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空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量与立体几何

【知识要点】

1.空间向量及其运算:

(1)空间向量的线性运算:

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算:平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立.

②空间向量的线性运算的运算律:

加法交换律:a+b=b+a;

加法结合律:(a+b+c)=a+(b+c);

分配律:( + )a= a+ a; (a+b)= a+ b.

(2)空间向量的基本定理:

①共线(平行)向量定理:对空间两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数 ,使得a∥ b.

②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是存在惟一一对实数 , ,使得c= a+ b.

③空间向量分解定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组 1, 2, 3,使得p= 1a+ 2b+ 3c.

(3)空间向量的数量积运算:

①空间向量的数量积的定义:a·b=|a||b|c os〈a,b〉;

②空间向量的数量积的性质:

a·e=|a|c os<a,e>;a⊥b a·b=0;

|a|2=a·a;|a·b|≤|a||b|.

③空间向量的数量积的运算律: ( a )·b = (a ·b ); 交换律:a ·b =b ·a ;

分配律:(a +b )·c =a ·c +b ·c . (4)空间向量运算的坐标表示:

①空间向量的正交分解:建立空间直角坐标系Oxyz ,分别沿x 轴,y 轴,z 轴的正方向引单位向量i ,j ,k ,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ,j ,k },由空间向量分解定理,对于空间任一向量a ,存在惟一数组(a 1,a 2,a 3),使a =a 1i +a 2j +a 3k ,那么有序数组(a 1,a 2,a 3)就叫做空间向量a 的坐标,即a =(a 1,a 2,a 3).

②空间向量线性运算及数量积的坐标表示: 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则

a +

b =(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3);a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3); a =( a 1, a 2, a 3);a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3.

③空间向量平行和垂直的条件:

a ∥

b (b ≠0)?a = b ?a 1= b 1,a 2= b 2,a 3= b 3( ∈R ); a ⊥b ?a ·b =0?a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0.

④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式: 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则

;||,||232

221232221b b b a a a ++==++==??b b b a a a

;||||,cos 23

2221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=

a b a

在空间直角坐标系中,点A (a 1,a 2,a 3),B (b 1,b 2,b 3),则A ,B 两点间的距离是

.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=

2.空间向量在立体几何中的应用:

(1)直线的方向向量与平面的法向量:

①如图,l 为经过已知点A 且平行于已知非零a t OA OP +=向量a 的直线,对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得,其中向量a 叫做直线的方向向量.

由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.

②如果直线l ⊥平面 ,取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面 的法向量. 由此可知,给定一点A 及一个向量a ,那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定.

(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:

设直线l ,m 的方向向量分别是a ,b ,平面 , 的法向量分别是u ,v ,则 ①l ∥m ?a ∥b ?a =k b ,k ∈R ; ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b =0; ③l ∥ ?a ⊥u ?a ·u =0; ④l ⊥ ?a ∥u ?a =k u ,k ∈R ; ⑤ ∥?u ∥v ?u =k v ,k ∈R ; ⑥ ⊥ ?u ⊥v ?u ·v =0.

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题:

①异面直线所成的角:设a ,b 是两条异面直线,过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角.

设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1,v 2,a 与b 的夹角为 ,显然],2

π,0(∈θ则

?=

>

||||

||,cos |212121v v v v v v

②直线和平面所成的角:直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.

设直线a 的方向向量是u ,平面 的法向量是v ,直线a 与平面 的夹角为 ,显

]2

π,0[∈θ,则?=

>

||||

||,cos |v u v u v u

③二面角及其度量:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作 -l - 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 叫做二面角 -l - 的平面角.

利用向量求二面角的平面角有两种方法: 方法一:

如图,若AB ,CD 分别是二面角 -l - 的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角 -l - 的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小.

方法二:

如图,m1,m2分别是二面角的两个半平面 , 的法向量,则〈m1,m2〉与该二面角的大小相等或互补.

(4)根据题目特点,同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题.

【复习要求】

1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示;能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.

6.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.

【例题分析】

例1如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且B1S=2SB,点Q,R分别是O1B1,AE的中点,求证:PQ∥RS.

【分析】建立空间直角坐标系,设法证明存在实数k ,使得.RS k PQ =

解:如图建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (3,0,0),B (0,4,0),O 1(0,0,2),A 1(3,0,2),B 1(0,4,2),E (3,4,0).

∵AP =2PA 1, ∴),3

4,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴?)3

4

,0,3(P

同理可得:Q (0,2,2),R (3,2,0),?)3

2,4,0(S

,)3

2

,2,3(RS PQ =-=

∴RS PQ //,又R ?PQ ,

∴PQ ∥RS .

【评述】1、证明线线平行的步骤: (1)证明两向量共线;

(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.

2、本体还可采用综合法证明,连接PR ,QS ,证明PQRS 是平行四边形即可,请完成这个证明.

例2 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N ,E ,F 分别是棱A 1D 1,A 1B 1,D 1C 1,

B 1

C 1的中点,求证:平面AMN ∥平面EFB

D .

【分析】要证明面面平行,可以通过线线平行来证明,也可以证明这两个平面的法向量平行.

解法一:设正方体的棱长为4,如图建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (4,0,0),M (2,0,4),N (4,2,4),B (4,4,0),E (0,2,4),F (2,4,4).

取MN 的中点K ,EF 的中点G ,BD 的中点O ,则O (2,2,0),K (3,1,4),G (1,3,4).

MN =(2,2,0),EF =(2,2,0),AK =(-1,1,4),OG =(-1,1,4),

∴MN ∥EF ,OG AK =,∴MN//EF ,AK//OG , ∴MN ∥平面EFBD ,AK ∥平面EFBD , ∴平面AMN ∥平面EFBD .

解法二:设平面AMN 的法向量是a =(a 1,a 2,a 3),平面EFBD 的法向量是

b =(b 1,b 2,b 3).

由,0,0==??AN AM a a 得??

?=+=+-,

042,

0423231a a a a 取a 3=1,得a =(2,-2,1).

由,0,0==??BF DE b b 得??

?=+-=+,

042,

0423132b b b b 取b 3=1,得b =(2,-2,1).

∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD .

注:本题还可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试.

例3 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 是棱A 1B 1,B 1B 的中点,求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值.

解法一:设正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (2,0,0),M (2,1,2),C (0,2,0),N (2,2,1).

∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM

设AM 和CN 所成的角为 ,则,5

2|

|||cos =

=

?CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是

?5

2 解法二:取AB 的中点P ,CC 1的中点Q ,连接B 1P ,B 1Q ,PQ ,PC . 易证明:B 1P ∥MA ,B 1Q ∥NC ,

∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角. 设正方体的棱长为2,易知,6,52211=+=

=

=QC PC PQ Q B P B

∴,5

2

2cos 11221211=-+=?Q B P B PQ Q B P B Q PB

∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是

?5

2

【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角,因此按向量的夹角公式计算时,分子的数量积如果是负数,则应取其绝对值,使之成为正数,这样才能得到异面直线所成的角(锐角).

例4 如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小.

【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时有两种思路:一是由定义找出线面角,再用向量方法计算;二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解.

解法一:如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (0,a ,0),),2,0,0(1a A

?-

)2,2

,23(1a a

a C 取A 1B 1的中点D ,则)2,2,0(a a D ,连接AD ,C 1D .

则),2,0,0(),0,,0(),0,0,2

3(1a AA a AB a

DC ==-

= ,0,0111==??AA DC AB DC

∴DC 1⊥平面ABB 1A 1,

∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角.

),2,2,0(),2,2,23(1a a

AD a a a AC =-

= 2

3

|

|||cos 111==

∴?AD AC AD AC AD C , ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°.

解法二:如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (0,a ,0),A 1(0,0,a 2),

)2,2,23(1a a a C -

,从而?-===)2,2

,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a =(p ,q ,r ), 由,0,01==??AA AB a a

得?

??==,02,0ar aq 取p =1,得a =(1,0,0).

设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2

π

,0[,∈θθ

.30,2

1

|

||||||,cos |sin 111 ==

=

??=?θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系,再利用向量的知识求解线面角;解法二给出了一般的方法,即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换.

例5 如图,三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AC ⊥BC ,PA =AC =1,2=BC ,

求二面角A -PB -C 的平面角的余弦值.

解法一:取PB 的中点D ,连接CD ,作AE ⊥PB 于E . ∵PA =AC =1,PA ⊥AC , ∴PC =BC =2,∴CD ⊥PB . ∵EA ⊥PB ,

∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小.

如图建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (1,0,0),B (0,2,0),P (1,0,1),

由D 是PB 的中点,得D ?)2

1

,22,

21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点,从而?)4

3

,42,43(E ∴)2

1

,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴?=

>=

3

|

|||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A -PB -C 的平面角的余弦值是

?3

3 解法二:如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),)0,1,2(B ,C (0,1,0),P (0,0,1),

).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP

设平面PAB 的法向量是a =(a 1,a 2,a 3), 平面PBC 的法向量是b =(b 1,b 2,b 3).

由,0,0==??AB AP a a

得?????=+=,

02,0213a a a 取a 1=1,得).0,2,1(-=a 由0,0==??CP CB b b 得?????=+-=,0,023

21b b b 取b 3=1,得b =(0,1,1).

∴?-=>=

|||,cos b a b a b a

∵二面角A -PB -C 为锐二面角, ∴二面角A -PB -C 的平面角的余弦值是?=-

3

3

|33| 【评述】1、求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.

2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角,但我们可以借助观察图形而得到结论,这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.

例6 如图,三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,PA =AB ,∠ABC =60°,∠BCA =90°,点D ,E 分别在棱PB ,PC 上,且DE ∥BC .

(Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成角的余弦值;

(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ,使得二面角A -DE -P 为直二面角?若存在,求出

PE ∶EC 的值;若不存在,说明理由.

解:如图建立空间直角坐标系.

设PA =a ,由已知可得A (0,0,0),).,0,0(),0,2

3,0(),0,23,2

1(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,2

1

(),,0,0(a BC a AP ==

∴,0=?BC AP ∴BC ⊥AP .又∠BCA =90°,∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .

(Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE ∥BC ,∴E 为PC 的中点.

∴?-)2

1,43,0(),21,43,

41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知,BC ⊥平面PAC ,∴DE ⊥平面PAC , ∴∠DAE 是直线AD 与平面PAC 所成的角.

∴),21,43,0(),21,43,

41(a a AE a a a AD =-= ∴,4

14

|

|||cos ==

∠?AE AD AE AD DAE 即直线AD 与平面PAC 所成角的余弦值是

?4

14 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,DE ⊥平面PAC ,∴DE ⊥AE ,DE ⊥PE , ∴∠AEP 是二面角A -DE -P 的平面角. ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AC ,∠PAC =90°.

∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE ⊥PC ,

这时,∠AEP =90°,且

?==3

4

22AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A -DE -P 是直二面角,此时PE ∶EC =4∶3. 注:本题还可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试.

练习1-3

一、选择题:

1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BB 1的中点,则二面角E -A 1D 1-D 的平面角的正切值是( ) (A)2

(B)2

(C)5

(D)22

2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30°

(B)45°

(C)60°

(D)90°

3.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心,则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )

(A)

3

1 (B)

3

2 (C)

3

3 (D)

3

2 4.如图, ⊥ , ∩ =l ,A ∈ ,B ∈ ,A ,B 到l 的距离分别是a 和b ,

AB 与 , 所成的角分别是 和?,AB 在 , 内的射影分别是m 和n ,

若a >b ,则下列结论正确的是( )

(A) >?,m >n (B) >?,m <n (C) <?,m <n

(D) <?,m >n

二、填空题:

5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别为AA 1,AB ,BB 1,B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______.

6.已知正四棱柱的对角线的长为6,且对角线与底面所成角的余弦值为

3

3

,则该正四棱柱的体积等于______.

7.如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______.

8.四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,=

=BC AB AD 2

1

,PA ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°.设AE 与CD 所成的角为 ,则cos

=______.

三、解答题:

9.如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB =4,点E 在CC 1上,且C 1E =3EC .

(Ⅰ)证明:A 1C ⊥平面BED ;

(Ⅱ)求二面角A 1-DE -B 平面角的余弦值.

10.如图,在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,4

π

=

∠ABC ,OA ⊥底面ABCD ,OA =2,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点.

(Ⅰ)证明:直线MN ∥平面OCD ;

(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小.

11.如图,已知直二面角 -PQ - ,A ∈PQ ,B ∈ ,C ∈ ,CA =CB ,∠BAP

=45°,直线CA 和平面 所成的角为30°.

(Ⅰ)证明:BC ⊥PQ ;

(Ⅱ)求二面角B -AC -P 平面角的余弦值.

习题1

一、选择题:

1.关于空间两条直线a 、b 和平面 ,下列命题正确的是( ) (A)若a ∥b ,b ? ,则a ∥ (B)若a ∥ ,b ? ,则a ∥b (C)若a ∥ ,b ∥ ,则a ∥b

(D)若a ⊥ ,b ⊥ ,则a ∥b

2.正四棱锥的侧棱长为23,底面边长为2,则该棱锥的体积为( ) (A)8

(B)

3

8 (C)6 (D)2

3.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)

4

6 (B)

4

10 (C)

2

2 (D)

2

3 4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何 体的体积是( )

(A)

3cm 3

4000

(B)

3cm 3

8000

(C)2000cm 3

(D)4000cm 3

5.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形,则该棱柱的体积等于( ) (A)2

(B)22

(C)23

(D)24

二、填空题:

6.已知正方体的内切球的体积是π34,则这个正方体的体积是______.

7.若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1,AB 1与底面ABCD 成60°角,则直线

AB 1和BC 1所成角的余弦值是______.

8.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是______. 9.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于

3472、,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为______.

10.已知AABC 是等腰直角三角形,AB =AC =a ,AD 是斜边BC 上的高,以AD 为折痕使

∠BDC 成直角.在折起后形成的三棱锥A -BCD 中,有如下三个结论: ①直线AD ⊥平面BCD ; ②侧面ABC 是等边三角形;

③三棱锥A -BCD 的体积是

.24

23

a 其中正确结论的序号是____________.(写出全部正确结论的序号) 三、解答题:

11.如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 是BC 的中点,AB =AA 1.

(Ⅰ)求证:AD ⊥B 1D ; (Ⅱ)求证:A 1C ∥平面A 1BD ;

(Ⅲ)求二面角B -AB 1-D 平面角的余弦值.

12.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,PA=AC=2,AB=1,M为PC的中点.

(Ⅰ)求证:平面PCB⊥平面MAB;

(Ⅱ)求三棱锥P-ABC的表面积.

13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=2,M、N分别是A1C1、BC1的中点.

(Ⅰ)求证:BC1⊥平面A1B1C;

(Ⅱ)求证:MN∥平面A1ABB1;

(三)立体几何与空间向量

(三)立体几何与空间向量 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P A⊥平面ABCD,P A=AB,M是PC上一点,且BM⊥PC. (1)求证:PC⊥平面MBD; (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC,由P A⊥平面ABCD, BD?平面ABCD,得BD⊥P A, 又BD⊥AC,P A∩AC=A, P A,AC?平面P AC, ∴BD⊥平面P AC,又PC?平面P AC,∴PC⊥BD. 又PC⊥BM,BD∩BM=B, BD,BM?平面MBD, ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD, 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A=1,则BC=1,PC=3,PB= 2. ∴PC2=PB2+BC2,∴PB⊥BC,又BM⊥PC, ∴sin∠PBM=cos∠BPC=PB PC=2 3 = 6 3, 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz(如图所示),

不妨设P A =AB =1, 则P (0,0,1),B (1,0,0),C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → =(1,1,-1), 而PB → =(1,0,-1). ∴cos 〈PB →,PC → 〉=(1,0,-1)·(1,1,-1)2×3=63, 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图,已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形,AC ∥DF ,四边形BCDE 为直角梯形,且DE ∥BC ,BC ⊥CD ,点G 为△ABC 的重心,N 为AB 的中点,AG ⊥平面BCDE ,M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证:GM ∥平面DFN ; (2)若二面角M -BC -D 的余弦值为 7 4 ,试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ,连接ON ,OF . 因为点G 为△ABC 的重心, 所以AG AO =2 3,且O 为BC 的中点. 又由题意知,AM →=23AF → , 所以AG AO =AM AF =23, 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点,

高中数学必背公式——立体几何与空间向量(供参考)

高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习: 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化: 线线平行 线面平行 面面平行,线线垂直 线面垂直 面面垂直。 4.求角:(1)异面直线所成的角: 可平移至同一平面;也可利用空间向量:cos |cos ,|a b θ=<>= 1212122 222 2 2 1 1 1 222 |||||| a b a b x y z x y z ?= ?++?++(其中θ(090θ<≤)为异面直线a b ,所成角,,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量)。 (2)直线与平面所成的角: 在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角;也可利用空间向量,直线AB 与平面所成角sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). (3)二面角: 方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法; 方法二:向量法:二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos ||||m n arc m n π?- (m ,n 为平面α,β 的法向量). 5. 求空间距离: (1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性”; (2)两条异面直线的距离:|| || AB n d n ?= (n 同时垂直于两直线,A 、B 分别在两直线上); (3)求点面距: || || AB n d n ?= (n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈); (3)线面距、面面距都转化为点面距。 题型一:空间几何体的三视图、体积与表面积 例1:已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,

立体几何与空间向量

中档大题规范练2 立体几何与空间向量 1.如图,在四棱锥P —ABCD 中,侧面P AD ⊥底面ABCD ,侧棱P A =PD =2,P A ⊥PD ,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1,O 为AD 的中点. (1)求证:PO ⊥平面ABCD ; (2)求B 点到平面PCD 的距离; (3)线段PD 上是否存在一点Q ,使得二面角Q —AC —D 的余弦值为 63?若存在,求出PQ QD 的值;若不存在,请说明理由. (1)证明 因为P A =PD =2,O 为AD 的中点, 所以PO ⊥AD ,因为侧面P AD ⊥底面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD . (2)解 以O 为原点,OC ,OD ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,则B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0),P (0,0,1). PB →=(1,-1,-1),设平面PDC 的法向量为u =(x ,y ,z ),CP →=(-1,0,1),PD →=(0,1,- 1). 则????? u · CP →=-x +z =0,u · PD →=y -z =0,取z =1,得u =(1,1,1), B 点到平面PDC 的距离d =|BP →·u ||u |=33 . (3)解 假设存在,则设PQ →=λPD → (0<λ<1), 因为PD →=(0,1,-1),所以Q (0,λ,1-λ), 设平面CAQ 的法向量为m =(a ,b ,c ),

则????? m ·AC →=0,m ·AQ →=0,即????? a + b =0, (λ+1)b +(1-λ)c =0, 所以取m =(1-λ,λ-1,λ+1), 平面CAD 的法向量n =(0,0,1), 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为 63 , 所以|m·n||m||n |=63 , 所以3λ2-10λ+3=0, 所以λ=13或λ=3(舍去),所以PQ QD =12 . 2.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2AD =2,E 为AB 的中点,F 为D 1E 上的一点,D 1F =2FE . (1)证明:平面DFC ⊥平面D 1EC ; (2)求二面角A —DF —C 的大小. (1)证明 以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A (1,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),D 1(0,0,2). ∵E 为AB 的中点, ∴E 点坐标为(1,1,0), ∵D 1F =2FE , ∴D 1F →=23D 1E →=23 (1,1,-2) =(23,23,-43 ), DF →=DD 1→+D 1F →=(0,0,2)+(23,23,-43 )

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 (一)基本知识梳理:见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . (二)要点梳理: 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质,特别注意:不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时,要注意讨论点在平面的同侧还是两侧,会根据不同的情况作出相应的图形. [例]已知线段AB 长为3,A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2,则AB 所在直线与平面α所成角的大小为_____; 解析:要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时,AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ;当A 、B 在平面α的两侧时,AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”;三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行,最终化归为线线平行;线面垂直、面面垂直,最终化归为线线垂直. [例]已知平面βα,,直线b a ,.有下列命题:(1) βαβα////a a ?????;(2)αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ (3)βαβα////??????⊥⊥b a b a ;(4)βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是______. 解析:立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点,基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及,要充分理解符号语言所体现的几何意义.(1)体现的是两平面平行的一个性质:若两平面平行,则一个平面的任一直线与另一平面平行.(2)要注意的是直线a 可能在平面α.(3)注意到直线与平面之间的关系:若两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.(4)根据两平面平行的判定知,一个平面两相交直线与另一个平面平行,两平面才平行.由此知:正确的命题是(1)与(3). 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ;两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下,求二面角往往是指定 的二面角,若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情况即可. [例]设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围:(1)A 是直线倾斜角的取值围;(2)B 是锐角;(3)C 是直线与平面所成角的取值围;(4)D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到___. (答案:A C D B ???) 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解,也可以利用空间向量的方法,特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时,其所成角的大小应为||arccos a . [例]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AB 中点,则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为_____. (答案:515 arccos ) 特别需要注意的是:两向量所成的角是两向量方向所成的角,它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中,要抓住直线在平面上的射影,转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法,也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

空间向量与立体几何知识总结(全国高考必备!)

y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目:数学 授课教师: 全国章 年级: 高二 上课时间: 教材版本:人教版 总课时: 已上课时: 课时 学生签名: 课 题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k (单位正交基底)为坐标向量,则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++,有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作123(,,)a a a a =.在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使OA xi yj zk =++,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标. 二、空间向量的直角坐标运算律 (1)若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =, 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++, 112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈, 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈, (2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---. 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (3)//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量,我们把数量>

立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)

立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,,6,8AB AC AB AC ⊥==,D 是线段AC 上一点,且 3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的 面积的最大值与最小值之差为16π,则球O 的表面积为( ) A .72π B .86π C .112π D .128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .164+π B .484π+ C .4812π+ D .4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3,将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为__________,此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图,三棱锥的顶点,,,都在同一球面上, 过球心且 ,是边 长为 等边三角形,点、分别为线段,上的动点(不含端点),且 ,则三棱锥 体积的最大值为__________. 例5.如图,在几何体中,平面底面ABC , 四边形是正方形,,Q 是 的中点,且 , . 求证:平面 ; 求二面角的余弦值.

例6.如图几何体中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,//EC PD ,且22PD AD EC ===.(1)求证://BE 平面PDA ; (2)求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6,其内有n 个小球,球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切,球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切,如此类推,…,球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切(2n ≥,且n *∈N ),则球1O 的体积等于__________,球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示,在等腰梯形ABCD 中,, ,E ,F 为AB 的三等分点,且 将 和 分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合,记为点P . 证明:平面平面PEF ; 若 ,求PD 与平面PFC 所成角的正弦值.

立体几何与空间向量 (1)

第30练 空间角的突破方略 题型一 异面直线所成的角 例1 在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,求异面直线BA 1与AC 所成的角. 破题切入点 利用BA 1→·AC →=|BA 1→|·|AC →|×cos 〈BA 1→,AC →〉,求出向量BA 1→与AC →的夹角〈BA 1→,AC → 〉,再根据异面直线BA 1,AC 所成角的范围确定异面直线所成角.还可用几何法或坐标法. 解 方法一 因为BA 1→=BA →+BB 1→,AC →=AB →+BC →, 所以BA 1→·AC →=(BA →+BB 1→)·(AB →+BC →)

=BA →·AB →+BA →·BC →+BB 1→·AB →+BB 1→·BC →. 因为AB ⊥BC ,BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC , 所以BA →·BC →=0,BB 1→·AB →=0, BB 1→·BC →=0,BA →·AB →=-a 2. 所以BA 1→·AC →=-a 2. 又BA 1→·AC →=|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→,AC →〉, cos 〈BA 1→,AC → 〉= -a 22a ×2a =-1 2. 所以〈BA 1→,AC → 〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°. 方法二 连接A 1C 1,BC 1,则由条件可知A 1C 1∥AC , 从而BA 1与AC 所成的角亦为BA 1与A 1C 1所成的角, 由于该几何体为边长为a 的正方体, 于是△A 1BC 1为正三角形,∠BA 1C 1=60°, 从而所求异面直线BA 1与AC 所成的角为60°. 方法三 由于该几何体为正方体,

立体几何与空间向量

第30练 空间角的突破方略 题型一 异面直线所成的角 例1 在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,求异面直线BA 1与AC 所成的角. 破题切入点 利用BA 1→·AC →=|BA 1→|·|AC →|×cos 〈BA 1→,AC →〉,求出向量BA 1→与AC →的夹角〈BA 1→,AC →〉, 再根据异面直线BA 1,AC 所成角的范围确定异面直线所成角.还可用几何法或坐标法. 解 方法一 因为BA 1→=BA →+BB 1→,AC →=AB →+BC →, 所以BA 1→·AC →=(BA →+BB 1→)·(AB →+BC →) =BA →·AB →+BA →·BC →+BB 1→·AB →+BB 1→·BC →. 因为AB ⊥BC ,BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC , 所以BA →·BC →=0,BB 1→·AB →=0, BB 1→·BC →=0,BA →·AB →=-a 2. 所以BA 1→·AC →=-a 2. 又BA 1→·AC →=|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→,AC →〉, cos 〈BA 1→,AC →〉=-a 2 2a ×2a =-12. 所以〈BA 1→,AC →〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°. 方法二 连接A 1C 1,BC 1,则由条件可知A 1C 1∥AC , 从而BA 1与AC 所成的角亦为BA 1与A 1C 1所成的角, 由于该几何体为边长为a 的正方体, 于是△A 1BC 1为正三角形,∠BA 1C 1=60°, 从而所求异面直线BA 1与AC 所成的角为60°. 方法三 由于该几何体为正方体,

高中数学必背公式——立体几何与空间向量

1 立体几何与空间向量 求角: (1)异面直线所成的角: 可平移至同一平面;也可利用空间向量:cos |cos ,|a b θ=<>r r =|| |||| a b a b ?= ?r r r r (其中θ(090θ<≤o o )为异面直线a b ,所成角,,a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量)。 (2)直线与平面所成的角: 在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角;也可利用空间向量,直线AB 与平面所成角 sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). (3)二面角: 方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法; 方法二:向量法:夹角公式 设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,则 cos 〈a ,b 〉 . 推论 2222222 112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++,此即三维柯西不等式. (m ,n 为平面α,β 的法向量). 求空间距离: (1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性”; (2)两条异面直线的距离:|||| AB n d n ?= (n 同时垂直于两直线,A 、B 分别在两直线上); (3)求点面距: ||||AB n d n ?= (n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈); (3)线面距、面面距都转化为点面距。 △空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O ,有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB 表示向量}

立体几何与空间向量优秀教案

空间向量及线性运算 【本课重点】1、理解空间向量地概念,掌握空间向量地线性运算及性质; 2、通过平面向量向空间向量地推广,体会数学地类比和归纳地思想方法. 【预习导引】 1、在空间,既有___________又有_____________地量叫空间向量.空间向量可以用________表示;__________地长度叫向量地模;凡是方向相同且长度相等地有向线段表示同一向量或______________. 2、已知空间向量,,在空间任取一点O ,作==,,则=+b a ___________; 作==,,则=-___________;作)(,R ∈λλ==,则=______. 3、空间向量地加法和数运算满足运算律:(1)__________________________________;(2)________________________________; (3)____________________________________. 4、如果表示空间向量地有向线段互相_____或____,那么这些向量叫_________或_______向量a 与b 平行,记为____________. 5、对空间任意两个向量a 与b (0≠a ),b 与a 共线地充要条件是存在实数λ,使_________. 【典例练讲】 例1、如图,M,N,P ,Q,R,S 为平行六面体1111ABCD A B C D -所在棱中点,化简下列向量表达式,并标出化简 结果地向量.(1) AB BC +u u u r u u u r (2) 1AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r (3) 112AB AD CC ++u u u r u u u r u u u u r (4) 11 ()3 AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r (5) 11BC BB B D --u u u r u u u r u u u u r (6) MN PQ RS ++u u u u r u u u r u u u r 例2、如图,在长方体111OADB CA D B -中,3OA =,4OB =,2OC =,1OI OJ OK ===,点,E F 分 别是11,DB D B 地中点.设OI i =u u r r ,OJ j =u u u r r ,OK k =u u u r r .试用向量,,i j k r r r 表示1OD u u u u r 、1OA uuu r 、OE u u u r 、OF u u u r . 例3、如图,在空间四边形ABCD 中,E 是线段AB 地中点, (1)若2CF FD =,连接EF ,CE ,AF ,BF 化简下列各式,并在图中标出化简得到地向量: ①AC CB BD ++u u u r u u u r u u u r ; ②AF BF AC --u u u r u u u r u u u r ; ③1223 AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ; (2)若F 为CD 地中点,求证:1()2 EF AD BC =+u u u r u u u r u u u r . 例4、已知六面体1111ABCD A B C D -是平行六面体(如图). (1)化简11223 AA BC AB ++u u u r u u u r u u u r ,并在图上标出结果; (2)设M 是底面ABCD 地中心,N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上地四等分点(靠近点1C ), 设1,MN AB AD AA αβλ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r 试求,,αβγ地值 A B C E F D A B 1 B D 1 C 1 B 1 A 1 D C B S R Q P N M

空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目:数学 授课教师: 全国章 年级: 高二 上课时间: 教材版本:人教版 总课时: 已上课时: 课时 学生签名: 课 题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k (单位正交基底) 为坐标向量,则存在 唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++ ,有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在 空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作123(,,)a a a a = .在空间直角坐标系O xyz -中, 对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使O A xi yj z k =++ ,有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标. 二、空间向量的直角坐标运算律 (1)若123(,,)a a a a = ,123(,,)b b b b = , 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ , 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ , 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ , (2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =--- . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (3)//a b b a λ?= 11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量,我们把数量>

《空间向量与立体几何》教材分析与建议.doc

《空间向量与立体几何》的教材分析以及教学建议 内容安排 本章是选修2-1的第3章,包括空间向量的基本概念和运算,以及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容。通过本章的学习,要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步培养学生的空间想象能力。 空间向量为处理例题几何问题提供了新的视角,它是解决空间中图形的位置关系和角度问题的非常有效的根4居。本章以平面向量的学习委基础,通过类比的方法,引导学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,然后通过典型例题引导学生学习用向量方法处理空间几何问题的基本思想方法。 二主要特点 1、强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法,充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系,通过类比,引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间,既使相关的内容相互沟通,又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法,促使他们体会数学探索活动的基本规律,提高他们对向量的整体认识水平。空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素灯,都是通过与平面向量的类比完成的。在空间向量运算中,还注意了与数的运算的对比。另外,通过适当的例子,对解决空间几何问题的三种方法,即向量方法、解析法、综合法进行了比较,引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。

2、突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。根据问题的特点,以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来,建立起空间图形与空间向量的联系;然后通过空间向量的运算,研究相应元素之间的关系(距离和夹角等问题);最后对运算结果的几何意义作出解释,从而解决例题图形的问题。 3、用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。使用了大量的“探究”、 “思考”等,引导学生对相应的数学内容进行深入研讨。例如,在对空间向量的各种运算和相应的平面向量的运算的异同比较与证明、空间向量的正交分解定理的推导及向空间向量基本定理的推广、如何对各种几何元素及其关系进行恰当的向量表示和坐标表示、如何根据具体问题的需要选择恰当的方法等,都用“探究,,、“思考”等方式提出问题,帮助学生形成积极主动的学习态度,转变学生的学习方式。 %1.背景分析 1、平面向量的知识背景 线性运算与数量积 应用:证明向量(直线)平行、垂直,求距离、角等 2、立体几何背景 线面、面面等平行(垂直)的判定定理,但必修2中没有证明(较难) 空间中的距离(点点距、点线距、点面距等)、空间中的角(异面直线所称的角、线面教、二面角)在必修2中只介绍了有关概念,以及很简

年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量专题探究课四高考中立体几何问题的热点题型学案!

专题探究课四 高考中立体几何问题的热点题型 高考导航 1.立体几何是高考的重要内容,每年都有选择题或填空题或解答题考查.小题主要考查学生的空间观念,空间想象能力及简单计算能力.解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式,即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直,再利用空间向量进行空间角的计算.重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力.热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等;2.思想方法:(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题);(2)数形结合(根据空间位置关系利用向量转化为代数运算). 热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(规范解答) 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. 【例1】 (满分12分)(2017·湖州模拟)如图,在△ABC 中,∠ A BC=\f (π,4),O为A B边上一点,且3O B =3OC=2A B,已知 PO ⊥平面ABC ,2DA =2AO=PO ,且DA ∥PO . (1)求证:平面PB D⊥平面COD ; (2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值. 满分解答 (1)证明 ∵OB =OC ,又∵∠ABC =π4 , ∴∠OC B=\f (π,4),∴∠BO C=错误!. ∴CO ⊥A B.2分 又PO ⊥平面A BC, OC ?平面ABC ,∴PO⊥O C. 又∵PO ,AB ?平面P AB ,PO ∩AB =O , ∴CO ⊥平面P AB,即CO ⊥平面PD B.4分 又CO ?平面COD , ∴平面PD B⊥平面COD .6分 (2)解 以OC ,OB ,OP 所在射线分别为x,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

2020届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题7.6利用空间向量证明平行与垂直练习

专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直 【考试要求】 1.理解直线的方向向量及平面的法向量; 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系; 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理; 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题; 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题; 6.并能描述解决夹角和距离的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 3.异面直线所成的角 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 4.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos〈a,

n 〉|= |a ·n | |a ||n | . 5.求二面角的大小 (1)如图①,AB ,CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD → 〉. (2)如图②③,n 1,n 2 分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离 用向量方法求点B 到平面距离基本思路:确定平面法向量, 在平面内取一点A ,求向量AB → 到法向量的投影向量,投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n ,点B 到平面α的距离d =|AB →·n | |n |. 【微点提醒】 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos 〈a ,n 〉|,不要误记为cos θ=|cos 〈a ,n 〉|. 4.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n 1,n 2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n 1,n 2的夹角是相等,还是互补. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行,则a ∥α.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )

高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结

立体几何与空间向量知识点归纳总结 一、立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱的定义:有两个面是对应边平行的全等多边形,其余各面都是四边形,且相邻四边形的公共边都平行,由这些面围成的几何体叫棱柱。 棱柱的性质:侧面都是平行四边形;侧棱都平行,侧棱长都相等。 直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 (2)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体叫棱锥。 棱柱的性质:平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。 (3)棱台的定义:用平行于底面的平面截棱锥,截面与底面的部分叫棱台。 棱台的性质:①上下底面平行且是相似的多边形;②侧面是梯形;③侧棱交于原棱锥的顶点。 (4)圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。 圆柱的性质:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

圆锥的性质:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台的定义:以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。 圆台的性质:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇环形。 (7)球体的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。 球的性质:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,' h 为斜高,l 为母线) ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1 ch S = 正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 1 21h c c S += 正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 (3)柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13 V Sh =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1 ()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台 (4)球体的表面积和体积公式:V 球=343 R π ; S 球面=24R π 3、平面及基本性质 公理1 ααα??∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =?βα且α∈P

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难,下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直

线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?u u u r =即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若

立体几何与空间向量综合练习(含解析)

立体几何与空间向量 综合练习 1、如图,已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =2,AA 1=1,直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°,AE 垂直BD 于点E ,F 为A 1B 1的中点. (1)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值; (2)求平面BDF 与平面AA 1B 夹角的余弦值. 解 (1)以A 为坐标原点,以AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图所示).[2分] 由于AB =2,BD 与平面AA 1B 1B 的夹角为30°, 即∠ABD =30°,∴AD =23 3 ,[3分] ∴A (0,0,0),B (2,0,0),D ???? 0,233,0,F (1,0,1). 又AE ⊥BD ,故由平面几何知识得AE =1, 从而E ??? ?12,3 2,0,[4分] 因为AE →=??? ?12,32,0,BF → =(-1,0,1), ∴AE →·BF →=??? ?1 2,32,0·(-1,0,1)=-12, |AE →|=1,|BF → |=2,[6分] 设AE 与BF 所成角为θ1, 则cos θ1=|AE →·BF →||AE →||BF → |=????-1 21×2=2 4.[8分] 故异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为 24 . (2)设平面BDF 的法向量为n =(x ,y ,z ),

由????? n · BF →=0n ·BD →=0,得? ???? -x +z =0-2x +23 3y =0, ∴z =x ,y =3x ,取x =1,得n =(1,3,1).[10分] 求得平面AA 1B 的一个法向量为 m =AD → =??? ?0,233,0. 设平面BDF 与平面AA 1B 的夹角的大小为θ2. 则cos θ2=|cos 〈m ,n 〉|=|m·n| |m||n | =|0+2+0|23 3 ×5=155.[12分] 2.如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =3,AC =6,D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE ∥BC ,DE =2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C ⊥CD ,如图2. (1)若M 是A 1D 的中点,求直线CM 与平面A 1BE 所成角的大小. (2)线段BC 上是否存在点P ,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?若存在,请求出点P 的位置;若不存在,请说明理由. 解:(1)由折叠的性质得CD ⊥DE ,A 1D ⊥DE ,又CD ∩A 1D =D , 所以DE ⊥平面A 1CD . 又因为A 1C ?平面A 1CD ,所以A 1C ⊥DE , 又A 1C ⊥CD ,CD ∩DE =D , 所以A 1C ⊥平面BCDE . 如图所示建系,则C (0,0,0),D (-2,0,0),A 1(0,0,23),E (-2,2,0),B (0,3,0),

2018高考——空间向量与立体几何(理科)

第14讲 空间向量与立体几何 知识要点 一.空间向量 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 b a AB OA OB +=+=; b a OB OA BA -=-=; 运算律:⑴加法交换律:a b b a +=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律:b a b a λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向 量,a 平行于b ,记作b a //。 (2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ,使a =λb 。 (3)三点共线:A 、B 、C 三点共线<=> AC AB λ= <=>OB y OA x OC += (1=+y x 其中) (4)与a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。

(2)共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb =+。 (3)四点共面:若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=> )1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有 序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。 若三向量 ,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z , 使OC z OB y OA x OP ++= 。 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(, ,)x y z , zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作 (,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标。 注:①点A (x,y,z )关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用 {,,}i j k 表 示。空间中任一向量 k z j y i x a ++==(x,y,z ) (3)空间向量的直角坐标运算律: ①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112 233(,,)a b a b a b a b +=+++,