平稳过程()x t ，其功率谱为()x S ω，设()y t 为输出。

(1) 求误差过程()()()e t y t x t =-的功率谱密度函数()e S ω； (2) 考虑RC 电路，设输入为一个二元波过程，求()e S ω。

6. 一个平均电路如下图所示

(1) 证明系统的冲激响应函数为

1,0()0,

t T

h t others ≤≤?=?

? (2) 设输入过程()X t 的功率谱密度为()X S ω，求输出过程()Y t 的功率谱密度。

7. 设输入为白噪声过程()X t ，其自相关函数为0()()X R S τδτ=。求

(1) 系统的冲激响应函数；

()X t

()Y t

C

(2) 输出过程()Y t 的均方值。

8. 证明均值为零、自相关函数为2()()X R τσδτ=的白噪声()X t 通过一个理想积分器后输

出方程0

()()t

Y t X u du =

?

的均方值为2t σ。

9. 在习题5所示的RC 电路中，设输入过程()X t 的自相关函数为

2()X R e

βτ

τσ-=，0β>

求输出过程()Y t 的功率谱密度函数()Y S ω，自相关函数()Y R τ和均方值2

Y ψ。

10. 假设某线性系统如图所示，试用频域分析方法求出： (1) 系统的传输函数；

(2) 当输入是谱密度为0S 的白噪声时。输出()Z t 的均方值。

(提示：利用积分

220

sin 2

ax dx a x π

∞

=?

)

11. 随机过程()Y t 满足微分方程

()3()2()()Y t Y t Y t X t '''++=

其中对于任意t ，()X t 都为白噪声，其自相关函数()()X R K τδτ=。证明()Y t 的自相关函数()Y R τ满足方程

()3()2()0Y

Y Y R R R τττ'''++=，0τ> 其中，初始条件为(0)12Y R K =，(0)0Y

R '=。 12. 如下图所示系统中输入()X t 同时作用于两个系统

)

()X t

()Y t

1/8 F

1/6 F

(1) 求输出1()Y t 和2()Y t 的互谱密度12

()YY S ω； (2) 设()X t 是零均值的具有单位谱高的白噪声，若要使1()Y t 和2()Y t 为不相关过程，

1()h τ和2()h τ应满足什么条件？

13. 如下图所示系统中，若已知

1()()at h t e U t -=，0a >

并已知输入()W t 是均值为零，谱密度为02N 的高斯白噪声，求输出过程()Y t 的一维概率密度()Y p y 。

随机信号分析习题六

1. 分别求下列信号的希尔伯特变换

(1) 10()sin s t t ω=。 (2) 20()cos s t t ω=。

2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：

(1) 指数衰落正弦波

0()cos[()]at X t Ae t t ωψ-=+

(2) 调幅波

00()(1cos )cos ,X t A t t ωωωω=+

(3) 线性调制波

(X t 1()Y t

2()Y t

200()cos ,2b X t A t t b ωω?

?=+ ??

?

3. 设低频信号()a t 的频谱为

(),2

()0,A A others ωωωω?

?

证明当02ωω>?时，有

0000[()cos ]()sin [()sin ]()cos H a t t a t t H a t t a t t

ωωωω==-

4. 试证：

(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5. 试证：

(1) 00[]j t

j t H e

je ωω=-；

(2) 1[()]H t t

δπ=

； 6. 设?()x

t 为()x t 的希尔伯特变换，证明： (1) ()x t 和?()x

t 在范围t -∞<<+∞内的功率相等，即 2

21

1

?lim ()lim ()22T

T

T T

T T x t dt x

t dt T

T

--→∞→∞=??

(2) 在范围t -∞<<+∞内，()x t 和?()x

t 是正交的，即 1?lim

()()02T

T

T x t x

t dt T -→∞=?

。 7. 证明下式成立，其中()X t 为平稳随机过程，()X

t 为()X t 的解析信号： (1) ?()2[()()]x x x R R jR τττ=+ ； (2) [()()]0E X

t X t τ+= 8. 一个线性系统输入为()X t 时，相应的输出为()Y t 。证明若该系统的输入为()X t 的希

尔伯特变换?()X

t ，则相应的输出()Y t 的希尔伯特变换为?()Y t 。 9. 证明若加到系统()2()H j U ωω=的输入为()X t ，则相应的输出为对应于()X t 的解析

信号，即

?()()()Z t X t jX

t =+ 10. 设谱密度为

2

N 的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为c f ，带宽为2B 。试求滤波器输出端的窄带过程()X t 及其同相和正交分量的自相关函数()X R τ、()c R τ、()s R τ。

11. 设窄带过程()X t 的功率谱()X S ω如图所示，试求：

(1) ()X t 的同相和正交分量的功率谱密度。 (2) 互谱密度()sc S ω。

12. 设如图所示系统的输入是谱密度为

2

N 的零均值高斯白噪声()X t ，

Θ在(0,2)π上服从均匀分布，且与()X t 统计独立。其中两个滤波器的通带分别为(,)B B -和

0000(,2),(2,)f f B f B f +---。

(1) 求输出过程()Y t 的功率谱密度()Y S f 。 (2) 求()Y t 的方差。

13. 零均值平稳窄带噪声()Y t 具有对称功率谱，其相关函数为0()()cos Y R

A ττωτ=，求正

交和同相分量的相关函数()c R τ、()s R τ和方差2

c σ、2s σ，并求互相关函数()sc R τ、

()cs R τ。

14. 对于零均值，方差为2

σ的窄带平稳高斯过程

000()()cos[()]

()cos ()sin c s Z t B t t t A t t A t t

ωφωω=+=-

求证：包络在任意时刻所给出的随机变量t B 其数学期望值与方差分别为

2[],[]22

t t E B D B πσ?

?=

=- ??

?

。 15. 试证：均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻的包络平方的数学期望为

2，方差为4。

随机信号分析习题七

1. 设{(),-}X t t

∞<<∞是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为()X R τ，

1 ()0

()sgn () 1 ()0X t Y t X t X t ≥?==?-

(1) 证明()Y t 是平稳过程. (2) 求相关系数()Y r τ 2. 设{(),-}X t t

∞<<∞是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为()X R τ，

()()Y t X t =，求()Y t 的均值和自相关函数.

3. 设{(),-}X t t

∞<<∞是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为()X R τ，功率谱密

度为()X S ω，2()()Y t X t =

,

(1) 求()Y t 的一维概率密度分布. (2) 求()Y t 的二维概率密度分布. (3) 证明2()()Y t X t =

也是一个平稳过程.

(4) 求()Y t 的功率谱密度.

4. 系统输入()X t 是均值为零的实正态平稳随机信号，通过系统输出()Z t 功率谱密度为

2222()2() 01()(1)

z S πδωβωβωβωω=

+>+++

试求()X t 、()Y t 各自的自相关函数

.

5. 信号和噪声()()()

X t S t N t =+同时作用于平方律检波器2()y f x bx ==，信号0()cos()S t a t ωθ=+，其中a 和0ω为常数，θ为[0 2]π均匀分布的随机变量，噪声

为零均值的高斯随机过程，相关函数为()N R τ，信号和噪声是不相关的，求输出信号的均值、方差、自相关函数和功率谱. 6. 设一非线性系统的传输特性为

0x y a a β=>

其输入()X t 为零均值的平稳高斯噪声，方差为2

X σ，相关函数为()X R τ，用多项式变换的

矩函数法求输出的自相关函数(多项式展开只取前3项).

7. 系统输入()X t 是均值为零，方差为1的高斯白噪声，用特征函数法求非线性系统输出

端的自相关函数函数.

8. 系统输入()X t 是均值为零，方差为1的高斯白噪声，通过一线性检波器

()0 0bx x y f x x ≥?==?

用特征函数法求系统输出()Y t 的自相关函数.

9. 窄带正态随机过程()cos t t X t A =Φ，通过平方律检波器

2()y f x bx ==

求检波器输出端的均值和方差.

随机信号分析习题八

1.设有三个状态{0,

1,2}的马氏链，其一步转移概率矩阵为

12

033210

33110

2

2P ????????=??????????

求

000000010101(1),(2),(3),(1),(2),(3)f f f f f f .

2. 设有三个状态{1,

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 00

p

q P p q p

q ??

??=??????

01,1p p q <<+= 对1,2,3n =，求12()f n 和13()f n .

3.设有三个状态{1,

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 1112441113331114

2

4P ???????

?=??????????

求(1)何时此链具有遍历性

(2)极限分布的各个概率

4. 设有三个状态{1,

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 01

00

01

0P q p ??

??=??????

判断此链是否具有遍历性.

5. 设有两个状态{1,

2}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 1001P I ??

==??

??

讨论此链的遍历性和平稳分布. 6.已知独立随机变量序列

12,,,n X X X L ，序列中的各个随机变量分别具有概率密度函数

11()

X f x ，

22()

X f x ，

L

，

()

n X n f x ，设

11212,,,n n Y X Y X X Y X X X ==+=+++L L ，于是构成了一个新的随机

变量序列12,,,n Y Y Y L

，证明序列是一个马尔可夫序列.

7.一积分器的输入为()N t ，输出为

()X t ，

()()t X t N t dt =?

若()N t 是零均值的平稳正态白噪声，功率谱密度为0/2N ，证明()X t 为一维纳过程.

8.设{(),0}X t t ≥为一个独立增量过程，且(0)0X =，若用()F t 表示()X t 的方差函

数

2(){[(){()}]}F t E X t E X t =-

(1) 证明

()X t 的协方差函数(,)C t s 满足

(,){[(){()}][(){()}]}[min(,)]C t s E X t E X t X s E X s F s t =--=

(2) 对应于泊松过程和维纳过程分别求相应的()F t 和(,)C t s .

随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程

()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω =

当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。

又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分)

随机信号处理考试试题

《随机信号分析与处理》期末自我测评试题（一） 一、填空题（共10小题，每小题1分，共10分） 1、假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)=0，F(+∞)= 1。 2、如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声，该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关。 3、窄带正态噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向瑞利分布，而相位则趋向均匀分布。 4、平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 5、对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是不相关。如果，则我们称X(t1)和X(t2)是正交。如果 ，则称随机过程在和时刻的状态是独立。 6、平稳正态随机过程的任意维概率密度只由均值、协方差阵来确定。 7、典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程_。 8、对于随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计就是最大后验概率估计。

9、对于无偏估计而言，均方误差总是大于等于某个量,这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下限，达到这个量的估计称为有效估计。 10、纽曼-皮尔逊准则是：约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。 二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分） 1、是均值为方差为的平稳随机过程，下列表达式正确的有：（b、d） （A）（B） （C）（D） 2、白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是：（a、c） ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比 ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成正比 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越缓慢 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越剧烈 3、设平稳随机序列通过一个冲击响应为的线性系统，其输出用 表示，那么，下列正确的有：（a、d） （A）（B） （C）（D） 4、为的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d） （A）与的功率谱相等（B）

随机信号分析课后习题答案

1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<--= a a x u x u a x x F （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F

随机信号分析基础作业题

第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E A P E B P E C P E D =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 2222 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ =?=-=-=-?=???? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3, ()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====， 令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征

2013随机信号分析试题(终稿)

《随机信号分析》试题 考试时间 120 分钟 1.考试形式：闭卷； 2.考试日期：2013年11月27日； 3.本试卷共7大题，满分100分。 班级 学号 姓名 任课教师 一．填空与简答题（共30分，每小题3分） 1．随机过程3()t X t Ve =，其中V 是均值为5的随机变量，设0 ()()t Y t X d λλ= ? ，则 []()E Y t = 。 2．平稳随机过程()X t 的自相关函数为9()8181cos981X R e τ ττ-=++，则 []()E X t = ，[]()D X t = 。 3．十字路口的车流是一个泊松过程，设1分钟没有车辆通过的概率为0.1，已知 ln 0.1 2.3=-，则2分钟内有多于1辆车通过的概率为 。 4．设随机过程0()cos()X t a t ω?=+，其中a 和0ω均是实常数，?是服从(0,)2 π 上均 匀分布的随机变量，则()X t 的平均功率Q = 。 5．设平稳随机过程()X t 的自相关函数为()X R τ，则其导数过程()X t ? 的自相关函数 ()X R τ?= 。 6．拟构造一个稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为 242 2549 ()109 Y S ωωωω+=++，则其传输函数()H s = 。 7．低通滤波器1 ()1H j ωω = +的等效噪声带宽e ω?= 。 8．全波线性检波器()()Z t X t =的输入为零均值平稳正态随机过程，其方差为2 σ，则

f z t 。 输出的一维概率密度函数(,) Z 9．确定性信号分析中，使用傅里叶变换来获得信号的频谱，进而进行频域分析。而在随机信号分析中，为什么要定义功率谱密度？ 10．对于待估计参数a，设其估计值为?a。在什么条件下称?a为a的无偏估计？如何全面的表示估计质量？

随机信号分析资料报告习题

随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<<

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2, )n =为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随 机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。

随机信号习题答案

随机信号分析习题参考答案 北京工业大学电控学院 2008.12.9

第一章 随机信号基础 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为： 求： （1） 系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(<

解： 如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I ）)(x F 是x 的单调非减函数 （II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续 （1）0 )(0 12 <= ≥--x x F x e x 可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。 )()(0 2 1' 2 <= =≥-x x F x f x e X x （2）0 1 10)(0 2 ≥<≤=--= a a x u x u a x x F 上式等价于： else x F a x a x 0 )(0= ≤≤

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷 一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变 量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平 稳？（3分） 解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密

度函数为：f x（X；厂）（X）

当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均 匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数 （n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数 其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个

随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求 （共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分）

电子科大随机信号分析随机信号分析试题卷答案

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1|()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得：

（3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞====?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)40,X x f x others πω<< =?? 2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 1 3π π0 - 1 （2分）

随机信号分析(常建平+李海林)习题答案

1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {} {}{}()()0.30.70.30 .70.70 .3 0.7P X P X F P X F =<< =<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤

1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x d x k ∞ -∞==? 第②问 {}()()() 2 11221x x P x X x F x F x f x d x < ≤ =-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ???

电子科技大学随机信号分析期末考试题

………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第四章习题讲解

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ

()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-=== P 交直流分量为平均功率：流

随机信号分析试题

姓名 年 级 学 院 专业 学 号 密 封 线 内 不 答 题 一.填空题（每空3分共18分） 1.随机信号功率谱的物理意义是 。 2.广义各态历经是指 。 3.白噪声通过理想低通系统后，功率谱为 。 4.希尔伯特变换中系统的冲激响应()h t = 传递函数()H ω= 。 5.随机信号()X t 的解析函信号是 。 二.判断题（每小题3分共15分） 1.随机变量X ，Y 独立，则有()()()E XY E X E Y =。 （ ） 2.理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。 （ ） 3.212ττ++可以成为平稳过程的自相关函数。 （ ） 4.功率谱密度S ()X ω是实函数并且是偶函数。 （ ） 5.实平稳随机过程()X t 通过线性时不变系统的输出为()Y t ，则有 S ()S ()S ()S ()X Y XY YX ωωωω= （ ） 三.（12分）若有一随机变量X ，其概率密度函数为1 ()()2ax f t e u t -=。 求：（1）a 的值； （2）X 的特征函数()X v Φ；

（3）随机变量21Y X =+，求Y 的一阶概率密度函数。 四.（15分）已知随机相位正弦信号()0()cos X t t ωΦ=+ , 0ω为常数，Φ为在[0，2π]内均匀分布的随机变量。试求： （1）()X t 的数学期望和自相关函数； （2）判定 ()X t 是否为平稳过程； （3）计算()X t 的功率谱密度。

姓名 年 级 学 院 专业 学 号 密 封 线 内 不 答 题 五.（15分）若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于图XX 所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。 六.（15分）复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

《随机信号基础》练习题

《随机信号分析》练习题 一、 概念题 1．叙述随机试验的三个条件。 2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。 3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。 5．两个随机变量独立的充要条件。 6．两个随机过程的独立是如何定义的？ 7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各 个参数的意义。 8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。 9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函 数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。 10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k 阶矩)(k X E 的公式。 11． 设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为 C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1 ，则C Y (μ)=？ 12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是 复数？ 13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。 14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。 15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？ 16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续 的条件是？ 17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？ 18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？ 19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？ 20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。 22． 何为线性系统？ 23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。 24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。 25． 对正态过程而言，宽平稳和严平稳之间有何关系？

电子科技大学随机信号分析期末考试题1

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的 相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络 和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一 偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 二、计算题（共80分） 两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。求： 1)a ; 2)X 特征函数； 3)试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。 解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分）

电子科技大学随机信号分析期末测验题

电子科技大学随机信号分析期末测验题

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电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计 得分 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性 要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相 位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数， 则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 得 得

随机信号分析(第3版)习题及答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。 ()()()()12341 4 P B P B P B P B ==== ()()()()1234100 200 0.050.42000500 100 100 0.1 0.1 10001000P D B P D B P D B P D B === ===== ()1111 0.050.40.10.10.16254444 P D =?+?+?+?= （2）发现次品后，它来自第二批的概率为， ()()()() 2220.250.4 0.6150.1625 P B P D B P B D P D ?= = = 7. 8. 9. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- ()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+- 10.

11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =? () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=? ?? ? 所以1 2 a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ? 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -?

随机信号李晓峰版第一章习题答案

随机信号分析 第一章 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()())0.210.520.33i i i f x p x x x x x δ δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（ 9.

10. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=， 求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =? () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=? ?? ? 所以12a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ? 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -?

求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。 解：（1） ()() ()()()()()() ,,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j F x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑ ()() ()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j f x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑ （2）X 的分布律为（i ij j P P ?=∑） ()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++= Y 的分布律为 ()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35 P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为

随机信号分析 第三版 第一章 习题答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。 ()()()()1 2 3 4 1 4 P B P B P B P B ==== ()()()()1234100 200 0.050.42000500100 100 0.1 0.1 10001000P D B P D B P D B P D B === ===== ()1111 0.050.40.10.10.1625 4444 P D =?+?+?+?= （2）发现次品后，它来自第二批的概 率为，

()()()2220.250.4 0.615 0.1625 P B P D B P B D P D ?= = = 7. 8. 9. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- ()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+- 10. 11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由()1f x dx ∞-∞ =? ()0 ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=???? 所以12 a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞==? ? 所以X 的分布函数为