函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结

考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；

3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；

4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；

2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 ⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()

1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕?函数f （x ）是偶函数；

对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或

()()

1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ?函数f （x ）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。 ③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。 ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。 二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系.

【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1). 2

()21;f x x x =-+ (2) .

3(),0;3x f x x x x x +??

=

∈≥??-??

解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，∴

2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，

∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：

由函数2()21f x x x =-+的图象可知，

2()21f x x x =-+为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。 (2) . 解：由

3

03

x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.

【例2】 判断下列函数的奇偶性：

(1)

. ();f x =(2) . 3()3sin(2);2

f x x π

=- (3). 02

1()1x f x x -=-。 解： (1).由240

330x x ?-≥??+-≠??

，解得 2206x x x -≤≤??≠≠-?且

∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2

，则();33f x x x ==+-.

∴()();f x f x x

-===-.

∴()f x =为奇函数.

说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。 (2) .函数3()3sin(

2)2

f x x π

=-定义域为R ， ∵3()3sin(

2)3cos 22

f x x x π

=-=-， ∴()3cos 2()3cos 2()f x x x f x -=--=-=，

∴ 函数3()3sin(2)2

f x x π

=-为偶函数。

(3). 由2010x x ≠??-≠?

，解得 01x x ≠??≠±?，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±，

又∵02

2111

()011

x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，

所以02

2111

()011

x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。 【例3】 判断下列函数的奇偶性：

(1). 0.5()log (f x x =+；(2). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->??

==??+

解：(1) . 定义域为R ，

∵0.50.5()()log (log (f x f x x x -+=-+++

20.50.5log ((1))log 10x x =+-==，∴ f (－x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数。

说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()f x -与()f x 关系，但当直接找()f x -与()f x 关系困难时，可用定义的变形式：()()0=--x f x f ?函数f （x ）是偶函数；()()0=+-x f x f ?函数f （x ）是奇函数。

(2) .函数的定义域为R ，

当0x >时，0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=- 当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-

当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-

综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

2、抽象函数判断其奇偶性：

【例4】 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有

1212()()(),f x x f x f x ?=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。

解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，

令121x x ==，得(1)0f =，令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-= 取121,x x x =-=，得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-=

故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：

(1) . 求字母的值：

【例5】已知函数21

()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，

求,,a b c 的值.

解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。

又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得41

32a b

+<，

∴4131

a a +<+，解得12a -<<。

又a Z ∈，∴0a =或1a =.

若0a =，则1

2

b Z =?，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z .

∴1,1,0a b c ===。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。 (2) . 解不等式：

【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x )的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝. 答案：｛x ｜0＜x ＜2｝

说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f (x )的表达式，再求f (x －1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式：

【例7】已知f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(－∞，0)时，f (x )=－x lg(2－x )，求f (x ). 分析：先设x ＞0，求f (x )的表达式，再合并. 解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)=0.

当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )=x lg(2+x )，即－f (x )=x lg(2+x )， ∴f (x )=－x lg(2+x ) (x ＞0). ∴lg(2)(0)

()lg(2)(0)x x x f x x x x --

-+≥?

。

说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。

三、巩固训练： 一、选择题

1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于

A.－x (1－x )

B.x (1+x )

C.－x (1+x )

D.x (x －1)

2.已知四个函数：①21log 1x

y x +=-， ②11

x x e y e -=+，③ y =3x +3-x ，④ y =lg(3x +3-x ).

其中为奇函数的是

A.②④

B.①③

C.①④

D.①②

3.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为 A.－x (x －2) B. x （｜x ｜－2） C.｜x ｜(x －2) D.｜x ｜（｜x ｜－2） 二、填空题

4.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.

5.若1

()21

x f x a =+- (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则

a =_______________.

6.已知f (x )=ax 7－bx +2且f (－5)=17，则f (5)=_______________.

7.已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，

()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x ?<的解集是_____________

三、解答题 8.已知11()()2()G x f x f x ??

=

-????

且x =ln f (x )，判定G (x )的奇偶性。 9.已知函数f (x )满足f (x +y )+ f (x －y )=2f (x )·f (y )(x 、y ∈R )，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数. 10.设函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数，且3

()()3

f x

g x x +=

+，求()f x 和()g x 的解析表达式。

11.已知f(x)＝x 5+ax 3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。

12.已知()()f x g x 、都是定义在R 上的奇函数，若()()()2F x af x bg x =++在区间(0,)+∞上的最大值为5，求()F x 在区间(,0)-∞上的最小值。

13.已知()f x 是奇函数，在区间(2,2)-上单调递增，且有(2)(12)0f a f a ++->，求实数a 的取值范围。

四、巩固训练参考答案： 一、选择题

1. 解析：x ∈(－∞，0］，－x ≥0，∴ f (－x )=(－x )(1+x )，－f (x )=－x (1+x ). ∴f (x )=x (1+x ). 答案：B

2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案：D

3. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，

∵f (x )是奇函数，∴f (x )=－f (－x )=－［(－x )2－2(－x )］=－x 2－2x .

∴222(0)

()2(0)

x x x f x x x x ?-≥=?--

二、填空题

4. 解析：定义域关于原点对称，故a －1=－2a ，13

a =， 又对于f (x )有f (－x )=f (x )恒成立，∴

b =0. 答案：

1

3

， 0 。 5. 解析：特值法：∵f (－1)=－f (1) ，1111()2121a a -+=-+--，1

2

a =。

答案： 1

2

。

6. 解析：整体思想：f (－5)=a (－5)7－ b (－5)+2=17 (a ·57－5b )=－15， ∴ f (5)=a ·57－b ·5+2=－15+2=－13. 答案：－13 。

7. 解析：∵ ()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，∴ 补充其图像如图，又∵不等式

()cos 0f x x ?<同解于()0cos 0f x x >??

cos 0

f x x ?，解得32x π<<，或12x π-<<-或01x <<，∴不等式()cos 0f x x ?<的解集是(),10,1,322ππ????

-- ? ?????

，答案：

(),10,1,322ππ????-- ? ?????

。 三、解答题

8. 解：由x =ln f (x )得f (x )=e x .

∴11()()2()G x f x f x ??=

-????111()22x x x

x e e e e -??=-=-???

?。 又()G x -11

()()()22

x x x x e e e e G x --=-=--=--，∴G (x )为奇函数。

9. 证明：令x =y =0，有f (0)+f (0)=2f 2(0). ∵ f (0)≠0，∴f (0)=1.

令x =0，f (y )+f (－y )=2f (0)·f (y )=2f (y ). ∴ f (－y )=f (y ). ∴ f (x )是偶函数.

归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到. 10. 解：∵3()()(1)3f x g x x +=

+ ，∴3()()3

f x

g x x -+-=-+，

又∵函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-， ∴上式化为3

()()(2)3

f x

g x x -=

-+ ，解(1),(2)组成的方程组得

2

9

()(,3)9f x x R x x =

∈≠±-，23()(,3)9

x

g x x R x x =∈≠±-。

11. 分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解

解：令g(x)=x 5+ax 3-bx ，则g(x)是奇函数，所以g(-2)＝g(2)， 于是f(-2)＝g(-2)-8, ∴ g(-2)=18. 所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26. 12. 解：设()()()h x af x bg x =+，则()()()h x af x bg x =+为奇函数，

因为当(0,)x ∈+∞时，()5,F x ≤所以()()()()23,h x af x bg x F x =+=-≤ 所以当(,0)x ∈-∞时，()2()()()3,F x h x af x bg x -==+≥-即()1,F x ≥- 故()F x 在区间(,0)-∞上的最小值为-1 。

13. 解：因为函数()f x 是奇函数，所以()().f x f x -=-

由(2)(12)0f a f a ++->得(2)(12)f a f a +>--，即(2)(21).f a f a +>-

又()f x 在区间(2,2)-上单调递增，故得222

2212221

a a a a -<+

-<--?

，解得10.2a -<<

所以实数a 的取值范围为1

(,0).2

-

注意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养逆向思维能力，判断出2,21(2,2)a a +-∈-是解决本题的关键。

高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性． 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-． 又(0)0f =，∴()f x 为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．

函数的性质之奇偶性

函数的奇偶性 知识体系一函数的奇偶性的定义 1．偶函数: 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： ○ 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○ 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 二具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． 三奇偶函数的性质： 1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||) f x f x ?=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0 f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-7设()f x ，() g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 题型体系 一判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性 （1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x x x f +=1

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○ 2确定f(－x)与f(x)的关系；○ 3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数； 若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数． 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数． 例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象 例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系 例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数 规律： 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。O x y

第招 如何判断函数的奇偶性

第11招 如何判断函数的奇偶性？ 判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例 （一） 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法 这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. （2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是x x x x f +-? +=11（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解 (]()() 的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得?????>+-<+=-≤<-≥+-00)(2. .1,19,1101122x x x x x x x f f x x x 解 当x<0时，-x>0,()()() ().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22 ()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴ 【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=? (1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论. 解（1）()()()()()()=?==?+?=?=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ?+? ()f f ∴=,12（1）=0. （2）f(x)是奇函数.证明如下： ()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-?-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=?-=- 2. 利用定义的等价命题来判断 ()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ?=--?=-+ 或：当()()()()()() ().110是偶函数是奇函数；时， x f x f x f x f x f x f x f ?=-?-=-≠

第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)

第03讲 函数的性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 【考纲解读】 2. 函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数） （1）函数 ④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 【知识梳理】 1.单调性 定义： ①∈?21,x x 区间M(A M ?定义域), 012>-?x x 若②()()012>-=?x f x f y ， 则③()x f 在M 上是增函数(M 称为增区间)； 若②()()012<-=?x f x f y ， 则③()x f 在M 上是减函数(M 称为增区间). 函数单调性题目类型 （1）利用定义的常见单调性题目： ①②?③,判断函数的单调性； ②③?①,判断自变量大小； ①③?②，判断函数值的大小。 （2）已知单调性，反求参数范围； （3）利用导数研究函数单调性； （4）利用已知函数的图像研究函数单调性; （5）复合函数的单调性 2.奇偶性 定义： （1）若()()x f x f D x =-∈?，,则()x f 是偶函数； 若()()000x f x f D x =/-∈?，使得，则()x f 不是偶函数； （2）若()()x f x f D x -=-∈?，,则()x f 是奇函数； 若()()000x f x f D x -=/-∈?，使得，则()x f 不是奇函数； 注意：定义的否定形式. 3.周期性:定义： 若存在非零常数T ，使得()()x f T x f D x =+∈?，, 则()x f 为周期函数，T 是一个周期. 4.对称性 （1）偶函数的图像关于y 轴对称； （2）奇函数的图像关于原点对称； （3）指数函数x a y =和对数函数x y a log =是互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称； （4）若()x f 满足()()x a f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线a x =对称； （5）若()x f 满足()()x a f x a f +-=-，则()x f 的图像 关于点()0， a 对称； （6）若()x f 满足()()x b f x a f +=-，则()x f 的图像 关于直线2 b a x += 对称； （7）若()x f 满足()()x a f b x a f +-=-2，则()x f 的 图像关于点()b a ，对称； 【典例精讲】 考点一 单调性 例1.（15湖南理）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 【答案】A. 【解析】 试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-， ∴)(x f 练习 （2012山东理）设0a >且1a ≠, 则“函数()x f x a =在R 上是减函数”,是“函数 3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （2006北京）已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+?是 (,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (C) （A ）(0,1)（B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1 [,1)7 考点二 奇偶性 例2. （2013上海春）已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()y f x a b =+- 是奇函数”. (1)将函数3 2 ()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标; (2)求函数2 2()log 4x h x x =- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对 称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数 ()y f x a b =+- 是偶函数” .判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明). 【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得33y x x =-,

函数的所有性质

函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性) “定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性 奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x ）与f(x ）之间的关系：①f(－x)＝f(x)为偶函数；f （-x)=-f(ｘ)为奇函数； ②f(-x)-f （x ）=０为偶;ｆ(x ）+f(-x)=0为奇; ③f(-x)÷ｆ(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)＝-1为奇函数. （１)若定义域关于原点对称 (２）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3 x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质: 1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义,则必有0)0(=f ; 3．偶函数满足) ()()(x f x f x f =-=； 4.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 (2) 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 ６．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数 2) ()()(x f x f x --= ?和一个偶函数 2) ()()(x f x f x -+= ψ的和。 2. 单调性 定义:函数定义域为Ａ,区间 ，若对任意且 ① 总有 则称 在区间M 上单调递增 ② 总有则称在区间M 上单调递减 应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤:(1）设值(２)作差(３)变形（４）定号（5)结论 (二） 求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学） 注:常用结论 （1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减

函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法 山东 刘海 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数， 试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．

函数的性质奇偶性

第二章函数（奇偶性） 1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22 +++-++=x x x x x f 是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ） A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3 7．函数212 2)(x x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ． 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11 )()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围． 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．

函数的奇偶性的经典总结

函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为

函数的奇偶性

函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法

函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22） 计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性

【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性

高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练

1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++

函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2 )(，（2） x x x f -=3 )( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。

函数的基本性质奇偶性教案2

1．3函数的基本性质-----奇偶性 （一）教学目标 1．知识与技能： 使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. 2．过程与方法： 通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3．情感、态度与价值观： 通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. （二）教学重点与难点 重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断. （三）教学方法 应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. （四）教学过程 一．复习与回顾 1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？ 2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. 3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2， x=±1 2 ，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函 数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. 二．新课讲授 1、奇函数、偶函数的定义： 奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)， 则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)，则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ 强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题： （1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？ 点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. （2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 2、奇函数与偶函数图象的对称性： 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3、举例分析

函数的基本性质——奇偶性

函数的基本性质——奇偶性 【教学目标】 1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义； 2．过程与方法：学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3．情感、态度与价值观：学会判断函数的奇偶性。 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。 【教学过程】 一、引入课题。 实践操作：（也可借助计算机演示） 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ①以轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，y 然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什()y f x =么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数的图象，并且它的图象关于轴对称；（2）若点()y f x =y 在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相()()x f x ，()()x f x -，反数的点，它们的纵坐标一定相等。 ②以轴为折痕将纸对折，然后以轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出y x 第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什()y f x =么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若()y f x =点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为()()x f x ，()()x f x -，相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。 二、新课教学。 函数的奇偶性定义： 象上面实践操作①中的图象关于y 轴对称的函数即是偶函数，操作②中的图象关于原点对称的函数即是奇函数。 1．偶函数（even function ） 一般地，对于函数的定义域内的任意一个x ，都有，那么就叫做()f x ()()f x f x -=()f x 偶函数。 （学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2．奇函数（odd function ） 一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做()f x x ()()f x f x -=()f x 奇函数。 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 x x -具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于轴对称； y 奇函数的图象关于原点对称。 三、典型例题。 1．判断函数的奇偶性 例1．应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性。（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤） 解：（略） 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定与的关系； ()f x -()f x