椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
焦点三角形习题
性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =?.
证明：记2211||,||r PF r PF ==，
由椭圆的第一定义得.4)(,22
22121a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方得：.4cos 22)(2
2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ?=?=+?==
?b b b r r S PF F .
.2
tan 221θ
b S PF F =∴?
同理可证，在椭圆122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.
性质三：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
性质三
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得：
1
222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)2(22222
2
22
2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 例1. 若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.
例1．解法一：在椭圆
164
1002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ 记.||,||2211r PF r PF ==
点P 在椭圆上，
∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方，得：.1443)(212
21=-+r r r r
.144340021=-∴r r 从而.3
256
21=
r r .3
36423325621sin 212121=??==
?θr r S PF F 解法二：在椭圆164
10022=+y x 中，642
=b ，而.60?=θ
.3
3
6430tan 642
tan
221=
?==∴?θ
b S PF F
例2.已知P 是椭圆19
252
2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，
2
1
2121=
，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.
3
3 解：设θ=∠21PF F ，则2
1
cos 2121=
=
θ，.60?=∴θ .3330tan 92
tan
221=?==∴?θ
b S PF F 故选答案A.
例3.已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一
个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.
5
9 B. 779 C. 49 D. 49或77
9
解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4
9
2=a b ；若P 是直角顶点，
设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92
tan
221=?==?θ
b S PF F ，又,7)2(2
1
21h h c S PF F =??=
? 97=∴h ，.7
7
9=
h 故选D.
1. 椭圆124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为
（ ）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24 解：24,90221=?==∠b PF F θ，∴2445tan 242
tan 221=?==?θ
b S PF F .故选D.
2. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，
21PF PF ?的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6 解：设θ=∠21PF F ， 12
tan
2tan
221===?θ
θ
b S PF F ，
∴
?=?=90,452
θθ
，021=?PF PF .故选A.
3. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，
21PF PF ?的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2- 解：3,1,2=
==c b a ，设θ=∠21PF F ， 2
tan 2
tan 221θ
θ==?b S PF F ，
∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，?=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=?=?=?a PF PF PF PF θ.
故答案选D. 4．已知椭圆
122
2
=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，
且?=∠6021PF F ，则||||21PF PF ?的值为（ ）
A ．1
B ．3
1
C ．3
4
D ．
3
2 解：?==∠6021θPF F ，1=b ，3
330tan 2
tan
221=
?==?θ
b S PF F ， 又 ||||4
3sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ?=?=
?θ， ∴
33||||4321=
?PF PF ，从而3
4
||||21=?PF PF . 故答案选C.
5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为?=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.
解：设θ=∠21PF F ，则?=90θ. 2045tan 2
tan 22221==?==?b b b S PF F θ
，
又 3
5
22=-=
=a b a a
c
e ， ∴95
122=-a
b ，即952012=-a .
解得：452=a .
∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或120
452
2=+x y .
专题2：离心率求法：
1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A.22
B.32
C.53
D.63
1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝2
2.
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .
∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.
∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝3
5
或e ＝－1(舍去)．
3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，
∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 答案：4
5
4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与
椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．
4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，
∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt △AF 1F 2中，
|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .
∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22
.
5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，
其纵坐标等于短半轴长的2
3
，求椭圆的离心率．
5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
M 点的坐标为(c ，2
3
b )，
则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中，
|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，
即4c 2＋4
9
b 2＝|MF 1|2.
而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋2
3
b ＝2a ，
整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2
－b 2，
所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝4
9
.
∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53.
法二：设椭圆方程为
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)， 则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 2
9b 2＝1，
所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.
椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）
性质二
离心率求法：
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