江苏省淮安市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
江苏省淮安市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“x R ?∈，2230x x -+<”的否定是( ) A ．x R ?∈，2230x x -+≥ B ．x R ?∈，2230x x -+< C ．x R ??，2230x x -+<
D ．x R ?∈，2230x x -+≥
2．“2x <”是“220x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．准线方程为1y =的抛物线的标准方程为( ) A ．24x y =-
B ．24y x =-
C ．22x y =-
D ．24x y =
4．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( ) A ．1
B ．5
C ．﹣1
D ．﹣5
5．函数2
2(1)1
y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．已知数列{}n a 是等比数列，20144a =，202016a =，则2017a =( )
A ．
B ．±
C ．8
D ．±8
7．如图，已知12,F F 分别为双曲线22
22:1x y C a b
-=的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴
的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB 为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )
A B C D 8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( ) A ．
2
11
B ．
811
C ．
1611
D ．
1811
二、多选题
9．已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x ≥的充分不必要条件是( ) A ．[1,3]
B ．{1,3}
C ．1[3)+(]-∞?∞，
， D ．(3,4)
10．与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是( ) A ．2
2
1x y += B ．2
212
x y +=
C ．221x y -=
D ．2y x =
11．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A ．1n a ??
?
???
B ．{}2log n a
C ．{}1n n a a +?
D ．{}12n n n a a a ++++
12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC 的有( )
A ．A
B B
C C
D ++ B ．11111AA BC DC ++ C ．111AB C C BC -+ D ．111
AA DC B C ++
三、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数2()f x x x =-的图象上，则3a =________.
14．在空间直角坐标系中，1(1)A t -,,，()20B t ,,
，2(1,),C t -，若AB BC ⊥，则实数t 的值为________.
15．若关于x 的一元二次不等式220ax bx a -+<的解集为(,1)m m + ，则实数b
a
的值为________.
四、双空题
16．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0a b >>)的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，
使得12
0PF PF ?=，且12PF F △的面积等于4，则实数b 的值为_______，实数a 的取
值范围为_______.
五、解答题
17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且47a =-，39S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1()2
n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．已知抛物线2:2C y px =(0p >)经过点(1,2)A -，直线l 过抛物线C 焦点F 且与抛物线交于M 、N 两点，抛物线的准线与x 轴交于点B . （1）求实数p 的值；
（2）若4BM BN ?=，求直线l 的方程.
19．如图，在四棱锥—S ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，
2AD SA ==，1AB =，点E 是棱SD 的中点.
（1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值；
（2）求二面角E BC D --的大小.
20．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；
（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>的离心率
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若M 是椭圆C 上一点，过点O 作OM 的垂线交直线y =N ，设OM 的斜率为k (0k ≠).求证：
22
11
OM ON +为定值. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-(N n *∈). （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若对任意的N n *∈，不等式1()15n n n a a λ+-+≤恒成立，求实数λ的最大值.
参考答案
1．D 【分析】
根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果. 【详解】
因为x R ?∈的否定为x R ?∈，2230x x -+<的否定为2230x x -+≥， 所以命题的否定为：x R ?∈，2230x x -+≥. 故选：D. 【点睛】
本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题. 2．B 【分析】
根据2x <与220x x -<的互相推出情况，确定出2x <是220x x -<的何种条件. 【详解】
当220x x -<时，02x <<，
所以2x <不能推出220x x -<，220x x -<能推出2x <， 所以“2x <”是“220x x -<”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围. 3．A 【分析】
先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出p 的值即可得到抛物线的标准方程. 【详解】
因为准线方程为1y =，所以设抛物线方程为()2
20x py p =->，
又因为准线方程12
p
y =
=，所以2p =， 所以抛物线标准方程为：24x y =-. 故选：A. 【点睛】
本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中p 的值即可得到标准方程. 4．C 【分析】
根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】
因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以
12
224
x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】
本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有//a b . 5．C 【分析】 将221x x +
-变形为()2
2121
x x -+
+-，然后根据基本不等式求解出y 的最小值即可. 【详解】 因为2
2(1)1
y x x x =+
>-，
所以()2222122611y x x x x =+
=-++≥=--， 取等号时()2
211
x x -=-，即2x =， 所以min 6y =.
【点睛】
本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件. 6．D 【分析】
根据等比数列下标和的性质，得到2017a 是2014a 、2020a 的等比中项，从而可计算出2017a 的值. 【详解】
因为{}n a 是等比数列，且2014202022017+=?， 所以2
2017
2014202064a a a =?=，所以20178a =±.
故选：D . 【点睛】
本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列{}n a 中，已知
()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.
7．A 【分析】
根据等边三角形的特点，用c 表示出12,AF AF ，再结合122AF AF a -=即可计算出双曲线的离心率. 【详解】
因为122F F c =且1F AB 是等边三角形，
所以121cos303F F AF c =
=
?
，212tan 303
AF F F c =?=，
由双曲线的定义可知：1223
AF AF a c -==，
所以=
=c
e a
故选：A.
本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率. 8．C 【分析】
将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出5a 的值. 【详解】
将等差数列记为{}n a ，其中第n 节的容积为(
)*
19,n a n n N
≤≤∈，
因为478946S a a a =??++=?，所以1146472a d a d +=??+=?，所以1811
211a d ?
=????=??
，
所以5116
411a a d =+=，所以第5节的容积为
1611
. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列及其前n 项和的简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式. 9．BD 【分析】
先求解出()0f x ≥的解集A ，则充分不必要条件B 应是A 的真子集，由此作出判断即可. 【详解】
因为()0f x ≥即2430x x -+≥的解集为：{|3x x ≥或}1x ≤， 所以()0f x ≥的充分不必要条件应是{|3x x ≥或}1x ≤的真子集， 所以
{}()1,3,3,4满足条件.
故选：BD. 【点睛】
本题考查命题成立的充分不必要条件的判断，难度较易.判断命题成立的充分不必要条件或必要不充分条件，可从命题成立的对象所构成集合的真子集关系考虑. 10．AC 【分析】
A ．根据圆心到直线的距离进行判断；
B ．联立直线与椭圆方程利用?进行判断；
C ．根据双曲线的渐近线与直线的位置关系进行判断；
D ．联立直线与抛物线方程利用?进行判断. 【详解】
A ．
圆心到直线的距离1d
r =
==，
所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合； B
．因为22
12
x y x y ?+=?
?+=??
，所以2320x -+=，所以322480?=-=>，所以直线
与椭圆有两个交点，不符；
C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±
，所以0x y +-=平行于渐近线且不与渐近线重合，
所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；
D
．因为20
x y y x
?+=??=??
，所以20y y +-=
，所以10?=+>，所以直线与抛
物线有两个交点，不符. 故选：AC. 【点睛】
本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可考虑通过联立方程利用?进行判断. 11．ACD 【分析】
先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可. 【详解】
设1
1n n a a q -=，
A ．1
1111111n n n a a q a q --??==? ?
??
，此时1n a ??????
为首项为11a ，公比为1
q 的等比数列；
B ．因为(
)()()1
2212
121log log log
1log 0,0n n a a q
a n q a q -==+->>，此时{}2log n a 是
首项为21log a ，公差为2log q 的等差数列；
C ．因为()()
()()
1
12212
2111
11n n n n n n a q a q q a a q a a q --+-=?==??，所以{}1n n a a +是首项为2
1a q ，
公比为2q 的等比数列；
D ．因为()()
12222
1111n n n n n n n n a a q a q q q a a q q q a a a +-+++??=++=++=++???
， 所以{}12n n n a a a ++++是首项为()
2
11a q q ++，公比为q 的等比数列.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等比中项法. 12．BCD 【分析】
利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果. 【详解】
A ．1A A
B B
C C
D AD C ++=≠，故错误；
B ．11111
111111
AA BC DC AA A D DC AC ++=++=，故正确； C ．1111111111
AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确； D ．111111111
AA DC BC AA A B BC AC ++=++=，故正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算. 13．4 【分析】
将点的坐标代入到()f x 中，求解出n S 的表达式，根据()12n n n a S S n -=-≥求解出n a ，
即可求解出3a 的值. 【详解】
因为(),n n S 在()f x 的图象上，所以2
n S n n =-，
所以()()()2
2111222n n n a S S n n n n n n -??=-=-----=-≥??
，
所以3
2324a =?-=.
故答案为：4. 【点睛】
本题考查根据n a 与n S 的关系求解{}n a 的通项公式，难度一般.根据1n n n a S S -=-求解数列
通项公式时，注意*
2,n n N ≥∈.
14．
12
【分析】
先根据点的坐标得到,AB BC 的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出t 的值即可. 【详解】
因为()()1,1,,1,0,2AB t t BC =+-=--，且AB BC ⊥， 所以0AB BC ?=，所以120t -+=，所以1
2
t =. 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查根据空间向量的垂直关系求解参数，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，若a b ⊥，则有1212120x x y y z z ++=. 15．±3 【分析】
根据一元二次不等式解集的特点，计算出m 的值，然后将m 和1m +的值代入到对应的一元二次方程中即可得到,a b 的关系，从而可求
b
a
的值.
【详解】
因为220ax bx a -+<的解集为(),1m m +， 所以()21a
m m a
+=
，所以2m =-或1m =， 当1m =时，204220
a b a a b a -+=??-+=?，所以3b a =，所以3b
a =，
当2m =-时，422020
a b a a b a ++=??++=?，所以3b a =-，所以3b
a =-，
所以
3b
a
=±. 故答案为：3±. 【点睛】
本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根. 16．2
)
?+∞? 【分析】
根据椭圆的定义以及勾股定理、12PF F △面积即可求解出b 的值；再根据120PF PF ?=以及
椭圆中x 的取值范围即可求解出a 的范围. 【详解】 因为12
0PF PF ?=，所以12PF PF ⊥，
又因为122PF PF a +=，所以12222
1224PF PF a PF PF c
?+=??+=??，所以2
122PF PF b ?=， 又因为12
12
242
PF F P S
b PF F ?=
==，所以2b =； 又因为120PF PF ?=，设(),P x y 且22
214
x y a +=， 所以2
2
2
0x c y -+=，所以2
2
2
2440x x c a
-+-=，
所以2222
44a x c a -=-，所以()22
22444a x a a
-=--，
又因为()2222280,4
a a x a a -??=
∈??
-且2a >，所以2
8a ≥，
所以)
a ?∈+∞?.
故答案为：2；)
?+∞?. 【点睛】
本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中,x y 的范围求解参数范围，难度
一般.其实，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上任意一点P （非左右顶点）与两焦点围成的焦点
三角形的面积等于2
12
tan
2
F PF b ∠. 17．（1）21n a n =-+；（2）2
1
12
n n T n =-+-
. 【分析】
（1）根据34,S a 求解出等差数列的公差，再根据()n m a a n m d =+-即可求解出{}n a 的通项公式；
（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可. 【详解】
（1）∵n S 是数列{}n a 前n 项和,且39S =- ∴239a =-，23a =- 又∵47a =- ∴427(3)
2422
a a d ----=
==-- ∴2(2)n a a n d =+-
32(2)n =---
21n =-+
∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-+. （2）由（1）知2(1)
(2)2
n n n S n n -=-+
-=-
令n S '
是数列12n
???????? ???????
的前n 项和
∴11112211212n n n S '
??- ???==--
∵12n
n n b a ??=+ ???
，其前n 项和为n T ∴21
12
n n n n T S S n '
=+=-+-. 【点睛】
本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如n n n a b c =+的前n 项和（{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列），注意采用分组求和的方法. 18．（1）2；（2）10x y --=或10x y +-=. 【分析】
（1）直接将点的坐标代入到抛物线方程，即可求解出p 的值；
（2）设出直线l 的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到对应的韦达定理形式，将
4BM BN ?=改写成韦达定理形式即可求解出直线l 的方程.
【详解】
（1）∵抛物线C 过点()1,2- ∴2
(2)
21p -=??
∴2p =
（2）抛物线C 为2
4y x =，焦点F 为()1,0，准线为1x =-
∵抛物线准线与x 轴交于点B ，∴(1,0)B - ∵过焦点F 的直线l 与抛物线有两个交点.
∴直线l 的斜率不为0，故设直线l 为1x my =+，设211,4y M y ?? ? ???，222,4y N y ?? ???
∴214x my y x =+??=?
，化简得：2
440y my --=，∴121244y y m y y +=??=-?
∵4BM BN ?=，∴2212121,1,444y y y y ????
+?+= ? ?????
变形得：()2
1121212
222()3164
y y y y y y y y +-++=
即2168
1434
m +-+=，解得1m =±
故直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 【点睛】
本题考查抛物线方程的求解以及根据坐标的韦达定理形式求解直线方程，难度一般.直线与圆锥曲线的综合问题中，若出现向量数量积运算，可优先考虑利用坐标的韦达定理形式解决问题. 19．（1
（2）4π.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，根据两条直线方向向量的夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；
（2）利用平面法向量夹角的余弦值结合具体图形，即可计算出二面角E BC D --的大小. 【详解】
（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则(0,0,2)S ，(0,2,0)D ，点E 为SD 中点，则(0,1,1)E ，(1,2,0)C ∴(1,1,1)CE =--
∵(1,0,0)B ，∴(1,0,2)BS =- 设异面直线CE 、BS 所成角为θ
∴||cos 5||||3CE
BS CE BS θ?=
==?
∴异面直线CE 与BS 所成角的余弦值为
5
； （2）设平面EBC 的法向量()1111,,n x y z =，(0,2,0)BC =，(1,1,1)CE =--
则1111200y x y z =??--+=?，令11x =，得111
1
01
x y z =??=??=?，∴1(1,0,1)n = 取平面BCD 的一个法向量2n AS
=，求得2(0,0,2)n = ∴122
121cos ,22n n n n n n ?<=
=
=
?> ∴法向量11,n n 的夹角为
4
π
. 即二面角E BC D --的大小为4
π
.
【点睛】
本题考查利用向量法求解异面直线所成角以及二面角，难度一般.（1）向量法求解异面直线所成角时，注意异面直线所成角的余弦值等于直线方向向量所成角余弦值的绝对值；（2）向量法求解二面角的大小时，平面法向量夹角的余弦值不一定等于二面角的余弦值，需要结合具体图形判断.
20．（1）()4,16 n *∈N ；（2）该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 【分析】
（1）列出利润的表达式，盈利则利润大于零，由此求解出n 的取值范围； （2）列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值. 【详解】 （1）由题意得：
(1)
6919212602
n n n n ----
?> 化简得：220640n n -+< 解得：416n <<，
答：该批小型货车购买n 年后盈利，n 的范围为()4,16,且n *∈N （2）设批小型货车购买n 年后的年平均利润为y
则2360192643()6036012n n y n n n
-+-==-++≤-?=
当且仅当8n =时取“=”，
答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 【点睛】
本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.
21．（1）2
214
x y +=；
（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据离心率以及焦距先求解出,a c 的值，然后即可求解出22
,a b 的值，从而C 的方程
可求；
（2）设出直线OM 的方程，根据点到点的距离公式表示出2OM ，再根据斜率的关系亦可表示出2ON ，由此可判断出22
11
OM ON
+为定值. 【详解】
（1）∵椭圆的离心率为
2
，∴c a =
∵椭圆的焦距为2c =c =2a =
∴2222221b a c =-=-=
∴椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=；
（2）∵OM 的斜率为k ，∴设直线OM 为y kx =.
2244x y y kx
?+=?=?，求得：2
2414x k =+
∴M OM ==(
)222
4114k OM k +=
+
∵ON OM ⊥，∴1
ON k k
=-
∴3N ON y ==，∴()22413
k ON +=
∴()()()
22
222
2214344141141114k k k k k OM ON ++=+==++++ ∴
22
11
OM ON +为定值1. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解以及椭圆中的定值问题，对学生的的分析和计算能力要求较高，难度一般.求解椭圆方程的两种思路：（1）根据椭圆的定义求解方程；（2）根据,,a b c 的值求解椭圆方程.
22．（1）2n
n a =；（2）
27
8
. 【分析】
（1）由22n n S a =-写出1n -时对应的等式，两式作差即可证明{}n a 为特殊数列，由此求解出{}n a 的通项公式；
（2）将不等式1()15n n n a a λ+-+≤采用分离参数的方法分离出λ，由此得到λ与关于n 的式子的大小关系，通过数列的单调性可分析出关于n 的式子的最值，即可求出λ的范围. 【详解】
（1）∵22n n S a =-① ∴1122(2)n n S a n --=-≥② ①-②得122n n n a a a -=-，即
1
2n
n a a -= ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列 ∵11122S a a =-=，∴12a = ∵221222S a a a =-=+，∴24a =
∴2
1
2a a =，即当1n =时，符合等比数列 ∴当*N n ∈时，{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列
∴111222n n n
n a a q --=?=?=；
（2）要使1()15n n n a a λ+-+恒成立，则1()2215n n
n λ+-?+，参变分离得
1min
15122
n n λ+??+- ?
?
?
令115122n n b n +=+-，∴2122
15215
122
n n n n n b b ++++--=-= ∴当2n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +>
当1n =时，1
0n
n
b b ，即21b b <.
∴1234n b b b b b ><<<
<<
∴当2n =时，n b 有最小值为
278
. ∴278
λ
∴实数λ的最大值为278
. 【点睛】
本题考查根据()12n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式以及根据数列单调性求解参数最值，难度一般.（1）数列{}n a 的单调性的证明方法：将1n n a a +-的结果与0比较大小，若大于零，则是递增数列，若小于零，则是递减数列.；（2）数列求通项时若出现了1n -的下标则需要标注2n ≥，要注意验证1n =是否符合条件.