江苏省淮阴中学2020-2021学年高三(最后冲刺)数学试卷含解析《附15套高考模拟卷》

江苏省淮阴中学2020-2021学年高三（最后冲刺）数学试卷

请考生注意：

1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2

B ．2i

C ．4

D ．4i

2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）

A ．623+

B ．622+

C ．442+

D ．443+

3．设双曲线22:1916

x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于

点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．

3215

B ．

6415

C ．5

D ．6

4．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)π

B ．(4,)π

C ．(1,2)π-

D ．(4,2)π

5．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3a

B ．b ＝6a

C ．b ＝9a

D ．b ＝12a

7．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}

1B x x =≥，则()A B =R

A ．{}

01x x <≤ B ．{}

01x x <<

C ．{}12x x ≤<

D ．{}

02x x <<

8．

2-31i

i =+（ ） A ．15-22i B ．15--22

i

C ．

15+22

i D ．15-

+22

i 9．已知12log 13a =13

14

12,13b ??= ???

，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A ．a b c >>

B ．c a b >>

C ．b c a >>

D ．a c b >>

10．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x

f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）

A ．3log 4

B ．3log 41+

C ．

43

D ．3log 41-

11．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．

34

B ．

43

C ．-

43

D ．-

34

12．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ?α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α

D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数x ，y 满足约束条件3312

x y y x x +≥??≤-??≤?

，则y

z x =的最小值为______.

14．已知全集2,1,0,1,{}2U ＝﹣

﹣，集合2,,}1,{1A ＝﹣﹣则U

A ＝_____．

15．已知1(3,0)F -，2(3,0)F 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，双曲线C 的渐近线上存

在点P 满足12||2||PF PF =，则b 的最大值为________．

16．在1n

x x ??+ ??

?的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知()13f x x x =+++. （1）解不等式()6f x <；

（2）若,,a b c 均为正数，且()()10f a f b c ++=，求222a b c ++的最小值.

18．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[]15,25，(]25,35，(]35,45，(]45,55分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.

()1从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；

()2试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30

瓶，批发成本60元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(]45,55时看作销量为50瓶）. ①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X ，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y ，求X 和Y 的分布列和数学期望；

②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？ 注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.

19．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2

2

，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半

轴长为半径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为5

(,0)4

，求QA QB ?的值． 20．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：

()1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？

()2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券．若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率．

附表及公式：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

．

21．（12分）已知函数()ln

f x x x

=.

（1）若函数

2

()1

()

f x

g x

x x

=-，求()

g x的极值；

（2）证明：2

()1x

f x e x

+<-.

（参考数据：ln20.69

≈ln3 1.10

≈32 4.48

e≈27.39

e≈）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

1

2

x a t

y

?

=+

??

?

?=

??

（t为参数，a R

∈）.在以

坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为

222

3cos24sin3

ρθρθ

+=.

（1）若点()

2,0

A在直线l上，求直线l的极坐标方程；

（2）已知0

a>，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，且||

PQ a的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【解析】 【分析】

对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2. 【详解】

因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2. 【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-. 2、C 【解析】 【分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【详解】

解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P?ABC ，

正方体的棱长为2， 该几何体的表面积：

1111

22222222224422222

??+??+????=+ 故选C ． 【点睛】

本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． 3、A 【解析】 【分析】

根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.

由双曲线的标准方程可知中：223,45a b c a b ==∴=+=，因此右顶点A 的坐标为

(3,0)，右焦点F 的

坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：4

3

y x =±

，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4

(5)3

y x =-，

因此点B 的坐标是方程组：22

4(5)31

916y x x y ?=-????-=??的解，解得方程组的解为：175

3215x y ?

=????=-??，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：

13232

(53)21515

?-?-=. 故选：A 【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力. 4、B 【解析】

函数2

3353

sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222

y x x x x x x x x x θ=+=+=-

+=-+（θ为辅助角）

∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22

T π

π== 故选B 5、C 【解析】

试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.

考点：三视图 6、C 【解析】 【分析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

由3(21)ai b a i +=--，

得312b a a

=??=-?，即a 13=，b ＝1．

∴b ＝9a ． 故选：C ． 【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题. 7、B 【解析】

分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ?=<<. 本题选择B 选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8、B 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】

()()()()

231231515

111222i i i i z i i i i -----=

===--++-． 故选B ． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 9、D 【解析】 【分析】

由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和

c 的大小关系，进而得解.

【详解】

根据指数函数的图像与性质可知1314

120131b ??

<= ??

由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-

lg13lg14

lg12lg13

=

- 2lg 13lg12lg14

lg12lg13

-?=

? 由基本不等式可知()2

1lg12lg14lg12lg142???<

+????

，代入上式可得

()2

2

21lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13??-+??-???>

??

2

21lg 13lg1682lg12lg13

??- ?

??=

?

11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13????+?- ? ?????=

?

(

(

lg13lg13lg 0lg12lg13

+?-=

>?

所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 10、D 【解析】 【分析】

根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313

1

c

a b

+=+

-，只需求出3a b +的最小值，根据

333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，a 与b 为函数()3x

f x =的“线性对称点”，

所以333a b a b +=+=≥， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3x

f x =的“线性对称点，

所以333b c a b c a ++++=，

所以314

3131313

a b c

a b a b +++==+≤--，

从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题. 11、A 【解析】

分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解. 详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,

2z a i =-.

所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数， 所以4a 30-=，即3

a 4

=. 故选A.

点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题. 12、D 【解析】 【分析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】

解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面，

选项C ，由条件可得//n α或n ?α． 故选：D. 【点睛】

本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、

12

【解析】 【分析】

作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，观察图形斜率最小在点B

处，联立3

2x y x +=??=?

，解得点B 坐标，即可求得答案.

【详解】

作出满足约束条件3

312

x y y x x +≥??

≤-??≤?

的可行域，该目标函数00y y z x x -==-视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，

故OB OA k z k ≤≤ 由题可知，联立312y x x =-??

=?得()2,5A ,联立3

2

x y x +=??=?得()2,1B

所以51,22OA OB k k =

=，故1522

z ≤≤ 所以z 的最小值为

1

2