培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．
【答案】553
【解析】
【分析】
如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【详解】
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∠COD＝30°，
∴∠COP＝1
2
∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝1
OA＝5（分米），
2
∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米），
在Rt△PKE中，EK＝22
-＝26（分米），
EF FK
∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），
在Rt△FJE′中，E′J＝22
-（2）＝26，
63
∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26，
∴B′E′?BE＝4．
故答案为：5＋53，4．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62
23
.
【解析】
【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；
（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，
∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，
∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，
∵△EFK是直角三角形，∴OF=1
2
EK=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，
∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，
∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，
∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；
（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，
∵|CF ﹣AE|=2，EF=23，AE=CK ，∴FK=2， 在Rt △EFK 中，tan ∠FEK=3
3
，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=
1
2
EK=2， ∵△OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt △PHF 中，PH=1
2
PF=1，HF=3，OH=2﹣3， ∴OP=()
2
2
123
62+-=-.
如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°， ∴∠BOP=90°， ∴OP=
33OE=33
， 综上所述：OP 6223
. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
3．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是
E 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ：
①当1
an 7
t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求
BG
CF
的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ??
???
，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ??，得1
2
BG CF ≤，从而得解. 【详解】
（1）证明：连接DE ，则：
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠
∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为
E 的切线.
（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ??
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=-
∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10
31x = ∴150
531AF x ==
15043
33131
OF =-=
即143,031F ??
???
如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ??
∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=? ∴~CBF CGB ??
∴
8BG MG MG
CF BC == ∵MG ≤半径4=
∴
41
882BG MG CF =≤= ∴BG CF
的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．
（1）求证：△PAC ∽△PDF ； （2）若AB ＝5，
AP BP =，求
PD 的长．
【答案】(1)证明见解析；（2310
【解析】 【分析】
（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到AD AC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；
（2）连接OP ，由AP BP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝
BC
AC
，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP
GE ED =，然后根据勾股定理即可得到结果． 【详解】
（1）证明：连接AD ，
∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，
∴AD AC =， ∴∠ACD ＝∠B ＝∠ADC ， ∵∠FPC ＝∠B ， ∴∠ACD ＝∠FPC ， ∴∠APC ＝∠ACF ， ∵∠FAC ＝∠CAF ， ∴△PAC ∽△CAF ；
（2）连接OP ，则OA ＝OB ＝OP ＝1522
AB =， ∵AP BP =，
∴OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵AC ＝2BC ，
∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BC
AC
，
∴
1
2 CE BE
AE CE
==，
∴AE＝4BE，
∵AE+BE＝AB＝5，
∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，
∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，
∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED
=，
∴
2.5
2 OE GE OP
GE CE
-
==，
∴GE＝2
3，OG＝
5
6
，
∴PG＝225
OP OG
6
+=，
GD＝222 3
DE GE
+=，
∴PD＝PG+GD＝310
2
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得
△OPG∽△EDG是解题的关键．
5．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．
（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；
（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．
【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3
BE=
【解析】
【分析】
（1）①补全图形即可，
②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3
得出结果．
【详解】
解：（1）①补全图形如图1所示，
②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，
连接BG，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵EG⊥AC，
∴∠EGC＝90°，
∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，
∴∠GEC＝∠GCE＝45°，
∴∠BEG＝∠GCF＝135°，
由平移的性质得：BE＝CF，
在△BEG和△GCF中，
BE CF
BEG GCF EG CG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BEG≌△GCF（SAS），
∴BG＝GF，
∵G在正方形ABCD对角线上，
∴BG＝DG，
∴FG＝DG，
∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°，
∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.
（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝32，
在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH ＝
3
＝
323
＝6，
∴DG ＝2GH ＝26， ∴DF ＝2DG ＝43， 在Rt △DCF 中，CF ＝(
)
2
243
6-＝23，
∴BE ＝CF ＝23．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
6．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；
（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）
（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．
【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝4
3
．理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据三角形判定方法进行证明即可．
（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．
（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，
ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：
则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，
∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，
EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．
（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：
由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，
结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴
EH FH FH
AB BE CH
==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝
84
63
FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43
． 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的
综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．
7．已知抛物线y＝﹣1
6
x2﹣
2
3
x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称
轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．
(1)求直线AC的解析式；
(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．
(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y＝1
3
x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，
5
3
）时，四边形AOCP的面积最大，此时
|PM﹣OM|61 (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（
3
5
-，
19
5
）．
【解析】
【分析】
（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；
（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，
2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，8
3
），C点坐标为（0，2），则过点C
的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k
1
3
=，则：直线AC的表达式
为：y
1
3
=x+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．
四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP
的面积最大即可，设点P坐标为（m，
1
6
-m2
2
3
-m+2），则点G坐标为（m，
1
3
m+2），
S△ACP
1
2
=PG?OA
1
2
=?（
1
6
-m2
2
3
-m+2
1
3
-m﹣2）?6
1
2
=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式
取得最大值，则点P坐标为（﹣3，5
2
）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有
最大值，直线OP的表达式为：y
5
6
=-x，当x＝﹣2时，y
5
3
=，即：点M坐标为（﹣2，
5 3），|PM﹣OM|的最大值为：2222
555
(32)()2()
233
-++--+=61．
（3）存在．
∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝
DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a
8
3
=，则：MC
10
3
=，过点D作x轴的垂线交x
轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，1
2
DH?MC
1
2
=MD?DC，即：DH
108
33
?=?2，
则：DH
8
5
=，HC22
6
5
DC DH
=-=，即：点D的坐标为（
618
55
-，）；
设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6
1010
，D′坐标
为（
618
55
1010
，
-++），而点E坐标为（﹣6，2），则
2''
A D =
22618
(6)()55
-++=36，2'A E =22()(2)1010+-=2410m -+，2
'ED =22248(
)()551010+++=2128
510
m ++．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论： ①当2''
A D +
2'A E
=
2
'ED 时，36+2
410m -
+=2128510m ++，解得：m =210，
此时D ′（618551010
，-++）为（0，4）； ②当2''
A D +
2'ED =2
'A E 时，36+2
128510m +
+=2
410
m -+，解得：m =810-，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）；
③当2'A E +2'ED =2''A D 时，2
410m -++2128510m ++=36，解得：m =810-
或m =
10，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）或（
35，19
5
）． 综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35，19
5
）． 【点睛】
本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．
8．关于三角函数有如下的公式： sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ① cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ② tan （α+β）=
③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan （45°+60°）==﹣
（2+
）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α=60°，底端C 点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42m ，求建筑物CD 的高．
【答案】建筑物CD的高为84米．
【解析】
分析：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，
∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.
详解：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，
CD=BE，∠ADE=60°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADE
AB=BC?tan75°=42tan75°=，
AE=，
∴CD=AB﹣AE=（米）.
答：建筑物CD的高为84米.
睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.
9．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）
【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD=
tan AD ACD
=
tan30
x
= 3x
在Rt△BCD中，BD=CD?tan68°，
∴325+x=3x?tan68°
解得：x≈100米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
视频
10．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．
（1）求证：四边形AGDH为菱形；
（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC＝330＝______．（直接写出答案）．
【答案】（1）证明见解析；（2）y＝1
8
x2（x＞0）；（3）①
16
3
π或8π或（17+2）
π；21．
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF
AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH 垂直平分线段AD ， ∴FA ＝FD ，
∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝
83
， ∴⊙O 的面积为
163
π． 如图2中，当AF ＝AO 时，
∵AB 22AC BC +216x +
∴OA ＝2
162
x +， ∵AF 22EF AE +22
21182x ????+ ? ?????
∴
216x +22
21182x ????+ ? ?????
解得x ＝4（负根已经舍弃）， ∴AB ＝2 ∴⊙O 的面积为8π．