因式分解专项训练

因式分解方法技巧

专题一

分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。

常见错误：

1、漏项，特别是漏掉

2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化

3、分解不彻底

［例题］把下列各式因式分解：

1. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2

2.a 5-a

3. 3(x 2-4x)2-48

1、3123x x -

2、2222)1(2ax x a -+

3、a a 632-

4、56x 3yz+14x 2y 2z －21xy 2z 2

5、－4a 3＋16a 2b －26ab 2

6、4416n m -

专题二

二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。

平方差公式运用时注意点：

根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：

A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式；

B 、 两项的符号相反；

C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；

D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；

E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式

[例题]分解因式：3(x+y)2-27

1)x 5－x

3 2）4416n m - 3)25－16x 2

4)9a 2－41b 2. 5）25－16x 2; 6）9a 2－4

1b 2.

专题三

三项式的分解因式:如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平

方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即a 2+2ab+b

2或者a 2-2ab+b 2的形式

完全平方公式运用时注意点：

A. 多项式为三项多项式式；

B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；

C. 第三项为B 中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。

【例题】将下列各式因式分解：

1）ax 2-2axy+ay 2 2)x 4-6x 2+9

1)25x 2＋20xy ＋4y 2 2）x 3＋4x 2＋4x 3) 3248124a b ab ab -+

4)323129x x x -+- 5)131********-+-+-+++n n n n n n y x y x y x

专题四

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n ，从而得到(a+b)(m+n)

[例题]分解因式

1. m 2 +5n-mn-5m

2. 131********-+-+-+++n n n n n n y x y x y x

1、b a b a 4422+--

2、 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

（1）()()a a +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+-

（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-

2. 已知：x x +

=-13，求x x

441+的值。

3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<

专题五

完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：

(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+

(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+- (3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 22221[()()]2a b a b a b +=

++- (5) 221[()()]2ab a b a b =

+-- (6) 2222221[()()()]2

a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？

例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面

积.

例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.

例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.

例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3。求：α2+b2+c2-αb-bc-cα的值.

巩固练习

把下列各式分解因式

（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9 （5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 1、x3y﹣xy 2、3a3﹣6a2b+3ab23、a2（x﹣y）+16（y﹣x）4、（x2+y2）2﹣4x2y2（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2

22 3 222

（2）（x ﹣1）（x ﹣3）+1 35、ax x a ax +-223 36、3

233452015y x y x y x +--

（1）3p 2﹣6pq （2）2x 2+8x+8 （1）x 3y ﹣xy （2）3a 3﹣6a 2b+3ab 2

（1）a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） （2）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2 （3）a 2﹣4a+4﹣b 2

（1）2x 2﹣x （2）16x 2﹣1 （3）6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3 （4）4+12（x ﹣y ）+9（x ﹣y ）2

（1）n 2（m ﹣2）﹣n （2﹣m ） （2）4x 3+4x 2y+xy 2 （3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2 （4）3x ﹣12x 3

（1）x 2y ﹣2xy 2+y 3 （2）（x+2y ）2﹣y 2 （1）2am 2﹣8a （2）（x ﹣1）（x ﹣3）+1

224242 2

（3）（1+y ）2﹣2x 2（1﹣y 2）+x 4（1﹣y ）2 （4）x 4+2x 3+3x 2+2x+1

⑴ a 4－16 ⑵ ()()2216a b 9a b --+ ⑶ x 2－1＋y 2－2xy

1、()()()2222m n 2m n m n +--+-

2、（m+1）(m-1)-(1-m)

3、2241y x +-

1、6xy 2-9x 2y-y 3

2、(2a-b)2+8ab

3、2222c b ab a -+-

4、x a a x 2222---

1、342+-x x

2、24822--x x

3、y xy y x 3652-+

4、100292

4+-x x

37、xy xy y x -+-22 38、)2()2(52x a x -+- 39、)()()(23y x y x y x ---++

40、)23)(5()7)(32(a b y x y x b a --++- 41、)3()3()3(-+---x c x b x a

42、36（x+y ）2－49（x －y ）2 43、（x －1）+b 2（1－x ） 44、（x 2+x+1）2-1

1、2

()4x y -－2

()4x y + 2、2xy x - 3、2

220951b a -

1、22)23()32(y x y x --+

2、424255b m a m -

3、xy xy 333-

234242x x x ++ m ma ma 442+- 1)2(6)2(92+---b a b a

1、4224168b b a a +-

2、222)(25)(4016b a x b a xy y -+-+

1、22882ay axy ax ++

2、a 2＋2ab ＋b 2－a －b

3、4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2

22223