Mathematica软件计算Pi

1.实验内容

① 数值积分法计算π的近似值；

② Taylor 级数法计算π的近似值；

③ Monte Carlo 法计算π的近似值；

2.实验目的

利用计算机，结合数学理论、数学软件，计算无理数π的近似值，掌握数值积分、Taylor 级论以及Monte Carlo 方法的使用。

3.实验要求

① 选择函数使其在指定区间上的积分与π相关，利用数值积分法计算积分的近似值，得到π的近似值；研究不同的函数、不同的数值积分方法对π的计算精度的影响。

3.141592646923126571795976843596963201657

3.520038127467563696566247734066755598929

3.141592653589793238462643383279502884197

计算π值，梯形运算比辛普森和矩形近似法精确。

②

选择适当的函数展成Taylor 级数，在函数值与π有关的点计算此级数的有限项和进而得到π的近似值，控制误差并比较不同公式在计算精度上的差异。

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628

6208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128 4811174505070960074595900063615725413962488584036

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628 6208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128 4811174502841027019394162760063305519004308945560

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628 6208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128 4811174502841027019385211055596446229489549303820

不同公式计算的π值精确度差异不大。

③利用Monte Carlo方法计算π的近似值，研究模拟次数与计算精度间的关系。

n=10000;nn=100;p={};

Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[(4m )/n]], {t,1,nn}];

L=Length[p];Print[{L,p}];

If[L 1,Sum[p[[t]], {t, 1, L}]/nn,0]

{100,{3.1584,3.124,3.1668,3.1212,3.13,3.1332,3.1716,3.1228,3.158,3.1392,3.15 04,3.1416,3.1596,3.1752,3.1568,3.1236,3.1348,3.132,3.1936,3.1524,3.158,3.158 4,3.1188,3.1396,3.1196,3.1656,3.1336,3.1524,3.136,3.166,3.1572,3.1532,3.1388 ,3.1512,3.1472,3.1844,3.1208,3.1612,3.1604,3.144,3.158,3.1368,3.1628,3.1492, 3.1548,3.1668,3.1404,3.1476,3.126,3.1424,3.1116,3.1376,3.1456,3.1212,3.1364, 3.1336,3.1628,3.1212,3.15,3.1316,3.144,3.1444,3.142,3.1476,3.1276,3.1456,3.1 62,3.1448,3.1608,3.1452,3.1292,3.1552,3.1684,3.1116,3.1308,3.1448,3.1468,3.1 168,3.1392,3.1476,3.1476,3.134,3.1276,3.1296,3.1548,3.1584,3.12,3.1412,3.159 6,3.154,3.172,3.1512,3.1584,3.1512,3.1428,3.1456,3.136,3.1228,3.1464,3.1184} }

3.14474

n=20000;nn=100;p={};

Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[(4m )/n]], {t,1,nn}];

L=Length[p];Print[{L,p}];

If[L 1,Sum[p[[t]], {t, 1, L}]/nn,0]

{100,{3.1458,3.1206,3.1308,3.1562,3.1426,3.1572,3.1478,3.1614,3.1294,3.1438, 3.1478,3.1574,3.1384,3.1322,3.1372,3.1472,3.144,3.1486,3.1344,3.1358,3.1678, 3.1196,3.138,3.1376,3.1406,3.1454,3.1574,3.1378,3.1574,3.151,3.1524,3.136,3.

1494,3.1362,3.145,3.157,3.1484,3.1502,3.1466,3.1426,3.1326,3.1368,3.1452,3.1 544,3.1378,3.1494,3.1466,3.1204,3.1316,3.126,3.1426,3.1494,3.1546,3.1506,3.1 33,3.1324,3.1334,3.1426,3.1578,3.1478,3.1448,3.1402,3.142,3.1378,3.1662,3.13 22,3.124,3.1324,3.1516,3.1496,3.1174,3.1278,3.137,3.1522,3.1272,3.1444,3.138 6,3.1498,3.1404,3.148,3.1196,3.1516,3.1168,3.1402,3.1682,3.1408,3.1538,3.156 4,3.178,3.1332,3.1408,3.1342,3.118,3.1342,3.1542,3.1408,3.133,3.1376,3.1324, 3.1512}}

3.14239

n=30000;nn=100;p={};

Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[(4m )/n]], {t,1,nn}];

L=Length[p];Print[{L,p}];

If[L 1,Sum[p[[t]], {t, 1, L}]/nn,0]

{100,{3.12387,3.1456,3.1356,3.1376,3.14373,3.13627,3.1476,3.1436,3.1404,3.13 293,3.138,3.15067,3.14587,3.13773,3.14173,3.1384,3.12827,3.148,3.1472,3.136, 3.14173,3.1388,3.146,3.14373,3.15587,3.14067,3.14587,3.16147,3.15507,3.13667 ,3.14387,3.12427,3.14707,3.14933,3.16013,3.14813,3.1332,3.14893,3.15133,3.16 547,3.14387,3.14253,3.1456,3.14707,3.1344,3.15253,3.13573,3.13627,3.13773,3. 14987,3.13253,3.15227,3.13853,3.13413,3.14027,3.152,3.14493,3.1404,3.146,3.1 4293,3.1428,3.14213,3.15027,3.12067,3.1472,3.14107,3.13653,3.1388,3.14453,3. 13587,3.1344,3.154,3.11773,3.13253,3.13627,3.14947,3.14333,3.16053,3.13387,3 .13627,3.14053,3.14747,3.13533,3.14293,3.12653,3.136,3.1424,3.158,3.12893,3. 14573,3.14787,3.14187,3.1432,3.14427,3.1508,3.13973,3.1396,3.14387,3.14293,3 .13493}}

④ 3.14217

n=40000;nn=100;p={};

Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[(4m )/n]], {t,1,nn}];

L=Length[p];Print[{L,p}];

If[L 1,Sum[p[[t]], {t, 1, L}]/nn,0]

{100,{3.134,3.1516,3.1451,3.1505,3.1315,3.1382,3.152,3.1451,3.1299,3.151,3.1 389,3.1471,3.1393,3.1432,3.1441,3.1384,3.1369,3.1345,3.1425,3.1445,3.1377,3. 1442,3.1474,3.1495,3.1435,3.1518,3.1583,3.1432,3.1406,3.1437,3.134,3.1378,3. 1395,3.1401,3.144,3.1391,3.1431,3.1498,3.1393,3.1443,3.1473,3.1516,3.1413,3. 1376,3.1287,3.146,3.135,3.1457,3.1456,3.1362,3.1392,3.1552,3.1167,3.1399,3.1 426,3.1473,3.1564,3.1511,3.1367,3.1387,3.136,3.1399,3.1515,3.1504,3.1564,3.1

624,3.1374,3.1295,3.1373,3.1351,3.1325,3.136,3.1286,3.1419,3.1323,3.1325,3.1466,3.15,3.1527,3.1315,3.142,3.1314,3.1385,3.1444,3.1421,3.1372,3.1336,3.1466,3.1249,3.1267,3.1443,3.1314,3.1348,3.134,3.1434,3.1435,3.1481,3.137,3.1481,3.1393}}

3.1414

模拟次数越多，得到的π值越精确。

④ (选作) 利用Monte Carlo 方法计算空间立体的体积

??

???

?????≤+≤+≤+∈=Ω111 ),,(2222223x z z y y x R z y x 。

n=50000;nn=100;p={};

Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];z=Random[];If[x^2+y^2<=1&&y 2+z 2<=1&&z 2+x 2<=1,

m++],{k,1,n}];AppendTo[p,N[(8m)/n]], {t,1,nn}];

L=Length[p];Print[{L,p}];

If[L 1,Sum[p[[t]], {t, 1, L}]/nn,0]

{100,{4.69792,4.69056,4.70576,4.67744,4.69088,4.67696,4.65728,4.69104,4.70272,4.6552,4.7096,4.68368,4.6744,4.70064,4.66784,4.69328,4.6848,4.68896,4.6984,4.692,4.66432,4.70304,4.672,4.67248,4.68912,4.68336,4.63504,4.6744,4.67728,

4.65696,4.6656,4.68256,4.67968,4.69648,4.6984,4.70528,4.68544,4.7008,4.67024,4.6648,4.6888,4.68544,4.69728,4.70064,4.6816,4.6992,4.7136,4.6736,4.70096,4.6976,4.70496,4.64784,4.68688,4.69184,4.64384,4.69056,4.68176,4.67424,4.7032,4.67168,4.65584,4.72208,4.71088,4.69808,4.6872,4.68928,4.69904,4.66176,4.688,4.6856,4.69392,4.64512,4.66336,4.67296,4.68736,4.70208,4.67408,4.68848,4.6928,4.66208,4.69264,4.6856,4.68784,4.69168,4.67072,4.66896,4.6848,4.71568,4.68224,4.69264,4.70912,4.73136,4.7008,4.69824,4.69056,4.67296,4.70624,4.71104,4.70528,4.66512}}

4.68596

mathematica软件基本操作

mathematica软件基本操作 (一)．实验类型：验证型 (二)．实验类别：基础实验 (三)．每组人数：1 (四)．实验要求：选修 (五). 实验学时：3个学时 (三)．实验目的：（1）掌握Mathematica软件的计算器功能；（2）学会使用Mathematica软件求各种类型方程（或方程组）的数值解和符号解；（3）通过本实验深刻理解极限概念；（4）学习并掌握利用Mathematica求极限的基本方法。（5）通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法；（6）学习并掌握二重积分及线性积分的计算方法；（7）学习常用积分命令。（8）掌握求函数的导函数和偏导数方法；（9）学会使用Mathematica软件进行函数的幂级数展开。 (四)【预备知识】 （1）方程（或方程组）代数解法的基本理论，函数的零点，方程（或方程组）的解及数值解； （2）本实验所用命令： ●用“= =”连接两个代数表达式构成一个方程 ●求方程（组）的代数解： Solve[方程或方程组，变量或变量组] ●求方程（组）的数值解： NSolve[方程或方程组，变量或变量组] ●从初始值开始搜索方程或方程组的解： FindRoot[方程或方程组，变量或变量组初值] ●在界定范围内搜索方程或方程组的解： FindRoot[方程或方程组，变量或变量组范围] ●绘图命令： Plot[表达式，{变量，上限，下限}，可选项] ●微分方程求解命令： DSolve[微分方程,y[x],x] （3）极限、左极限、右极限的概念；

（4）本实验所用Mathematica 有关命令： ● Limit[expr , x ->x 0] 求表达式在0x x →时的极限 ● Limit[expr ,x ->x 0,Direction -> 1] 求左极限 ● Limit[expr ,x ->x 0,Direction ->-1] 求右极限 （5）定积分的概念、几何意义，二重积分的概念、二重积分化为定积分的过程及其计算方法； （6）本实验所用Mathematica 有关命令： ● 无限积分：Integrate[f,x] ● 定积分：Integrate[f,{x ，上限，下限}] （7）函数的导函数、偏导数以及函数的幂级数展开式； （8）本实验所用的Mathematica 函数提示： （a ）求导数（或偏导数） ● D[表达式F,x] 求F 对于变量x 的导数； ● D[表达式F,x1,x2,...] 按顺序求F 关于x 1，x 2,…的偏导数； ● D[表达式 F,{x,n}] 求F 对x 的n 阶导数。 （b ）幂级数展开 ● Series[表达式F,{x,x0,n}] 求F 关于变量x 在x 0的n 阶泰 勒展式。 (五)．实验内容 （1）计算54564546?；4567646545。 （2）对于方程0342234=+--x x x ，试用Solve 和Nsolve 分别对它进行求解，并比较得到的结果，体会代数解即精确解与数值解的差别。 （3）先观察函数x x x f cos sin )(-=的图形，然后选择一个初始点求解，并且根据图形确定在某个区间中搜索它的零点。 （4）求方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a 的解，然后代入系数和常数项的一组初 值，并求解。 （5）求微分方程x x y x y x y e )(2)(3)(=+'+''的通解。 （6）用 Mathematica 软件计算下列极限：

Mathematica数学实验——随机变量的概率分布

教师指导实验7 实验名称：随机变量的概率分布 一、问题：求二项分布、几何分布、正态分布在给定区间上的概率。 二、实验目的： 学会使用Mathematica求二项分布、几何分布、正态分布在给定区间上的概率及期望和方差。 三、预备知识：本实验所用的Mathematica命令提示 1、BinomialDistribution[n,p] 二项分布； GeometricDistribution[p] 几何分布； NormalDistribution[μ,σ] 正态分布； 2、Domain[dist] 求分布dist的定义域； PDF[dist,x] 求点x处的分布dist的密度值； CDF[dist,x] 求点x处的分布dist的函数值； Mean[dist] 求分布dist的期望；Quantile[dist,x] 求x，使CDF[dist,x]=q Variance[dist] 求分布dist的方差；StandardVariance[dist] 求分布dist的标准差； 四、实验的内容和要求： 1、取50个在1到20的随机整数，求这组数的极差、中位数、均值、方差及标准差； 2、对以上数据绘制样本频率分布直方图； 3、data1={1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, data2={3, 2, 5, 3}，在同一图表中绘制data1和data2的条形图，并作一定的修饰。 五、操作提示 1、取50个在1到20的随机整数，求这组数的极差、中位数、均值、方差及标准差； In[1]:=<

浅析蒙特卡洛方法原理及应用

浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求

Mathematica函数及使用方法

Mathematica函数及使用方法 (来源：北峰数模) --------------------------------------------------------------------- 注：为了对Mathematica有一定了解的同学系统掌握Mathematica的强大功能，我们把它的一些资料性的东西整理了一下，希望能对大家有所帮助。 --------------------------------------------------------------------- 一、运算符及特殊符号 Line1; 执行Line，不显示结果 Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果 ?name 关于系统变量name的信息 ??name 关于系统变量name的全部信息 !command 执行Dos命令 n! N的阶乘 !!filename 显示文件内容 < Expr>> filename 打开文件写 Expr>>>filename 打开文件从文件末写 () 结合率 [] 函数 {} 一个表 <*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数

(*Note*) 程序的注释 #n 第n个参数 ## 所有参数 rule& 把rule作用于后面的式子 % 前一次的输出 %% 倒数第二次的输出 %n 第n个输出 var::note 变量var的注释"Astring " 字符串 Context ` 上下文 a+b 加 a-b 减 a*b或a b 乘 a/b 除 a^b 乘方 base^^num 以base为进位的数 lhs&&rhs 且 lhs||rhs 或 !lha 非 ++,-- 自加1，自减1 +=,-=,*=,/= 同C语言 >,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c）

蒙特卡罗方法学习总结

图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验

x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞

Mathematica函数大全(内置)

Mathematica函数大全--运算符及特殊符号一、运算符及特殊符号 Line1;执行Line，不显示结果 Line1,line2顺次执行Line1，2，并显示结果 ?name关于系统变量name的信息 ??name关于系统变量name的全部信息 !command执行Dos命令 n! N的阶乘 !!filename显示文件内容 > filename打开文件写 Expr>>>filename打开文件从文件末写 () 结合率 []函数 {}一个表 <*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数 (*Note*)程序的注释 #n第n个参数 ##所有参数 rule& 把rule作用于后面的式子 %前一次的输出 %%倒数第二次的输出 %n第n个输出 var::note变量var的注释 "Astring "字符串 Context ` 上下文 a+b 加

a-b减 a*b或a b 乘 a/b除 a^b 乘方 base^^num以base为进位的数 lhs&&rhs且 lhs||rhs或 !lha非 ++,-- 自加1，自减1 +=,-=,*=,/= 同C语言 >,<,>=,<=,==,!=逻辑判断（同c） lhs=rhs立即赋值 lhs:=rhs建立动态赋值 lhs:>rhs建立替换规则 expr//funname相当于filename[expr] expr/.rule将规则rule应用于expr expr//.rule 将规则rule不断应用于expr知道不变为止param_ 名为param的一个任意表达式（形式变量）param__名为param的任意多个任意表达式（形式变量） 二、系统常数 Pi 3.1415....的无限精度数值 E 2.17828...的无限精度数值 Catalan 0.915966..卡塔兰常数 EulerGamma 0.5772....高斯常数 GoldenRatio 1.61803...黄金分割数 Degree Pi/180角度弧度换算 I复数单位 Infinity无穷大

mathematica数学实验报告

高等数学实验报告 实验一 一、实验题目 1：作出各种标准二次曲面的图形 ParametricPlot3D Sin u Sin v,Sin u Cos v,Cos u ,u,0,Pi ,v,0,2Pi,P Graphics3D ParametricPlot3D u Sin v,u Cos v,u^2,u,0,2,v,0,2Pi,PlotPoints30

Graphics3D ParametricPlot3D u,v,u^2v^2,u,2,2,v,2,2,PlotPoints30 Graphics3D ParametricPlot3D Sec u Sin v,Sec u Cos v,Tan u,u,Pi4,Pi4,v,0,2

Graphics3D t1ParametricPlot3D u^21Sin v,u^21Cos v,u,u,1,5,v,0,2Pi t2ParametricPlot3D u^21Sin v,u^21Cos v,u,u,5,1,v,0,2 show t1,t2 Graphics3D

Graphics3D show Graphics3D,Graphics3D ParametricPlot3D u Cos v,u Sin v,u,u,6,6,v,0,2Pi,PlotPoints60 Graphics3D 2：作出曲面所围的图形 t1ParametricPlot3D Sin u Sin v,Sin u Cos v,Cos u, u,Pi2,pi2,v,0,2Pi,PlotPoints60 t2ParametricPlot3D0.5Cos u12,0.5Sin u, u,0,2Pi,v,0,2Pi,PlotPoints60 t3Plot3D0,PlotPoints60 show t1,t2,t3

Mathematica数学软件系统使用入门

Ch1. a Mathematic 概述 1.1a Mathematic 的工作环境 a Mathematic 的基本系统是用C 语言编写的，因此能够方便的移植到各种计算机系统上。 打开a Mathematic ，可以看到它是一个窗口软件，包括一个执行各种功能的工作条（屏幕顶端）和一个工作区窗口。激活工作区窗口，输入希望的计算式（如：“3+8-4”），同时按下“Shift ”和“Enter ”键便可执行计算。 使用a Mathematic 的几个注意点： 1. 每次使用a Mathematic ，第一次计算时间较长，这是系统在进行初始化工作，从第二次计算开始就很快了。 2. 输入计算公式和普通文本输入一样，系统将把每次输入记录在案，并自动给每个输入记录用“In[n]”编号，计算结果用“Out[n]”编号。“%”表示上一次计算结果，“%n ”表示“Out[n]”的内容，这样可以减少重复输入。 3. 输完计算式后，同时按下“Shift ”和“Enter ”键，a Mathematic 将完成计算。 4. 必须严格按照系统所规定的格式输入算式，否则将无法完成计算任务，通常给出一段文字，告诉你出错的（可能）原因。 1.2a Mathematic 的基本功能 1.基本计算功能,如： In[1]:= 3+8-4 Out[1]= 7 In[2]:= 12.5^3 (*即12.53*) Out[2]= 1953.13 2.强大的符号计算功能 a Mathematic 的最大特点是能进行符号计算。如: (1) 解方程x a x 2=+ In[3]:= Out[3]=I 注意，方程的解用“ ”代替了“=”。 (2) 求不定积分dx x e x ?sin In[4]:= Out[4]= 注意，不定积分的任意常数C 均省略。

mathematica 数学实验报告 实验一

数学实验报告 实 验 一 数学与统计学院 信息与计算科学(1)班 郝玉霞 0107

数学实验一 一、实验名：微积分基础 二、实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。 三、实验环境：学校机房，工具：计算机,软件：Mathematica。 四、实验的基本理论和方法：利用Mathematica作图来验证高中数学知识与大学数学内容。 五、实验的内容和步骤及结果 内容一、验证定积分 dt t s x ?= 1 1 与自然对数 x b ln= 是相等的。 步骤1、作积分 dt t s x ?= 1 1 的图象； 语句：S[x_]:=NIntegrate[1/t,{t,1,x}] Plot[S[x],{x,,10}] 实验结果如下： 图1 dt t s x ?= 1 1 的图象 步骤2、作自然对数 x b ln= 的图象 语句：Plot[Log[x],{x,,10}]实验结果如下： 图2 x b ln= 的图象 步骤3、在同一坐标系下作以上两函数的图象语句：Plot[{Log[x],S[x]},{x,,10}] 实验结果如下： 图3 dt t s x ?= 1 1 和 x b ln= 的图象

内容二、观察级数与无穷乘积的一些基本规律。 （1）在同一坐标系里作出函数和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数，，的图象，观察这些多项式函数的图象向的图像逼近的情况。 语句1： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下： 图4和它的二阶Taylor展开式的图象 语句2： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,3]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,1]}] 实验结果如下： 图5和它的三阶Taylor展开式的图象 语句3： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,4]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,0]}] 实验结果如下： 图6和它的四阶Taylor展开式的图象 语句4： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,5]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[1,0,0]}] 实验结果如下： 图7和它的五阶Taylor展开式的图象 语句5： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2],s[x,3],s[x,4],s[x,5] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如下： 图8 和它的二、三、四、五阶Taylor展开式的图象 （2）分别取n=10，20，100，画出函数在区间[-3π，3π]上的图像，当n→∞时，这个函数趋向于什么函数 语句1： f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}] Plot[f[x,10],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}]

数学 mathematics

数学mathematics, maths(BrE), math(AmE) 公理axiom 定理theorem 计算calculation 运算operation 证明prove 假设hypothesis, hypotheses(pl.) 命题proposition 算术arithmetic 加plus(prep.), add(v.), addition(n.) 被加数augend, summand 加数addend 和sum 减minus(prep.), subtract(v.), subtraction(n.) 被减数minuend 减数subtrahend 差remainder 乘times(prep.), multiply(v.), multiplication(n.) 被乘数multiplicand, faciend 乘数multiplicator 积product 除divided by(prep.), divide(v.), division(n.) 被除数dividend 除数divisor 商quotient 等于equals, is equal to, is equivalent to 大于is greater than 小于is lesser than 大于等于is equal or greater than

小于等于is equal or lesser than 运算符operator 数字digit 数number 自然数natural number 整数integer 小数decimal 小数点decimal point 分数fraction 分子numerator 分母denominator 比ratio 正positive 负negative 零null, zero, nought, nil 十进制decimal system 二进制binary system 十六进制hexadecimal system 权weight, significance 进位carry 截尾truncation 四舍五入round 下舍入round down 上舍入round up 有效数字significant digit 无效数字insignificant digit 代数algebra 公式formula, formulae(pl.) 单项式monomial 多项式polynomial, multinomial

蒙特卡罗方法并行计算

Monte Carlo Methods in Parallel Computing Chuanyi Ding ding@https://www.sodocs.net/doc/0f2116994.html, Eric Haskin haskin@https://www.sodocs.net/doc/0f2116994.html, Copyright by UNM/ARC November 1995 Outline What Is Monte Carlo? Example 1 - Monte Carlo Integration To Estimate Pi Example 2 - Monte Carlo solutions of Poisson's Equation Example 3 - Monte Carlo Estimates of Thermodynamic Properties General Remarks on Parallel Monte Carlo What is Monte Carlo? ? A powerful method that can be applied to otherwise intractable problems ? A game of chance devised so that the outcome from a large number of plays is the value of the quantity sought ?On computers random number generators let us play the game ?The game of chance can be a direct analog of the process being studied or artificial ?Different games can often be devised to solve the same problem ?The art of Monte Carlo is in devising a suitably efficient game.

数学 mathematics

数学mathematics, maths（BrE）, math（AmE） 被除数dividend 除数divisor 商quotient 等于equals, is equal to, is equivalent to 大于is greater than 小于is lesser than 大于等于is equal or greater than 小于等于is equal or lesser than 运算符operator 数字digit 数number 自然数natural number 公理axiom 定理theorem 计算calculation 运算operation 证明prove 假设hypothesis, hypotheses（pl.） 命题proposition 算术arithmetic 加plus（prep.）, add（v.）, addition （n.）被加数augend, summand 加数addend 和sum 减minus（prep.）, subtract （v.）, subtraction（n.） 被减数minuend 减数subtrahend 差remainder 乘times（prep.）, multiply（v.）, multiplication（n.） 被乘数multiplicand, faciend 乘数multiplicator 积product 除divided by（prep.）, divide （v.）, division（n.） 整数integer 小数decimal 小数点decimal point 分数fraction 分子numerator 分母denominator 比ratio 正positive 负negative 零null, zero, nought, nil

Mathematica软件快速上手指南11

Mathematica 软件快速上手指南(11) ———数学课件制作简介 梁肇军 (华中师范大学数学系,湖北　武汉　430079) 中图分类号:G 434 文献标识码:B 文章编号:0488-7395(2001)09-0005-02 收稿日期:2001-02-20 作者简介:梁肇军(1938— ),男,广西柳州人,华中师范大学数学系教授.1　课件制作的基本程序　一篇优秀的数学课件,必须具备下述三个条件: 1.能体现现代、先进的教育思想,符合教育的科学 原理.2.能充分反映计算机在教学中的独特作用,利用其超强的计算能力,精确、快速的图形效果,能实时调控以及具有动画功能等.3.符合数学的基本原理,内容科学.因此,我们分下述三步来进行一篇数学课件的制作. 1.1　选取数学课件的脚本　 数学课件的脚本,可以是一本教材,也可以是一个讲稿,或者是课本中的某一章某一节内容,按照讲义的要求处理,力求简练. 内容选取以后,我们需要把讲授的文稿设计成框图,框图里的信息力求简明扼要,框图里的内容要有先后顺序安排.同时,要设计一定的师生交流以及人机交流的内容.当然,巩固练习的安排也是必不可少的.由于计算机的内存有限,在这里我们还要考虑课件所需计算机存贮空间的分配. 1.2　按照教育教学原理,把脚本进行适当的编排、 增补　 在排列学习项目时,应注意分析问题、逻辑推理的合理性和思维过程的流畅性.同时,适当地安排一些具有意外性的内容,对学生具有挑战性,能引起学生学习上的兴趣.为了避免学生在长期的紧张、连续的学习中产生疲劳,把学习过程分为若干个阶段是适宜而且应该的.在学习结束时,针对学生在练习中反映的问题,课件的最后应安排一定的小结内容. 在利用计算机进行辅助教学中,对计算机的实时调控,图形的逼真,动画的直观,以及教师与学生的对话、人机互动等等,要能深刻体现教育教学基本规律,要能充分调动学生学习的积极性. 1.3　数学式的软件语言处理　 我们可以把课件内容大致分为两部分:一类是静态的,如中西文文字说明,图形,表格数据等,这部分内容制作者只需将其按Mathematica 系统的对其的输入要求录入到课件中即可;另一类是动态的,如代数式的实时运算,作图,动画,比较(包括代数式中某此数据修改后的结果对比,图形叠加,加色,数学模型中的适时调控等).下面将从中西文文字、作图、动画等三个方面来说明如何用Mathematica 软件语言处理上述数学式.至于Mathematica 系统在建立数学模型、开放实验等方面的有关问题,我们将另文说明. 中西文文字、图形、表格、数据(含代数式)在数学课件中主要起说明作用,除图形外其它的都可以直接利用键盘输入,只不过代数式的输入要按照Mathem 2 atica 系统规定的格式对它进行处理.对于图形,我们 可以通过函数作图或者是图元作图,即先输入一行正确的命令,然后运行它,输出结果即为需要的图形,存盘后即可保留在文稿上.对某些需要输出结果的代数式,也可如上办理.需要运算的代数式要放在独立的单元Cell 里,一个完整代数式建立一个独立的单元.由于计算机的计算速度快,一般几秒钟即可完成,为了教学的需要,我们需要把代数式分成几个部分,一步一步地让计算机执行.如化简一个代数式,我们可 5 2001年第9期 数学通讯

Microsoft Mathematics三种数学工具的介绍(李红权)

Microsoft Mathematics三种数学工具的介绍 深圳第二实验学校李红权 Microsoft Mathematics 在在“主页”选项卡上的“工具”组中,显示了四 种特定的计算工具按钮—方程求解器、公式和方程、三角求解器、单位转换器．如图 1. 图1 利用＂方程求解器＂可以同时求解一个或多个方程。在方程求解器，您可以输入单个方程或方程组，然后将在Microsoft Mathematics 工作表中显示方程的解。本教程之《求方程组的解和求曲线交点坐标》一文已经介绍过，此处赘述. “公式和方程”就是常用公式库和方程库，其中为您准备了数学（包括代数、几何学、三角学、指数定律、对数性质及常数）和科学学科（包括物理学和化学）的常用公式、常量和方程。您可以方便地单击某个方程来对某特定变量绘图和求解。如图2图3，可以方便在输入一个含有４个参数的椭圆方程． 图 2

图 3中绘制出的椭圆方程，四个参数a 、b 、h 、k 都可以通过动画效果按钮进行调节，调范围也是可以改变的． 图 3 “三角求解器”就是一个解三角 形的工具．输入足可解三角形的边角 书籍条件，哪怕有两个解，其结果都 会瞬间＂显示＂出来． 如图 4，同时还可以在＂计算法则＂ 下显示，用于从输入的已知边和角的 度量计算未知边和角的度量的定理和 公理。在＂三角形类型＂下三角形的 类型情况。在＂高和面积＂下显示， 三个条高和三角形的面积的数据。 边与角六个元素中，三个阴影部 分表示，求出来的结果． ＂单位转换器＂可帮助您将度量从一个度量单位转换为另一个度量单位。 如长度、 图 4

面积、体积、质量、温度、压强、重量、能量、功率、速度、时间、力等方面的单位转换．如图5 图 5

Mathematica软件进行拟合

实验九数据的曲线拟合 一、实验目的与要求 学会利用Mathematica软件对已知数据进行拟合处理，并针对拟合结果的图形显示分析拟合函数的优劣 二、实验的基本知识 熟知一些曲线及其方程 三、实验的具体内容 例1现有一组实测数据 解输入数据表 L={{0,0.3},{0.2,0.45},{0.3,0.47},{0.52,0.50},{0.64,0.38},{0.7,0.33},{1.0,0.24}} 由于假设用一元二次函数拟合，因而经验函数表为{1 , x , x^2} 键入f=Fit[L,{1, x , x^2},x] 为观察拟合情况，我们在一个图上画出数据点和拟合函数，键入 ListPlot[L,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}] Plot[f,{x , -0.2 , 1.2}] Show[%,%%] 或键入fp= ListPlot[L,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}] gp= Plot[f,{x , -0.2 , 1.2}] Show[fp,gp] 运行可得拟合函数为0.33129+0.596026x-0.71812x2，并且从图形中可以观察拟合的结果，若散点图与曲线拟合不够理想，可以考虑用更高次的多项式或其它函数进行拟合。 例 2 在某化学反应里，由实验得到生物的浓度与时间的关系如下，求浓度与时间关系的拟合曲线 t（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 y 4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 t（分）9 10 11 12 13 14 15 16 y 10.0 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6 解为确定拟合函数的类型，可先在直角坐标系中作出散点图，键入 t1={{1,4},{2,6.4,{3,8.0}},{4.8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10.0},{10,10.2}, {11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}} t2=ListPlot[t1,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}] 若用四次多项式进行拟合，则键入 t3=Fit[t1,Table[x^I,{I,0,4}],x] t4=Plot[t3,{x,0,17},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0]}] Show[t2,t4] 运行后，可得拟合函数的表达式以及散点图与拟合函数图，从图中可见二者的吻合情况是否满意。此例中，亦可用对数函数进行拟合，为此键入 t5=Fit[t1,{log[x],1},x]

蒙特卡洛算法简介

算法简介 蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 编辑本段背景知识 [1946: John von Neumann, Stan Ulam, and Nick Metropolis, all at the Los Alamos Scientific Laboratory, cook up the Metropolis algorithm, also known as the Monte Carlo method.] 1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和Nick Metropolis共同发明，被称为蒙特卡洛方法。它的具体定义是：在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，现在要计算这个不规则图形的面积，怎么计算列?蒙特卡洛(Monte Carlo)方法告诉我们，均匀的向该正方形内撒N（N 是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个，那么，这个奇怪形状的面积便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看这两个实数是否在单位圆内。生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，（圆面积和正方形面积之比为PI:1，PI为圆周率），当随机点取得越多（但即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合）时，其结果越接近于圆周率。摘自《细数二十世纪最伟大的十种算法》CSDN JUL Y译 编辑本段算法描述 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。比如，给定x=a，和x=b，你要求某一曲线f和这两竖线，及x轴围成的面积，你可以起定y轴一横线y=c 其中c>=f(x)max，很简单的，你可以求出y=c，x=a，x=b及x轴围成的矩形面积，然后利用随机产生大量在这个矩形范围之内的点，统计出现在曲线上部点数和出现在曲线下部点的数目，记为：doteUpCount，nodeDownCount，然后所要求的面积可以近似为doteDownCounts所占比例*矩形面积。 编辑本段问题描述 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S中占的比例K=S1/S就立即能得到S1，从而得到Pi的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比m/n作为k的近似值。P落在扇形内的充要条件是x^2+y^2<=1。

用蒙特卡罗方法计算π值实验报告

本科生实验报告 实验课程蒙特卡罗模拟 学院名称核技术与自动化工程学院专业名称核技术及应用 学生姓名王明 学生学号2017020405 指导教师 邮箱511951451@https://www.sodocs.net/doc/0f2116994.html, 实验成绩 二〇一七年九月二〇一八年一月

实验一、选择一种编程语言模拟出π的值 一、实验目的 1、理解并掌握蒙特卡罗模拟的基本原理； 2、运用蒙特卡洛思想解决实际问题； 3、分析总结蒙特卡洛解决问题的优缺点。 二、实验原理 用蒙特卡洛思想计算π的值分为如下几部： 第一步构建几何原理：构建单位圆外切正方形的几何图形。单位圆的面积为S0=π，正方形的面积S1=4； 第二步产生随机数进行打把：这里用MATLAB产生均匀随机数。分别生产均匀随机数(x,y)二维坐标。X,y的范围为-1到1.总共生成N个坐标(x,y).统计随机生成的坐标(x,y)在单位圆内的个数M。 第三步打把结构处理：根据S0/S1=M/N计算出π的值。因此π=4*M/N。 第四步改变N的值分析π的收敛性：总数1000开始打把，依次增长10倍到1百

万个计数。 三、实验内容 1、用matlab编写的实验代码，总计数率为1000。zfx_x=[1,-1,-1,1,1]; zfx_y=[1,1,-1,-1,1]; plot(zfx_x,zfx_y) axis([-3 3 -3 3]); hold on; r=1; theta=0:pi/100:2*pi; x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); rho=r*sin(theta); figure(1) plot(x,y,'-') N=1000; mcnp_x=zeros(1,N); mcnp_y=zeros(1,N); M=0; for i=1:N x=2*(rand(1,1)-0.5); y=2*(rand(1,1)-0.5); if((x^2+y^2)<1) M=M+1; mcnp_x(i)=x; mcnp_y(i)=y; end end plot(mcnp_x,mcnp_y,'.') PI1=4*M/N; 2、用matlab绘制的图形