2016年高考天津卷理数试题(解析版)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项：
1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：
如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式V 柱体=Sh ， 圆锥的体积公式V =
3
1
Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S 表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高． h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4},{|32},
A B y y x x A ===-∈，则A
B =（ ）
（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}
（D ）{1,4}
【答案】D 【解析】
试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D .
考点：集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.
（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥??
+-≥??+-≤?
则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）
（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17
【答案】
B
考点：线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. （3）在△ABC
中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
【答案】A 【解析】
试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 考点：余弦定理
【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．
2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
（A ）2
（B ）4
（C ）6
（D ）8
【答案】B 【解析】
试题分析：依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B. 考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n ?1+a 2n <0”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，
22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+
分条件，故选C. 考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ?
q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ?q 与非q ?非p ，q ?p 与非p ?非q ，p ?q 与非q ?非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ?B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要
条件．
（6）已知双曲线2
2
24=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）
（A ）22443=1y x -（B ）223
44=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2
224=11x y - 【答案】D
考点：双曲线渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：
(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2
＋By 2
＝1(AB ＜0)． ②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2
－n 2y 2
＝λ(λ≠0)．
（7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延
长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ?的值为（ ） （A ）8
5- （B ）
8
1 （C ）
4
1 （D ）
811
【答案】B 【解析】
试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a =
=-，33
()24
DF DE b a ==-，
1353
()2444
AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴
253531
44848
AF BC a b b ?=-?+=-+=，故选B.
考点：向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
（8）已知函数f （x ）=2(4,0,
log (1)13,03)a
x a x a x x x ?+0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于
x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）
（A ）（0，23] （B ）[23，3
4
] （C ）[13，23]
{
3
4
}（D ）[13，23）
{
3
4
} 【答案】C 【解析】
试题分析：由()f x 在R 上递减可知34013
31,013
4a a a a -≥??≤≤?
≥<
好有两个不相等的实数解，可知132,
12a a ≤-≤，12
33
a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是
123
[,]{}334
，故选C. 考点：函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a
b
的值为_______. 【答案】2 【解析】
试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=??-=?，所以21a b =??=?
，2a
b =，故答案
为2．
考点：复数相等
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈，
a bi c di ac bd ad bc i a
b
c
d R 22
()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad i
a b c d R c di c d . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b .-a bi
（10）28
1()x x
-的展开式中x 2
的系数为__________.(用数字作答)
【答案】56-
考点：二项式定理
【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.
【答案】2
【解析】
试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为1
V=???=．故答案为2．
(21)32
3
考点：三视图
【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.
【答案】
3
【解析】
试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ?=?，2DE x =
，又2
B D D E x
==，所以1AC AE ==，因为AB
是直径，则BC ==
AD =BCE DAE ??:，则
BC EC AD AE =
1x
=
，解得x =考点：相交弦定理
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
（13）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a
满足
1
(2
)(a f f ->，则a 的取值范围是______.
【答案】13(,)22
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
(14) 设抛物线2
22x pt y pt
?=?=?，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l
的垂线，垂足为B .设C （7
2
p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积
为p 的值为_________.
【解析】
试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，
(,0)2p F ，7322
p
CF p p =-=，又2C F A F =，
则32AF p =
，由抛物线的定义得3
2
AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得EF CF
EA AB
=，即2E F C F E A A F ==，所以2CEF CEA S S ??==ACF AEC CFE S S S ???=+=
所以1
32
p ?=，p =
考点：抛物线定义
【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p
2；若过焦点的弦AB
的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.
（15）已知函数f(x)=4tanxsin(
2
x π
-)cos(3
x π
-
(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44
ππ
-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z π
π??≠
+∈???
?
，.π（Ⅱ）在区间,124ππ??
-????上单调递增, 在区间412π
π??--????
，上单调递减. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23
f x x π
-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，
研究三角函数在区间[,44
ππ
-
]上单调性 试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z π
π??
≠
+∈???
?
.
()
4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ???
?=-=- ? ????
?
2
1=4sin cos 2sin cos 22x x x x x x ??+-=+ ? ???)()
=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23
x x x x x π
=-
.
所以, ()f x 的最小正周期2.2
T π
π=
= ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,
2,.2
2k k k Z π
π
ππ??
-
++∈????
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,得5,.12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ????=-
=-+≤≤+∈????????
，易知,124A B ππ??
=-????.
所以, 当,44x ππ??∈-????时,()f x 在区间,124ππ??-????上单调递增, 在区间412π
π??--????
，上单调递减.
考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． (16) （本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）
1
3
（Ⅱ）详见解析
试题解析：解：()I 由已知，有
()1123442
101
,3
C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为
13
. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.
()222
334
2
100C C C P X C ++==415
=
， ()11113334
2
107115
C C C C P X C +===
， ()1134
2
10
4215
C C P X C ===
. 所以，随机变量X 分布列为
随机变量X 的数学期望()0121151515
E X =?+?+?=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法
1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； 2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝a ξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；
3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
(17) （本小题满分13分）
如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.
（I）求证：EG∥平面ADF；
（II）求二面角O-EF-C的正弦值；
（III）设H为线段AF上的点，且AH=2
3
HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】
()
1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0) A B C D E F G
-------
，.
（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，
则1100
n AD n AF ??=???=??，即2020x x y z =??-+=? .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，
可得10EG n ?=，又因为直线EG ADF ?平面，所以//EG ADF 平面. （II ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，
()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220
n EF n CF ??=??
?=??，即0
20
x y x y z +=??
-++=? .不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.
因此有222cos ,OA n OA n OA n ?<>=
=-
?，于是23
sin ,OA n <>=，所以，二面角O EF C --（III ）解：由23AH HF =
，得2
5
AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ??=
=- ???，进而有334,,555H ??- ???，从而284,,5
55BH ??
= ???
，因此222
cos ,21BH n BH n BH n ?
<>=
=-
?.所以，直线BH 和平面CEF 考点：利用空间向量解决立体几何问题
【名师点睛】1.利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题． (1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ?a ·b ＝0； (2)|a |＝a 2
； (3)cos 〈a ，b 〉＝
a ·b
|a ||b |
. (18) 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的
等差中项.
(Ⅰ)设22*
1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设
()
22
*
11
,1,n
n
n n k a d T b n N ===
-∈∑，求证：2111.2n
k k
T d =<∑
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：2
1n n n b a a +=，从而
22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：
()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化
简()
221
1n
n
n n k T b ==
-∑()()()22
22221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相
消法求和()222111111111111212121n
n n k k k k
T d k k d k k d n ===????
==-=?- ? ?+++????∑∑∑，易得结论.
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．
(2)通项公式为a n ＝?
??
??
b n ，n 为奇数，
c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，
可采用分组求和法求和． （19）（本小题满分14分）
设椭圆132
22=+
y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知|
|3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点
M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的
取值范围.
【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),4
6
[]46,(+∞--∞ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由
113||||||c OF OA FA +=，得113()c
c a a a c +=-，
再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：
MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，
再利用直线与椭圆位置
关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围
试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由
113||||||c OF OA FA +=
，即113()
c
c a a a c +=-，可得2
2
2
3a c c -=，又2
2
2
3a c b -==，
所以2
1c =，因此2
4a =，所以椭圆的方程为22
143
x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，
由方程组??
???-==+
)2(13
42
2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k
. 设),(M M y x M ，由方程组??
???-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202
2++=k k x M .在MAO ?中，||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠，即2
222)2(M
M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1
)
1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46
≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),4
6
[]46,(+∞-
-∞ .
考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． （20）（本小题满分14分）
设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈, (I)求)(x f 的单调区间；
(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．4
1
错误！未找到引用源。.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2
)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0
a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3
)1(2
0a
x =
-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，
||,|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，3
3120331a
a +
≤<≤-
，②当334a ≤<时，3
321233133103321a
a a a +
≤<+<-<≤-
，③当304a <<时，
23
313310<+<-
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