一类高阶微分方程的亚纯解和小函数的关系

2008年5月May 2008　

华南师范大学学报(自然科学版)

JOURNAL OF S OUTH CH I N A NOR MAL UN I V ERSI TY

(NAT URAL S C I ENCE ED I TI O N ) 2008年第2期　No .2,2008收稿日期:2007-05-31

基金项目:广东省自然科学基金资助项目(06025059)

作者简介:张然然(1982-),女,河北沧州人,华南师范大学2005级硕士研究生,Email:zhrr19820315@https://www.sodocs.net/doc/035475311.html,;陈宗煊

(1949-),男,江西安义人,博士,华南师范大学教授,Email:chzx@vi p.sina .com.

文章编号:1000-5463(2008)02-0007-07

一类高阶微分方程的亚纯解和小函数的关系

张然然,陈宗煊

(华南师范大学数学科学学院,广东广州510631)

摘要:研究了微分方程f

(k )

+H k -1f

(k -1)

+…+H 1f ′+H 0f =0的亚纯解以及它们的一阶、二阶导数与

小函数的关系,其中H j =h j e P j (z )

(j =0,1,…,k -1),h j 是级小于n 的亚纯函数,P j (z )是n 次多项式.

关键词:微分方程;收敛指数;亚纯函数;小函数中图分类号:O174.52 文献标识码:A

RELAT IO N BET W EEN M ER OMO RPH I C S OL UT IO NS O F A CLASS O F H I GHER O R D ER D I FFERENT I AL EQUAT IO NS AN D FUNCT IO NS O F S M ALL GR OW TH

ZHANG Ran -ran,CHE N Z ong -xuan

(School of Mathe matics,South China Nor mal University,Guangzhou 510631,China )

Abstract:This paper investigates the relati on bet w een mer omor phic s oluti ons,their 1th,2th derivatives of differential equati on f (k )

+H k -1f

(k -1)

+…+H 1f ′+H 0f =0and functi ons of

s mall gr owth,where H j =h j e

P j (z )

(j =0,1,…,k -1),h j is a mer omor phic functi on and σ

(h j )

Key words:differential equati on;exponent of convergence;mer omor phic functi on;func 2ti on of s mall gr o wth

1　引言与结果

本文使用值分布理论的标准记号

[1]

.使用σ(f )表示亚纯函数f (z )的级,

(f )表示f (z )的

零点收敛指数,-(f )表示f (z )的不同零点收敛指数,-

(f -φ)表示f (z )取小函数φ的点的收敛指数.

微分方程f ″+e -z f ′+Q (z )f =0的解的性质一直受到人们的关注,许多作者[2-6]

研究了这

个方程的解的增长级和超级.陈宗煊和孙光镐在文献[7]中研究了微分方程

f ″+A 1e az

f ′+A 0e bz

f =0

(1)

的解以及它们的一阶、二阶导数取小函数的点的收敛指数,得到如下定理.

定理A 假设A j (z )( 0;j =0,1)是整函数且σ(A j )<1,a,b 是复常数且满足ab ≠0和arg a ≠arg b 或者a =cb (0

-

(f -φ)=-(f ′-φ)=-

(f ″-φ)=∞.

本文将定理A 推广到高阶亚纯系数齐次线性微分方程

f

(k )

+H k -1f

(k -1)

+…+H 1f ′+H 0f =0,(2)

得到了如下结果.

定理1　假设H j =h j e

P j (z )

,其中h j (j =0,1,…,k -1;h 0 0)是级小于n 的亚纯函数,P j (z )=

a j n z n

+…+a j

1z +a j

(n ≥1;a j

n =a j

n e i

φj ≠0;φj

[0,2

π);j =0,1,…,k -1)是n 次多项式,且系数a j n =a j

n e

i φj

(j =1,2,…,k -1)满足ψ<φj -φ0<π+ψ或者ψ<φ

j -φ0+2π<π+ψ或者a j

n =c j a 0

n ,其中ψ

[0,π]为一固定常数,0

.假设φ(z )( 0)是有限级亚纯函数,则方

程(2)的每一个非零亚纯解f 都有-(f -φ)=-(f ′

-φ)=∞.定理2　假设H j =h j e

P j (z ),其中h j (j =0,1,…,k -1;h 0 0)是级小于n 的亚纯函数,P j (z )=

a j n z n

+…+a j

1z +a j

(n ≥1;a j

n =a j

n e i

φj ≠0;φj [0,2

π);j =0,1,…,k -1)是n 次多项式,φ(z )( 0)是有限级亚纯函数,并假设以下两个条件之一成立:

(i )对每个j {1,2,…,k -1},有a j

n =c j a 0

n (0

π<π;(ii )对每个j

{1,2,…,

k -1},有a j n =c j a 0

n

(0

π或者π<φj -φ0+2

π<2π,则方程(2)的每一个非零亚纯解f 都有-(f -φ)=-(f ′

-φ)=-

(f ″-φ)=∞.2　引理

引理1

[3]

　假设P (z )=a n z n

+…(a n 是一复常数,a n =a n e i φ

n ≠0,φn

[0,2

π))是多项式且次数n ≥1,A (z )( 0)是亚纯函数且σ(A )

)

,z =r e i θ

,δ(P,θ)=

a n cos (n

θ+φn ),那么对任意给定的ε>0,则存在集合H 1<[0,2π),其线测度为零,满足对任意θ[0,2

π)\(H 1∪H 2),存在R >0,使得对z =r >R,有1)如果δ(P,θ

)>0,那么exp {(1-ε)δ(P,θ)r n }≤g (z )≤exp {(1+ε)δ(P,θ)r n

},2)如果δ(P,θ

)<0,那么exp {(1+ε)δ(P,θ)r n }≤g (z )≤exp {(1-ε)δ(P,θ)r n },其中H 2={θ[0,2

π);δ(P,θ)=0}是有限集.引理2

[

8]

　假设f (z )为超越亚纯函数,α>1是给定常数,Γ={(k 1,j 1),(k 2,j 2),…,(k q ,j q )}

是不同整数对的有限集合,满足k i >j i ≥0(i =1,…,q ),存在一个集合E <[0,2

π)有线测度零和常数B >0,使得若θ[0,2π)\E,则存在常数R 0=R 0(θ)>1,使对所有满足arg z =θ,z =r >R 0的z 及对所有(k,j )

Γ,有f

(k )

(z )f (j )

(z )

≤B

T (αr ,f )

r

(l og αr )l og T (αr ,f )k -j

.

如果f (z )的级是有限ρ级,那么对任意给定的ε>0,存在一个集合E <[0,2

π)有线测度8

华南师范大学学报(自然科学版)2008年

零,使得若θ[0,2π)\E,则存在常数R 0=R 0(θ)>1,使对所有满足arg z =θ,z =r >R 0的z 及对所有(k,j

)Γ,有

f (k )

(z )

f (j )

(z )

≤r

(k -j )(ρ-1+ε)

.

引理3

[9]

　假设A 0,…,A k -1,F 0是有限级亚纯函数,如果f (z )是方程f

(k )

+A k -1f

(k -1)

+

…+A 0f =F 的亚纯解,并且σ(f )=∞,则有-(f )=(f )=σ(f )=∞.

引理4　假设H j =h j e

P j (z )

,其中h j (j =0,1,…,k -1;h 0 0)为级小于n 的亚纯函数,P j (z )=

a j n z n

+

…+a j

1z +a j

(n ≥1;a j

n =a j

n e i

φj ≠0;φj

[0,2

π);j =0,1,k -1)为n 次多项式,且系数a j n =a j

n e

i φj

(j =1,2,…,k -1)满足ψ<φj -φ0<π+ψ或者ψ<φ

j -φ0+2π<π+ψ或者a j

n =c j a 0

n ,其中ψ

[0,π]为固定常数,0

证明　假设f ( 0)是方程(2)的一个亚纯解.由引理2,存在一个集合E <[0,2π)有线测度零和常数B >0,使得若θ[0,2π)\E,则存在常数R 0=R 0(θ)>1,使对所有满足arg z =θ,z =r >R 0的z 都有

f

(j )

(z )

f (z )

≤B T 2k

(2r ,f )　(j =1,2,…,k ).

(3)

令集合F ={j :a j

n =c j a 0

n },若F 不是空集,令c =max j F

{c j },有0

由引理1,存在射线arg z =θ[0,2

π)\(E 1∪E 2∪E ),其中E 1<[0,2π)有线测度零,E 2=∪k -1i =0

{θ[0,2π);δ(P i ,θ)=0}是有限集,使得cos (φ0+n

θ)>0,且对满足ψ<φj -φ0<π+ψ或者ψ<φj -φ0+2π<π+ψ的j ,有cos (φj +n θ)<0;对满足a j

n =c j a 0

n 的j ,有cos (φj +n θ)>0.以及对任意给定的ε

0<ε<

1-c

1+c

,当z =r 充分大时,式(3)成立,且有H 0(z )≥exp {(1-ε)δ(P 0,θ

)r n

}(4)

和对满足ψ<φj -φ0<

π+ψ或者ψ<φj -φ0+2π<π+ψ的j ,有H j (z )≤ex p {(1-ε)δ(P j ,θ

)r n

}<1,(5)

对满足a j n =c j a 0

n 的j ,有

H j (z )≤exp {(1+ε)c j δ(P 0,θ

)r n

}.(6)

由方程(2)得到

H 0≤

f

(k )

f

+H k -1

f

(k -1)

f

+…+H 1

f ′

f

.(7)

由式(3)～(7),有

exp {(1-ε)δ(P 0,θ

)r n

}≤H 0≤kB T 2k (2r ,f )exp {(1+ε)c δ(P 0,θ)r n }.(8)

由式(8)及0<ε<

1-c

1+c

,可得σ(f )=∞.引理5

[7]

　假设g (z )( 0)为亚纯函数且σ(g )=β<∞,那么对任意给定的ε>0,存在

线测度为零的子集E <[0,2

π)满足:如果ψ[0,2

π)\E,那么存在常数R =R (ψ)>1满足对所有满足arg z =ψ和z =r ≥R 的z,有exp {-r

β+ε

}≤g (z )≤ex p {r

β+ε

}.

9

第2期张然然等:一类高阶微分方程的亚纯解和小函数的关系

3　定理的证明

定理1的证明　(1)假设f ( 0)是方程(2)的解,则由引理4知σ(f )=∞.令g 0(z )=f -φ,那么有σ(g 0)=σ(f )=∞

和-(g 0)=-

(f -φ).将f =g 0+φ代入方程(2),得到g (k )

+H k -1g (k -1)

+…+H 1g ′0+H 0g 0=-φ

(k )

+H k -1φ

(k -1)

+…+H 1φ′

+H 0φ.(9)

由于方程(2)的所有非零亚纯解有无穷级及φ(z )是有限级亚纯函数,可知φ(k

)

+H k -1φ

(

k -1)

+…+H 1φ′+H 0φ 0.对方程(9)的无穷级亚纯解g 0,由引理3有-(g 0)=-

(f -φ)=∞.

(2)令g 1(z )=f ′-φ,那么有σ(g 1)=σ(f ′)=σ(f )=∞和

-

(g 1)=-

(f ′-φ).对方程(2)

的两边微分,得到

f

(k +1)

+H k -1f

(k )

+(H ′k -1+H k -2)f

(k -1)

+…+(H ′1+H 0)f ′+H ′0f =0.

(10)

由方程(2)得到

f =-1

H 0

f

(k )

+H k -1f

(k -1)

+…+H 1f ′.(11)

将式(11)代入式(10)得到　f

(k +1)

+H k -1-

H ′0H 0

f

(k )

+H ′k -1+H k -2-H ′

0H 0

H k -1f

(k -1)

+…+H ′1+H 0-

H ′

0H 0

H 1f ′=0.(12)

将f ′=g 1+φ,f ″=g ′1+φ′,…,f (k +1)

=g (k )

1

+φ(k

)

代入式(12),得到

　g (k )

1

+H k -1-H ′0H 0

g (k -1)

1

+H ′k -1+H k -2-

H ′

0H 0

H k -1g (k -2)

1

+…+H ′1+H 0-

H ′

0H 0

H 1g 1=h,(13)

其中-h =φ(k )

+H k -1-

H ′0H 0

φ(k -1)+H ′k -1+H k -2-

H ′0H 0H k -1φ(k -2)

+…+H ′1+H 0-H ′0H 0

H 1φ

.由

H ′0H 0

=

h ′0h 0

+P ′0,若h ≡0,那么

φ(k )

φ+H k -1-h ′0h 0-P ′0φ(

k -1)

φ+H ′k -1+H k -2-h ′0h 0

H k -1-P ′0H k -1φ(

k -2

)

φ+…+H ′1+H 0-

h ′

0h 0

H 1-P ′0H 1=0.(14)

整理式(14),得到

φ(k )

φ

+B k -1e P k -1(z )+B k -2e P k -2(z )+…+B 1e P 1(z )

+B 0+H 0=0,(15)

其中B i (z )(i =0,1,…,k -1)是关于φ(j

)

φ(j =0,1,…,k -1)的有限线性组合,其系数是级小于n 的亚纯函数,令所有这些系数的级的最大者为β,则有β

由σ(φ)<∞和引理2知,存在子集E <[0,2

π)有线测度零,如果θ[0,2π)\E,那么存在常数R =R (θ)>1,对所有满足arg z =θ和z >R 的z,有

1华南师范大学学报(自然科学版)2008年

φ(j )(z )φ(z )

≤z

k

σ(φ)　(j =1,…,k ).(16)

由式(16),B i (i =0,1,…,k -1)的定义及引理5知,存在子集E 1<[0,2π)有线测度零,对于满足arg z =θ[0,2

π)\(E ∪E 1)且z =r 充分大的z,有B i (z )≤M z

k

σ(φ)exp r β+ε

2

≤exp r

β+ε

　(i =0,1,…,k -1),(17)

其中M 为一正常数.

令F ={j :a j n =c j a 0

n },若F 不是空集,令c =m ax j F

{c j },有0

引理1,存在射线arg z =θ[0,2

π)\(E ∪E 1∪E 2∪E 3),其中E 2<[0,2π)有线测度零,E 3=∪k -1i =0

{θ[0,2π);δ(P i ,θ)=0}是有限集,使得cos (φ0+n

θ)>0,且对满足ψ<φj -φ0<π+ψ或者ψ<φj -φ0+2

π<π+ψ的j ,有cos (φ

j +n θ)<0;对满足a j

n =c j a 0

n 的j ,有cos (φj +n θ)>0.以及对任意给定的ε0<ε

1-c

1+2c

,当z =r 充分大时,式(17)成立,且有

H 0(z )≥exp {(1-ε)δ(P 0,θ)r n

},(18)

对满足ψ<φj -φ0<

π+ψ或者ψ<φj -φ0+2π<π+ψ的j ,有e

P j (z )

≤exp {(1-ε)δ(P j ,θ

)r n

}<1,(19)

对满足a j n =c j a 0

n 的j ,有

e

P j (z )

≤exp {(1+ε)c j δ(P 0,θ

)r n

}.(20)当0

(19)和(20)有B j e

P j (z )

≤exp {(1+2

ε)c δ(P 0,θ)r n

}　(j =1,…,k -1),(21)B 0≤exp {(1+2

ε)c δ(P 0,θ)r n

}.(22)由式(15)、

(16)、(18)、(21)和(22),当z =r 充分大时,有exp {(1-ε)δ(P 0,θ

)r n

}≤H 0(z )≤(k +1)exp {(1+2ε)c δ(P 0,θ)r n }.(23)

由0<ε<

1-c

1+2c

和式(23)得到1≤0,这个矛盾表明当0

B j e

P j (z )

≤exp {r

β+ε

}　(j =1,…,k -1).

(24)

由式(15)～(18)和式(24),当z =r 充分大时,有

ex p {(1-ε)δ(P 0,θ

)r n

}≤H 0(z )≤(k +1)exp {r β+ε

}.

(25)

由0<ε

对方程(13),由于h 0和σ(g 1)=∞,并由引理3,有-(g 1)=-

(f ′-φ)=σ(g 1)=∞.定理2的证明　假设f ( 0)是方程(2)的解.在定理1中,分别取ψ=0和ψ=π,就得到定理2中的条件(i )和(ii ),因此由定理1有-(f -φ)=-(f ′

-φ)=∞.又由引理4知σ(f )=∞.令g 2(z )=f ″-φ(z ),那么有σ(g 2)=σ(f ″)=σ(f )=∞和-(g 2)=-(f ″-φ).

微分式(10)的两边,并由式(11)和式(12)得

1

1第2期张然然等:一类高阶微分方程的亚纯解和小函数的关系

f(k+2)+H k-1-2H′0-

H″0

H0

H1+H″1

H′1+H0-

H′0

H0

H1

f(k+1)+2H′k-1-

H″0

H0

+H

k-2

-

2H′0-H″0

H0

H1+H″1

H′1+H0-H′0

H0

H1

H k-1-

H′0

H0

f(k)+H″k-1+2H′k-2+H k-3-

H″0

H0

H k-1-

2H′0-

H″0

H0

H1+H″1

H′1+H0-

H′0

H0

H1

H′k-

1

+H

k-2

-

H′0

H0

H k-1f(k-1)+…+

H″2+2H′1+H0-

H″0

H0

H2-

2H′0-

H″0

H0

H1+H″1

H′1+H0-

H′0

H0

H1

H′2+H1-

H′0

H0

H2f″=0.(26)令

H″

H0

=Q,H′

1

+H0-

H′

H0

H1=Q1e P1+h0e P0,

H′

H0

=Q3,2H′

-

H″

H0

H1+H″

1

=Q2e P1+(2h′

+2P′

h0)e P0,其中Q=

h″

h0

+

2P′

h′

h0

+P″

+(P′

)2,Q

1

=h′

1

+P′

1

h1-

h1h′

h0

-P′

h1,Q2=h″

1

+2P′

1

h′

1

+P″

1

h1+(P′

1

)2h

1

-h″0

h0

+

2P′0h′0

h0

+P″0+(P′0)2h1,Q3=

h′0

h0

+P′0.显然Q、Q1、Q2和Q3都是级小于n的亚纯函数.

将f″=

g

2

+φ,f =g′2+φ′,…,f(k+2)=g(k)2+φ

(

k)代入式(26)得

g(k)2+h k-1e P k-1-

Q2e P1+2h′

+2P′

h0e P0

Q1e P1+h0e P0

g(k-1)

2

+2h′k-1

+

2P′k-1h k-1e P k-1+　

h k-2e P k-2-Q-

Q2e P1+2h′0+2P′

h0e P0

Q1e P1+h0e P0

h k-1e P k-1-Q3g(k-2)

2

+…+

2h′1+2P′

1

h1e P1+h0e P0+h2e P2″-Q h2e P2-

Q2e P1+2h′0+2P′0h0e P0

Q1e P1+h0e P0

×h′2+P′2h2e P2+h1e P1-Q3h2e P

2

g2=l,(27) -l=φ(k)+h k-1e P k-1-

Q2e P1+2h′0+2P′0h0e P0

Q1e P1+h0e P0

φ(k-1)+2h′

k-1

+2P′k-1h k-1e P k-1+

h k-2e P k-2-Q-

Q2e P1+2h′0+2P′0h0e P0

Q1e P1+h0e P0

h k-1e P k-1-Q3φ(k-2)+…+

2h′1+2P′1h1e P1+h0e P0+h2e P2″-Q h2e P2-

Q2e P1+2h′0+2P′0h0e P0

Q1e P1+h0e P0

×21华南师范大学学报(自然科学版)2008年

h′2+P′2h2e P2+h1e P1-Q3h

2

e P2φ.(28)若-l≡0,即式(28)右边恒等于零.将式(28)右边乘以

Q1e P1+h0e P0

φ

并注意到-l≡0,有

F0e P0+F1e P1+6k-1j=1D j e P0+P j+6k-1j=1E j e P1+P j+h20e2P0=0,(29)

其中F

,F1,D j,E j(j=1,…,k-1)都是关于

φ(i)

φ

(i=0,1,…,k)的有限线性组合,其系数是级小于n的亚纯函数.

假设条件(i)成立,令P

+P

j

=b j

n

z n+…+b j1z+b j0(j=1,…,k-1),P1+P j=c j n z n+…+ c j1z+c j0(j=1,…,k-1),其中b j n=b j n e iψj≠0,c j n=c j n e iηj≠0.则有b j n=d j a0n(1

者0<ψ

j

-φ0<π或者0<ψj-φ0+2π<π(j=1,…,k-1);c j n=l j a0n(0

φ

<π或者0<ηj-φ0+2π<π(j=1,…,k-1).用类似定理1中(2)的方法可以证明式(29)不成立.若条件(ii)成立,亦可用同样的方法证明式(29)不成立.因此总有l 0.对方程(27),由l 0和σ(g2)=∞并由引理3,有-(g2)=-(f″-φ)=σ(g2)=∞.

参考文献:

[1]　杨　乐.值分布论及其新研究[M].北京:科学出版社,1982.

[2]　AME M I Y A I,OZ AWA M.Non-existence of finite order s oluti ons of w″+e-z w′+Q(z)w=0[J].Hokkaido

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【责任编辑　庄晓琼】

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第2期张然然等:一类高阶微分方程的亚纯解和小函数的关系

基于Simulink进行系统仿真(微分方程、传递函数)

实验四 基于Simulink 进行系统仿真（微 分方程、传递函数） 一．实验目的 1) 熟悉Simulink 的工作环境； 2) 掌握Simulink 数学工具箱的使用； 3) 掌握在Simulink 的工作环境中建立系统仿真模型。 二．实验内容 系统微分方程：)(10)(10) (10) (83322t u t y dt t dy dt t y d =++ 系统传递函数：8328 101010)()()(++==s s s U s Y s G 1)(=t u ，)314sin()(t t u =，)90314sin()(o t t u += 模型 微分方程时的过程 Ut=1时

t u 时)(t 314 ) sin(

t t u+ =时 )(o ) sin( 90 314 传递函数时的过程

u时 t )(= 1 t u=时 )(t sin( 314 )

t t )(o =时 u+ ) sin( 90 314 结论及感想 从两种种不同方法的仿真结果，我们可以看出分别用微分方程和传递函数在Simulink中，仿真出来的结果没有很明显的区别，说明两种方法的精度都差不多。但是，不同的电压源得出的仿真结果不一样，阶跃电源开始时震荡，后来幅度逐渐变小，趋近于1；正弦电源，初相不同时，初始时刻的结果也不相同，有初相时开始震荡会更剧烈，但最后都会变为稳态值，即为正弦值。通过本次实验，我认识到了建模与仿真的一般性方法，收获甚多，也更进一步了解了

Matlab,Matlab不仅仅在平时的编程方面功能强大，在仿真方面也熠熠生辉。

微分方程的多解与变号解

微分方程的多解与变号解 【摘要】：偏微分方程解的存在性与多重性是非线性分析的一个重要研究内容,有着广泛的背景,它来源于物理、生物工程、化学和医学等领域.近年来,许多学者对偏微分方程进行了研究,例如利用变分方法和临界点理论研究了各种Schrodinger方程解的存在性与多解性.这些研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文利用变分方法、Morse 理论、临界点理论、拓扑度理论研究了几类偏微分方程的解与变号解.本文分为五章.第一章,我们介绍一些研究背景,国内外研究现状及本文的一些主要结果.第二章中,我们对经典椭圆方程Dirichlet边值问题进行了研究,其中Q(?)RN是具有光滑边界的有界区域,f∈C1(Ω×R1,R1)满足次临界增长条件|ft’(x,t)|≤C(1+|t|p-2),(x,t)∈Ω×R1,其中C0是一正常数,p∈(2,2’),如果N≥3,则2*=2N/(N-2)；如果N-1,2,则2*-∞.我们把拓扑度、临界群、不动点指数结合起来,得到它们之间的一些转化关系,给出一些假设条件,使得非线性项f在0点和∞共振和跨特征值.我们解决了仅仅使用不动点指数和拓扑度理论不能研究共振情形的问题,如文献[1](J.Math.Anal.Appl.314(2006)464-476).我们考虑在0点和∞都共振的情形,这是一般文章都没有考虑的情形.而且我们的共振条件去掉了[2](Math.Z.233(2000)655-677)中的有界性条件.我们还研究了单边共振的情形,这种共振条件又比我们常见的要弱,它去掉了极限存在的要求和增长性条件.我们得到的结论是：f在0点共振或跨特征值,在∞点共振或单边共振或跨特征值,那么上述边值问题

微分方程公式运用表

微分方程公式运用表 一、 一阶微分方程 判断特征： (,)dy f x y dx = 类型一：()()dy g x h y dx =（可分离变量的方程） 解法（分离变量法）： ()()dy g x dx h y =，然后两边同时积分。 类型二：()()dy P x y Q x dx +=（一阶线性方程） 解法（常数变易法）：()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -??=+? 类型三： (,)(,)dy f x y f tx ty dx ==（一阶齐次性方程） 解法（换元法）：y u x =?令类型一 类型四：P()y=Q(x)y n dy x dx +（伯努利方程） 解法（同除法）：1()()n n dy y P x y Q x dx --+=?类型二 二、 可降阶的高阶微分方程 类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx -=? =?令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =?=?令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy =?==??令类型二 三、线性微分方程 类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x

则：1122()()()y x c y x c y x =+ 类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程） 解法（特征方程法）：2 1,20p q λλλ++=?= （一）122121240x x p q y c e c e λλλλ?=->?≠?=+ （二）12120()x y c c x e λλλλ?=?==?=+ （三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ?

二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的

高阶微分方程的解法及应用

哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：高阶微分方程的解法及应用 院（系）理学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名刘晓辉学号09031212 指导教师徐亚兰职称副教授 2013年6月1日

哈尔滨学院本科毕业论文（设计） 目 录 摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15) 3.1 形如()n n d y f x dx =的高阶方程 (15) 3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y += 的高阶方程 ................................................................. 16 3.3 形如()(,,,)0n F y y y '= 的高阶方程 ............................................................................. 17 3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26)

第二节 几类简单微分方程及其解法

第二节 几类简单微分方程及其解法 本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法. 一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为： 0)',,(=y y x F 或),('y x F y =， 其中)',,(y y x F 为,,'x y y 的已知函数，),(y x F 为,x y 的已知函数. 一、可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程),('y x F y =的等式右端能分解为： )()(),(y g x f y x F =， 即)()('y g x f y = (7.2.1) 则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程. 设)(y g ≠0，则方程(6.2.1)改写为： dx x f dy y g )() (1=， 上式两边积分，可得 ??=dx x f dy y g )()(1. 上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法. 注：在分离变量时，未知函数y 的函数和微分要写在等式的左边. 例1 求微分方程)3(2'+=y x y 的通解. 解1： 原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,3ln 12c x y +=+即.312-±=+c x e y 记1c e c ±=，则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 解2：

原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,ln )3ln(2c x y +=+即,3ln 2x c y =+23x ce y =+ 则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为 ?u du 的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成 ln du u c u =+?，而是写成ln du u u =?； （2） 不定积分等式中至少有一个形为?u du 的积分时，任意常数不写成c ，而写成c ln 并放在等式右侧. 例2 求微分方程y xy ='的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 ,dy dx y x =?? c x y ln ln ln += cx ln = 则微分方程的通解为cx y = （c 为任意常数）. 例3 求微分方程dx e x dy x e y y )1(2)1(2+=+的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 dx x x dy e e y y ??+=+2121， c x e y ln )1ln()1ln(2++=+ )1(ln 2x c +=， ).1(12x c e y +=+ 则微分方程的通解为 ]1)1(ln[2-+=x c y （c 为任意常数）. 例4 求微分方程)'('2 y y a xy y +=-的通解.

MATLAB求解常微分方程数值解

利用MATLAB求解常微分方程数值解

目录 1. 内容简介 (1) 2. Euler Method(欧拉法)求解 (1) 2.1. 显式Euler法和隐式Euler法 (2) 2.2. 梯形公式和改进Euler法 (3) 2.3. Euler法实用性 (4) 3. Runge-Kutta Method(龙格库塔法)求解 (5) 3.1. Runge-Kutta基本原理 (5) 3.2. MATLAB中使用Runge-Kutta法的函数 (7) 4. 使用MATLAB求解常微分方程 (7) 4.1. 使用ode45函数求解非刚性常微分方程 (8) 4.2. 刚性常微分方程 (9) 5. 总结 (9) 参考文献 (11) 附录 (12) 1. 显式Euler法数值求解 (12) 2. 改进Euler法数值求解 (12) 3. 四阶四级Runge-Kutta法数值求解 (13) 4.使用ode45求解 (14)

1.内容简介 把《高等工程数学》看了一遍，增加对数学内容的了解，对其中数值解法比较感兴趣，这大概是因为在其它各方面的学习和研究中经常会遇到数值解法的问题。理解模型然后列出微分方程，却对着方程无从下手，无法得出精确结果实在是让人难受的一件事情。 实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题，但考虑到先从常微分方程下手更为简单有效率，所以本文只研究常微分方程的数值解法。把一个工程实际问题弄出精确结果远比弄清楚各种细枝末节更有意思，因此文章中不追求非常严格地证明，而是偏向如何利用工具实际求解出常微分方程的数值解，力求将课程上所学的知识真正地运用到实际方程的求解中去，在以后遇到微分方程的时候能够熟练运用MATLAB得到能够在工程上运用的结果。 文中求解过程中用到MATLAB进行数值求解，主要目的是弄清楚各个函数本质上是如何对常微分方程进行求解的，对各种方法进行MATLAB编程求解，并将求得的数值解与精确解对比，其中源程序在附录中。最后考察MATLAB中各个函数的适用范围，当遇到实际工程问题时能够正确地得到问题的数值解。 2.Euler Method(欧拉法)求解 Euler法求解常微分方程主要包括3种形式，即显式Euler法、隐式Euler法、梯形公式法，本节内容分别介绍这3种方法的具体内容，并在最后对3种方法精度进行对比，讨论Euler法的实用性。 本节考虑实际初值问题 使用解析法，对方程两边同乘以得到下式

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

常微分方程数值解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截

微分方程中的几个基础概念

微分方程中的几个基础概念 微分方程—基础 微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。 微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。 在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。 除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。 最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次

?微分阶数 虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。 常微分与偏微分 首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？ 如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。 常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。 另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。 下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：

常微分方程教材

第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？

微分方程解的概念和定解条件

微分方程解的概念和定解条件

(), y x I n ?=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，() ()(,,,,)0n x F x y y y I ?'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ???， () (,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，

这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解. 6. y x ''=二阶微分方程例13 1y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？ 312y x C C =++那是不（2）是通解呢？ 312y x C C =++3123y x C x C =++（）312. x C C C C =+=+，其中是方程的通解.

微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解. 2. yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得 2 y x C =+同时不定积分得 ，是原方程的通解. 2y x '=， 0y =但显然 也是原方程的解.

确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件. 不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3(). s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知 2 02(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且

2121()2 s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入： 2(0)00 s C =?=1010()(0). s t at C s v C v ''=+=?= ，201().2 s t at v t =+故特解为

常微分方程计算

实验八 常微分初值问题的数值解法 8.1实验目的 ① 掌握常微分方程数值解的常用算法； ② 培养编程与上机调试能力. 8.2算法描述 8.2.1改进欧拉法 求解 '0 ()(,)()()y x f x y a x b y a y ?=≤≤?=? 对给定的(,)f x y ，用改进的欧拉公式 1111()[()()]2 n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y ++++=++???=++++??求解常微分方程初值问题的解. 8.2.2四阶龙格-库塔法 对上述给定的(,)f x y ，用四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题 112341213243(22)6(,) 11(,)2211(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y k k k k k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk +?=++++??=???=++???=++??=++?? 8.3实验题目 （1） 用改进的欧拉公式，求解常微分方程初值问题的解 20.10.4(0)1 dy y x dx y ?=?≤≤??=? （2） 用四阶龙格-库塔公式解初值问题： / 2.0 2.6,0.2(2.0)1dy x y x h dx y ?=?≤≤=??=?

8.4实验要求 （1）选择一种计算机语言设计出改进欧拉法和四阶龙格-库塔法方法求解常微分方程初值问题的程序，观察运行结果. （2）利用Matlab求解常微分方程初值问题 函数dsolve()用于求解微分方程.Dy表示：dy/dt（t 为缺省的自变量），Dny表示y对t 的n阶导数. Matlab6.1环境下操作如下： >> y=dsolve('Dy=y*y','y(0)=1') %求解题目1 >> y=dsolve('Dy=y/t','y(2.0)=1') %求解题目2 （3）利用最小二乘法拟合通过改进欧拉法求出微分方程的一系列数值解的近似函数方程.并利用Matlab的绘图功能画出函数的曲线 8.5思考 一阶微分方程初值问题有哪些数值解法？比较各种方法的优缺点并举具体例子说明之？

二次微分方程的通解

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又 x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分

二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?+ +-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210 a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-?， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36 347 01[1][] 232356 2356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++ ++++++ ?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个

任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。 例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?+ +-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0, ,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 5678911 11,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 5 213 2! !k x x y x x k +=+++ ++ 2 4 22 (1),2! ! k x x x x x xe k =+++ ++= 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方

试求图示电路的微分方程和传递函数

2-1 习 题 2-1 试求图示电路的微分方程和传递函数。 2-2 ur 为输入量，电动机的转速ω为输 出量，试绘制系统的方框图，并求系统的传递函数 ) () ( ,)( )(s M s s U s L r ΩΩ。（ML 为负载转矩，J 为电动机的转动惯量，f 为粘性摩擦系数，Ra 和La 分别为电枢回路的总电阻和总电感，Kf 为测速发动机的反馈系数）。 2-3 图示电路，二极管是一个非线性元件，其电流d i 和电压d u 之间的关系为)1(10026 .0/6-=-d u d e i ，假设系统 工作在u 0=2.39V ，i 0=2.19×10-3A 平衡点，试求在工作点 （u 0,i 0）附近d i ＝f (d u )的线性化方程。 2-4 试求图示网络的传递函数，并讨论负载效应问题。

2-2 2-5 求图示运算放大器构成的网络的传递函数。 2-6 已知系统方框图如图所示，试根据方框图简化规则，求闭环传递函数。 2-7 分别求图示系统的传递函数 )()(11s R s C 、)()(12s R s C 、)()(21s R s C 、) () (22s R s C 2-8 绘出图示系统的信号流图，并求传递函数)(/)()(s R s C s G

2-3 2-9 试绘出图示系统的信号流图，求系统输出C (s )。 2-10 求图示系统的传递函数C (s )/R (s )。 2-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数 ] 4)4)[(1(2 34)(22 23++++++=s s s s s s s G 1. 试用MA TLAB 求取系统的闭环模型； 2. 试用MA TLAB 求取系统的开环模和闭环零极点。 2-12 如图所示系统 1. 试用MA TLAB 化简结构图，并计算系统的闭环传递函数；