2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
（6月14日上午8:3011:30--）
一、填空题
1、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超
级平方数，这种超级平方数的个数是 ．
答案：13个．
解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．
2、函数y =的最大值是 ．
答案：
解：y =
==
其定义域为68x ≤≤，当6x =时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值
为
3、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360x y ++=所截得的线段长
l 的方程为 ．
答案：715x y +=或者75x y -=．
解：设l 的方程为2(1)y k x -=-，将此方程分别与4310x y ++=及4360x y ++=联立，
解得交点坐标3758,3434k k A k k --+??
?++??与312108,3434k k B k k --+??
?++??
，据AB =
=()
22
25(1)234k k +=+，所以17k =，217k =-，分别代入所设方程，得到715x y +=或者75x y -=．
4、
01sin10= ．
答案：4．
解：
00
0000 00000
1
cos10
1sin30cos10cos30sin10
22
44
sin102sin10cos102sin10cos10
--
=?=
sin20
44
sin20
=?=．
5
x
≥的实数x的取值范围是．
答案：1,
?
-?
??
．
解：用图像法：令y=y x
=
交点，半圆位于交点左侧的图像皆在直线y x
=上方；或者三角函数代换法：
因11
x
-≤≤，令c o s,0
xθθπ
=≤≤，则s i n
yθ
=，
x
≥，平方得2
21
x≤，
则x≤，又有cos1
xθ
=≥-
，因此1,
2
x
?
∈-?
??
．
6、若实数,,0
x y z≥，且30,350
x y z x y z
++=+-=，则542
T x y z
=++的取值范围是[]．
答案：[]
120,130．
解：()()()
542433043
T x y z x y z x y z x y z
=++=+++++=+++
因()()
42380
x y x y z x y z
+=++++-=，所以110()
T y z
=++，
20(3)()2()
x y z x y z x z
=+--++=-，则10
x z
-=，因,x z非负，于是10
x≥，
从而由30
x y z
++=知，20
y z
+≤，得到110()130
T y z
=++≤，
（当0,10,20
z x y
===时取得等号）
再由4280
x y
+=，0
y≥，则20
x≤，所以3010
y z x
+=-≥，于是
110()120T y z =++≥，
（当20,0,10x y z ===时取得等号），所以120130T ≤≤． 7、在前一万个正整数构成的集合{}1,2,,10000 中，被3除余2，并且被5除余3，被7
除余4的元素个数是 ．
答案：95个．
解：对于每个满足条件的数n ，数2n 应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，21n -应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即21n -是105的奇倍数，而当{}1,2,,10000n ∈ 时，
{}211,2,,19999n -∈ ，由于在{}1,2,,19999 中，共有190个数是105的倍数，其中的奇倍
数恰有95个．
8、如图，正四面体ABCD 的各棱长皆为2，111,,A B C 分别是棱,,DA DB DC 的中点，
以D 为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC 内作弧 1111
,A B B C ，并将两弧各分成五等分，
分点顺次为112341,,,,,A P P P P B 以及112341,,,,,B Q Q Q Q C ， 一只甲虫欲从点1P 出发，沿四面体表面爬行至点4Q ，则其 爬行的最短距离为 ．
答案：0
2sin 42．
解：作两种展开，然后比较；
由于 11A B 被112341,,,,,A P P P P B 分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为012， 11B C 被
112341,,,,,B Q Q Q Q C 分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为012，
若将DBC ?绕线段DB 旋转，使之与DAB ?共面，这两段弧均重合于以D 为圆心，半径为1
的圆周， 14PQ 对应的圆心角为0
81296?=，此时，点14
,P Q 之间直线距离为0
2sin 48， 若将DAB ?绕线段DA 旋转，DBC ?绕线段DC 旋转，使之皆与DAC ?共面，在所得图
形中， 14PQ 对应的圆心角为0
71284?=，此时，点14
,P Q 之间直线距离为0
2sin 42， 所以最短距离是0
2sin 42．
二、解答题
9、正整数数列{}n a 满足：2
112,1n n n a a a a +==-+；证明：数列的任何两项皆互质．
证：改写条件为 11(1)n n n a a a +-=-，从而111(1)n n n a a a ---=-，等等，据此迭代得
111122111111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +--------=-=-==-= ，
所以，1211n n n a a a a --=+ ，因此当k n <，(,)1n k a a =．
10、（25分）H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段CH 上任取一点E ，延长CH 到F ，
使HF CE =，作F D B C ⊥，EG BH ⊥，其中,D G 为垂足，M 是线段CF 的中点，12,O O 分别为,ABG BCH ??的外接圆圆心，12,O O 的另一交点为N ；
证明：()1、,,,A B D G 四点共圆；
()2、12,,,O O M N 四点共圆；
证：()1、如图，设EG DF K = ，连AH ， 则因,AC BH EK BH ⊥⊥，AH BC ⊥，
KF BC ⊥，得CA ∥EK ，AH ∥KF ，且
CH EF =，所以CAH ?≌EKF ?，AH 与KF 平行且相等，故AK ∥HF ，
090KAB KDB KGB ∠==∠=∠，因此，
,,,A B D G 四点共圆；
()2、据()1，BK 为1O 的直径，作2O 的直径
BP ，连12,,,CP KP HP OO ，则
90BCP BHP ∠=∠=，所以CP ∥AH ， HP ∥AC ，故AHPC 为平行四边形，进而得， PC 与KF 平行且相等，因此对角线KP 与CF 互
相平分于M ，从而12,,O O M 是KBP ?三边的中点，KM ∥12O O ，
而由0
90KNB ∠=，12OO BN ⊥，得
KN ∥12O O ，所以,,M N K 共线，
因此MN ∥12O O ，又由KBP ?的中位线知211MO O B O N ==，因此四边形12O O MN 是等腰梯形，其顶点共圆．
11、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >，证明：圆周()()22
2x a y b r -+-=上至多
只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．
证：对于点(),M a b ，用(),P M r 表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点()()0,0,2,2A B ，线段AB 中垂线l 的方程为:2x y +=,今在l
上取点(11M +，再取
r MA ==则以M 为圆心、r 为半径的圆周上至少有,A B 这两个有理点；
其次说明，对于任何无理点M 以及任意正实数r ，(),2P M r ≤；
为此，假设有无理点(),M a b 及正实数r ，在以M 为圆心，r 为半径的圆周上，至少有三个有理点(),i i i A x y ，,i i x y 为有理数，1,2,3i =，则
()
()()()()()2
22222
112233x a y b x a y b x a y b -+-=-+-=-+- ……①
据前一等号得 ()()()2222
1212112212x x a y y b x y x y -+-=
+-- ……② 据后一等号得 ()()()2222
2323223312
x x a y y b x y x y -+-=+-- ……③
记 ()22221122112x y x y t +--=，()2222
2233212
x y x y t +--=，则12,t t 为有理数，
若120x x -=，则由②，()121y y b t -=，因b 为无理数，得120y y -=，故12,A A 共点，矛盾！同理，若230x x -=，可得23,A A 共点，矛盾！ 若12230,0x x x x -≠-≠，由②、③消去b 得，
()()()()()()12231223123212x x y y y y x x a t y y t y y -----=---=????有理数，
因a 为无理数，故得，()()()()122312230x x y y y y x x -----=，所以
32
121232
y y y y x x x x --=--，则 123,,A A A 共线，这与123,,A A A 共圆矛盾！
因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点．于是对于所有的无理点M 及所有正实数r ，
(),P M r 的最大值为2．
12、从集合{}1,2,,36M = 中删去n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015
的因数，求n 的最小值． 答案：17．
解：因201551331=??，M 中任两个元素之和不大于71，由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65，在M 的二元子集中，元素和为5的有{}{}1,4,2,3； 元素和为13的有{}{}{}{}{}{}1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7；
元素和为31的有{}{}{}{}{}{}{}1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,,15,16 ； 元素和为65的有{}{}{}{}29,36,30,35,31,34,32,33；
为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；
于是
在图
(),()
A B 中各
至少要删去4个数，图
(),()C D 中各至少要删去2个数，图()E 中至少删去5个数，总共至少要删去17个数．
另一方面，删去适当的17个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图()A 中删去
12,30,4,22，图()B 中删去11,29,3,21，()C 中删去23,5，()D 中删去24,6，()E 中删去13,14,15,31,32．这时图中所有的线段都已被断开．
(E)
(D)
(C)
(B)
(A)
26
5821
23