函数单调性

函数单调性

一、选择题

1．已知函数f (x )＝?

????

x 2

＋4x ，x ≥0，

4x －x 2

，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( ) A ．最小值f (a ) B ．最大值f (b ) C ．最小值f (b ) D ．最大值f ??

??

a ＋

b 2

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －

2 B ．y ＝x －

1

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x 13

4．设函数f (x )＝???

2

3x －1 x ≥0

1

x x <0

，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．(－∞，－1)

C ．(1，＋∞)

D ．(0,1)

5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)

3)的x 的取值范围是( )

A ．(13，23)

B ．[13，23)

C ．(12，23)

D ．[12，23

)

6.定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0，则( )

A ．f (3)

B ．f (1)

C ．f (－2)

D ．f (3)

?

1，x >00，x ＝0，

－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(0，＋∞)

8．函数f (x )＝x －3

x ＋a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，3)

D ．(3，＋∞)

9．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a

A ．－1

B ．1

C ．6

D ．12

10．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，则f (1)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0

D ．可正可负

11．已知偶函数y ＝f (x )对任意实数x 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递减，则( )

A ．f ????72

B ．f ????75

C ．f ????73

D ．f ????75

12.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

13．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1、x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有( )

A ．f (－n )

B ．f (n －1)

C ．f (n ＋1)

D ．f (n ＋1)

14．若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝( )

A ．2

B ．－2

C ．10

D ．－10

15．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )

16．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是减少的，则a 的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．[0，1

4]

C ．[2，＋∞)

D ．(0,4]

17．(2012·海口高一检测)下列四个函数之中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1

x ＋1

D ．f (x )＝－|x |

18．定义在R 上的函数y ＝f (x )关于y 轴对称，且在[0，＋∞)上是增加的，则下列关系成立的是( ) A ．f (3)

19．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a )

B ．f (a 2)

C ．f (a 2＋a )

D ．f (a 2＋1)

A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1

B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1

C ．若f (x )在区间I 1上为增加的，在区间I 2上也为增加的，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增加的

D ．若f (x )在区间I 上为增加的且f (x 1)

1．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.

2．函数f (x )＝ax －1

x ＋3

在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________．

3.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．

4.函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝

a

x ＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 5．已知函数f (x )＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________．

6．设函数f (x )满足：对任意的x 1、x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．

7．若f (x )＝x 2－2(1＋a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________． 8．f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )

1．已知f (x )＝x x －a

(x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．

2.已知函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<

3.

3．已知f (x )的定义域为R ，且有f (－x )＝f (x )，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．

函数单调性

一、选择题

1．已知函数f (x )＝?

????

x 2＋4x ，x ≥0，

4x －x 2

，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] C

[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2

2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( ) A ．最小值f (a ) B ．最大值f (b ) C ．最小值f (b ) D ．最大值f ????a ＋b 2

[答案] C

[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0， 令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )．

对任意x 1，x 2∈R 且x 10，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )．

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －

2 B ．y ＝x －

1

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x 1

3

[答案] A

[解析] y ＝x －1是奇函数，y ＝x 2

在(0，＋∞)上单调递增，y ＝x 13 是奇函数．

4．设函数f (x )＝???

2

3x －1 x ≥0

1

x x <0

，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．(－∞，－1)

C ．(1，＋∞)

D ．(0,1)

[答案] B

[解析] f (a )>a 化为????? a ≥023a －1>a 或????

?

a <01a >a ，

∴a <－1.

5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)

3)的x 的取值范围是( )

A ．(13，23)

B ．[13，23)

C ．(12，23)

D ．[12，23)

[答案] A

[解析] 当2x －1≥0，即x ≥1

2时，

由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加， 则由f (2x －1)

3，

即x <23，故12≤x <2

3；

当2x －1<0，即x <1

2时，

由于函数f (x )是偶函数，

故f (2x －1)＝f (1－2x )，此时1－2x >0，

由f (2x －1)

3，

即x >13，故13

2

.

综上可知x 的取值范围是(13，23

)．

[点评] (1)由于f (x )为偶函数，∴f (2x －1)

3)．

(2)可借助图形分析 作出示意图可知：

f (2x －1)

3， 即13

3

.故选A. 6.定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )

A ．f (3)

B ．f (1)

C ．f (－2)

D ．f (3)

[解析] 由题意f (x )在[0，＋∞)上为减函数， ∴f (3)

又f (x )为偶函数，∴f (－2)＝f (2)，故选A.

7．设函数f (x )＝????

?

1，x >0

0，x ＝0，

－1，x <0

，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(0，＋∞) [答案] A

[解析] 依题意得，g (x )＝x 2f (x －1)＝????

?

x 2

，x >10，x ＝1－x 2，x <1，

所以g (x )的递减区间为(0,1)．

8．函数f (x )＝x －3

x ＋a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，3)

D ．(3，＋∞) [答案] D

[解析] f (x )在(－a ＋2，＋∞)上是增函数，由条件知－a ＋2<－1，且－a －1<0，∴a >3.

9．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a

A ．－1

B ．1

C ．6

D ．12 [答案] C

[解析] 由⊕的定义知1⊕x ＝?????

1， －2≤x ≤1

x 2 1

∴f (x )＝?

????

x －2 －2≤x ≤1

x 3－2 1

显然f (x )在[－2,2]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6.

10．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，则f (1)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负

[答案] A

[解析] ∵f (x )在R 上有意义，且f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.∵f (x )为增函数，∴f (1)>f (0)＝0. 11．已知偶函数y ＝f (x )对任意实数x 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递减，则( ) A ．f ????72

75

B ．f ????75

C ．f ????73

D ．f ????75

[解析] 由条件知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数，∵f (x )为偶函数， ∴f ????72＝f ????72－4＝f ????－12＝f ????12， f ????73＝f ????73－2＝f ????13， f ????75＝f ????75－2＝f ???－35＝f ???35，

∵f (x )在[0,1]上单调递减，∴f ????13>f ????12>f ????35， ∴f ????73>f ????72>f ????75.

12.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3

C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

[答案] D

[解析] 本题考查了函数的奇偶性、单调性等性质的应用．

A 中y ＝x ＋1是非奇非偶函数；

B 中y ＝－x 3是减函数；

C 中y ＝1

x

在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别

递减，但在整个定义域上不是单调函数；D 中函数y ＝x |x |可化为y ＝?

????

x 2 (x ≥0)，

－x 2 x <0.可画出其图象如图

所示：

显然该函数为奇函数且为增函数．

13．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1、x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有( )

A ．f (－n )

B ．f (n －1)

C ．f (n ＋1)

D ．f (n ＋1)

[解析] 由(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0得f (x )在(－∞，0]上为增函数．

又f (x )为偶函数，所以f (x )在[0，＋∞)上为减函数． 又f (－n )＝f (n )且0≤n －1

∴f (n ＋1)

14．若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝( )

A ．2

B ．－2

C ．10

D ．－10 [答案] C

[解析] 函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图像为开口向上对称轴是x ＝－m

10的抛物线，要使函数y ＝5x 2＋mx

＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m

10

＝－1，∴m ＝10.

15．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( )

A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )

B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )

C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )

D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) [答案] A

[解析] ∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．

16．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是减少的，则a 的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．[0，1

4]

C ．[2，＋∞)

D ．(0,4] [答案] B

[解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上是减少的； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上是减少的． 则?????

a >0－－12a ≥2

∴0

4

.

综上可得a 的取值范围为a ∈[0，14

]．

17．(2012·海口高一检测)下列四个函数之中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1 D ．f (x )＝－|x |

[答案] C

[解析] 分别画出四个函数的图像易知y ＝x 2

－3x 在(3

2

，＋∞)为增加的，y ＝3－x 在(0，＋∞)为减

少的，y ＝－|x |在(0，＋∞)上是减少的，y ＝－1

x ＋1

在(－1，＋∞)上为增加的，故选C.

18．定义在R 上的函数y ＝f (x )关于y 轴对称，且在[0，＋∞)上是增加的，则下列关系成立的是( ) A ．f (3)

D ．f (3)

[解析] ∵f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)，且f (x )在[0，＋∞)上是增加的， ∴f (3)

19．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a )

B ．f (a 2)

C ．f (a 2＋a )

D ．f (a 2＋1)

[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋3

4>0，

∴a 2＋1>a ，

又∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2＋1)

20．下列命题正确的是( )

A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1

B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1

C ．若f (x )在区间I 1上为增加的，在区间I 2上也为增加的，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增加的

D ．若f (x )在区间I 上为增加的且f (x 1)

[解析] 由单调性定义知，选项A 、B 错；对于C ，可举反例，如y ＝－1

x ，在区间(－∞，0)上是

增加的，在区间(0，＋∞)上也是增加的，若x 1＝－1，x 2＝1时，x 1f (1)＝－1，∴函数y ＝－1

x

在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增加的，所以C 错，故选D.

二、填空题

1．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.

[答案] 3

[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．

因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.

2．函数f (x )＝ax －1

x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________．

[答案] ?

???－∞，－1

3 [解析] ∵f (x )＝a －3a ＋1x ＋3

在(－∞，－3)上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a <－1

3.

3.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． [答案] [－1

4

，0]

[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； (2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1

a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，

且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－1

4

≤a ≤0.

4.函数f (x )＝－x 2

＋2ax 与g (x )＝a x ＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．

[答案] (0,1]

[解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1， 又g (x )＝

a

x ＋1

在[1,2]上减函数，所以a >0， 综上a 的取值范围为(0,1]．

5．已知函数f (x )＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________． [答案] －2

[解析] 当－a

2≤0，即a ≥0时，函数f (x )在[0,3]上为增函数，

此时，f (x )min ＝f (0)＝－1，不符合题意，舍去； 当－a

2≥3，即a ≤－6时，函数f (x )在[0,3]上为减函数，

此时，f (x )min ＝f (3)＝－2，可得a ＝－10

3

，这与a ≤－6矛盾；

当0<－a 2<3，即－6

2

)＝－2，可解得a ＝－2，符合题意．

6．设函数f (x )满足：对任意的x 1、x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．

[答案] f (－3)>f (－π)

[解析] 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数，又－3>－π，∴f (－3)>f (－π)． 7．若f (x )＝x 2－2(1＋a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥3

[解析] ∵函数f (x )＝x 2－2(1＋a )x ＋2的对称轴为x ＝1＋a ，∴要使函数在(－∞，4]上是减函数，应满足1＋a ≥4，∴a ≥3.

8．f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )

[答案] ????

??x 83

[解析] 依题意，由不等式组????

?

x ≥0－2x ＋8≥0，

x >－2x ＋8

解得8

3

三．解答题

1．已知f (x )＝x

x －a

(x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． [解析] (1)证明：设x 1

x 2＋2

＝

2(x 1－x 2)

(x 1＋2)(x 2＋2)

.

∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)

∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解：设1

x 2－a

＝

a (x 2－x 1)

(x 1－a )(x 2－a )

.

∵a >0，x 2－x 1>0，

∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0

[点评] 第(2)问中，由f (x )单调递减知x 10恒成立，从而(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，由于a >0，x 1>1，x 2>1，故只有当0

2.已知函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<

3. [解析] (1)证明：任取x 1、x 2∈R 且x 10. ∴f (x 2－x 1)>1. ∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)] ＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数． (2)解：f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.

∴f (3m 2－m －2)<3化为f (3m 2－m －2)

3

.

3．已知f (x )的定义域为R ，且有f (－x )＝f (x )，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．

[解析] f (x )在(－∞，0)上为增加的． 证明：设x 1∈(－∞，0)，x 2∈(－∞，0)， 且x 1－x 2.

又f (x )在(0，＋∞)上为减少的， ∴f (－x 1)

又∵f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)，

∴f (x 1)

∴f (x )在(－∞，0)上为增加的．

必修一函数的单调性专题讲解(经典)

第一章 函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时，都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 重点 2．证明方法和步骤： （1） 取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2） 作差：)()(21x f x f -； （3） 变形：（如因式分解、配方等）； （4） 定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5） 根据定义下结论。 3．常见函数的单调性 时， 在R 上是增函数；k<0时， 在R 上是减函数 （2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数， （k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数， （3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0

函数的单调性知识点总结与题型归纳

函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？

第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第8讲：函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)． (2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间． 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减． 3. 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 4. 函数单调性的常用结论 (1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2） x1－x2>0?f(x)在D上是增函数； f()x1－f()x2 x1－x2<0?f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋a x(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)． (3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

知识点一-导数与函数的单调性

1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；

2函数的单调性及其应用高三复习专题

函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+

高考数学专题：函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`a 且0≤b 。 （年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>2 1 . 2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a <－4 C ．a ≥0或a ≤－4 D ．a >0或a <－4 答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1) 上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),02 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋

微专题30函数的单调性答案

微专题30 例题1 答案：(1){x|x ＞1，或x ＜－4}； (2)－2. 解析：∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，令x ＝0，得f (0)＝0，k －1＝0，k ＝1. (1)∵f (1)＞0，∴a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，∴f (x )在R 上为增函数(令解析：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(ax 2－ax 1)＋])1()1[(21x x a a -，因为a ＞1，则ax 2－ax 1＞0，21)1()1(x x a a -＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，则f (x )在R 上为单调增函数)．因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，又f (x )在R 上为单调增函数，所以x 2＋2x ＞4－x ，解得x ＜－4，或x ＞1，所以不等式的解集为{x |x ＞1，或x ＜－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12 (舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝2x －2－x (x ≥1)为增函数， 即t ≥21－2－1＝32 .所以g (x )＝h (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2≥－2(当t ＝2， x ＝log 2(1＋2)时取等号)．则g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2. 例题2 答案：22. 解析：因为函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，所以4是函数f (x )的周期．则f (15)＝ f (4×4－1)＝f (－1)＝|211|+-＝12，所以f (f (15))＝f )2 1(＝cos π4＝22. 变式联想 变式1 答案：(1)略； (2)???a ＝－1，b ＝－2，或?????a ＝1，b ＝2；(3)当? ????a ＝1，b ＝2时，D ＝R ； 当?????a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7 5log ,(2-∞. 解析：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝1－2x 1＋2x ＋1 ，f (－1)＝14，f (1)＝－15，所以f (－1)≠－f (1)，则f (x )不是奇函数．

微专题30函数的单调性

微专题30 函数的单调性、奇偶性、周期性 函数是高考数学的重点内容之一，对函数基本性质的考查是其主要方向；单调性、奇偶性和周期 性是函数的几个重要性质，也是研究函数的主要工具，单调性、奇偶性的考查在江苏高考题中常以填空题的形式出现，周期性作为函数的一个整体性质，给函数带来了周而复始的无穷魅力，也正因如此，周期性、单调性、奇偶性如同函数性质的三驾马车，成为了模考、高考的重点考查对象．重点考查学生的数形结合、分类讨论等方面的能力，考查学生的基本数学素养. 例题1设函数f(x)＝ka x －a － x (a ＞0，a ≠1)是定义域为 R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集； (2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a － 2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 例题2(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝??? ????≤<-+≤<02|,21|20,2 cos x x x x π则 f (f (15))的值为____________． 变式1设f(x)＝ －2x ＋a 2x ＋ 1＋b (a ，b 为实常数)． (1)当a ＝b ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)若f(x)是奇函数，求a 与b 的值； (3)当f(x)是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x ，c ，都有f(x)＜c 2－3c ＋3成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由． 变式2若函数f(x)(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝???x （1－x ），0≤x ≤1， sin πx ，1＜x ≤2， 则 f )429( ＋f )6 41 (的值为________________．

函数的单调性 知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数． 注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

判断函数可导性的步骤【微积分】

《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0

高三数学 函数的单调性专题复习 教案

江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标： ①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； ②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题． 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。 3.最大（小）值 （前面已复习过） 4.判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用定义严格判断。 （2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当 '()0f x <时，()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在 该区间上递减时，则'()f x ______0。 （3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1 ()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。

函数单调性方法和各种题型

(一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习：

(二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1

函数的单调性与求函数的最值

函数的单调性与最值 复习: 按照列表、描点、连线等步骤画出函数2 x y =的图像、 图像在y 轴的右侧部分就是上升的,当在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值也随着增大,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有1y <2y 、这时就说函数y =2 ()f x x =在[0,+ ∞)上就是增函数、 图像在y 轴的左侧部分就是下降的,当x 在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当 1x <2x 时,有12y y <。这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是减函数、 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上就是增函数或减函数,那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性; (3)函数的单调性就是对某个区间而言的,它就是一个局部概念。 (4)若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都就是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为 ()f x 在区间A B 上就是增(减)函数、 例如1 ()f x x = 在区间(,0)-∞上就是减函数,在区间(0,)+∞上也就是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上就是减函数、 (3)用定义法判断函数的单调性: ①定义域取值;任取x 1,x 2∈D,且x 1

必修一函数的单调性专题讲解(经典)

(2)第一章函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。 重点2 .证明方法和步骤： (1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ； (2) 作差: f(xj f(X2)； (3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口 定 号： 即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ； (5) 根据定义下结论。 3?常见函数的单调性 ⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k

5.函数的单调性的应用： 判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析 T 2 例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。 例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。 例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。 例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性. 3 例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性.

抽象函数的单调性专题

抽象函数的单调性专题突破 或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在 []3,3x ∈-上的值域。 例2、()f x 对任意实数x 与y 都有 ()()()2f x f y f x y -=--,当0x >时,()2f x > （1）求证:()f x 在R 上是增函数； （2）若5 (1)2 f = ,解不等式(23)3f a -< 【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=， 求不等式f a a ()2 223--<的解集。 2、定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ，y ∈R 都有 ()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时 (1)求证()f x 为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

或例1、()f x 是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1) (1)f 和1()9 f 的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。 例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性, 【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y x f -=且当01x <<时， ()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f ；

高中数学函数单调性和最值专题

函数专题：单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ ○ 3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间． 2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1f (x 2)． 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 注意： 1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )， () 1 f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．12x y ?? = ??? D ．y ＝x ＋1 x 解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定 是增函数． 2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 二、方法归纳

函数的单调性与最值含例题详解

函数的单调性与最值 、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D? I，如果对于任意x1，x2∈D ，且 x1f(x2)． 2．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间 上具有 (严 格 的 )单调性，区间D 叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 注意： 1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增 (减 )函数，则f(x)＋g(x)也为增 (减)函数，但 f(x) ·g(x)，1等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． fx [ 试一试 ] 1．下列函数中，在区间 (0 ，＋∞ ) 上为增函数的是( )

B ．y ＝－ x ＋ 1 x C ． y 2 1 x A ．y ＝ ln （ x ＋ 2） 1 D ．y ＝x ＋ x

解析：选 A 选项 A 的函数y＝ln(x＋2)的增区间为 (－2，＋∞ ) ，所以在(0，＋∞ ) 上定是增函数． 2．函数f(x)＝x2－2x(x∈ [ －2,4]) 的单调增区间为___________ ；f(x)max ＝_______________________________________________ . 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为 [1,4] ，f(x)max ＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案： [1,4] 8 二、方法归纳 1．判断函数单调性的四种方法 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方 法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图像法：先作出函 数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用 基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最 值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练 ] 1．下列函数中，既是偶函数又在区间 (0，＋∞ ) 上单调递减的是( ) 1 －x A．y＝B．y ＝e－x x