第六章实数教案

人教版七年级数学下册第六章《实数》教案

执教

七年级数学集体备课组

2013.3. 8

第六章实数

6.1平方根【第一课时】

教学目标：

【知识与技能】

了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义。

【过程与方法】

理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似值。

【情感、态度与价值观】

体会平方与开平方这一对互逆运算的辩证关系，感受平方根在现实世界中的客观存在，增强数学知识的应用意识。

【教学重点】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。

【教学难点】会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。【教具准备】小黑板科学计算器

【教学过程】

一、导入

1、通过七年级的学习，相信同学们都对数学这门课程有了更深入的认识，这个学期，我们将一起来学习八年级的数学知识，这个学期的知识将会更加有趣。

2、板书：实数 1.1 平方根

二、新授

（一）探求新知

1、探讨：有面积为8平方厘米的正方形吗？如果有，那它的边长是多少？（少数学习超前的学生可能能答上来）这个边长是个怎样的数？你以前见过吗？

2、引入“无理数”的概念：像8（2.82842712……）这样无限不循环的小数就叫做无理数。

3、你还能举出哪些无理数？（2，3）

4、9、1/3是无理数吗？

4、有理数和无理数统称为实数。

（二）知识归纳：

1、板书：1.1平方根

2、李老师家装修厨房，铺地砖10.8平方米，用去正方形的地砖120块，你能算出所用地砖的边长是多少吗？（0.3米）

3、怎么算？每块地砖的面积是：10.8 120=0.09平方米。

由于0.32=0.09，因此面积为0.09平方米的正方形，它的边长为0.3米。

4、练习：

由于（）=400，因此面积为400平方厘米的正方形，它的边长为（）厘米。

5、在实际问题中，我们常常遇到要找一个数，使它的平方等于给定的数，如已知一个数a，要求r，使r2=a，那么我们就把r叫做a的一个平方根。（也可叫做二次方根）

例如22=4，因此2是4的一个平方根；62=36，因此6是36的一个平方根。

6、说一说：9，16，25，49的一个平方根是多少？

（三）探求新知：

1、4的平方根除了2以外，还有别的数吗？

2、学生探究：因为（-2）2=4，因此-2也是4的一个平方根。

3、除了2和-2以外，4的平方根还有别的数吗？（4的平方根有且只有两个：2与-2。）

4、结论：如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r。

5、我们把a的正平方根叫做a的算术平方根，记作a，读作：“根号a”；

把a的负平方根记作-a。

6、0的平方根有且只有一个：0。 0的平方根记作0，即0=0。

7、负数没有平方根。

8、求一个非负数的平方根，叫做开平方。

（四）巩固练习：

1、分别求下列各数的平方根：36，25/9，1.21。 （6和-6，5/3和-5/3，1.1和-1.1）（也可用±号表示）

2、分别求下列各数的算术平方根：100，16/25，0.49。 （10，4/5，0.7）

三、小结与提高：

1、面积是196平方厘米的正方形，它的边长是多少厘米？

2、求算术平方根：81，25/144，0.16 四、教后感：

6.1平方根【第二课时】

【知识与技能】

通过学习，进一步熟悉开平方的运算过程，能熟练的进行开平方的运算过程。 【过程与方法】

理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似值。 【情感、态度与价值观】

体会平方与开平方这一对互逆运算的辩证关系，感受平方根在现实世界中的客观存在，增强数学知识的应用意识。

【教学重点】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。

【教学难点】能熟练的进行开平方运算，并熟悉各种不同形式的开平方运算，为后续学习打下基础。

【教具准备】小黑板 科学计算器 【教学过程】 一、复习导入

1、求下列各数的平方根：0.81， 49/64，

2、81的算术平方根是（ B ）A ．±3 B ．3 C ．±9 D ．9

3、下列语句中正确的是（ C ）

A ． 的平方根是

B ． 的算术平方根是

C ． 的平方根是

D ． 的算术平方根是 91

7811-9

1-811-9181191

±81191-

二、新授

（一）平方根与算术平方根

1、如果r 是正数a 的一个平方根，那么a 的平方根有且只有两个：r 与-r 。我们把a 的正平方根叫做a 的算术平方根，记作a ，读作：“根号a ”；把a 的负平方根记作-a 。

2、0的平方根有且只有一个：0。0的平方根记作0，即0=0。

3、负数没有平方根。

4、求一个非负数的平方根，叫做开平方。

5、小结：平方根的性质

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根。

算术平方根的性质

①正数的算术平方根是正数； ②0的算术平方根就是0； ③负数没有算术平方根。

（二）课堂练习

1、求下列各数的算术平方根：8+（ ）2； b 2

-2b+1 (b<1)

思路与技巧：被开方数是数字算式，一般可先算出算式的值，也可通过简单变形，把算式化为一个数的平方的形式。被开方数是字母表达式时，应该先分析表达式的值是不是非负数，负数没有平方根。 （参考答案： ， 1-b ）

2、求各式的值： -9= 44.1= 2

)3(-=

思路与技巧：此题要求正确理解a a a -± ，，

的意义，其中a ≥0。 3、探究|a|与2a 的关系。（参考答案：|a|=2a ）

4、求下列各式中的x ：（1）4x 2-49=0； （2） x 2

=1。

（此题的关键是把原等式转化成x 2

=a 的形式，再利用平方根的定义及性质求出x 。）

5、如果一个正数的平方根是a+3与2a-15，那么这个正数是多少？

思路与技巧：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a+3）+（2a-15）

16

9±

81

256

17

61

-

=0，从而求出a的值后，再求出这个数即可。（参考答案：49）

三、小结与巩固

1、平方根与算术平方根有怎样的性质？

2、如果a2=b，已知b的值，求a的运算过程叫做（开平方）运算；它与（平方）运算互为逆运算。

3、若3=1.732，那么300=（ 17.32 ）。

4、盖房时，在墙上留出了0.81m2的正方形墙洞预备安装窗户，求正方形窗户的边长。（参考答案：0.9m）

四、教后感：

6.1平方根【第三课时】

【知识与技能】

理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似值。

【过程与方法】

通过操作，拼出面积为8的正方形，抽象出无理数的概念。

【情感、态度与价值观】

体会平方与开平方这一对互逆运算的辩证关系，感受平方根在现实世界中的客观存在，增强数学知识的应用意识。

【教学重点】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。

【教学难点】知道无理数的概念，并能正确进行表示。

【教具准备】小黑板科学计算器

【教学过程】

一、复习导入

1、如果b=-169，那么-b有平方根吗？如果有，写出-b的平方根。

2、填空：

（16）2= _______________（-16）2=_______________

2

16= _______________ 2)

(-=_______________

16

（25）2= _______________（-25）2=_______________

2

25= _______________ 2)

25

(-=_______________

二、无理数

1、你能作出面积是8平方厘米的正方形吗？

（学生交流讨论）

2、将一个2×4的长方形，对折两次，得到如下的图形：

沿着折痕DE、EC剪开，得到3个三角形，然后将这三个三角形拼成一个正方形，如图，这个正方形的面积等于原来长方形的面积8平方厘米。

3、分析：面积为8平方厘米的正方形，它的边长是多少呢？它的边长是整数吗？

（估计面积为8平方厘米的正方形的边长的过程，就是一个用有理数无限逼近无理数的过程，这个过程注意不要忽略，一定要让学生动手去感受，体会到无理数是一个无限不循环的小数。）

2.82=7.84， 2.92=8.41

2.822=7.9524， 2.832=8.0089

2.8282=7.997584 2.8292=8.003241

…………

从上述数据，能看出什么？

整个正方形的边长比2.8大，比2.9小；比2.82大，比2.83小；比2.828大，比2.829小；……

4、学生汇报，教师引导：

面积为8平方厘米的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数。这个小数既不是有限小数，又不是无限循环小数，它叫做无限不循环小数。我们把这种无限不循环小数叫做无理数。

5、由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此这个面积为8平方厘米的正方

形的边长可以记作8。从上述分析可知，8是一个无限不循环小数，因此8是一个无理数。

6、下列是无理数的有：

2，4，9， ， ，3，5， ，0.12213816……， 7、用科学计算器求出平方根。

学生用科学计算器进行开平方运算，注意不同计算器的使用方法的区别。 三、小结与巩固

1、什么是有理数？什么是无理数？

2、有根号的数都是无理数，没有根号的都是有理数，这种说法对吗？如果不对，请举出反例。 四、教后感：

6.1平方根【第四课时】

【知识与技能】12999 . c o m

理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似值。 【过程与方法】

通过练习，进一步熟悉开平方的运算过程，能熟练的进行开平方的运算过程。 【情感、态度与价值观】

体会平方与开平方这一对互逆运算的辩证关系，感受平方根在现实世界中的客观存在，增强数学知识的应用意识。

【教学重点】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。

【教学难点】能熟练的进行开平方运算，并熟悉各种不同形式的开平方运算，为后续学习打下基础。

【教具准备】小黑板 科学计算器

327

481

7

5

【教学过程】 一、复习导入

1、小刚家厨房的面积为10平方米的正方形，它的边长是多少米？边长的近似值是多少？（用四舍五入的方法取到小数点后面第二位）（10，）

2、用计算器分别求7，12得近似值。（用四舍五入的方法取到小数点后面第三位）

3、0.36的平方根是（ ）

4、（-5）2的算术平方根是（ ） 二、练习内容 （一）填空

1、若3=1.732，那么300=（ ）

2、（-5）2=（ ）

3、 =（ ）

4、若x=6，则2

)9(-x =（ ） 5、若24x -=0，则x=（ ） 6、当x （ ）时，2-x 有意义。 （二）选择

1、下列各数中没有平方根的是A ．（-3）2 B ．0 C ．1/3 D ．-（-2）

2

2、下列说法中正确的是（ ）

A ．-1的平方根是-1；

B ．2是4的平方根；

C ．如果一个数有平方根，那么这个数一定是正数；

D ．任何一个非负数的平方根都是非负数。 3、下列说法错误的是（ ）

A ．2是2的一个平方根；

B ．3是3的算术平方根；

C ．2的平方根也就是2的算术平方根；

D ．2-的平方等于2。 4、下列说法中正确的是（ ）

A ．只有正数才有平方根；

B ．6-6与互为相反数；

C ．55-与互为相反数；

D ．任何数的平方根都有两个。 5、某个数的绝对值的算术平方根等于它本身，那么这个数必定是 A ．1或-1 B ．1或0 C ．-1或0 D ．1，-1或0

6、如果x ，y 为任意数，且x 2=y 2，那么（ ）A ．x=y B ．x=-y C ．-x=y D ．-x=±y

64

63

1-±

7、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．12+a B ．1+a C ．a+1 D ．1+a

8、下列各数中，算术平方根比它本身大的是（ ）A ．（-1/3）2

B ．0

C ．1

D ．（-1）2

9、若9x 2-16=0，且x>0，则53+x 的值是（ ）A ．3 B ．9 C ．3/31 D ．±3 三、解答

1、49144-；

2、4x 2-49=0；

3、（25/81）x 2=1；

4、求8+（-1/6）2

的算术平方根； 5、求b 2-2b+1的算术平方根；（b<1）

6、

； 7、 ；（用四舍五入方法取到小数点后面第三位）

8、肖明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块，铺成了10.56平方米的房间，肖明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算。 四、小结与巩固 五、教后感：

6.2 立方根

教学目标

1通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实生活中的客观存在，了解立方根的概念。

2会求某些数的立方根，会用科学计算器求立方根及其近似值。

4

1232021

11?-?-2

15-

教学过程

一 创设情境，导入新课

1复习：（1）什么叫平方根？什么叫算术平方根？（2）平方根有什么性质？ 2 动脑筋：一个正方体水晶砖，体积为8立方厘米，它的棱长是多少？ 二 合作交流，探究新知

1 交流讨论上面问题2，引入立方根的概念

32=8∵，∴体积等于8立方厘米的正方体，它的棱长是2厘米。

在实际问题中常常要找一个数使它的立方等于一个给定的数，如果一个数b ，使得3a =b ，那么我们把b 叫作a 的一个立方根。如：()3

28-=-，则2-叫8-的一个立方根。

我们知道非负数a 的平方根可以表示为：±

a 的立方根呢？

2 通过具体问题探究立方根的性质，从而引入立方根的表示方法。 说一说下列各数的一个立方根 27、-27、64、-64、，0，0.001。-0.001

思考：（1）一个正数的平方根有两个，一个正数的立方根会不会也有两个呢？ （2）负数没有平方根，负数有没有立方根？为什么会有这样的区别？

（3）一个非负数的平方根表示为±

，一个数a 的立方根怎么样表示呢？

（注意强调一方面怎样区别二次方根与三次方根，另一方面说明三次方根前为什么不要带“±”）

3 开立方运算的概念

我们知道求一个数的平方根的运算叫开平方根，求一个数的立方根的运算叫什么呢？ 求一个数的立方根，就叫对这个数开立方。。 三 应用迁移，巩固提高 1 利用立方根的定义求立方根

例1 求下列各数的立方根125，-216，1000，827

，-0.027，3

(9)- 2 加深立方根定义的理解

例2 （1）我们知道32=8∵∴2是8的立方根，8，所

以38=， 由此你发现了什么呢？

一个数的立方根的立方就等于这个数。你能用字母表示吗？（3a =）

（2）如果3r a =，那么r 叫a 的立方根，如果33r a =，那么r 叫谁的立方根呢？r 等于多

少呢？3a 的立方根怎么表示呢？你发现了什么？ 3

=a, (3)求下列各式的值

3

，例3 解方程：

3 用计算器求一个数的立方根

例4 用计算器求下列各数的立方根343，-1.331

例5 的近似值（用四舍五人法取到小数点后面第三位） 4 立方根的应用

例6 如果球的半径为r 那么球的体积可用公式34

=3

v r π球来计算，当球的体积为5003cm 时，求球的半径r （π取3.14，精确到0.01）

四 课堂练习，巩固提高 P 10 1、2、3补充 求下列各式的值：

五反思小结，巩固提高 填写下表 立方根性

6.3 实数（第一课时）

教学目标

1 了解实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应； 2了解有理数运算律在实数范围内仍然适用； 3 会估计一个无理数的范围。 教学重点难点

重点：实数的概念、有理数运算律在实数范围内也适用 难点：理解实数与数轴上的点一一对应。 教学过程

一 创设情境，引入新课

1 什么叫有理数？什么叫无理数？

2 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

2-01.4143

π、、二 合作交流，探究新知 1、实数的概念

有理数和无理数统称为实数，所以的实数组成的集合叫作实数集。 2、实数与数轴上的点的关系

我们知道所有的有理数可以用数轴上的点来表示，无理数可不可以用数轴上的点来表示呢？

（1）怎样用数轴上的点来表示π? 方法：把半径等于

1

2

的圆放到数轴上，圆上一点A 与原点重合，圆沿着数轴滚动一周，点A 的终点表示 π（做一个教具演示）

3

21

（2

？

方法：从第5页的探究问题可以知道边长为2，因此，以0为圆

8

3

2

10

心，以边长为2

（教师示范）

总结：其实每一个实数数都可以用数轴上的点来表示，因此数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。这两层意思合起来就是：实数和数轴上的点一一对应。

观察数轴：正实数在数轴上什么位置？负实数呢？正、负实数与零点大小有什么关系？ 正实数在原点的右边，负实数在原点的左边，正实数大于零，负实数小于零。 2、实数怎样分类？ （1）有理数怎样分类？

按正、负性分：0??

???

正有理数

有理数负有理数

按整、分性分：???整数有理数分数

（2）实数怎样分类呢？模仿有理数的分类请你给实数分类。

}---????

??

??整数有理数有限或无限循环小数实数分数无理数无限不循环的小数 0????

???????????

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 3、有理数范围内的一些数学概念，运算法则，运算定律是否适合无理数呢？请你回顾： (1)几个常用概念 ① 什么叫相反数？

只有符合不同的两个数叫互为相反数，零的相反数是零。这个概念适合实数，

是一对互为相反数，实数a 的相反数是_____,实数（a+b ）的相反数是_____,实数（a-b ）的相反数是_______. ②什么叫绝对值?

数轴上一个数表示的点离开原点的距离叫这个数的绝对值。这个概念也适合实数。如：

、考考你：

A 一个正实数的绝对值等于______,

B 一个负实数的绝对值等于________

C 零的绝对值等于________,

D 什么数的绝对值等于本身？

E 什么数的绝对值等于它的相反数？

F 互为相反数的两个实数的绝对值有什么关系？

③什么叫互为倒数？

如果两个数的积等于1，这两个数叫互为倒数。其中一个叫另一个的倒数

（2）有理数范围内学过有哪些运算定律？请你用语言叙述，用式子表达。

①加法交换律:a+b=_______,②加法结合律:(a+b)+c=______③ 乘法交换律:ab=___ ④乘法对加法的分配律:a(b+c)=____________, 这些字母a 、b 、c 可以代表实数。

（3）有理数范围内学过下列运算法则，你还记得吗？

① a+0=_____,②a+(-a)=_____,③1a ?==_____,④a-b=_____,⑤a ÷b=____ 这些法则也适合实数，即字母a 、b 可以代表实数

（4）在有理数范围内，如果两个数都不等于0，这两个数的乘积会等于0吗？ 在实数范围内也有这条性质，即如果0,0a b ≠≠,则ab 0≠ (5)在有理数范围内怎样比较大小？

①如果a-b ＞0，则a ＞b,如果a-b ＜0,则a ＜b,

②正数大于负数，两个负数，绝对值小的反而大，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

在实数范围内也可以这样比较大小。

（6）以前学过的数、式、方程（组）、不等式（组）的性质、解法、对于实数也同样适用

（7）平方根、立方根的概念和性质对于实数也同样适用。 三 应用迁移，巩固提高

例1 把下列各数填入相应的集合内：-5，3.7.2,3

π-- 0.2121121112...(21每两个之间多一个）填入相应的集合里。

有理数集合_______________,无理数集合_____________________, 正实数集合_______________,负实数集合_____________________.

例 2

填表

a

例3 实数a 、

b 在数轴上的位置如图所示，则化简a b - ） A 2a+b B b C 2a-b D b

例4 2的大小

例5 1

2

的大小 四课堂练习，巩固提高 P 15 1.2

五 反思小结，拓展提高

这节课内容比较杂，你认为重点要掌握什么？

1实数的概念 2 有理数范围内的概念和运输法则运算定律都适合实数。

6.3 实数（第二课时）

教学目标

1 知道有效数字的概念；

2 会按要求进行近似数的运算 教学过程

一、创设情境，导入新课

1 什么叫实数？实数怎么分类？

2 在有理数范围内学过的概念、运算法则、运算定律、性质，在实数范围内还适应吗？

3 做一做

如果正方形ABCD的面积为3平方厘米，正方形EFGH的面积为5

平方厘米，这两个正方形的边长的和大约是多少厘米(精确到小数

点后面第一位)？

二、合作交流，探究新知

1 交流上面问题的做法

（1）估计同学们会有两种做法：

的近似值，用四舍五入取到小数点后面第一位，然后相加，得：

1.7+

2.2=

3.9

≈（厘米）

（2

）用计算器直接求出

的近似值，用四舍五入取到小数点后面第一位，得：

4.0

≈

如果没有两种做法，也要想办法引出这两种做法

两种做法的答案不同，哪一种答案正确呢？

请同学们把第一种做法修改一下：

的近似值分别取到小数点后第二位，然后相加。

你发现了什么？

这时两种做法的答案就一样了

从这个例子看出，在进行实数的加减运算时，如果要求答案取到小数点后面第一位，

那么参与运算的每一个实数的近似值应当多一位，即取到第二位，最后结果才取到小数点

后面第一位。

2、引入有效数字的概念

在上面运算中1.73

的近似值，它是用四舍五入得到的，1、7、3叫近似数1.73的三

个有效数字。什么叫近似数的有效数字呢？

先思考：0.010256精确到小数点后面第三位，等于多少呢？

0.010256≈0.0103

近似数0.0103有三个有效数字1、0、3

H

F

E

D

C

B

A

现在你能说说，什么叫近似数的有效数字吗？

从第一个不是零点数字起到最后一个不数字止的所有数字叫近似数的有效数字。 考考你：1 近似数0.03350有几个有效数字，分别是______________________. 2 125万保留两个有效数字等于__________ 3 81.23610?有_______个有效数字。 3、怎样进行近似值的运算？

（1） 在近似数的加减法运算中，如果被减数与减数相差较大，那么参与运算的最大数多

取一位有效数字，其余的数取到与最大数最低位相对应的那一位止。

例1 计算： 27.65+0.02856+-3.414（保留三个有效数字）提醒：最后一位数字为0，不能省略。

（2）在进行近似数的乘法和除法运算中，参与运算的每一个数应多取一位有效数字。 例2 在上面做一做问题中 ，如果分别以正方形ABCD 、EFGH 的边长作为宽与长，做一个长方形，那么这个长方形的面积大约是多少平方厘米（保留三个有效数字）

考考你：1 计算（精确到小数点后面第二位）（1（2

2 计算（保留三个有效数字）（1）（2） 2

三、应用迁移，巩固提高

1 实践应用

例3（1）一个正方形的体积变为原来的27倍，它的棱长变为多少倍？表面积变为原来的多少倍？

变式：上面问题中27倍改为：8倍，其他不变

例4设a 、b 为实数，且224410260a b a b +-++=的值。

四、反思小结，拓展提高

这节课，你认为最重要的是什么？

1 有效数字的概念；

2 实数的近似数的计算2教后感。