春季学期线性代数作业
一、选择题(每题2分,共20分)
1.(教材§1.1,课件第一讲)行列式(B )。
A.13
B.-11
C.17
D.-1
2.(教材§1.3,课件第二讲)下列对行列式做的变换中,(B )不会改变行列式的值。
A.将行列式的某一行乘以一个非零数
B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行
C.互换两行
D.互换两列
3.(教材§2.2,课件第四讲)若线性方程组无解,则a的值为( D )。
A.1
B.0
C.-1
D.-2
4.(教材§3.3,课件第六讲)下列向量组中,线性无关的是(C )。
A.
B.
C.
D.
5.(教材§3.5,课件第八讲)下列向量组中,(D )不是的基底。
A.
B.
C.
D.
6.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵和矩阵均为n阶矩阵,和均为实数,则下列结论不正确的是( A )。
A. B.
C. D.
7.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵,则
( C )。
A. B.
C. D.
8.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,为矩阵,矩阵为矩阵,为实数,则下列关于矩阵转置的结论,不正确的是( D )。
A. B.
C. D.
9.(教材§4.3,课件第十讲)下列矩阵中,(A )不是初等矩阵。
A. B. C. D.
10.(教材§5.1,课件第十一讲)矩阵的特征值是(B )。
A. B.
C. D.
二、填空题(每题3分,共30分)
11.(教材§1.1,课件第一讲)行列式的展开式中,的一次项的系数是 2 。
12.(教材§1.4,课件第三讲)如果齐次线性方程组有非零解,那么的值为0或1 。
13.(教材§2.3,课件第四讲)齐次线性方程组有(填“有”或“没有”)非零解。
14. (教材§3.1,课件第五讲)已知向量则
。
15. (教材§3.3,课件第六讲)向量组是线性无关(填“相关”或“无关”)的。
16. (教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵,那
么。
17. (教材§4.2,课件第九讲)已知矩阵,那么
。
18. (教材§5.1,课件第十一讲)以下关于相似矩阵的说法,正确的有1,2,4
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则。
19. (教材§5.3,课件第十一讲)已知上三角矩阵,求
。
20. (教材§5.4,课件第十二讲)向量组不是(填“是”或“不是”)正交向量组。
二、解答题(每题10分,共50分)
21.(教材§1.3,课件第二讲)计算行列式。
22.(教材§3.4,课件第七讲)求向量组
的一个极大无关组
23.(教材§3.6,课件第八讲)求齐次线性方程组的解空间,并指出解空间的维数和一个基底。
24.(教材§5.2,课件第十一讲)求矩阵的特征值和特征向量。
25.(教材§5.6,课件第十二讲)求实对称矩阵的正交矩阵和正交相似标准形。
春季学期线性代数作业 一、选择题(每题2分,共20分) 1.(教材§1.1,课件第一讲)行列式(B )。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.(教材§1.3,课件第二讲)下列对行列式做的变换中,(B )不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.(教材§2.2,课件第四讲)若线性方程组无解,则a的值为( D )。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.(教材§3.3,课件第六讲)下列向量组中,线性无关的是(C )。 A. B. C. D. 5.(教材§3.5,课件第八讲)下列向量组中,(D )不是的基底。 A. B. C. D.
6.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵和矩阵均为n阶矩阵,和均为实数,则下列结论不正确的是( A )。 A. B. C. D. 7.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵,则 ( C )。 A. B. C. D. 8.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,为矩阵,矩阵为矩阵,为实数,则下列关于矩阵转置的结论,不正确的是( D )。 A. B. C. D. 9.(教材§4.3,课件第十讲)下列矩阵中,(A )不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.(教材§5.1,课件第十一讲)矩阵的特征值是(B )。 A. B. C. D. 二、填空题(每题3分,共30分)
11.(教材§1.1,课件第一讲)行列式的展开式中,的一次项的系数是 2 。 12.(教材§1.4,课件第三讲)如果齐次线性方程组有非零解,那么的值为0或1 。 13.(教材§2.3,课件第四讲)齐次线性方程组有(填“有”或“没有”)非零解。 14. (教材§3.1,课件第五讲)已知向量则 。 15. (教材§3.3,课件第六讲)向量组是线性无关(填“相关”或“无关”)的。 16. (教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵,那 么。 17. (教材§4.2,课件第九讲)已知矩阵,那么 。 18. (教材§5.1,课件第十一讲)以下关于相似矩阵的说法,正确的有1,2,4
习题1.2: 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解:由行列式的定义可知,第三行只能从32a 、34a 中选,第四行只能从42a 、44a 中选,所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ,即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明:第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0,同理,第四行取41a 、42a ,第三行取31a 、32a ,由于每一列只能取一个,则在第三第四第五行中,必有一行只能取0.以第五行为参考,含有51a 的因式必含有0,同理,含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值: (1)01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L (2)00100200100000 n n -L L M O M O M L L ; 解:(1)0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
第一章 1.用消元法解下列线性方程组: (1)??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =,得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2,其中c 为任意常数. 2.用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵: (2)???? ? ??--324423211123. 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ,得 行阶梯形:????? ? ?---0000510402321(不唯一);行最简形:???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3.用初等行变换解下列线性方程组: (1)?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M , 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x . (2)??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M , 得方程组无解. 第二章 1.(2) 2 2 x y x y . 解 原式()xy y x =-. (2)01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L . 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3(答案略) 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ (正号) (2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- (3)原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8(答案略) 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- (2)按第一列展开: 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; (2)b a c a c b c b a ; (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 (1)=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- (2)=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= (3)=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= (4)y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为 2 ) 1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 (6)逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2,5 4 2个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … )2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
||班级: 姓名: 学号: 成绩: 批改日期: || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1. 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ; (B) a c b d d c b a = ; (C) d c b a d c d b c a = ++33; (D) d c b a d c b a ----- =. 答案:D 2.行列式n D 不为零,利用行列式的性质对n D 进行变换后,行列式的值( ). (A)保持不变; (B)可以变成任何值; (C)保持不为零; (D)保持相同的正负号. 答案:C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析: 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析: 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中,3x 的系数为 ; x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中,3x 的系数为 . 答案:-2;-2.
||班级: 姓名: 学号: 成绩: 批改日期: || 第 2 页 共 18 页 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案:1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案:5. 6.若 02 1 8 2=x ,则x = . 答案:2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中,当i 第一章 行列式 §1 行列式的概念 1. 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。 (2) i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中, 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ,含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2. 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解: 该行列式的3!项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。 3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。 4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么? 5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少? (提示:利用3题的结果) 6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)2 011 411 8 3 --- (2)2 2 2 1 11a b c a b c 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 2016年春季学期线性代数作业 一、选择题(每题2分,共36分) 1.(教材§1.1B)。 A.6 B.5 C.10 D.7 2.(教材§1.1)行列式A)。 C.0 3.(教材§1.2)行列式D)。 A.40 B.-40 C.10 D.-10 4.(教材§1.3)下列对行列式做的变换中,(A)会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以3 B.对行列式取转置 C.将行列式的某一行加到另外一行 D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行 5.(教材§1.3)行列式(2/9)。 (提示:参考教材P32例1.3.3) A.2/9 B.2/3 C.2/9 D. 3/4 6.(教材§1.4B)。 A.2/3 B.1 C.-2/3 D.1/3 7.(教材§2.2)矩阵 2110 2311 3441 1132 ?? ?? ?? ?? ?? - ?? 的秩是(D)。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.(教材§2.2 a的值为(C)。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 9.(教材§3.1)已知向量 B)。 10.(教材§3.3 C)。A. B. D.向量组A 11.(教材§3.3)下列向量组中,线性无关的是(C)。 12.(教材§3.3)下列向量组中,线性相关的是(D)。 13.(教材§4.1n 结论不正确的是(C)。 B. C. 14.(教材§4.1A)。 A. B. C. 15.(教材§4.1)已知矩阵,矩阵,则下列关于矩阵转置的结论,不正确的是(D)。 A. B. C. 16.(教材§4.2)已知矩阵A)。 17.(教材§4.3)下列矩阵中,(B)不是初等矩阵。 A. B. C. D. 18.(教材§5.1的特征值是(C)。 B. 第三章 线性方程组 一、温习巩固 1. 求解齐次线性方程组??? ??=-++=--+=-++0 51050363024321 43214321x x x x x x x x x x x x 解: 化系数矩阵为行最简式 ???? ? ????→?????? ??----=000001001-0215110531631121行变换A 因此原方程同解于? ? ?=+-=0234 21x x x x 令2412,k x k x ==,可求得原方程的解为 ???? ?? ? ??+??????? ??-=1001001221k k x ,其中21,k k 为任意常数。 2. 求解非齐次线性方程组?? ? ??=+=+-=-+8 31110232 2421321321x x x x x x x x 解:把增广矩阵),(b A 化为阶梯形 ?? ? ? ? ????→?????? ??---??→?????? ??--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A 因此3),(2)(=<=b A R A R ,所以原方程组无解。 3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ,使βγα=+32。 解:??? ? ? --=-= 31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=- T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。 解:将51,ααΛ作为列向量构成矩阵,做初等行变换 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ; 21-1 2 解:;5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ;1 1 12 2 ++-x x x x 解: ; 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解: ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解: ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解: ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解: .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??= 2.求下列排列的逆序数: (1)34215; 解:3在首位,前面没有比它大的数,逆序数为0;4的前面没有比它大的数,逆序数为0;2的前面有2个比它大的数,逆序数为2;1的前面有3个比它大的数,逆序数为3;5的前面没有比它大的数,逆序数为0.因此排列的逆序数为5. (2)4312; 解:4在首位,前面没有比它大的数,逆序数为0;3的前面有1个比它大的数,逆序数为1;1的前面有2个比它大的数,逆序数为2;2的前面有2个比它大的数,逆序数为2.因此排列的逆序数为5. (3)n(n-1)…21; 解:1的前面有n-1个比它大的数,逆序数为n-1;2的前面有n-2个比它大的数,逆序数为n-2;…;n-1的前面有1个比它大的数,逆序数为1;n 的前面没有比它大的数,逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4)13…(2n-1)(2n) …42. 解:1的前面没有比它大的数,逆序数为0;3的前面没有比它大的数,逆序数为0;…;2n-1的前面没有比它大的数,逆序数为0;2的前面有2n-2个比它大的数,逆序数为2n-2;4的前面有2n-4个比它大的数,逆序数为2n-4;…;2n 的前面有2n-2n 个比它大的数,逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知,四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p 已固定,4321p p p p 只能形如13□□, 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式: (1) 71100 251020214214 ; 解: 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解: 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3. 线性代数B期末试题-2016年秋第一题(20分):令A∈M n[?]为一可逆矩阵,u,v∈?n,定义分块矩阵 C=?A u v?0? 1)(10分)求u,v的一个充分必要条件使得矩阵C可逆。 2)(10分)在1)的条件满足的情况下求C?1。 第二题(20分): 1)(10分)求a的取值范围,使得矩阵 A=?1a a a1a a a1? 正定。 2)(10分)判断下列矩阵是否正定(给出判断依据): A=?32250 12 1 0211?1003?,B=?32240000 00001111?,C=? 2?1 ?1200?10 0?10 02?1 ?12 ? 第三题(15分):令矩阵A,B∈M n(?)。 1)(5分)设A是对称正定矩阵,B是对称矩阵,证明存在可逆矩阵P使得P?AP=I且P?BP为对角矩阵。 2)(10分)设A和B均为对称半正定矩阵,证明存在可逆矩阵P使得P?AP和P?BP为对角矩阵。如果B仅 是对称矩阵,同样的结论是否成立?如果成立,给出证明,否则给出一个反例。 第四题(15分):令L=D2+2D+1为线性空间V=<1,sin(x),cos(x)?sin(x)> 上的线性变换,求其在基{1,sin (x),cos(x)?sin(x)}下的矩阵。 第五题(10分):证明任何一个秩为r的矩阵总可以写成r个秩为1的矩阵之和。 第六题(10分):在?2中,对于任意α,β∈?2,定义二元函数 (α,β)=a1b1?a1b2?a2b1+4b1b2 求证(α,β)是?2的一个内积,并求?2关于该内积的一个标准正交基。 第七题(10分):对任一矩阵C,我们定义range(C)为矩阵C列向量组生成的线性空间,定义ker (C)为齐次线性方程组Cx=0的解空间。?m是标准内积空间。 1)(5分)令A∈M m×n(?),证明ker(A?)⊕range(A)=?m。 2)(5分)令矩阵A∈M m×n(?),β∈range(A)??m,γ∈?n,d∈?。证明下面的两个命题为等价 命题: a.线性方程组Ax=β的任何一个解x都满足γ?x=d。 b.存在一个向量α∈?m,使得γ=A?α,d=β?α。 数值线性代数习题解答 习题1 1.求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法,求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下: 注意到 我们只需运用算法1·1·1,逐一求解方程 便可求得 [注意]考虑到存空间的节省,我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样,我们便得到如下具体的算法: 算法(求解下三角矩阵L的逆矩阵T,前代法) 2.设为两个上三角矩阵,而且线性方程组 是非奇异的,试给出一种运算量为的算法,求解该方程组。 [解]因,故为求解线性方程组 ,可先求得上三角矩阵T的逆矩阵,依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤:(1)计算上三角矩阵T的逆矩阵,算法如下: 算法1(求解上三角矩阵的逆矩阵,回代法。该算法的的运算量为) (2)计算上三角矩阵。运算量大约为. (3)用回代法求解方程组:.运算量为; (4)用回代法求解方程组:运算量为。 算法总运算量大约为: 3.证明:如果是一个Gauss变换,则也是一个Gauss变换。 [解]按Gauss变换矩阵的定义,易知矩阵是Gauss变换。下 面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上 注意到,则显然有从而有 4.确定一个Gauss变换L,使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有 功能:使向量的第二行加上第一行的2倍;使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 5.证明:如果有三角分解,并且是非奇异的,那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。 [证明]设,其中都是单位下三角阵, 都是上三角阵。因为A非奇异的,于是 注意到,单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵,两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵;上三角阵的逆仍是上三角阵,两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此,上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等, 故此,它们都必是单位矩阵。即,从而 即A的LU分解是唯一的。 6.设的定义如下 证明A有满足的三角分解。 [证明]令是单位下三角阵,是上三角阵。定义如下 容易验证: 7.设A对称且,并假定经过一步Gauss消去之后,A具有如下形式 证明仍是对称阵。 [证明] 根据Gauss变换的属性,显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为 ______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). 第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 线性代数期中练习 一、单项选择题。 1. 12 021 k k -≠-的充分必要条件是( )。 (A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2.若AB =AC ,当( )时,有B =C 。 (A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵 3.若三阶行列式M a a a a a a a a a =3332 31 232221 13 1211 ,则=---------33 32 312322 2113 1211222222222a a a a a a a a a ( ) 。 (A) -6M (B) 6M (C) 8M (D) -8M 4.齐次线性方程组123123123 000ax x x x ax x x x x ++=?? ++=??++=?有非零解,则a 应满足( )。 (A) 0a ≠; (B) 0a =; (C) 1a ≠; (D) 1a =. 5.设12,ββ是Ax b =的两个不同的解,12,αα是0=Ax 的基础解系,则Ax b = 的通解是( )。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+ + (B) 11212121 ()()2 c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121 ()()2 c c αββββ+-++ 二.填空题。 6.A = (1, 2, 3, 4),B = (1, -1, 3, 5),则A ·B T = 。 7.已知A 、B 为4阶方阵,且A =-2,B =3,则| 5AB | = 。 | ( AB )-1 |= 。 8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ??? 中,已知1-B 、1 -C 存在,而O 是零矩阵,则 =-1A 。 线性代数标准化作业答案 第一章:行列式 基础必做题:(一) 一、填空题: 1、3,n (n-1); 2、1222+++c b a ; 3、70,-14; 4、-3M ; 5、1 二、选择题: 1、C 2、D 3、D 4、A 5、C 三、计算题: 1、解:原式 11 110 01)1()1(1 11 11C 1 21 11++++=--?-?-+--?-++cd ad ab abcd d c d c b a ()(展开按2、解:原式 3 1 323 121) c b a () c b a (0 00) c b a (0 111 )c b a (2cr r 2br r b a c 2c 2c 2b a c b 2b 111 )c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c c c b a c b b c b a c b a c b a r r r r 四、解: ) )()()((0 000001) (1 111 ) ()(c x b x a x c b a x c x b c a b b x a b a x c b a c b a x x c b c x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++= 因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。 基础必做题(二) 一、填空题: 1、6,8; 2、0; 3、0,0; 4、4; 5、24 二、选择题: 1、D ; 2、C ; 3、A ; 4、A ; 5、A,B,D 三、1、解:原式 第一次 行列式部分的填空题 1.在5阶行列式ij a 中,项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2.排列45312的逆序数为 5 。 3.行列式251122 14 ---x 中元素x 的代数余子式是 8 . 4.行列式1 02325 4 03 --中元素-2的代数余子式是 —11 。 5.行列式2 5 1 122 1 4 --x 中,x 的代数余子式是 —5 。 6.计算0 00 0d c b a = 0 行列式部分计算题 1.计算三阶行列式 3 8 1 141 102 --- 解:原式=2×(—4)×3+0×(—1)×(—1)+1×1×8—1×(—1)×(—4)—0×1×3—2×(—1)×8=—4 2.决定i 和j ,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解:i =8,j =5。 3.(7分)已知00 1 04 13 ≠x x x ,求x 的值. 解:原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得:x 1=0;x 2=2 所以 x={x │x ≠0;x ≠2 x ∈R } 4.(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解,求λ。 解:()2 11 1 1 0100 011 1 1 11 11 -=--==λλλλλ D 由D=0 得 λ=1 5.用克莱姆法则求下列方程组: ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解:因为 033113 2104 21 711 7 2104 21 911 7 18904 213511 3 215 421231 312≠-=?-?=-------=-------=)(r r r r r r D 所以方程组有唯一解,再计算: 811 1 10 2129 4 2311-=-=D 1081 10 3 22954 311 2-==D 13510 1 3 2915 31213=-=D 因此,根据克拉默法则,方程组的唯一解是: x=27,y=36,z=—45 第二次 线性方程组部分填空题 1.设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ,当r= n 时,则A x =0 只有零解;当A x =0有无穷多解时,其基础解系含有解向量的个数为 n-r . 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659; (2) 987654321; (3) n (n 1)…321; (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解: 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ,其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标,则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ; (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 北大版-线性代数第一章部分课后答案详解 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 习题1.2: 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解:由行列式的定义可知,第三行只能从32a 、34a 中选,第四行只能从42a 、44a 中选,所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ,即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明:第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0,同理,第四行取41a 、42a ,第三行取31a 、32a ,由于每一列只能取一个,则在第三第四第五行中,必有一行只能取0.以第五行为参考,含有51a 的因式必含有0,同理,含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值: (1)01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L (2)00100200100000 n n -L L M O M O M L L ; 解:(1)0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --线性代数习题参考答案
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