2018-2019年考研数学一真题及答案

2018考研数学一真题及答案

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．若函数1cos 0(),0x

x f x b x ?->?

=?≤?

在0x =处连续，则 （A ）12ab =

（B ）1

2

ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x

x f x ax ax a +++→→→-===

，0lim ()(0)x f x b f -

→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

22

b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2

()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2

()f x 是单调增加函数．也

就得到()()22

(1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ）

3．函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为

（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】

22,,2f f f

xy x z x y z

???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为

()01

4,1,0(1,2,2)23f gradf n n

?=?=?=?应该选（D ）

４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t <<

（C ）025t = （D ）025t >

【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，2

1

()()T T S t v t dt =

?

表

示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段

[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该

选（C ）．

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T

E αα-不可逆 （B ）T

E αα+不可逆 （C ）2T

E αα+不可逆 （D ）2T

E αα-不可逆 【详解】矩阵T

αα

的特征值为1和1n -个0

，从而

,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,

,1；

1,1,1,,1-；3,1,1,

,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）

． 6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ??

?

= ? ???

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似

【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A ，0002001001E A ??

?

-=- ? ???

，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两

个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．

对于矩阵B ，010*******E B -?? ?

-= ? ???

，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一

个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．

7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充

分必要条件是

（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <

【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：

()()()()

(/)(/)()()()()1()()

P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->?

>=?>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得

()()()()

(/)(/)()()()()1()()

P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->?

>=?>- 所以可知选择（A ）． 8．设12,,

,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1

1n

i i X X n ==∑，则

下列结论中不正确的是（ ）

（A ）

2

1()n

i i X

μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2

1

2n X X -服从2χ分布 （C ）

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布

解：（1）显然22

()~(0,1)()~(1),1,2,

i i X N X i n μμχ-?-=且相互独立，所以

21

()n

i

i X

μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；

（2）

2

22

22

1

(1)()(1)~(1)n

i

i n S X

X n S n χσ

=--=-=

-∑，所以（C ）结论也是正确的；

（3）注意2

21

~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X n

μμμχ?-?-，所以（D ）结论也

是正确的；

（4）对于选项（B ）

：22111

()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-?

?-，

所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数2

1()1f x x

=

+，则(3)

(0)f = ．

解：由函数的马克劳林级数公式：()0

(0)()!

n n

n f f x x n ∞

==

∑

，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中n

x 的系数． 由于[]2422

1

()1(1),1,11n n f x x x x x x

=

=-+-+-+

∈-+，所以(3)(0)0f =．

10．微分方程230y y y '''++=的通解为 ．

【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2

230r r ++=有一对共共轭的

根1r =-

，所以通解为12()x y e C C -=+ 11．若曲线积分

221

L xdx aydy x y -+-?在区域{}22

(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .

【详解】设 2222(,),(,)11

x ay P x y Q x y x y x y -=

=+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内

具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有

1Q P

a x y

??≡?=-?? 12．幂级数

1

11

(1)

n n n nx ∞

--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为

【详解】

1

1

1

12

1

1

11(1)

(1)

()(1)1(1)

n n n n

n n n n n x nx

x x x x ∞

∞

∞----===''????'-=-=-== ? ?++????∑∑∑ 所以2

1

(),(1,1)(1)s x x x =

∈-+

13．设矩阵101112011A ?? ?

= ? ???

，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123

,,A A A ααα的秩为 ．

【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ??????

? ? ?

=→→ ? ? ? ? ? ???????

，知矩阵A 的

秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．

14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -??

=Φ+Φ ???

，其中()x Φ为标准正态分

布函数，则EX = ．

【详解】随机变量X 的概率密度为4

()()0.5()0.25(

)2

x f x F x x ??-'==+，所以 4

()()0.5()0.25(

)2

4

0.25(

)0.252(24)()2

2()2

x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ?????+∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

+∞

+∞-∞

-∞+∞-∞

-==+-==?+==?

?

??

??

三、解答题

15．（本题满分10分）

设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )x

y f e x =，求0|x dy dx

=，202|x d y dx =．

【详解】

12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dy

f dx

='=； 2111

122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y

e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+

20111

22|(1,1)(1,1)(1,1)x d y

f f f dx

=''''=+-．

16．（本题满分10分） 求21lim

ln 1n

n k k k n

n →∞

=??

+ ???∑ 【详解】由定积分的定义

1

20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24

n

n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞

→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??

17．（本题满分10分）

已知函数()y x 是由方程3

3

3320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得

2233330x y y y ''+-+= （1）

在（1）两边同时对x 求导，得

2222()0x y y y y y '''''+++=

也就是22

2(())

1x y y y y

'+''=-+

令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）

设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0

()

lim 0x f x x

-

→<，证明： （1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；

（2）方程2

()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．

证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0

()

lim 0x f x x

-

→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ?<，由零点定理，

存在1(,1)(0,1)x ξ∈?，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；

（2）由条件0

()

lim 0x f x x

-

→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；

设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间

[]

0,1上可导，且

(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存

在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈?∈?使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程

2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．

19．（本题满分10分）

设薄片型S 是圆锥面z =

被柱面22z x =所割下的有限部分，

其上任一点的密度为

μ=C ．

（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程； （2）求S 的质量.M

【详解】（1）交线C

的方程为22z z x

?=??=??z ，得到22

2x y x +=．

所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y x

z ?+=?=?

（2）利用第一类曲面积分，得

222222(,,)18

64

S

S

x y x

x y x

M x y z dS μ+≤+≤=====??????

??

20．（本题满分11分）

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为

31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．

（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于

31220ααα-+=，所以基础解系为121x ??

?

= ? ?-??

；

又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ?

? ???；

方程组Ax β=的通解为112111x k ???? ? ?

=+ ? ? ? ?-????

，其中k 为任意常数．

21．（本题满分11分）

设二次型222

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．

【详解】二次型矩阵21411141A a -?? ?

=- ? ?-??

因为二次型的标准形为22

1122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =

1

141

1

1

(3)(6)4

1

2

E A λλλλλλλ---=+=+---

令

0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．

通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-

的特征向量1111ξ???

=-???，属于特征值特征值26λ=

的特征向量2101ξ-???=???，30λ=

的特征向量3121ξ???

=???， 所以(

)123,,0Q ξξξ? == ?为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）

设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}1

0{2}2

P X P X ====，Y 的概率密度为2,01

()0,y y f y <

?其他

．

（1）求概率P Y EY ≤（）；

（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1

202

()2.3

Y EY yf y dy y dy +∞

-∞

=

==?

?

所以{}2

30242.39P Y EY P Y ydy ?

?≤=≤==???

??

（2）Z X Y =+的分布函数为

{}{}{}{}

{}{}

{}[](),0,20,2,211

{}2221

()(2)2

Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=

≤+≤-=+-

故Z X Y =+的概率密度为

[]1

()()()(2)2

,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==

+-≤≤??

=-≤

其他 23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,

,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师

记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数

σ．

（1）求i Z 的概率密度；

（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为

{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσ

σ?-?=≤=-≤=≤????

当0z <时，显然()0Z F z =；

当0z ≥时，{}{}

()21i Z i i X z z

F z P Z z P X z P μμσ

σσ

?-???

=≤=-≤=≤

=Φ-?

? ???

?

?； 所以i Z

的概率密度为2

2

2,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-?≥'==

．

（2

）数学期望2

220

()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞

+∞

=

==

?

?

令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ

的矩估计量1

22n

i i Z n

σ===

∑．

（3）设12,,

,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,

i z i n >=时

似然函数为2

21

1

21

()(,)n

i i n

n

z i i L f z σ

σσ=-

=∑=

=

∏

，

取对数得：2

2

1

1

ln ()ln 2ln(2)ln 22n

i

i n L n n z

σπσσ==---

∑

令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ

最大似然估计量为σ=

2019考研数学一真题及答案

一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.

2. C.

3.

D.4.

2.设函数??

?>≤=,

0,ln ,

0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的

A.可导点，极值点.

B.不可导点，极值点.

C.可导点，非极值点.

D.不可导点，非极值点.

3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

A..1∑∞

=n n n

u B.

n

n n

u 1)1(1∑∞

=-. C.∑∞

=+???

? ??-111n n n u u . D.

()

∑∞

=+-1

22

1n n n u u

.

4.设函数2),(y

x

y x Q =

，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有

?=+C

dy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为

A.32

y

x y -.

B.32

1y

x y -. C.

y x 11-. D.y

x 1-

. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型

Ax x T 的规范形为

A.232221y y y ++.

B.232221y y y -+.

C.232221y y y --.

D.2

32221y y y ---.

6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则

A..3)(,2)(==A r A r

B..2)(,2)(==A r A r

C..2)(,1)(==A r A r

D..1)(,1)(==A r A r

7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =

8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2

σμN ，则{}

1<-Y X P

A.与μ无关，而与2σ有关.

B.与μ有关，而与2σ无关.

C.与2

,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则

y

z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22

=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .

11. 幂级数n

n n x n ∑∞

=-0

)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(442

22≥=++z z y x 的上侧，则

dxdy z x z

??

--2244= .

13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线

性方程组0=x A 的通解为 .

14. 设随机变量X 的概率密度为?????<<=，其他，

02

0,2)(x x

x f ）

（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）

（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）

设函数)(x y 是微分方程2

'2

x e xy y -

=+满足条件0)0(=y 的特解.

（1）求)(x y ；

（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.

16.（本题满分10分）

设b a ,为实数，函数2

2

2by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.

（1）求b a ,；

（2）求曲面22

2by ax z ++=（0≥z ）的面积.

17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x

与x 轴之间图形的面积.

18.设dx x x a n n ?

-=

1

21，n =（0，1，2…）

（1）证明数列{}n a 单调减少，且22

1

-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1

lim

-∞→n n

n a a .

19.设Ω是锥面())10()1(22

2

2≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形

心坐标.

20.设向量组

T

T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3

R 的一个基，T

)1,1,1(=β在

这个基下的坐标为T

c b )1,,(.

（1）求c b a ,,.

（2）证明32,a a ，β为3

R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.

21.已知矩阵??????????----=20022

122x A 与???

???????-=y B 00010012相似

（1）求y x ,.

（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-

22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为

{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =

（1）求z 的概率密度.

（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?

23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为

??

?

??<≥--=,

0,2)(),(2

22μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，

，21来自总体X 的简单随机样本.

（1）求A ；

（2）求2σ的最大似然估计量

参考答案

1.C

2.B

3.D

4.D

5.C

6.A

7.C

8.A

9.

y

x x y cos cos + 10.23-x

e 11.x cos 12.

3

32 13. ，T

)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.

3

2

15. 解：（1）)()()(2

2

22

c x e

c dx e e

e x y x xdx

x xdx

+=+??

=-

-

-?，又0)0(=y ，

故0=c ，因此.)(22

1x xe x y -=

（2）2222

12

2

12

2

1)1(x x x e

x e

x e

y ----=-='，

22222

12

2

13

2

12

2

1)3()3()1(2x x x x e

x x e x x xe

x xe

y -----=-=---=''，

令0=''y 得3,0±=x

所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(2

3

---e

，)3,3(2

3-

e .

16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()

4,3(b a z =grad ，

由题设可得，

4

836-=

-b

a ，即

b a =，又()()10862

2=+=b a z grad ，

所以，.1-==b a

（2）dxdy y z x z S y x ??

≤+??+??+=

2

2

222

)()(

1=dxdy y x y x ??≤+-+-+2

2222)2()2(1 =

dxdy y x y x ??

≤+++2

2

2

2

2

441 =ρρρθπ

d d ??

+202

2

41=20

2

3

2)

41(12

12ρπ+?=

.3

13π 17.

18.

19.由对称性，2,0==y x ，

??????????????--===Ω

Ω

1

02

1

02

10

1

)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z z

z

D D ππ=.4

13

1121)1()1(1

2

1

2

==--??dz z dz z z

20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????， 解得322a b c =??

=??=-?

.

（2）()23111111=331011231001ααβ????????→-????????????

，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.

()()12323=P αααααβ，，，，

则()()1

231231101=0121002P ααβααα-??

??????=-????????

，，，，.

21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+??-=-?，解得3

2x y =??=-?

（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为

1=2λ，11=20α?? ?- ? ???；2=1λ-，22=10α-?? ? ? ???；3=2λ-，31=24α-??

? ? ???. 所以存在()1123=P ααα,,，使得1

11212P AP -??

??=Λ=-??

??-??

.

B 的特征值与对应的特征向量分别为

1=2λ，11=00ξ?? ? ? ???；2=1λ-，21=30ξ?? ?- ? ???；3=2λ-，30=01ξ?? ? ?

?

??.

所以存在()2123=P ξξξ,,，使得1

22212P AP -??

??=Λ=-??

??-??

. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即11

12112

B P P APP P AP ---== 其中1

12111212004P PP --??

??==--??

????

. 22.解：（I ）Z 的分布函数

(){}{}{}{}(){}

,1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤

从而当0z ≤时，()z

F z pe =；当0z >时，()()()

()1111z z F z p p e p e --=+--=--

则Z 的概率密度为()(),01,0

z

z

pe

z f z p e z -???. （II ）由条件可

得()()()()()()()()()

22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，

又

()()1,12D X E Y p ==-，从而当1

2

p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.

（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当1

2

p =时，

121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -???

?????≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤????????

???

??????

???==- ?

?????

而12112P X e -??≤=-????，1

21111112222222P Z P X P X e -????????

≤=≤+≥-=-?????? ?????????

，显

然1111,2222P X Z P X P Z ???

???≤

≤≠≤≤?????????

???，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由

()2

2

21x A

e

dx μσμ

σ

--

+∞

=?

t =

2012t e dt +∞-==?，

从而A =

（II ）构造似然函数(

)()221

12212,,1,2,,,,

,,0

,n

i i n x i n A e x i n

L x x x μσμσσ=--?∑???≥= ?=????

?其他，当

,1,2,

,i x i n

μ≥=时，取对数得()

2

2

2

1

1ln ln ln 22n

i

i n L n A x σμσ==--

-∑，求导并令其

为零，可得

()

2

224

1

ln 1

022n

i i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为

()2

1

1n i i x n μ=-∑.