国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示

第17卷第3期 数 学 教 育 学 报

Vol.17, No.3

2008年6月

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Jun., 2008

收稿日期：2008–02–08

国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示

燕学敏，华国栋

（中央教育科学研究所，北京 100088）

摘要：数学思想方法在培养学生的创新思维意识、培养学生的探究能力和动手操作能力方面是不可或缺的重要环节，其重要作用已经引起国内外专家的重视，围绕数学思想方法的论著有很多，本文对有关的论著与文章进行了系统的分析和总结，指出了以往关于现代数学思想方法研究的优点与不足，并在此基础上提出如何根据蕴含高等数学知识的中学教学内容，来研究现代数学思想方法和指导教学．

关键词：高等数学；现代数学思想方法；数学教学

中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2008）03–0084–04 关于中学数学中蕴含的数学思想已有大量的论著和论文，但是随着部分高等数学内容下放到中学，尤其是新课标的实施，增添了许多原来中学数学中没有的现代数学内容，使得研究中学数学中的现代数学思想成为一种迫切地需要．本文总结了过去几年内关于现代数学思想方法的研究论著，对当前研究中学数学中蕴含的现代数学思想方法有一定的指导和借鉴意义，同时根据当今中学数学改革的要求，提出一些有益的意见和建议．

1 国外关于现代数学思想方法的研究

数学的历史不只是一些新概念和新定理的简单堆砌，它还包含着数学思想和方法的积淀、发展和演进．历史上的数学家不仅提出了许多深刻的数学思想，而且创造了许多新颖的数学方法．从古代的亚里士多德到近代的培根、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、庞加莱、希尔伯特等著名学者都曾经对数学方法的发展做出过突出的贡献，为数学研究提供了行之有效的方法论工具．

进入20世纪以后，对于数学思想方法的研究也越来越受到各国研究者的重视，先后有几部关于数学思想的专著出版，并被翻译成中文，在我国数学界和数学教育界广为流传．其中以前苏联数学家亚历山大洛夫著的《数学——它的内容、方法和意义》和美国的数学家M ·克莱因著作的《古今数学思想》，这两部著作影响最为广泛．前者用通俗易懂的语言介绍了现代数学思想方法的历史演进，内容由浅入深，文字简洁明快，寓深刻的数学思想方法于浅显的数学知识中，这本书曾经对中学数学教学影响很大．后者分四卷呈现给读者，其内容主要是从数学思想的角度研究了数学的发展历程，既没有复杂的公式推导，又没有艰深的数学理论，数学语言凝炼，数理逻辑严密，数学知识深入浅出，数学思想方法蕴寓其中，充满理性的魅力，读来引人入胜，耐人寻味，更成为数学专业人士、广大的中学一线教师和师范类大学生非常喜爱的数学用书．

早在20世纪30年代起，G ·波利亚就致力于运用方法论模式切实提高美国的数学教育水平的研究，波利亚从数学教育的角度，从解题方法的角度对数学思想方法进行论述．他从事数学方法论研究数十载，他的3部经典著作《怎样解题》《数学的发现》《数学与猜想》是在方法论领域的代表著作，这3部著作被学术界称为姊妹篇，在美国曾经风靡一时，受到广泛的欢迎和推崇．他围绕“怎样解题”和“合情推理”展开研究，开创了数学启发法，即关于“数学发现和发明的方法和规律”的研究，其“问题解决”法也成为英、法发展数学教育的主要教育思想．

波利亚认为数学教育的主要目的是教会学生学会数学的思考问题，如将所观察到的情况加以一般化、归纳论证，从类比中进行论述，在一个具体问题中认出一个数学概念，或者从一个具体问题中抽象出一个数学概念等，这都是运用数学思想方法的结果．数学思想方法的学习，不像数学知识的学习那样，有章可循，有理可依，它最鲜明的特征是过程性，它要在知识的传授过程中，由教师把某种特定的数学思想方法全境的展现给学生，让学生通过自己的理解，经历去体验、领悟和把握．波利亚的数学解题4步曲：弄清问题，拟定计划，实现计划和回顾，即波利亚的数学启发法，在数学解题中至关重要，这种方法对我国的数学教育质量的提高曾经发挥了极大的推动作用．在我国20世纪80年代，徐利治教授一直倡导要用波利亚的思想改革数学教材和教学方法，要培养波利亚型的数学工作者，在徐先生的倡导下，有关波利亚的数学教育思想和数学方法论的研究组织也逐渐地活跃起来，1989年5月，在北京召开了全国首届波利亚数学教育思想与数学方法论研讨会．

日本数学家，数学教育家米山国藏也非常重视中学数学思想方法的教学，著有《数学的精神，思想和方法》一书，该书精辟的论述了贯穿于整个数学的精神实质、重要的数学思想，各种重要的研究方法和证明方法，为我们勾画出整个近代数学的沿革，并对数学精神、思想和方法的教学提出了

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许多好的见解，该书对于数学思想方法的论述被数学教育理论者和教师广征博引，成为重视数学思想方法的典范．米山国藏认为数学思想能够影响一个人的一生，所以在中小学时期就应该培养学生运用数学思想方法解决实际生活中遇到的数学问题的能力．他在著作《数学的精神，思想和方法》中，指出“这种数学的精神、思想和方法，充满于初等数学、高等数学之中，在各种教材里大量的存在着，如果教师们利用数学教科书，向学生们传授这样的精神、思想和方法，并通过这些精神活动以及数学思想、数学方法的活用，反复地锻炼学生们的思维能力，那么，学生们从小学、初中到高中的12年间，通过不同的教材，会成百上千次地接受同一精神、方法、原则的指教与锻炼，所以，纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久的活跃于日常的业务中．”[1]米山国藏将数学精神分为：（1）应用化精神；（2）扩张化、一般化精神；（3）组织化、系统化精神；（4）遍及整个数学的研究精神，致力于发明发现的精神；（5）统一建设的精神；（6）严密化精神；（7）数学思想的经济化精神．这些贯穿于数学领域的精神其实就是7个主要的数学特征，米山国藏认为数学中因为存在这些精神使得数学成为一棵永不凋谢的常青藤，成为超越许多学科，如物理、化学、生物之上的，为大多数学科领域所利用的工具与方法．在论述完数学的精神以后，米山国藏重点阐述了数学中的重要思想方法，以及由于这些数学思想方法的产生，导致数学历史上许多新的数学成果的诞生．这些数学思想基本上都是近代才产生的，作者从整个数学发展的角度提炼与概括了数学中比较普遍而又非常有现实意义和价值的数学思想，比如极限思想、群和集合的思想等．同时作者还详细论述了几种新思想，如：把有限长看作无限长的思想，庞加莱的非欧几里得空间，把一般的曲线看作直线的思想等．在此之前，没有人提出作者的这些新思想．

尽管上述几部著作都对现代数学思想方法进行了论述，但是他们的着眼点都是整个数学领域，阐述的是现代数学的共性，很少从中学数学教学的角度进行梳理和阐释，尤其是用高观点来俯瞰整个初等数学的研究还很少涉及．从目前查到的资料来看，德国的克莱因（Felix. Klein）《高观点下的初等数学》当属于此类．此书分3卷，第一卷是关于算术、代数、分析的论述，第二卷是关于几何的论述，第三卷是关于近似数学与精确数学的论述．在这3卷中，作者都是从非常简单的、基础的数学知识入手，逐渐延伸到非常高深的现代数学内容．也就是从一点展开，逐渐铺开成面，最后成体，这是克莱因这部著作最鲜明的特点．在第一卷中，作者从学生非常熟悉的加减乘除运算法则开始讲起，步步深入，一直延伸到现代的实数理论系统．例如在“算术”部分写了四元数，在几何部分写了高维（以至无穷维）空间，并且随时讲到历史和应用（尽管大多数都省略了，但是他还是要提一提的）．另外，他还充分的应用了数形结合思想，即把数学的

两个基本对象——数与形结合起来：讲算术、代数、分析时，总是充分运用丰富的几何图像，而讲几何时，用的是代数工具，又不乏几何语言．全书体现了初等数学与高等数学的融合、数学各部分的融合、几何观念与算术观念的融合、感性材料与理性认识的融合等特点．这是一本极好的、写给教师的教材，通过这本书，教师可以拓展和加深专业知识．但是要读懂这本书，首先要有一定的数学基础，要了解数学各主要领域的要点，因此这本书的读者对象是教师和大学生，对于中学生而言，则有些难以了解和消化．

2 国内关于中学数学思想方法的研究

在我国，对数学教育理论做出突出贡献的是数学家、数学教育家徐利治教授．徐利治教授曾经出版近十部著作论述数学方法，如《数学方法论选讲》、《关系映射反演方法》、《徐利治论数学方法学》、《数学方法论教程》、《数学模式论》、《数学抽象方法与抽象度分析法》等．他强调数学方法在中学数学中的重要性，阐明数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门学问，并首次提出了著名的论断“关系映射反演方法”，是我国率先倡导用波利亚的数学教育思想指导数学教学的人．20世纪80年代初，在他的倡导和身体力行下，我国数学界开始了数学方法论的研究．二十几年来，不但有关数学方法论的著作越来越多，而且关于数学思想方法论的论文也日益增多，数学方法论作为一门重要的课程逐渐趋于成熟，涌现了许多优秀的数学教育研究专著和学术论文．例如南京大学著名学者郑毓信，他接连发表多部著作《关系映射反演方法》、《数学抽象的方法与抽象度分析法》（这两部著作与徐利治教授合著）、《数学方法论入门》、《数学方法论》、《数学教育哲学》、《数学思维与数学方法论》、《数学文化学》等，郑毓信教授在国内外有关数学教育、数学思维研究的基础上，从不同的维度对我国的数学教育理论进行阐述，他不但从哲学、心理学的角度对数学教育中的一些理论问题给予充分的论述，而且他还倡导数学教育的研究不能局限在哲学、心理学、教育学等方面的研究，数学教育应该从更加广阔的文化领域展开研究．他认为数学教育是一门集交叉性、前沿性和创新性于一体的学科，将其局限在有限的几个领域会大大的限制它的发展．这些著作为数学教育研究奠定了方法论的基础，同时也丰富和发展了数学教育的理论意义．在重视理论探讨的同时，我国的理论研究者和数学工作者还比较重视数学思想方法在实践中的应用，他们努力在实践中验证理论的科学性和实用性．

1989年，在徐利治教授的倡导和中科院院士王梓坤的鼓舞和协助下，江苏无锡开展了“贯彻数学方法论的教育方式”的数学教育实验，即MM教育实验，该实验的宗旨是利用数学方法论指导实际的教学，试验没有固定的教学模式，主要是强调在数学教学中要充分发挥两个功能——数学

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的科学技术功能和文化教育功能；该实验探索了一种新的教学途径——既教证明又教猜想，既开发学生的左脑又开发学生的右脑功能，既提高学生的逻辑思维能力又要提高学生的形象思维能力．MM教育实验取得了巨大的成功，其实验点和实验合作单位已经扩展到我国包括台湾地区在内的几乎所有省、市、自治区．实验对象也从开始的中学教育扩展到大学教育、成人教育．该实验在我国是首屈一指的、产生巨大影响的数学思想方法论研究项目．

曹才翰老先生对于中学数学思想方法非常重视，他在“关于在数学教学中重视数学思想的问题”一文中谈到“由于在当前的数学教学中，数学思想还没有放到教学的应有位置上，所以今天我想结合这堂课（点评王人伟老师的‘直线与抛物线的位置关系’），谈谈有关数学思想的问题．”他在这篇文章中谈到了为什么在中学教学中要重视数学思想方法的原因．曹先生认为：“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的．”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”[2]曹先生以其独到的眼光，深谋远虑，在20世纪80年代就已经开始意识到数学思想方法对于教学的重要性，因此他呼吁和提倡学校教学中要将数学思想方法的渗透提到日程上来．

此后相继有多种数学思想方法的著作出版，这些著作有专门论述数学方法论的，如朱梧槚、肖奚安的《数学方法论ABC》，张奠宙、过伯祥的《数学方法论稿》等；有论述数学思想方面的，比如解恩泽、徐本顺的《数学思想方法纵横论》，郑毓信的《数学思维与数学方法论》，张奠宙等的《现代数学思想讲话》；有专门论述某一种方法或思想的，如徐利治、郑毓信合著的《关系映射反演方法》，史九一、朱梧槚著作的《化归与归纳类比联想》等，针对中学数学教学也有专门的论著出版，如马复著的《中学数学思想方法初论》，李翼忠著的《中学数学方法论》，沈文选的《中学数学思想方法》，以及后来出版的肖柏荣、潘娉姣的《数学思想方法及其教学示例》，这些著作的出版弥补了我国关于中学数学领域数学思想方法研究的空白，另外还有许多的论文刊登在国内数学教育期刊上．这些论文和著作有一个共同的特点：（1）从宏观上对数学思想方法进行了研究，偏重于理论上的论证，而很少有实践证明；

（2）针对某一具体的思想方法进行研究，侧重于先理论分析后用例题论证的形式；

（3）对一般的、普遍的思想方法研究的比较多，而很少研究现代数学思想在数学教学中的渗透和应用．

3对于现代数学思想方法研究的不足及启示

大部分论著所研究的数学思想方法是中学的主要思想方法，贯穿于整个中学数学教学之中，是中学数学教学顺利进行的基本保证，在过去、现在和将来都起着重要的作用．但是随着许多现代数学内容被写进了中学数学教科书，相应的

一些新的数学思想被引入到中学数学教学中，这样有更多的数学思想需要我们去挖掘、概括和提炼．但由于现代数学的抽象性，我们需要追溯这些思想最初产生、发展的历程，追溯数学家们的思维过程，以便更深刻的体会这种思想，英国著名物理学家麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）认为：“对于学习任何一门学科的学生而言，阅读该学科的原始论文是十分有用的，因为科学在最初状态下总是最容易被完全吸收的．”而德国著名物理学家马赫（E. Mach，1838—1916）在解释一种思想时，总会参考原始文献，追溯该思想的历史．在教学中通过对数学思想发展的追忆，对数学教学应该有一定的借鉴意义，对数学学习也会有一定的指导意义．这些著作的出版为后人研究数学思想方法提供了良好的研究范式和研究基础．在内容上，波利亚的数学解题方法对于解决数学问题确实有一定的影响，但是这个解题表还是不能完全满足大多数学生的需求，其罗列的解题思维过程太宽泛化，学生驾驭起来比较困难．比如在关键的第二步——拟定计划中，要求解题者调动所有与已知数和未知数有关的比较简单的或者已经解决的熟悉的问题，在解题者的认知结构中有许许多多与之相关的问题，解题者如何在浩如烟海的相关性知识中找到自己真正想要的知识结构呢？对于解题者来说，这是异常艰难的选择．因此，波利亚的数学启发法有一定的局限性．况且，波利亚的论述针对的是解题思维的过程分析，是从学生解题过程中产生的愉悦感作为学习数学的本原动力，来阐述学习数学的过程，而不是从现代数学思想方法产生的原始过程出发，再现数学知识的认知过程、从符合认知规律的角度，从学生数学思维的形成的角度来分析数学的教与学．在方法论上，波利亚关于数学思想方法的研究偏重于数学方法论的研究，比如他的《怎样解题》，着重于解题过程的分析，作者将解题过程分为几个环节，逐个过程进行分析．这种方法被称为启发法或者探索法，他的另两部著作则着墨于数学方法论中的合情推理模式和归纳与类比方法，但是波利亚对于数学解题过程的分析完全可以给中学数学教学以借鉴，我们可以将数学概念、定理的教学按着他的这种研究方法，将每一个细节都呈现给学生，使学生体验到数学先辈们的心路历程，相信数学不是一开始就是以现在的完美形式表现出来的，它也是无数的先辈们经过无数次的失败才形成现在比较完美的形式．学生学习中面临的一些困惑在数学思想发展史上也曾经是那些数学家的困惑，从而激发学生极大的求知欲和好奇感，无形中也增加了学生学习数学的信心．波利亚以某个方法为主线，呈辐射状的向各个数学领域发散，他的每种方法在数学上应用十分广泛，受其启发，我们认为中学应该借鉴这种研究方法，尽量将中学数学中蕴含的数学思想方法挖深挖透，以便在学生的学习中广泛应用．

米山国藏的数学思想方法是对于所有现代的数学思想方法而言的，具有一定的普遍性，他的论述是对现代数学思

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想方法的应用的广泛性和实用性的肯定，他没有学校阶段的划分，是对所有的数学中蕴含的现代数学思想方法的总结和概括，与中学教学中运用的现代数学思想方法有很大的差别．张奠宙的《现代数学思想讲话》则是指明了现代数学发展中一些新的、特别重要的思想，书中还特别提及了中学中的15种重要的数学思想．但是，他的数学思想也是偏重于理论的研究，而不偏重于在中学中的实践．F·克莱因的《高观点下的初等数学》是他根据讲稿整理出来的，其面向的对象是广大的师范类大学生，因此他不会花很多的精力和时间去钻研他的理论在中学数学教学中如何应用的问题，他的著作中大多数都省略了关于数学思想方法发展史方面的知识，对于历史上著名的数学家也很少提到，更谈不上论述他们的数学思维．但是数学思想史，数学家的思维过程以及数学家的生活趣闻这些知识内容对于提高学生的学习兴趣，提高他们的数学文化修养，培养学生的数学创新能力是非常重要的，F·克莱因省略这些内容，对中学数学来说不得不算是一种缺憾．

由于高等数学知识被写进中学数学教材中，中学教师在温习与学习新知识时，应该了解与掌握这些新知识蕴含的数学思想方法，只有充分地掌握这些数学知识背后的历史背景和发展脉络以及当事数学家的思维过程，才能在教学中设计适当的教学情境，启发与诱导学生积极地思考．因此在研究现代数学思想方法时，教师一方面应结合教材中的现代数学知识内容来挖掘其中蕴含的现代数学思想方法，及各国数学的发展历史，有针对性的加以引申和扩展．同时认真查阅数学史料，挖掘当时产生这种数学知识的思想根源与解决方法，必要时，也可根据当时的数学发展现状和背景资料进行方法复原．

在贯彻数学思想方法的教学中，要关注学生的最近发展区，尽可能帮助学生掌握现代数学思想方法并根据学生的差异，采用不同的思想方法解决问题，帮助学生完成学习迁移．尽可能设计有利于学生发展的教学环节，促进学生自主理解和掌握思想方法，用现代数学思想方法促进学生的现实发展水平，促成其最近发展区的形成．比如，在求解球的体积时，教材中运用的“分割——求近似和——化成准确值”的思想方法，是古代印度求解球体积方法的翻版，唯一不同的是高中教材中的分割方法使用的是n等分，而印度由于受当时数学发展水平的限制，只是将四分之一球面按着经纬方向，每个方向分割成24等份，与他们的正弦表遥相对应，蕴含了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为平，化整为零，积零为整，逐渐逼近精确值”的数学思想．在教学中，对于能力强的学生可以让他们独立探究球的体积的求解方法，但在操作过程中，教师可以适时点拨，而有的学生则引导他们回想圆面积的求法，启发他们运用“割补”的思想方法，而对基础相对比较差的学生可以先向他们讲解古代印度的分割方法，将学生的认知水平提高到一个新的发展平台，形成其现有的发展水平，再逐步地过渡到现在的分割方法，使学习顺利地发生迁移，从而顺利掌握球体积的n等分求解方法．

数学的历史蜿蜒曲折，蕴含着无穷的魅力，既开拓学生的视野，增强学生的自信心，同时又给我们今天的数学教学以启示和借鉴．著名数学家张景中曾经建议用“出入相补原理”、“勾股定理”、“构造性原理”作为初等数学的3条“公理”，重新编写初等教材[3]．以这种方式编写出的教材风格、体例与欧几里得的演绎体系完全不同，比较符合中国人的传统思维方式．这样做并不是完全摒弃欧式几何那一套，相反我们仍旧重视西方的演绎体系，兼收并蓄，糅合中西方文化为数学教育所用．教师只有十分清楚某种重要的数学思想方法的来龙去脉，才能条理清晰、逻辑严谨的讲述给学生．

［参考文献］

[1] 米山国藏．数学精神、思想和方法[M]．成都：四川教育出版社，1986．

[2] 曹才翰．曹才翰数学教育文选[M]．北京：人民教育出版社，2005．

[3] 张景中．从数学教育到教育数学[M]．北京：中国少年儿童出版社，2005．

Review and Apocalypse of Study on Modern Mathematics Thought and Method

YAN Xue-min, HUA Guo-dong

(China National Institute for Educational Research, Beijing 100088, China)

Abstract: Mathematics thought and method was important in training ability of explore and operation. There were lots of articles about mathematics thought and method. This article analyzed and summarized virtue and insufficiency of these articles. The author suggested that studier study modern mathematics thought and method and instruct teaching based on middle school mathematical content.

Key words: advanced mathematics; modern mathematics thought and method; mathematics teaching

[责任编校：周学智]

几种重要的数学思想方法

几种重要的数学思想方法 韩晓荣 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 《数学课程标准》在对初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、化归思想， 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们也常把它称之为“转化思想”。例如：解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。 二、数形结合的思想方法 数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。 三、分类讨论的思想方法 在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在《平面图形的认识》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类。这种思想方法主要可以避免漏解、错解。 四、方程思想 方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。例如利用一元一次方程,一元二次方程能解决好多实际问题。 五、从特殊到一般的思想方法

启发式教学在初中数学教学中的运用

启发式教学在初中数学教学中的运用 发表时间：2012-04-23T13:23:04.250Z 来源：《教育学》2011年11月（下半月A版）供稿作者：卢娟[导读] 在新课标的背景下，中学数学教学在不断的创新，出现了很多科学的教学模式。 卢娟（陕西省西安市长安区东大街道东大初级中学 710114） [摘要] 在新课标的背景下，中学数学教学在不断的创新，出现了很多科学的教学模式。该文从中学数学教学方法出发，探讨启发式教学的作用及目的，最后提出运用启发式教学的方法，其目的是培养学生思维能力，提高初中数学的教学质量。[关键词] 初中数学启发式教学 1、启发式教学的作用。 数学是锻炼学生思维能力的有效途径。初中数学作为基础数学教育，在整个教育体系中，担负着培养学生逻辑思维能力和推理能力的重要使命。而正是数学教育的这一特点，使得数学成为大部分初中学生觉得较为难学的一门学科。因为初中学生的思维能力和思辨能力还比较薄弱，此时就需要教师开展启发式的教学，启发、引导学生走进数学的大门，展开想象的空间，实现思维能力的飞跃。从教学原理上看，启发式教学的作用，就是教师对学生进行引导转化，把教材涉及的相关数学知识转化为学生的具体知识，然后通过一定的联系，再进一步把学生的具体知识转化为数学思维和思考能力。 2、启发式教学的目的。 数学教学通过启发式教学的一个重要目的和一条基本原则，是培养创新意识和实践能力。在教学中要激发学生学习数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。在必学内容中增加的练习作业和探究性活动，为培养学生的创新意识提供了一些机会，在教学中必须认真实施。通过练习作业和探究性活动，应积极引导学生将所学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活、生产和其他学科中出现的问题进行研究，或者对某些数学问题进行深入探讨，并在其中充分体现学生的自主性和合作精神。在数学教学中，要坚持理论联系实际，增强学生用数学的意识。应使学生通过背景材料，并运用已有知识，进行观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和归纳，将实际问题抽象为数学问题，建立起数学模型，从而解决问题并拓宽自己的知识。 3、运用启发式教学的方法。 3.1 创设有趣的教学情境。 启发式教学的一个重要特点就是每个学生思维始终处于被激活的状态，将知识隐藏在一定的背景当中，让学生在教师的指导下，慢慢地探索，揭开真相，获取新的知识。对初中数学教育而言，启发式教学方法运用的核心就在于，让学生通过一定的背景去主动地认识数学问题而设置教学情境，无疑是当前所有初中数学教师都较为常用的教学模式，也是一种很好的教学方法。毕竟，教师的工作之一就是要让学生爱学、会学，而在这个过程中，学生的学习是否积极就显得非常重要了，启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性。也就是说，设置教学情境，其实也就是为了激发学生学习兴趣，引导学生走进数学课堂，参与课堂的教学。因此，教师可以将游戏、谜语、诗歌、对联等引入课堂，创设一个有趣的教学情境，突破数学教学的学科范畴，丰富课堂教学的形式和内容，这不仅可以激发学生学习数学的兴趣，活跃课堂气氛，也可以利用好的气氛使学生不断地进行探索。比如说，在学习“概率”的时候，教师就可以通过抛硬币，让学生猜正反面的小游戏来导入课堂，在让学生对概率有一个简单认识的同时，也对概率有更多的求知欲，此时，教师的启发教学就完成了第一步。又如在学习垂直时，出“大漠孤烟直”的谜语；学习“直线与圆相切”时出“长河落日圆”的谜语，学习开方时，出“医生提笔”的谜语等等。通过这些小游戏和谜语的导入，创设一个简单、轻松的教学情境，对启发教学很有帮助。 3.2 调动学生学习的积极性。 在启发式课堂教学中要创造开放性的问题情境，提出的问题要有递进台阶，引导学生进行思考、猜测，提倡尝试、讨论、合作的学习方法，不定条条框框，鼓励学生用多种思维方式思考问题、解答问题，对学生学习积极性的调动。知识的学习、技能的训练，能力的培养，都要靠教师在教学过程中精心设计、组织与实施。只有师生双方都积极地参与教学活动，才能收到良好的效果。教师应着眼于调动学生学习的积极性、主动性；教师的一切教学措施都要从学生的实际出发。教学中坚持启发式和讨论式，反对注入式，发扬教学民主，师生双方密切合作，师生之间、学生之间交流互动。要重视学生在获取和运用知识过程中发展思维能力。数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要。数学教学要立足于把学生的思维活动展开，辅之以必要的讨论和总结，并加以正确的引导。应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展学生的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题，以及用数学语言进行交流的能力。教学方法是多种多样的，每一种教学方法都有它的特点和适用范围。在教学时要根据具体情况，合理并创造性地运用教学方法，才能充分调动学生的积极性。 总之，在新课程标准的指导下，科学的教育理念将在未来的中学数学教学过程中发挥重要作用。教师应当注重对学生数学思想的培养，逐步转变教学模式，以提高学生的思维能力及自主学习能力，大力开展启发式教学，进而促进数学教学效率的提升。 [参考文献] [1] 朱宝珍.初中数学启发式教学方法的探索[J].科技创新导报，2011.15. [2]房少梅金玲玉.谈谈如何在数学教学中运用启发式教学法[J].中国科技信息，2010.2. [3] 陈贵银.启发式教学在数学教学中的运用[J].滁州职业技术学院学报，2009.3.

常见数学思想方法应用举例

常见数学思想方法应用举例 所谓数学思想,就是对数学知识和方法地本质认识,是对数学规律地理性认识.所谓数学方法,就是解决数学问题地根本程序,是数学思想地具体反映.数学思想是数学地灵魂,数学方法是数学地行为.运用数学方法解决问题地过程就是感性认识不断积累地过程,当这种量地积累达到一定程序时就产生了质地飞跃,从而上升为数学思想. 其实,在初中数学中,许多数学思想和方法是一致地,两者之间很难分割.它们既相辅相成,又相互蕴含.因此,在初中数学教学中,加强学生对数学方法地理解和应用,以达到对数学思想地了解,是使数学思想与方法得到交融地有效方法.比如化归思想,可以说是贯穿于整个初中阶段地数学,具体表现为从未知到已知地转化、一般到特殊地转化、局部与整体地转化,课本引入了许多数学方法,比如换元法,消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等.在教学中,通过对具体数学方法地学习,使学生逐步领略内含于方法地数学思想；同时,数学思想地指导,又深化了数学方法地运用. 初中阶段《数学大纲》要求我们了解地常用地基本数学思想有：整体思想与分类地思想、数形结合地思想、化归地思想、函数与方程地思想,抽样统计思想等. 《数学大纲》中要求“了解”地方法有：分类法、类比法、反证法等.要求“理解”或“会应用”地方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等. 1、 整体思想 整体思想是一种常见地数学方法,它把研究对象地某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部地有机联系,从而在客观上寻求解决问题地新途径.往往能起到化繁为简,化难为易地效果.它在解方程地过程中往往以换元法地形式出现. 例1、整体通分法计算11 2+--x x x 解：原式1 111)1)(1(1122--=----+=--+=x x x x x x x x x 评注：本题若把1,+x 单独通分,则运算较为复杂；一般情况下,把分母为1地整式看作一个整体进行通分,运算较为简便. 例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数a 满足0822=-+a a ,求3412131 1222+++-?-+-+a a a a a a a 地值. 解：化简得原式2)1(2+=a ,由0822 =-+a a 得9)1(2=+a ,∴ 原式92=. 评注：本题通过整体变形代入,起到降次化简地显著效果. 例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时设x 2＋x ＝y,则原方程可变形为（ ） A 、y 2＋y －6＝0 B 、y 2－y －6＝0 C 、y 2－y ＋6＝0 D 、y 2＋y ＋6＝0 解：选A 例4、平移法(泸州05改编)如图,在宽为20m ,长为30m 地矩形地面 上修建两条同样宽地道路,余下地耕地面积为551m 2,试求道路地宽x = m 解析：我们只要用平移法把两条道路分别移到矩形地两侧,合并为一个整体,而面积却没有改变,得方程551)30(20=--x x ）（得.1=x 2、分类思想 分类思考地方法是一种重要地数学思想,同时也是一种解题策略.在数学中,我们常常需要根据研究对象性质地差异,按照一定地标准,把有关问题转化为几个部分或几种情况,从而使问题明朗化,然后逐个加以解决,最后予以总结得出结论地思想方法.

数学思想对教学的启示

数学思想对教学的启示 数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求发展学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。 1 中学数学教学中应运用的思想方法 (1)方程思想:众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,化归,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。 (2)分类讨论思想:分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如,对三角形全等识别方法的探索,教材中的思考题:如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等,那么有哪几种可能的情况?同时,教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论,由简到繁,一步步得出,教学时要让学生体验这种思想方法。 (3)数形结合思想:数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。初中代数教材列方程解应用题所选例题多数采用了图示法,所以,教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值,对解决问题更具有指导意义。再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透;这样不仅可提高学生的迁移思维能力,还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。 (4)整体思想:整体思想在初中教材中体现突出,如在实数运算中,常把数字与前面的“+,-”符号看成一个整体进行处理;又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等;再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理,如:(a+b+c)*2=[(a+b)+c]*2视(a+b)为一个整体展开等等,这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。 (5)化归思想:化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2 =11, xy=1求x2+y2的值,显然直接代入无法求解,若先把所

三种数学思想方法教案

课题：中职常见的三种数学思想方法 教学目标：1.理解数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想； 2.学会用数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想 等三种思想解答实际数学问题。 教学重点：帮助学生树立数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想。 教学难点：数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想在实际数学问题中的应用。 教学方法：讲练结合及世界大学城空间网络教学 教学设计： Ⅰ.新课讲授 （一）专题一：数形结合思想 1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数 学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合． (2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数 形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数

的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规 范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 角度一：利用数形结合讨论方程的解或图像交点 [例1]函数f(x)＝x 1 2 － ? ? ? ? ?1 2 x 的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 方法规律：讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解. 强化训练：1．方程log3(x+2)=2x解的个数为 角度二：利用数形结合解不等式或求参数问题 [例2]使log2(－x)

《小学数学与数学思想方法》读后感

《小学数学与数学思想方法》读后感 读完《小学数学与数学思想方法》这本书，对数学思想方法有了更系统和更全面的认识。知道了什么是数学思想，什么是数学方法，知道了数学思想与数学方法的内在联系与区别。知道数学思想是数学方法进一步提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法，而人们选择的数学方法，又要以一定的数学思想为依据。由此可见，数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学，用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学思想方法如此严重，从这本书中还知道了教师如何进行数学思想方法的教学： 重视思想方法目标的落实。 教师在备课撰写教学设计时，把数学思想方法作为与知识技能同等地位的目标呈现出来。而不是可有可无或者总是进行渗透，并利用动词进行描述和评价，使数学思想方法的教学目标落到实处。 2.在知识形成过程中体现数学思想方法。 现在的数学课堂教学中，很多教师精讲多练，急于把概念、公式、法则等知识传授给学生，然后按照考试的要 求进行训练，轻视了知识的形成过程。这样，既浪费了时间，又没有真正培养学生的思维能力、思想方法和学习兴趣，导致很多学生害怕数学。我曾经在讲《除法的初步认识—平均分》时，通过让学生动手操作引导他们经历知识的形成过程。读过这本书才知道自己忽略了数学思想方法的渗透，在这个教学过程中，教师可以引导学生感受从直观操作的详尽情境中抽象出除法概念的抽象思想，认识用除法符号表达的具有简洁性的符号化思想，体会用实物、图形帮助理解除法的具有直观性的数形结合思想，知道除法是一种严重的模型思想，体会在除法中商随着被除数、除数的变化而变化的函数思想。

初中数学教学总结与反思

初中数学教学工作总结本学期，我从各方面严格要求自己，积极向老教师请教，结合本班学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，有计划、有组织、有步骤地开展教育教学工作。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大进步，现对本期数学教学进行工作总结。并发扬优点，克服缺点，总结经验，继往开来，以促进教育工作更上一层楼。 一、精心准备，认真备课 不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学后记，并认真按搜集每课书的知识要点，归纳成集。 二、增强上课技能，提高教学质量

讲解清晰化、条理化、准确化、情感化、生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。 三、虚心请教其他老师 在教学上，有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法，同时，多听老师的课，做到边听边讲，学习别人的优点，克服自己的不足，并常常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进工作。 四、认真批改作业 布置作业做到精读精练。有针对性，有层次性。为了做到这点，我常常到各大书店去搜集资料，对各种辅助资料进行筛选，力求每一次练习都起到最大的效果。

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v1.0可编辑可修改 初中数学思想方法的概念、种类 及渗透策略分析 分类讨论思想 一、分类讨论思想的意义 当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究; 或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而 需对不同情况进行分类研究. 通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并 增加条件，“分类讨论” , 简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现, 初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则, 把“分类讨论思想” 分两个层次 , 即“分类思想” 和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位, 通过教学应使学生确立类思想, 学会分类 方法 , 而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。分类讨论是一种逻辑方 法, 也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人的思维条理性和概括性, 所以在试题中占有重要的位置。 二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象, 确定对象的全体→确定分类标准, 正确进行分类 →逐步进行讨论, 获取阶段性结果→归纳小结, 综合得出结论。 三、分类讨论思想的分类原则： 分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下 4 大原则 : (1)同一性原则 (2) 互斥性原则 (3) 相称性原则 (4) 多层次性原则四、七年 级数学中体现分类讨论思想的知识点 上册： 1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、 P112第 10 题 6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。 五、典型例题 例 1. （ 2011 浙江中考）解关于x 的不等式组： a(x 2 )> x 3

迁移及其对初中数学教学的启示

迁移及其对初中数学教学的启示 []迁移在中学数学学习中具有重要作用，中学数学学习中存在着诸如学生的数学认知发展水平、学生的数学认知结构的组织特征等的影响迁移的因素。迁移对数学教育的启示是：要创造条件，使学生形成数学思想；让学生举一反三；提高学生的数学概括能力；教给学生实现迁移的方法。 []迁移，初中数学，教学启示 改变学习方式，引导学生迁移学习是新一轮初中课改的一个重点，也是难点。特别对于初中数学教学而言，能否通过促使学生实现知识的、技能的迁移进行有效的学习，是衡量新课程是否真正实施的重要指标。那么，究竟什么是迁移？中学数学学习中影响迁移的因素有哪些？中学数学学习中的 迁移的教育启示又是什么呢？ 一、迁移以及中学数学学习中影响迁移的因素 （一）迁移及其种类 一种学习中习得性经验对其他学习的影响，在心理学上称之为学习的迁移。这种作用有时是积极的，有时是消极的。凡一种学习对另一种学习起促进作用的称为正迁移(以下简称迁移)，一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用的称为负迁移。数学知识、技能，数学思维方法都可产生迁移作用。根据不同的维度，对学习迁移可有不同的分类办法。如前所述数学学习迁移有正、负和顺向、逆向迁移之分。除此之外，

加涅按迁移的方向将迁移分成了纵向迁移和侧向迁移，前者指低级的概念或规则向高级的概念或规则的迁移，如掌握了一元一次方程的解法有助于学习解一元二次方程。 （二）中学数学学习中影响迁移的因素 数学知识、技能、数学思想方法都要通过学生的主动学习，变成自己的精神财富才能对新的学习产生促进作用，因此，学生自身的因素是影响数学习迁移的主要因素。 1．学生的数学认知发展水平影响着学习迁移 数学学习迁移的过程是一个认知的过程，它必然要受到学生认知发展水平的影响。高中阶段的学生虽然形式运算思维己占优势地位。但是个体差异是客观存在的，即同一个人在不同的学习中存在着不同的认知水平，有可能他在《代数》学习上达到形式运算水平，但他在《几何》学习上却还处在具体运算水平，这样的现象在中学生中并不少见。由此可见，高中生的认知发展水平仍是影响学习迁移的一个不可忽视的因素。 2．学生的数学认知结构的组织特征影响着学习迁移 现代教育心理学研究表明，一种学习A并不是直接与另一种学习B发生作用，而是通过学生原有的认知结构间接地影响学习B。影响的范围也就是迁移的程度取决于学生认知结构的特征。如果学生认知结构中只有一些肤浅的、不完全适当的观念可以用来同化新知识，那么新知识就不能有效固定在

数学思想方法的应用

数学思想方法的应用 徐英 数学思想是解决数学问题的灵魂，在初中数学中蕴含着丰富的数学思想方法.需要我们去挖掘并实施于解题过程. 数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到解决几何问题中，也可以用图形来解决代数问题， 例1如图1（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2 m . （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 图1 图2 分析：解决问题需要根据图形进行分析，找出y 与x 之间的关系式.如图2，设移动x 秒后点C 移动点C ，三角形与正方形重叠部分为△DCC ′，由图形数据可知△DCC ′为等腰直角三角形，且CC ′=CD=2x ，根据三角形的面积可以写出y 与x 之间的关系式. 解：（1）因为CC ′=2x ，CD=2x ，所以S △CDC ′= 21×2x ×2x=2x 2,所以y ＝2x 2 （2）当x=2,时y=8；当x=3.5时,y=24.5 （3）由2x 2=2 1×10×10=50,解得x 1=5,x 2=-5(舍去). 所以当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5秒. 评注：本题通过图形分析找到y 与x 之间的数量关系，是对数形结合思想方法掌握情况的考查. 所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型立方程模型、建立函数模型等等都是建模思想的重要体现. 例2甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x >300）． (1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家 图3 超市购物更优惠，我们可以从实际问题构构建函数模型，通过函数的图象比较如何选择，才使购物更实惠。 解：(1)设在甲超市购物的所付的费用为y 甲，在乙超市所付的购物费用为y 乙，

新课标对数学课堂教学的启示

新课标对数学课堂教学的启示 ——从一线教师的视角望出去 主讲：杭州市安吉路实验学校牛献礼 地点：浙大华家池校区 时间：2012年10月18日 学习《课标》2011版的几点思考 1、《标准》（2011版）修订了什么？ ●最大的改变：“双基”到“四基” “六个核心词”到“十个核心词” ●更加关注数学核心概念和思想方法的教学，注重真正意义上的“理解”。 ●更加关注“过程”中的教育，注重过程性经验的积累。 ●更加关注学生的数学能力和数学素养的形成，注重思考力的培养。 2、《标准》（2011版）坚持了什么？ ●坚持了《实验稿》的基本理念和方向，基本理念进一步丰富和完善，一以贯 之，与时俱进。 ●“人人学有价值的数学，人人获得必须的数学”（实验稿）到“人人都能获 得良好的数学教育”（2011版） ●落脚点由原来的“数学”改为了“数学教育”，就把单纯对于数学教学内容 的取舍上升到“数学育人”上所作出的一种价值判断和价值追求。

●教学内容上没有太多增减，调整修订的幅度不大，是“小改”而不是“大 改”。 3、对数学教师的启示是什么？ ●真正决定数学课程的不是写在书上的各种观念与规定，而是天天和学生接触 的教师。尽管，专家们花了大量的精力，认真准备了课程标准和教材，但是一到学校，数学教师一个人便决定了一切。 ●不唯书，不唯上，多一点哲学思考，多一点文化判断力，就能经得起这个风 那个风的劲吹。 ●牢牢抓住“数学育人”不放松，把学生的学习和成长放在中心位置来考虑教 学，一部一个脚印往前迈。 对数学课堂教学的启示 一、重视过程，整体设计 ●课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数 学思想方法。——《标准》（2011版） ●苏霍姆林斯基说：学生来到学校里，不仅仅是为了取得一份知识的行囊， 更主要的是为了变得更“聪明”。 ●过程的教育能够培养学生正确的思考方法，智慧往往表现在过程当中。 没有“过程”的教学会把“思维的体操”降格为“刺激——反应”训练。要 坚持“过程与结果并重”的原则。

数学思想方法及意义

数学思想方法及意义 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义． １．数学思想方法教学的心理学意义 第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容． 第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．” 第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生

数学思想方法学习心得

《数学思想方法》心得体会 宁安市东京城镇小学黄淑伟 我通过对数学思想方法的学习，并结合我在工作中的实际情况，体会到如下心得： 数学的内容、思想、方法和语言广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。 1.数学思想。数学思想是人们对数学科学研究的本质，及规律的深刻认识。它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。它具有导向性、统摄性、迁移性。中学数学教学中的基本数学思想有对应思想（函数思想、数形结合思想），系统与统计思想（整体思想、最优化思想、统计思想），化归与辩证思想（化归思想、转换思想）等。 2.数学方法。数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。中学数学教学中的基本数学方法：一是科学认识方法：观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟；二是推理论证方法：综合法与分析法，完全归纳法与数学归纳法，演绎法、反证法与同一法；三是求解方程：配方法、换元法、消元法、待定系数法、图象法、轴对称法、平移法、旋转法等。

3.数学思想方法。数学思想与数学方法既有差异性，又有同一性。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。“方法”指向“实践”。数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用；数学思想与数学方法同属于数学方法论的范畴，它们有时是等同的，并没有明确的界限。由于数学思想与数学方法的这种特殊关系，我们在中学数学教学中把它们统称为数学思想方法。 4.数学思想方法教学。因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识（概念、定理、公式、性质等）和隐形的数学知识（数学思想方法）这两方面。所以，在教学中，我们不仅应当注意显形的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”，就是让学生看到活生生的数学知识的来龙去脉，形成过程，而不是死的数学知识；“讲懂”就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到积极的作用。

建构主义学习理论及其对初中数学教育的启示

建构主义学习理论 及其对初中数学教育的启示 遂宁市射洪县城西学校陈春梅 【论文摘要】：数学教师学科知识理论是衡量新手教师和专家教师的分界线，并成为制定学科教师专业标准，设计教师教育课程指南的重要依据。建构主义学习理论与新课程改革所要求的"以学生为主体,教师为主导"十分吻合,在义务教育阶段的新课改中,建构主义学习理论有了丰富的用武之地。数学学科本身的特点十分适合使用建构主义学习理论指导进行教学,建构主义学习理论给我们带来了一些启示。 【关键词】数学教学建构 一、建构主义的简介： 建构主义教育学说曾风靡欧美界，数学教育业直接受到它的影响。现代建构主义主要吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义与发生认识论等思想，并在总结20世纪60年代以来的各种教育改革方案的经验基础上演变和发展起来的。建构主义理论的内容很丰富，但其核心只用一句话就可以概括：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。 二、建构主义的学生观 建构主义者强调，学生并不是空着脑袋走进教室的，日常生活和以往的学习已经使他们具备了丰富的经验背景，他们有自己对世界的看法。但在面临新情境、遇到新问题时，他们会基于已有的经验、依靠自己认知能力，形成对问题的某种理解和解释，这并不是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发推出的合乎逻辑的假设。所以，教学应当重视学生已有的经验，把这些经验作为新知识的生长点，引导学生从原有经验中“生长”出新的知识经验。教学不是简单的知识传递，而是知识的处理和转换。另外，教师应当注意学生的所有见解，理解这些见解的合理性，洞察学生的各种看法的来源，以此为据，引导学生丰富或调整自己的理解。这不是简单地“告诉”就能奏效的，而是需要与学生对某些问题进行共同的探索，在这个过程中进行交流和质疑，了解彼此的思想，彼此做出某些调整。教师应当给学生留出充分的思考空间。由于个体经验的不同，学生对同一知识便会形成理解上的差异，这种差异是宝贵的学习资源。因此，教师应当鼓励学生在课堂上积极发表自己的见解，比较各自的差异，努力形成对知识的全面、准确、深刻的理解。 因此，建构主义强调学生是积极主动的知识建构者的地位，要求学生在一种复杂而真实的情境中，在教师适度的帮助下，采取富有个性的认识加工策略，形成自己对知识的独立理解 三、初中数学建构的内容-----“做“中学 学习数学有两种方式，一是复制式，一是建构式。前者，如同计算机通过程序来“学会”运算并输出结果一样，这种学习是一种解释和复制；后者，如同人体“学会”免疫功能一样，人体是通过感染某种病毒，并与此作斗争的过程中逐步“学会”抵抗病毒，以致能够辨别病毒和产生抗体，在此过程中，医学科学家从来不知道防御病毒的详细过程，更不能给予直接指导，这种学习是个体自己

浅谈数学启发式教学

浅谈数学启发式教学 摘要 数学教学是数学思维的教学，随着我国基础教育改革的深入，如何引导学生参与到教学过程中来，特别是如何让学生学会学习，已成为当今课程改革关注的要点之一，也是“素质教育”的主要目标。启发式教学是我国传统教育思想的精髓，是一切优秀教学方法的指导思想，是实施素质教育的最佳途径和有效方式。现代启发式教学能很好改善传统的教学模式，引导学生主动参与，达到师生互动的目的，从而更有效地培养学生学习的自主性、能动性和创造性。因此，中学数学启发式教学是一个值得探讨的问题。 本文首先简述了启发式教学的由来，思想内涵。之后总结分析了启发式教学的主要特点，阐述了数学启发式教学的基本原则，并进行了相应的案例分析。最后归纳出了当前启发式教学存在的一些不足之处。 关键词启发式教学中学数学教学案例

1.1启发式教学的由来 启发式教学是一种古老而又年轻的教学思想，它源远流长，博大精深，且历久弥新。我国早在春秋战国时期，大教育家、思想家孔子就提出了“不愤不启，不徘不发，举一隅不以三隅反，则不复也”。而在国外，古希腊的思想家苏格拉底以发问为主的教学方法开创了西方启发式教学的先河。随着时代的进步与发展，启发式教学不断吸收并注入了新鲜血液，在当前的教学领域更显得生机勃勃，更具有优越性,值得大力推广。 从现代意义来讲，启发式教学就是根据学生认识的客观规律以及学生的理解能力，充分调动学生学习的主动性，激发其内在的学习动力，通过引导学生的学习过程，使他们经过独立思考掌握知识，从而提高学生理解，分析，解决问题的能力。 1.2启发式教学的思想内涵 现代启发式教学思想内涵体现在以下方面： （1）启发式教学是以学生为主体，以重新认识学习者的地位和作用，建构新的学生主体观为目的。 这种新的学习观念强调学生作为认识、学习的主体，必须具有主动性、能动性和创造性。现代启发式教学就是以学生能不能发现问题、解决问题并勇于创造来判定其优劣。 （2）启发式教学的重点是使学生学会学习。 古人云：授人以鱼，仅供一饭之需；授人以渔，则终生受用无穷。学会学习也正是现代启发式教学的重点，随着学生主体性的增强，由被动学习向自主学习过渡，最后实现由教到不教的转化。 （3）启发式教学侧重学生思维过程和思维方法的启发。 它是以当代认知心理学的最新研究成果为理论依据的，它重视教学活动中学生的认知过程，特别是思维过程的充分展现，真正体现了以学生为主体、以学生发展为主线的全新教学理念。

数形结合思想的含义 数与形是数学中两个最古老

数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展

数学思想方法学习心得

《数学思想在课堂教学中的体现、应用和推广的探究》课题 研究学习心得体会 商丘市第十六中学：韩远征 我通过对《数学思想在课堂教学中的体现、应用和推广的探究》这一课题的研究和学习，并结合我在工作中的实际情况，体会到如下心得： 数学的内容、思想、方法和语言广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。 1、数学思想。数学思想是人们对数学科学研究的本质，及规律的深刻认识。它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。它具有导向性、统摄性、迁移性。中学数学教学中的基本数学思想有对应思想（函数思想、数形结合思想），系统与统计思想（整体思想、最优化思想、统计思想），化归与辩证思想（化归思想、转换思想）等。 2、数学方法。数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。中学数学教学中的基本数学方法：一是科学认识方法：观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟；二是推理论证方法：综合法与分析法，完全归纳

法与数学归纳法，演绎法、反证法与同一法；三是求解方程：配方法、换元法、消元法、待定系数法、图象法、轴对称法、平移法、旋转法等。 3、数学思想方法。数学思想与数学方法既有差异性，又有同一性。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。“方法”指向“实践”。数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用；数学思想与数学方法同属于数学方法论的范畴，它们有时是等同的，并没有明确的界限。由于数学思想与数学方法的这种特殊关系，我们在中学数学教学中把它们统称为数学思想方法。 4、数学思想方法教学。因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识（概念、定理、公式、性质等）和隐形的数学知识（数学思想方法）这两方面。所以，在教学中，我们不仅应当注意显形的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”，就是让学生看到活生生的数学知识的来龙去脉，形成过程，而不是死的数学知识；“讲懂”就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到积极的作用。