九年级数学(说课稿)垂径定理

2020-2021学年

垂径定理

一．教学背景分析

1、学习任务分析

“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。

“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。

2、学生情况分析

学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。

3、重点难点的定位

教学垂点：垂径定理及其推论。

教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，

（2）领悟垂径定理中的对称美。

二．教学目标设计:

1.知识与技能目标：

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

2.过程与方法目标：

教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

3.情感、态度与价值观：

对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。

三．课堂结构设计：

《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。

因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：

1、欣赏美——营造问题情境

2、探究美——揭秘核心问题

3、徜徉美——问题变式发散

4、品味美——重建知识体系

课堂教学应以学生为主体，教师为主导。在本节课的教学过程中我充分尊重学生已有的知识和方法，以培养能力为目的，让学生在“赏美”中进入，在“探美“中发展，在”品美“中提高。以发展学生的思维为中心，以问题为载体，使学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握垂径定理，并将知识转化为能力。

四．教学资源运用

心理学研究表明，在学生接受知识方面，视听结合能记住86。3％，效果最佳。因此，根据初中学生的心理特征和认知规律，我对教学媒体的利用进行了如下设计：

1、利用多媒体辅助教学

在欣赏美的环节中，我利用多媒体让学生观察圆的实物图片，充分让学生获得感性认识；在探究美时，我利用多媒体在动漫中演示图形的折叠过程；在徜徉美中，帮助学生利用感官理解图形及其变式的联系，在激发学生思维的同时，获得美的享受。品味美时，我让学生上网查阅相关资料，利用网络平台加强学生对所学知识的理解, 拓宽学生视野，培养学生的创新能力。

2、常规媒体仍起主导作用

垂径定理及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。因为数学是思维的体操，数学课是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的简单预设。

3、充分利用学生身旁现有的教学资源：

如组织学生玩找对称点游戏；看谁折得好；寻找身旁的轴对称图形等。这些贴近学生认知领域而又充满情趣的活动，很好地活跃了学习气氛，使学生真正地融入到数学学习中来。

板书设计:

为使本课更具逻辑性和直观性，力争达到“简约而不简单“的境界，我将板书设计作了如下侧向处理：

人教版九年级数学上册垂径定理

初中数学试卷 垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 ★★2．如图2，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 ★★4．如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 ★★5．如图4，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm ★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米

★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm ★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题 ★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★★5．如图1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米 O 图 4E D C B A ★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. ★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ ★★9．如图2，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图3所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ★★11．如图4，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 ★★12．如图5，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm ★★13．如图6，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么 B A P O y x

初三九年级数学北师版 第3章 圆3.3 垂径定理【说课稿】

垂径定理 一．教学背景分析 1、学习任务分析 “垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。 “垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。 2、学生情况分析 学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。 3、重点难点的定位 教学垂点：垂径定理及其推论。 教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理， （2）领悟垂径定理中的对称美。 二．教学目标设计: 1.知识与技能目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 2.过程与方法目标： 教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 3.情感、态度与价值观： 对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。 三．课堂结构设计： 《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当

中考数学专题模型—【专题2】垂径定理的模型研究(教师版)

【专题2】垂径定理的性质与运用 【回归概念】 垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三。1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。 【规律探索】 1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用； 2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线； 3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个． 【典例解析】： ①用垂径定理求点的坐标 【例题1】（2019?山东威海?3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（） A133B．23C．2D．2+2

【思路导引】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，根据圆周角定理得到∠APB ＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB ＝∠PBA ＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD ＝3，解直角三角形得到PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23，根据勾股定理得到CE ＝2 2 PC PE -＝124-＝22，于是得到结论． 【解答】解：连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∵PA ＝PB ， ∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°， ∵A （﹣5，0），B （1，0）， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3， ∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23， ∵PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠AOC ＝90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝2， ∴CE ＝2 2 PC PE -＝124-＝22， ∴OC ＝CE+OE ＝22+3， ∴点C 的纵坐标为22+3， 故选：B ． ②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想) 【例题2】如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为直线EF 上的任意一点，求PA ＋PC 的最小值．

《垂直于弦的直径》说课稿定稿

《垂直于弦的直径》说课稿 ———泗水龙城中学王学丽 尊敬的各位领导、老师，大家上午好： 今天我说课的内容是：人教版义务教育课程标准实验教材，九年级《数学》上册第二十四章24.1.2垂直于弦的直径。 下面，我从教材分析、教学目标分析、教学方法与教材处理、学法指导、教学程序、板书设计等方面对本课的设计进行说明，不当之处请各位老师批评指正。一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 (二）教学重点、难点 “垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。 由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。因此，本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。 二、教学目标：

新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。新数学课程理念下的数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此根据本节课教材的地位和作用，结合我所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下： 1. 知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 2.过程与方法：创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 3. 情感态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。 三、教法分析 鉴于教材特点及所教知识，对学生进行感知的培养以及情感的教育。根据学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用多媒体，教具辅助作用，提高教学效果，在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重用不同颜色粉笔作图对比来启发学生。 四、学法指导： 通过本节课的教学，我引导学生学会观察、归纳的学习方法。培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论。鼓励他们合作交流、发扬集体主义精神。 五、教学过程设计：

九年级数学(说课稿)垂径定理

2020-2021学年 垂径定理 一．教学背景分析 1、学习任务分析 “垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。 “垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。 2、学生情况分析 学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。 3、重点难点的定位 教学垂点：垂径定理及其推论。 教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理， （2）领悟垂径定理中的对称美。 二．教学目标设计: 1.知识与技能目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 2.过程与方法目标： 教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 3.情感、态度与价值观： 对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。 三．课堂结构设计： 《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。

垂径定理练习题及答案

垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ． B ． C ． D ．

答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

2012中考数学复习(42)：垂径定理

中考数学复习（42）：垂径定理 知识考点： 1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。 2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。 精典例题： 【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长； （2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。 分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。 解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm ∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm ∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm （2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm ∴ 25 33 15315-= +-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则2 2 CD AB +＝（ ） A 、28 B 、26 C 、18 D 、35 分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线， 垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。 ∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND ∴22 2 OE ON OM =+ 从而2 2 2 2 2 OE CN OC AM OA =-+- 即22222 1)2 (2)2(2=-+-CD AB ?例1图 H E F G O D C B A ?例2图 M N E O D C B A ? 例2图 M N E O D C B A

圆的对称性说课稿

《圆的对称性》说课稿 彬县公刘中学段海锋 尊敬的各位领导、老师： 大家好！今天我说课的题目是义务教育课程北师大版数学九年级上册《圆的对称性》，下面我按教材分析、教材处理、教法的选择与应用、教学模式和教学过程五部分来谈谈本节课的设计思路。 一、教材分析： （一）教材的地位与作用 本节课是圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。 另外，本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。 因此，掌握垂径定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。 （二）教学目标 根据《数学课程标准》对这部分知识的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为： （1）知识与技能目标 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 （2）过程与方法目标 在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 （3）情感与态度目标 在解决问题过程中，培养学生敢于面对挑战和善于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的经验，充分享受数学之美，从而体验学

习数学的乐趣。 知识与技能目标固然重要，对于本节课：过程与方法和情感与态度更重要，因为这部分是几何教学的重点，是由实验几何向论证几何的过渡，过程与方法可以帮助学生学会认识事物、分析问题的方法；有良好的情感态度能培养好的学习兴趣，养成好的学习习惯。 （三）教学重点和难点 教学重点：垂径定理及其应用。 （由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。） 教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。 突出重点、突破难点的关键：创设具有启发性的问题情境，通过学生动手操作，多媒体生动直观地演示，让学生经历“提出问题——探究讨论——归纳发现”的过程，在这个过程中，要给学生在充足的活动时间，使学生在积极思维的状态下参与探究性学习。 而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。 二、教学方法的选择与应用 本节课我采用实验操作，直观演示，合作交流等方法指导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表述，让学生从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。 同时采用多媒体辅助教学和实物演示，直观生动地反映图形特点。 三、教学模式 为了实现教学目标，优化教学过程，本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。 四、教学过程 第一环节课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）

九年级数学垂径定理

初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲 一. 本周教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()() 1234 ??? O B' M' A' B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

初中数学垂径定理中考题精选

初中数学垂径定理练习 一．选择题（共13小题） 1．（2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015?东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（） A．6B．13 C．D．2 3．（2015?上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（） A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：1 4．（2014?乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（） A．B．C．3D．2 5．（2014?安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014?简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（） A．3B．6C．9D．12 7．（2014?宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（） A．B．C．6D． 8．（2014?河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）

人教版九年级数学讲义垂径定理(含解析)(2020年最新)

第11讲垂径定理 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定 理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的 应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆 的其他内容理解奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：15分钟 垂径定理及其推论 （1）垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的弧。 （2）相关推论 ①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的弧； ①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦； ①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平 分这条弦所对的弧；

①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且垂直于这条弦； ①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线 经过圆心，并且平分这条弦。 总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关 系也成立。

课堂精讲精练 【例题1】 下列判断中，正确的是（）。 A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦 B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分 C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径 D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等 【答案】C 【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误； 任意两条直径互相平分，故B错误； 同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。 讲解用时：3分钟 解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。 教学建议：基本概念题，逐项排除。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1】 下列说法正确的个数是（）。 ①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对 的优弧和劣弧分别相等。 A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质， ①垂直于弦的直径平分弦；故错误； ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

垂径定理说课稿

《垂直于弦的直径》说课稿 灵台二中周建国 各位老师，我说课的内容是：义务教育教材人教版九年级《数学》圆这一章第二节垂直于弦的直径。 下面，我从教材分析、教学方法与手段、教学程序三个方面对本课的设计进行说明。 一，教材分析： （一）教材的地位及作用 圆在实际生活中应用十分广泛，本节课垂直于弦的直径是圆的轴对称性的具体化，它将几何中的垂直等问题在圆中进一步延续和深化。在本节课的学习中，能使学生经历“观察，体验，猜想，证明”等数学学习过程，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、数学建模能力。因此，我认为本节课在教材中起承上启下的作用，是今后进一步研究圆，圆与其它知识综合的重要的预备知识。 （二）教学目标 根据学生已有的认知基础及本课教材的地位作用,依据课程标准,我确定本节课的教学目标为: 知识与技能：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，并能运用其解决相关的计算和证明，养成勇于探索，敢于创新的习惯。 过程与方法：在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜想——证明”的方法及用数学语言表达数学问题的能力.

情感与态度：通过创建和引导学生所参与的情景，激发学生强烈的好奇心和求知欲，在探究中体验成功的喜悦。培养独立思考、敢于质疑、善于表达的习惯。 （三）教学重点、难点 根据本节课的地位及作用及教学目标，我确定的本节课的教学重点是：探究，发现，理解和掌握垂径定理。教学难点是：定理的证明及它的几个推论之间实质性的联系和应用． 二，教学方法和手段 新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，而初三学生对平面几何的学习最终还是要依靠事物的具体直观形象，因此，我确定本节课以参与式探究教学法为主，以学生手中的圆形纸片为工具，以多媒体演示为辅助，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。 三、教学程序： （一）创设情境,引入课题 在日常生活中，在以往的学习中，学生已经体会到了数学与生活的联系．因此，我首先设计了学生都非常熟悉的赵洲桥问题，（它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？）目的是激发学生的探究欲望．教

2013年中考数学试题分类汇编：圆的垂径定理

2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）. A.24 B.28 C.52 D.54 答案：D ． 考点:垂径定理与勾股定理. 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 答案：C 解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4 5，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453 CE =，所以， CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是 O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与 点D ，则下列结论中不一定正确的是【】 （A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠ 【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为 ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ，根据同弧所对的圆周角相等 可知（D ）一定正确。 【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） C A B

24.1圆说课稿

课题:24.1圆的性质说课稿 赵俊 教材分析 1.内容出处：新人教版实验教材九年级上第24章第一单元。 2.地位与作用：圆是一种让我们感觉到既熟悉而又神秘的曲线型几何图形。《圆》这一章知识本身具有一定的高度和难度，是学生对所学几何知识的再一次综合与提升；是学生丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念的保证，而对“圆的性质”的学习，是学生学好《圆》有关知识的前提基础。 复习目标： 1.使学生理解圆及其有关概念，圆的性质； 2.使学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3.使学生理解圆的对称性（轴对称和中心对称）； 复习重点 1.垂径定理及推论； 2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3.圆周角的定理及其推论； 4.与性质相关的计算 复习难点 1.垂径定理及推论； 2.圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质； 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 4.与性质相关的综合计算 目标分析 新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。 （一）知识与技能目标 1、通过手脑结合，充分掌握圆的性质； 2、通过习题回顾，试学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3、拓展思维，与实践相结合，运用所学定理进行有关的计算和证明。（二）过程与方法目标 1.通过课前延伸，使学生对过去所学知识有一个教全面的回顾； 2.通过自主学习，巩固与圆有关的基本技能； 3.通过合作探究培养学生的合作意识，拓展学生的思维， （三）情感体验与价值观的要求 通过教师的精心设计和引导，使学生在学习中合作，在合作中学习，让学生充分感受到团结的力量，培养学生实事求是的科学态度和积极参与、助人为乐的精神，同时使学生领会数学的严谨性和积极探索的精神。 教法分析与教学设计 充分确立学生在教学中的主体地位，贯彻师生合作的精神，实现民主教学。为此我采用了“互动式探究教学法”。通过课前延伸、自主学习、合作探究，让学生参与知识的回顾和技能的训练过程，进一步经历和体会数学的“问题与解”这一本质特征，强化学生的思考和探究的意识，提高学生的思维品质，鼓励学生间互相交流，相互合作并相互评价。基本流程：课前延伸——自主学习——合作探究——有效训练——收获与感悟——复习反思——课后

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点， AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. A B C D O A B C D O O A E F

变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。. A C B D O C A D E

初三数学垂径定理讲义

学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识梳理

二、知识概念 垂径定理 1、内容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 2、逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧 （2）平分弦 (不是直径) （3）垂直于弦 （4）经过圆心 考点一：垂径定理及其推论 例1、下列说法不正确的是（） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影 部分的面积为（） A．B．π C．2πD．4π

例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A 的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标 是（） A．（0，0）B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1） 例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点 D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（） A．6B．9﹣ C．D．25﹣3 例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点 有（）个． A．1B．2C．3D．0 考点二：应用垂径定理解决实际问题 例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

数学-初三-圆的相关概念与垂径定理

精锐教育1对1辅导讲义 棗互钠探索 1、圆是如何确定的？大小怎么判定？ 2、圆中有哪些概念？ 3、垂径定理如何应用？ *曲需提# 【知识梳理1】圆的确定 定理同圆或等圆中半径相等 1?点与圆的位置关系 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 点P与圆心的距离为d，则点P在直线外二d r ；点P在直线上=d = r ；点P在直线内=d ：：：r。 【例题精讲】例1?如图，圆0的半径为15，O到直线I的距离0H=9，P、Q、R为I上的三点.PH=9，QH=12，RH=15， 请分别说明点P、Q、R与圆0的位置关系

【试一试】 1?矩形ABCD中，AB= 8, BC=3.5，点P在边AB上，且BP = 3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( ). (A) 点B、C均在圆P夕卜；(B)点B在圆P夕卜、点C在圆P内； (C)点B在圆P内、点C在圆P夕卜；(D)点B、C均在圆P内. 2?如图所示，已知丄ABC ,乙ACB=90, AC=12, AB “3, CD _ AB于点D，以C为圆心，5为半径作圆C ( ) A.点D在圆内，B、A在圆外 B.点D在圆内，点B在圆上，点A在圆外 C.点B、D在圆内，A在圆外 D.点D、B、A都在圆外 2. 过三点的圆 1. 不在同一直线上的三点确定一个圆。 2. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。 例2?如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A O D C B A A B C D O 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 变式2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求： AOB ∠的度数和圆的半径。. 已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、2、 3. 求BAC ∠的度数。 （三）、相交问题 如 图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°， 求CD 的长. （四）平行问题 (南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm . 变式一：圆内两条互相平行的弦AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离。 2、 如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 CD=20cm ，水深GF=2cm ．若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？ （五）同心圆问题 O A B C D E A C B D O A B C D O C A D E