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百所高中2014届高三联考数学文试题11

百所高中2014届高三11月联合考试

数学文

一、选择题(50分)

1、复数

2

1

i

i-

等于

A、1+i

B、1-i

C、-1+i

D、-1-i

2、已知集合M={0,1,2,3,4},N={-2,0,2},则

{}{}

A B M N M C M N2D M N02

N M

?

、 、= 、= 、=, 

3、下列函数中,既是奇函数又是减函数的是

A、y=2x

B、y=-x2

C、y=x3

D、y=-3x

4、已知

1

(,0),cos

3

απα

∈-=-,则tanα等于

A 、2B、22C、3 D、32

5、若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的斜率为

A、1

2

B、-

1

2

C、2

D、-2

6、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于

A、2

B、2 3

C、4 3

D、4

7、已知x,y满足约束条件

50

3

x y

x y

y

-+≥

?

?

+≥

?

?≤

?

,则z=2x+4y的最小值是

A、-6

B、5

C、10

D、-10

8、执行如图所示的算法流程图,若输入A的值为2,则输出S的值是

A、3

B、23

12

C、

13

6

D、

25

12

9、设F 1、F 2分别为双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点,椭圆上一点M 满足

N 为MF 1的中点且ON ⊥MF 1,则椭圆的离心率为

A 、31-

B 、

3

2

C 、2-2

D 、2-1 10、定义两个平面向量的一种运算则对于两个平面向量a ,b ,下列结

论错误的是

11、在等差数列{n a }中,9122a a =+6,则5a =____ 12、曲线2

1

(0)x y x x +=

>在点(1,2)处的切线方程为____ 13、某校开展“爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的劝无法看清,若记分员计算无误,则数字x =___

14、在极坐标系中,圆C 1的方程为42cos()4

π

ρθ=-

,以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴

建立平面坐标系,圆C 2的参数方程1cos 1sin x a y a θ

θ=-+??=-+?

(θ为参数),若圆C 1与C 2相切,则实数a =

____

15、如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠C =72°,圆E 过A ,B 两点且与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC =5-1,则AC =___

16、(本小题满分12分)已知函数

(1)求

5

()

4

f

的值;

(2)设,求的值。

17、(本小题满分12分)

为了更好地开展社团活动,丰富同学们的课余生活,现用分层抽样的方法从“模拟联合国”,

“街舞”,“动漫”,“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组,有关数据见下表:(单位:人)

(1)求a,b,c的值;

(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长,求这2人分别来自这

两个社团的概率.

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=1

2

AD,PA=

PD,E,F为AD、PC的中点。

(1)求证:PA∥平面BEF;

(2)求证:AD⊥PB。

19、(本小题满分14分)

已知数列{

n

a}的前n项和为

(1)求数列{

n

a}的通项公式;

(2)设,求适合方程的正整数n的值。

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点K(-1,0)为直线l与抛物线C准线的交点.,直线l与抛物线C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.

(1)求抛物线C的方程;

(2)设求直线l的方程.

21、(本小题满分14分)

设函数

(1)求的值;

(2)若对任意的,函数f(x)在上的最小值恒大于1,求 b的取值范围.

广东省百所高中高三联合考试

数学试卷参考答案(文科)

1.C

2i 1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )

=2(i -1)2=-1+i.

2.D M ∩N ={0,2}.

3.D 是奇函数的只有C 和D ,是减函数的则只有D.

4.B ∵cos α=-13,α∈(-π,0),∴sin α=-22

3

,∴tan α=2 2.

5.C 圆心为A (3,0),因为点P (1,1)为弦MN 的中点,所以AP ⊥MN ,AP 的斜率为k =

1-0

1-3

=-1

2

,所以直线MN 的斜率为2.

6.D 还原直观图可得,该几何体是个三棱柱,如图, 根据数据得底面面积S =2,高h =2,所以体积V =4. 7.A 画出可行域易知在点(3,-3)处有最小值-6.

8.D 程序运行过程为p =1,S =1,p =2,S =1+12=32,p =3,S =32+13=116,p =4,S =11

6+

14=2512>A =2,∴输出S =25

12

. 9.A 连接MF 2,则ON 是△MF 1F 2的中位线,所以|NF 1|+|NO |=1

2(|MF 1|+|MF 2|)=a ,又因为

∠MF 1O =π3,|OF 1|=c ,所以|NF 1|=12c ,|NO |=32c ,所以12c +32c =a 得e =c a =2

1+3=3-1.

10.B A 显然成立;对于B ,λ(a ?b )=λ|a |·|b |sin 〈a ,b 〉,(λa )?b =|λa |·|b |sin 〈a ,b 〉,当λ<0

时,λ(a ?b )=(λa )?b 不成立;对于C ,由a ?b =|a |·|b |sin 〈a ,b 〉,a·b =|a |·|b |cos 〈a ,b 〉,可知(a ?b )2

+(a·b )2=|a |2·|b |2;对于D ,(a ?b )2=|a |2·|b |2-(a·b )2=(x 21+y 21)(x 22+y 22)-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2

,故a ?b =|x 1y 2-x 2y 1|恒成立.

11.6 由2a 9=a 12+6,得a 6+a 12=a 12+6,所以a 6=6.

12.3x +y -5=0 ∵y ′=x 2-2x (x +1)x 4=-x 2-2x

x 4,∴该切线的方程k =-3,切线方程为y -

2=-3(x -1),即3x +y -5=0.

13.1 ∵当x ≥4时,89+89+92+93+92+91+947=640

7

≠91,

∴x <4,则89+89+92+93+92+91+x +90

7

=91,∴x =1.

14.±2 ⊙C 1的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ,化简得ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,由ρ2=x 2

+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ,得x 2+y 2-4x -4y =0,其圆心C 1坐标为(2,2),半径r 1=22;圆

C 2的参数方程是?

????x =-1+a cos θ,

y =-1+a sin θ其普通方程是(x +1)2+(y +1)2=a 2,所以C 2的坐标是(-1,-

1),r 2=|a |,因为两圆外切,所以|a |+22=|C 1C 2|=(2+1)2+(2+1)2=32,所以a =±2.

15.2 由已知得BD =AD =BC ,BC 2=CD ·AC =(AC -BC )·AC ,得AC =2.

16.解:(1)f (5π4)=2sin(13×5π4-π

6)=2sin π4= 2.(5分)

(2)由f (3α+π2)=2sin α=1013,得sin α=5

13,

又α∈[0,π2],所以cos α=12

13

由f (3β+2π)=2sin(β+π2)=2cos β=65,得cos β=3

5,

又β∈[0,π2],所以sin β=4

5

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=1213×35-513×45=16

65.(12分)

17.解:(1)由表可知抽取比例为1

6

,故a =4,b =24,c =2. (3分)

(2)设“动漫”4人分别为A 1,A 2,A 3,A 4;“话剧”2人分别为B 1,B 2.则从中任选2人的所有基本事件为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 3,A 4),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(B 1,B 2),共15个.

其中2人分别来自这两个社团的基本事件为(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 4,B 1),(A 4,B 2),共8个.

所以这2人分别来自这两个社团的概率P =8

15

.(12分)

18.证明:(1)连结AC 交BE 于O ,并连结EC ,FO .

∵BC ∥AD ,BC =1

2AD ,E 为AD 中点,

∴AE ∥BC ,且AE =BC ,

∴四边形ABCE 为平行四边形,

∴O 为AC 中点,又∵ F 为PC 中点, ∴OF ∥PA ,

∵OF ?平面BEF ,PA 平面BEF, ∴PA ∥平面BEF .(7分) (2)连结PE .

∵PA =PD ,E 为AD 中点,∴AD ⊥PE .

∵BC ∥AD ,BC =1

2

AD ,E 为AD 中点,

∴BCDE 为平行四边形,

∴BE ∥CD ,∵AD ⊥CD ,∴AD ⊥BE ,∵PE ∩BE =E, ∴AD ⊥平面PBE , ∵PB ?平面PBE , ∴AD ⊥PB .(14分)

19.解:(1) 当n =1时,a 1=S 1,由S 1+12a 1=1,得a 1=2

3.(1分)

当n ≥2时,∵S n =1-12a n, S n -1=1-1

2

a n -1,(2分)

∴S n -S n -1=12(a n -1-a n ),即a n =12(a n -1-a n ),∴a n =1

3a n -1(n ≥2),(3分)

∴{}a n 是以23为首项,1

3为公比的等比数列.(5分)

故a n =23·(13)n -1=2·(1

3

)n (n ∈N +).(7分)

(2)1-S n =12a n =(13)n ,b n =log 3(1-S n +1)=log 3(13)n +

1=-n -1,(9分)

1b n b n +1=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2

.(11分) 1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n +1=(12-13)+(13-14)+…+(1n +1-1n +2)=12-1n +2, 解方程12-1n +2=2551,得n =100.(14分)

20.解:(1)依题意知-p

2

=-1,解得p =2,

所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(4分)

(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则D (x 1,-y 1),且设直线l 的方程为x =my -1(m ≠0). 将x =my -1代入y 2=4x ,并整理得y 2-4my +4=0, 从而y 1+y 2=4m ,y 1y 2=4.

所以x 1+x 2=(my 1-1)+(my 2-1)=4m 2-2,

x 1x 2=(my 1-1)(my 2-1)=m 2y 1y 2-m (y 1+y 2)+1=1. 因为FA =(x 1-1,y 1),FB =(x 2-1,y 2),

FA ·FB =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+4=8-4m 2,

故8-4m 2=89,解得m =±4

3,

所以直线l 的方程为x =±4

3

y -1,

即3x -4y +3=0或3x +4y +3=0.(14分)

21.解:(1)∵f (x )=13x 3-1

2(2a -1)x 2+[a 2-a -f ′(a )]x +b ,

∴f ′(x )=x 2-(2a -1)x +a 2-a -f ′(a ),

∴f ′(a )=a 2-(2a -1)a +a 2-a -f ′(a ),(3分) ∴f ′(a )=0.(4分)

(2)由(1)得f (x )=13x 3-1

2

(2a -1)x 2+(a 2-a )x +b .

∵f ′(x )=x 2-(2a -1)x +(a 2-a )=[x -(a -1)]·(x -a ),

令f ′(x )>0?x <a -1或x >a ,令f ′(x )<0?a -1<x <a ,

∴f (x )在(-∞,a -1]上单调递增,在[a -1,a ]上单调递减,在[a ,+∞)上单调递增. (6分)

又∵0≤a ≤1,∴f (x )在x ∈[0,1]上的最小值为f (a )=13a 3-1

2

a 2+

b .(8分)

∴13a 3-1

2

a 2+

b >1在a ∈[0,1]上恒成立,

即b >-13a 3+1

2a 2+1在a ∈[0,1]上恒成立.

令g (x )=-13x 3+1

2x 2+1(0≤x ≤1),

则g ′(x )=-x 2+x =-x (x -1)≥0,(13分)

∴g (x )在x ∈[0,1]上单调递增,∴1≤g (x )≤76,∴b >7

6.(14分)

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