三角函数最大值问题

三角函数最值问题类型归纳

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1．y=asinx+bcosx型的函数

特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为

只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。

例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ）

A、最大值是1，最小值是-1

B、最大值是1，最小值是-

C、最大值是2，最小值是-2

D、最大值是2，最小值是-1

分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。

2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数

特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。

例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。

解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x

=2+sin(2x+)

当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。

3．y=asin2x+bcosx+c型的函数

特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。

例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。

解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，

令sinx=t，则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)

(1) 若-a<-1时，即a>1时, 在t=-1时，取最大值M=a。

(2) 若-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，在t=-a时，取最大值M=a2+1-a。

(3) 若-a>1，即a<-1时，在t=1时，取大值M=-3a。

4．y=型的函数

特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种。

例4．求函数y=的最大值和最小值。

解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ)=，

∵|sin(x+φ)|≤1，∴≤1，解出y的范围即可。

解法2：表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。

解法3：应用万能公式设t=tan()，则y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0，

根据Δ≥0解出y的最值即可。

5．y=sinxcos2x型的函数。

它的特点是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。

例5．若x∈(0,π)，求函数y=(1+cosx)·sin的最大值。

解：y=2cos2·sin>0,

y2=4cos4sin2

=2·cos2·cos2·2sin2

所以0

注：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。

6．含有sinx与cosx的和与积型的函数式。

其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化，变成二次函数的问题。

例6．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

解：令sinx+cosx=t (-≤t≤)，则1+2sinxcosx=t2，所以2sinxcosx=t2-1,

所以y=t2-1+t=(t+)2-，

根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+。

相信通过这一归纳整理，大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了。并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题。希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识。

(完整版)三角函数特殊角值表

角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入 教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值． 探究新知 （一）特殊值的三角函数 学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：

教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 2， 分子按角度增加分别为．对于正切，60?度的正切 ，即是下 一个角的正切值． 要求学生记住上述特殊角的三角函数值． 教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用 1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45?? -tan45°． 教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书． 解：（1）cos 260°+sin 260°=（12 ）2+2=1 （2）cos 45sin 45?? -tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意： （1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90， ，，求∠A 的度数． （2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．

教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数． 解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=3 6 BC AB = 2， ∴∠A=45°． （2）在课本图28．1-9（2）中， ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°． 教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则 sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB． 随堂练习 学生做课本第80页练习第1、2题． 课时总结 1、学生要牢记下表： 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2

九年级三角函数竞赛题(含答案)

锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=α αsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．

三角函数特殊角值表

三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。

《特殊角的三角函数值》教案

28．1锐角三角函数 第3课时特殊角的三角函数 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点 ) 一、情境导入 问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 二、合作探究 探究点一：特殊角的三角函数值 【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算 计算： (1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2) sin30°－sin45° cos60°＋cos45° . 解析：将特殊角的三角函数值代入求解． 解：(1)原式＝2× 1 2× 1 2－6× 2 2× 3 2＝ 1 2－ 3 2＝－1； (2)原式＝ 1 2－ 2 2 1 2＋ 2 2 ＝22 －3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】已知三角函数值求角的取值范围 若cosα＝ 2 3，则锐角α的大致范围是() A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝ 3 2，cos45°＝ 2 2，cos60°＝ 1 2，且 1 2＜ 2 3＜ 2 2，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α 的范围是45°＜α＜60°.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】根据三角函数值求角度 若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是() A．20°B．30°C．40°D．50°

新编高中数学竞赛用三角函数公式大全

三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）

高中数学竞赛讲义_三角函数

三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±

锐角三角函数--特殊角的函数值

25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a

全国高中数学竞赛专题三角函数

全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020

三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数

初中数学竞赛：三角函数

初中数学竞赛：三角函数 直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3－14)，常用的有： 利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式： (1)倒数关系 tgα·ctgα=1； (2)商的关系 (3)平方关系 sin2α+cos2α=1． 这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式的变形中有着重要的应用． 如图3-15所示，在直角三角形ABC中，∠A与∠B互为余角，根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系：

sinB=sin(90°-A)=cosA， cosB=cos(90°-A)=sinA， tgB=tg(90°-A)=ctgA， ctgB=ctg(90°-A)=tgA． 上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应的余函数的函数值 由图3－16可以看到，在直角三角形ABC中，如果斜边长度不变，当锐角A增大时，sinA 与tgA的值也随之增大，而cosA与ctgA的值随之减小．特别地，当A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当A=90°时，sin90°=1，tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0． 由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总是大于直角边，所以，当α为锐角时，总有 0＜sinα＜1，0＜cosα＜1． 我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题． 例1 不查表，求15°的四种三角函数值． 分析 30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 归纳结果 0° 3０° 45° 60° 90° si ｎＡ cosA ta ｎA c ｏtA 当锐角越来越大时， 的正弦值越来______＿____,的余弦值越来_＿___＿_____。 当锐角α越来越大时， α的正切值越来__＿__＿＿___＿，α的余切值越来___________。 1：求下列各式的值. (1）cos 2 6０°+sin 2 60°． （2)cos 45sin 45? ? -t ａn45°． 2:（１)如图（１),在Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=90，6,B Ｃ3,求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3,求a. 一、应用新知: 1。（1）(ｓi ｎ60°－tan30°)cos45°= 。（2)若0sin 23=-α，则锐角α＝ ． 2。在△ＡB Ｃ中，∠Ａ=７5°，2c ｏsB=2,则ta ｎC= 。

３。求下列各式的值． （１）o 45cos 230sin 2-? （2）ta ｎ３０°-si ｎ 60°·ｓｉｎ３0° （3)c ｏｓ45°+3t ａn30°+c ｏs30°＋2sin ６0°—2ｔａn4 ５° （4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4。求适合下列条件的锐角. （１）2 1 cos =α??（2)33tan =α (3)2 2 2sin = α? （４）33)16cos(6=- α (5） （6） ６。如图,在△ABC 中，已知ＢC ＝１+ ,∠Ｂ=60°,∠C=４5°，求AB 的长。 ７．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ,则△ABC 的 形状是_＿____＿＿________. |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α 3

锐角三角函数之间的关系和特殊角Word版

课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值

高中数学竞赛 试题之三角函数教师版

高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量 一、选择题 1.（07全国）设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x?c )=1对任意实数x 恒成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x?c )=2，于是取2 1 ==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x?c )=1，由此得 1cos -=a c b 。 一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x x f ，1)sin(13)(+-+=- c x c x f ?，其中 2 0π<且b c a +>．即有不等式组

特殊锐角三角函数值

《特殊锐角三角函数值》教学反思 芦庙中心中学刘红伟 在前一段我讲了30度、45度、60度特殊角的三角函数值，它是北师大版九年级数学下册的一节课，在前一节刚讲过正弦、余弦、正切三角函数的定义和求法。现把我对本节课的做法和想法与大家交流一下，希望能得到同行和专家的指点，以期取得更大的进步。 教学目标的设计我是以大纲为指导，要求同学们 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义；能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 2.发展学生观察、分析、发现的能力；培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 3.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 教学重点定为：探索特殊锐角三角函数值的过程，进行这些三角函数值的计算并会比较不同锐角三角函数值大小

在引入时我采用创设情境法，“为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：（1）含30、60度角的直角三角尺（2）皮尺。请你设计一个方案，来测量一棵大树的高度。这样会增强学生的学习欲望，使学生对本节内容更感兴趣。 在讲课中我采用这几种方法： 1、让学生自主研习，独立探究。 （1）观察一副三角尺，其中有几个锐角？他们分别等于多少度？ （2）sin30度等于多少呢？你是怎样得到的？cos30度呢，tan30度呢？ 2、让学生合作学习、生生互动 （1）请同学们完成下表：30°、45°、60°角的三角函数值（表格略） （2）观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?第二列、第三列呢？ （3）同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角α越来越大时, α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3，求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3倍，求a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= .

3．求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30° (3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?-?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)2 22sin = α (4)33)16cos(6=-οα （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 |tanB-3|+(2sinA-3)2 =002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

高中数学竞赛试题汇编四 《三角函数》讲义

高中数学竞赛试题汇编四 《三角函数》讲义 1. 化简 2sin 44sin ()tan()44 αππαα=+-（ ） (A) cos2α (B) sin 2α (C) cos α (D) sin α 2. 化简sin12sin 48sin54??= （用数字作答）. 3. sin 7.5cos7.5+= . 4. 22cos 75cos 15cos75cos15++?= . 5. 函数()2sin()cos()(0)36 f x x x ππ ωωω=++->的最小正周期为π，则ω= . 6. 函数2()3sin 22cos ,f x x x a =++在0,2π?????? 上最小值1-，则a = . 7. 若tan tan 2x y =，1sin sin 3 x y =，则x y -= . 8. 设[],0,2x y π∈，且12sin cos sin cos 2 x y x y ++=-，则()max x y += . 9. 在ABC ?中，sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =，则tan A = . 10. 若sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++- ，则tan x = .

11. 4cos cos 2()y x x x R =+∈的值域是 . 12. 设02x y π<<< ，cos 2cos 24cos 4cos P x y x y =--+的取值范围是 . 13. 在ABC ?中，222ac c b a +=-，最大边的边长为7，sin 2sin C A =，则ABC ?最小边的边长为 . 14. 在ABC ?中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则b a 等于 . 15. 在ABC ?中，22()ABC S a b c ?=--，则tan 2 A = . 16. 在ABC ?中，2sin tan tan ,cos A B C B C += =则 . 17. 在ABC ?中，3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan A B = . 18. 锐角,αβ满足()()sin cos sin cos 2ααββ++=，则α= ，β= .

九年级数学竞赛讲座锐角三角函数附答案

【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 13 5，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．

注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约

特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表 函数名 在平面直角坐标系xOy中，从点0引出一条射线0P，设旋转角为0,设OP=r , P点的坐标为（x, y ）有 正弦函数sin 0 =y/r 余弦函数cos 0 =x/r 正切函数tan 0 =y/x 余切函数cot 0 =x/y 正弦（Sin ）：角a的对边比斜边余弦（COS ）:角a的邻边比斜边 正切（tan ）:角a的对边比邻边余切（cot ）:角a的邻边比对边 特殊函数人倒数关系：tan a ?COt a =1 sin a ?CSC a =1 COS a ?SeC a =1 特殊函数人商数关系：tan a =Sin a /COS a COt a =COS a /Sin a 特殊函数人平方关系：sin a 2+COS a 2=1 1+tan a 2=sec a2 1+cot a =CSC a2 以下关系，函数名不变，符号: 看象限 sin (n + a) =-Sin a COS (n + a) =. -COS a tan (n + a) =tan a cot (n + a) =cot a sin (n — a) =sin a cos (n —-a) =-COS a tan (n — a) =-tan a cot (n —-a) =-COt a sin (2 n — a) =-Sin a COS (2 n —a )=COS a tan (2 n — a) =-tan a COt (2 n —a )=-cot 以下关系，奇变偶不变，付号看象限 sin (90° - a) =COS a COS (90°-a ) =sin a tan (90° - a) =COt a cot (90°-a ) =ta n a sin (90° + a) =COS a cos (90°+ a )=sin a tan (90° + a) =- COt a(90°+ a ) =-ta n a 特殊三角函数人积化和差的关系: sin a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) +sin (a — 3) ] COS a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) —sin (a — 3) ] COS a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) +COS (a — 3) ] sin a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) —COS (a — 3) ] 特殊三角函数-和差化积公式 sin a +sin 3 =2*[sin( a + 3 )/2]*[cos( a - 3 )/2] sin a -sin 3 =2*[cos( a + 3 )/2]*[sin( a - 3 )/2]