学而思第4讲盈亏问题教师版

第4 讲盈亏问题

教学目标本讲主要学习三种类型的盈亏问题：

1. 理解掌握条件转型盈亏问题：

2. 理解掌握关系互换性盈亏问题;

3. 理解掌握其他类型的盈亏问题，本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。经典精讲盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈” “两亏”。

1. “盈亏”型例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4 粒就多9 粒，如果每人分5 粒则少6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分4 粒就多9 粒，，第二种每人分5 粒则少6 粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15 1 15 （位），糖果的粒数为： 4 15 9 69 （粒）。

2. “盈盈”型

例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10 个桃，就多出9 个桃，每只小猴分11个桃则多出2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

分析：老猴子的第一种方案盈9 个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：7 1 7 （只），老猴子有7 10 9 79 （个）桃子。

3. “亏亏”型例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有7 1 7 （人）书有7 10 9 61（本）。根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式：

（盈+亏）两次分得之差=人数或单位

数

（盈-盈）两次分得之差=人数或单位数

（亏-亏）两次分得之差=人数或单位数条件转化型的盈亏问题这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题。

【例1】军队分配宿舍，如果每间住3 人，则多出20 人；如果每间住6 人，余下2 人可以每人住一个房间，现在每间住10 人，可以空

出多少个房间？

【分析】每间住6 人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少6 2 2 10 （人），那么两次分配方案人数相差20+10=30（人），即可以空出10-50 10 5 （间）房间。

【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34 人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4 个房间。求学生宿舍有多少间，住

宿学生有多少人？

【分析】把“每个房间住14 人，则空出4个房间”转化为“每间住14 人，

则少14 4 56（人）”这样两种方案就可以比较了。第一种方案多出34 人，第二种方案少56 人，90 2 45（间），学生数为：12 45 34 574（人）［例2］妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4 个，其余人每人分2 个，则多出4 个；如果其中一人分6 人，其余人每人分4 个，则缺少12 个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？【分析】由“其中两人分4 个，其余每人分2个，则多出4个，”转化为全家每人都分2个，这分4 个的两人每人都拿出2个，共拿出4 个，结果就多了4+4=8个：由“一人分6个，其余每人分4 个，则缺少12 个”转化为全家每人都分4 个，分6 个的人拿出2 个。结果就少了12-2=10 个，转变成了盈亏问题的一半类型,则：全家的人数：［4 2 2 （12 2）］（4 2） 18 2 9 （人）橘子的个数：

2 9 8 26 （个）

铺垫】实验小学的少先队员去植树。如果每人种5 棵还有3 棵每人种；如果其中2 人各种4 棵。其余的人各种6 棵，这些树苗正好种完，问有多少少先队员参加植树，一共iozhong 多少课树苗？【分析】这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4 棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2 人各种4 棵，其余的人各种6 棵。如果我们把他们统一成一种情况，让每人种六棵，那么，就可以多种树（6-4） 2 4 （棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种5 棵树苗，还有3 棵没人种;如果每人种6 棵数树苗，还缺4 棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数：[3+（6-4）2] （6 5） 7（人），棵树： 5 7 3 38 （棵）或 6 7 4 38（棵）【小结】盈亏问题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象，而本题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时，不需将其调整成两次都是平均分，然后解答。

【例2】学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60 米，可

提早10 分钟到校；如果每分钟走50 米，可提早8 分钟到校，

求小明几时几分离家刚好8 时到校？由家到学校的路程是多少？【分析】小明每分钟走60 米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走

60 10 600 米，如果每分钟走50 米，可提早8 分钟到校，即到校后

还可多走50 8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走

60-50=10（米），就可以夺走600-400=200（米），从而可以求出

小明由家道校所需时间。

1）10 分钟走多少米？60 10 600 （米），

2）8 分钟走多少米？50 8 400 （米）

3）需要时间：（600-400）（60 50） 20 （分钟），所以小明7时40 分离家刚好8 时到校。

4）由家到校的路程：60 （20 10） 600（米）或50 （20 8） 600（米）.

铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走50 米，上课就要迟到3 分钟；如果每分钟60 米，就可以比上课时间提前2 分钟夺走60-50=10（米），就可以夺走150+120=270（米），童童从家到学校所用时间是：270

10 27 （分钟），加到学校的距离是：50 （27 3） 50 30 1500 （米）。

例4 】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算以下，如果增加一条船，正好每条船作6 人；跑如果减少一条船，正好每条船

坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少学生

分析】先增加一条船，那么正好每条船坐6 人。然后去掉两条船，就会余下

6 2 12 （名）同学。改为每条船9 人，也就是说，每条船增加9-6=3

（人），正好可以把余下的12 名同学全部安排上去，所以现在还有

12 3 4 （条）船，而全班同学的人数是9 4 36 （人）。

【巩固】增加两条船，正好每条船坐6 人，然后去掉四条船，就会余下6 4 24（人），改为每只船9 人，即每条船增加9-6=3（人），正好可

以把余下的24 人全部安排上去，所以现在船数为24 3 8 （条），这

个班的人数为9 8 72（人）。

【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件转化，使之成为跟第一步分相似的题型，在运用公式计算。

关系互换型的盈亏问题

这种题型中会出现两种物品，一半两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种

物品的盈亏关系，再根据盈亏问题的解法计算。

【例5】（2004“走进美妙的数学花园”数学邀请赛）幼儿园老师把一袋糖果分给下朋友。如果分给打扮的小朋友，每人5 粒就缺6 粒。如果分给小班的小朋友，每人4 粒。已知大班比小班少2 个小朋友这袋糖果共有多少粒？【分析】如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人

5 粒缺1

6 粒，每人4 粒多4 粒”的盈亏问题。小班有（16 4）（5

4） 20 （人）。这袋糖果有 4 20 4 84 （粒）。

【拓展】（2007 年湖北省“创新杯”决赛）四（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱取买糖果。

如果买芒果13 千克，还差4元;如果买奶糖15千克，则还剩2

元。已知每千克芒果比奶糖贵2 元，那么，，辅导员老师带了元钱.［分析］这笔钱买了13千克芒果还差4元,若把13千克芒果换成奶糖就会多出13 2 26元，所以这笔钱买13 千克奶糖会多出26-4=22 元。而

这笔钱埋15千克奶糖会多出2 元，所以每千克奶糖的价格为：

（22-2 ）（15 13） 10 （元）。辅导老师共带了10 15 2

152（元）

【例6】（2004 南京市少年数学智力冬令营）

甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量的信封，甲每封信用2 张信纸信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩20 张信封，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？

【分析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸。这是盈亏问题，盈亏总额为（20+30）张信纸，两次分配的差为（3-2）张信纸，所有的信封（20+30）（3 2） 50 （个），有信纸 2 50 20 120）（张）

【巩固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一张信纸，乙写一封信用3 张信纸。结果甲的信封用完时还剩50 张信纸，乙的信纸用完时还剩50 个信封，原来他们各自有信封多少个？

信纸多少张？【分析】乙要想用完剩余的50 个信封，还需再多50 3=150张信纸，也就是要用完同样多的信封，甲多50张信纸，乙少150 张信纸。

信封的个数：（50 3 50）（3 1） 100 （个）

信纸的张数：100+50=150（张）

【小结】不同的人，相同的物品，假设都用完同样多的信封，这就是“盈亏”的关联点，问题便于解决了。

【例7】体育中心将一些乒乓球分给若干人，每人5 个还多余10 个乒乓球，如果人数增加到3 倍，那么每人分2 个乒乓球还缺少8 个，问有乒乓球多少个？

【分析】考虑人数增加3 倍后，相当于按原人数每人给 2 3 6（个），每人给5 个与给6 个，总数相差10+8=18（个），所以原有人数18 （6 5） 18 （人），乒乓球总数是 5 18 10 100（个）

【拓展】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只大熊猫，那么每只大熊猫分2 个还缺8 棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少课？

注意】以上题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关系，

如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据普通盈亏问题的解法计算。

【例8】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友，且水果糖的个数是奶糖

的2倍。如果每个小朋友分2个奶糖，就多余4 个奶糖；如果每个小朋友

分5个水果糖，则少2 个水果糖。阿姨拿来了水果糖和奶糖个多少个？【分析】水果糖和奶糖的个数不相等，不能将两者直接比较，如果本题中水果糖和奶糖一样多就好了。所以，我们可以假设水果糖和奶糖一样多，也就是假设奶糖是实际数量的2 倍，那么，分给同样多的小朋友后，每个小朋友可以分到2 2=4 个，而多余的奶糖是 4 2 8（个）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10 个，原因是每个小朋友多分了5-4=1 个，这样就可以求出小朋友的人数，然后根据太烫和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数，然后根据奶糖和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数，即：

（4 2 2）（5 2 2） 10 1 10 （个）小朋友的人数

10 2 4 24（个）奶糖的个数

10 5 2 48 （个）水果糖的个数

【注意】本题的解题关键在于通过假设，使两种糖的个数变得同样多在解答

其他类型的盈亏问题盈亏问题有的题型不想普通的盈亏问题那么标准，它是经过普通盈亏问题的变形和拓展，解答这类问题也要利用其本盈亏问题解答方法，根据不同的题型作出相应的应对。

【例9】幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8快，还剩10 快；若没人分9 块，左后一人分不到9 块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块？

【分析】最后一人分不到9 块，那么最多可以分到8 块，即若每人分

9 块，还差1 块。根据盈亏计算公式，人数有（1+10）（9-8）=11 （人），糖果最多有9 11 1 98 （块）；最后一人分不到9 块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8+10）（9 8） 18 （人），糖果最多有9 18 8 154（块）；所以，这批糖果最多有154 块。

【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8 张则缺少5 张。现在把所有卡片都分完，每人都分到60 张，而且还多出4 张。问共有小朋友多少人？

【分析】60 7 8?4，60 8 7?4 ，说明卡片的盒数是8 盒，“若都分8 张则还缺少5 张”，即如果我们每盒中加5张（8盒共加40 张），每人就可以得到8 8 64（张），现在时机每人得到60 张，即每人需要退4 张，其中要有4 张式每人60 张后多下来的，还有40 张我们一开始借来的要还出去，即要退出44张，44 4 11（人），说明有11 人。

【例10 】妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，，甲种卡每张1 元，丙种卡片每张2 元。用完这些钱买甲种卡要比乙种卡多买8 张，买乙种卡要比买丙种卡多买6 张。妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少钱？

【分析】“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8 张，买乙种要比买丙种卡多买6 张”所以盈亏总额是： 1 8 2 6 20 （元），单价相加2-1=1（元），

所以工可以买衣种卡20 1 20 （张），妈妈给红红的钱数是：（20+8）1=28（元），乙种卡每张：28 20=1元4角。

【拓展】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2 分币比5 分币多22个;按钱数算，5分币比2 分币多4角；另外，还有36个1分币。乐乐共花了多少钱？

【分析】假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8 角4分，一个5分币比一个二分币多3分，所以5分币有：84 （5-2）=28 个

2 分币有：28+22=50（个）

所以乐乐共存钱：5 28 2 50 1 36 140 100 36 276 （分）。

巩固精炼

1. 小明读一本书，如果每天读6 页，还剩20页没有读完，如果每天读10

也，书还少24 页，这本书共有多少页，小明打算几天读完？

【分析】在两种方法中，数的页数和打算读的天数没有改变，而第一种读法，书没读完，还剩20 页；第二种读法，不仅可将余下的29 页读完，如果书还有24 页也能恰好读完。两种不同读法总页数相差20+24=44页，造成这个差异的原因就是每天多读天了10-6=4 页。每天多读4页就要多读44 页，因此打算毒的天数是44 4 11天，即：

20+24）（10-6）=44 4=11（天）

6 114 20 86 （页）

2. 阳光小学学生乘汽车到香山春游。如果每车坐65人，则有5人不能乘上

车；如果没车多坐5 人，恰好多于一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生?

［分析］每车多坐5 人，实际是每车可坐5+65=70（人），恰好多余一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70 人，因而原因问题转化为：如果没车坐65 人，则多出5 人无人乘坐；如果每车坐70 人，还少70 人，求有多少人和多少辆车？车数是（5+5+65） 5 15 （辆）人数是65 15 5 980（人）或（5+65）（15 1） 980 （人）

3. 王老师由家里到学校，如果骑车每分钟每分钟500 米，上课就要迟到3

分钟；如果骑车每分钟600 米，就可以比上课时间提前2 分钟到校。王老师家到学校的路程是多少米？

【分析】迟到3 分钟转化成米数：500 3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600 2=1200（米），（1500+1200）（600-500）=27 （分钟）500 （27 3） 15000 （米）

4. 王阿姨去买水果。如果买5 千克橙子，就差10元钱；如果买6 千克葡

萄，则余2 元钱。已知每千克橙子比每千克葡萄贵4 元，每千克橙子和每千克葡萄个多少元？

【分析】本题涉及到两种水果，较难入手。但题中告诉我们每千克橙子比每千克葡萄贵4 元，所以可以设法把两种水果转化为一种水果。

因为每千克橙子比每千克葡萄贵4 元，所以将买5 千克橙子换成买5 千克葡

萄，就要少用4 5=20（元），于是，“买5千克橙子差10 元钱” 就可以变成“买5 千克葡萄余20-10=10元”，则题目乘为：王阿姨买水果，如果买5 千克葡萄，就余下10 元钱；如果买6 千克葡萄就余2 元钱，而每千克橙子比每千克葡萄贵4 元，求每千克橙子和葡萄各多少元？解答这个问题就不难了。

每千克葡萄的价钱：（5 4 10 2）（6 5） 8 1 8 （元）

每千克橙子的价钱：8+4=12（元）

5. 妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，妈妈带的

钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3 袋，并且没有剩余的钱。问：妈妈带了多少钱？

【分析】（法一）“多买3 袋，”这三袋洗衣粉多花8 3 24（元）又因为花的钱总数一样多多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2 元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24 2 12 （袋。）这样妈妈带的钱数是10 12 120 （元）。

（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3 8 24（元），买碧浪洗衣粉的数量是：24 （10 8） 24 2 12（袋）所以妈妈带的钱数是12 10 120 （元）

行程专题(学而思)第1-4讲

学习目标 本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。 在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题. 行程问题主要涉及时间 (t)、速度 (v)和路程 (.s)这三个基本量，它们之间的关系如下： 路程 = 速度×时间 可简记为：s vt = 速度 = 路程÷时间 可简记为：/v s t = 时间 = 路程÷速度 可简记为：/t s v = 路程一定，速度与时间成反比 速度一定，路程与时间成正比 时间一定，路程与速度成正比 显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【例 1】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是 4：5：6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为 20千米，此人走完全程需多少时间？

【例2】甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？ 【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3 时50分钟，那么下山用多少时间？ 【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。 【例5】甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比.

行程问题中的图示解法

第十一讲行程问题中的图示解法补充练习 1、龟、兔从同一起点进行200米赛跑，兔子在途中 睡觉休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子 醒来再起身向前跑去。根据图中的信息可知，则兔 子醒来再起身以每分钟______米的速度才能在和乌 龟同时到达终点。 2、甲、乙两人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米，每人都走了6.5分钟。那么这段时间内他们共相遇了（迎面或同向）多少次？ 3、甲、乙二人同时从A地出发同向而行去往B地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到达B地后立即返回A地。已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么，A、B两地相距多少千米？ 4、甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，他们同时从A地出发去B地，在A、B两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时。A、B 两地相距多少千米？ 5、小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇。问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

答案： 1、解析： 兔子开始的速度150÷5＝30米/分钟。 乌龟的速度150÷30＝5米/分钟。 乌龟到达终点的时间200÷5＝40分钟 兔子醒来后需要以（200－150）÷（40－39）＝50米/分钟的速度才能和乌龟同时到达终点。 2、解析：甲行全程用180÷2=90秒，乙行全程用180÷2.5=72秒。画出柳卡图： 由图得，一共相遇5次。 3、解析： 4、解析：同向出发，第一次相遇时，两车走的路程和是2个AB之长；而到第三次相遇，两车走的路程和是2×3=6个AB之长，是（52+40）×6=552（千米），所以,A、B两地相距552÷6=92（千米）。

学而思行程问题第6讲

速度变化的行程'问题 【例1】甲、乙两车分别从A、B两地同时出 发相向而行，6小时后相遇在C点，如果甲 车速度不变，乙'车每小时多行5千米，且两 车还从A、B两地同时出发相向而行，则相 遇地点距C点12千米，如果乙车速度不变， 甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B 两地同时出发相向而行，而相遇地点距C点16千米，甲车原来每小时行多少千米？ 【例2】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点，如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米，如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点B距C点5千米，间：甲原来的速度是每小时多少千米？

【例3】小红和小强同时从家里出发相向而行，小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇，若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇，小红和小强两人的家相距多少米？ 【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，6小时相遇，如果甲早出发2小时，甲乙相遇时，甲已经走过AB 的中点后还走了 144千米，如果乙早出发2 小时，甲乙相遇时，甲还差48千米才到AB的中点，求甲、乙两人的速度差。 【例5】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练，他们同时以同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度 的2 3 ，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了 1 3 ，乙跑第二圈的速度提高了 1 5 ，已知沿跑道看从甲 乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？

六年级奥数第七讲1行程问题教师版

第七讲行程问题（一） 知识点拨： 发车问题 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个 （4）车速变-班速不变-班数2个

标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 时钟问题： 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分 针和时针。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。 流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲： 模块一发车问题 【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出 租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【例 2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的 速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？

学而思奥数网奥数专题行程问题火车过桥a

学而思奥数网奥数专题 (行程问题) 火车过桥 1、四年级行程问题：火车过桥 难度：中难度 答： 2、四年级行程问题：火车过桥 难度：中难度 答： 3、 四年级行程问题：火车过桥 难度：中难度 答： 一人每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车对面而 两列火车，一列长120米，每秒钟行20米；另一列长160米，每秒行15米，两车相向而行，从车头相遇到车尾离开需要几秒钟？ 某人步行的速度为每秒钟2米，一列火车从后面开来，越过他用了10秒钟，已知火车的长为90米，求列车的速度。

4、四年级行程问题：火车过桥 难度：中难度 答： 5、四年级行程问题：火车过桥 难度：中难度 答： 学而思奥数网奥数专题（行程问题）2010年12月06日答案 1、四年级火车过桥问题答案： 解答：【可以看成一个相遇问题，总路程就是车身长度，所以火车与人的速度之和是144÷8=18米，而人的速度是每分钟60米，也就是每秒钟1米，所以火车的速度是每秒钟18－1=17米． 2、四年级火车过桥问题答案： 解答：如图：从车头相遇到车尾离开，两列火车一共走的路程就是两辆火车的车身长度之和，即120＋160=280米，所以从车头相遇到车尾离开所用时间为280÷（20＋15）=8秒． 3、四年级火车过桥问题答案： 解答：【分析】此题是火车的追及问题。火车越过人时，车比人多行驶的路程是车长90米，追及时间是 一辆长60米的火车以每秒钟50米的速度行驶，在它的前面有一辆长40米的火车以每秒钟30米的速度行驶．当快车车头与慢车车尾相遇到 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到

学而思四年级第七讲(环形跑道)

第七讲 环形跑道问题 一、行程问题三要素 环形跑道问题属于行程问题的一类。对于行程问题，同学们一定要马上反应出路程（S）、速度(V)、时间(t)三个要素之间的关系—— S=V·t V=S÷t t=S÷V ……公式变形 即，在行程问题中，只有知道S、V、t中的其中两个要素，一定能求出第三个！ 二、行程问题基本型 1、相遇问题 关键词：同时、反向 公式： S和 = V和 ·t遇 2、追及问题 关键词：同时、同向 公式： S差 = V差 ·t追 注：我们判断是相遇还是追及主要就是看方向，但要注意的是不管是相遇还是追及，其过程一定是二人同时进行的，所以抓住“同时”也很重要。当题目中不是同时发生的，要学会如何转化为“同时”。 三、环形跑道问题 环形跑道问题不过是把“行程”的过程搬到了环形跑道上进行，它仍然符合行程问题的公式。但要注意S与跑道有关系。 做题时，我们要注意 1、确定方向： （1）反向即为相遇问题，就有S和 = V和 ·t遇 （2）同向即为追及问题，就有S差 = V差 ·t追 2、确定起始点 （1）同地：周期现象 反向（相遇）， 第1次相遇，共合跑1圈 第2次相遇，共合跑2圈 …… 第n次相遇，共合跑n圈 同向（追及）， 第1次追上，共多跑1圈 第2次追上，共多跑2圈 …… 第n次追上，共多跑n圈 （2）异地：第1次特殊，从第2次开始即为周期现象

四、例题解析 课前回顾 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小王的速度是200米/分，（1）小张和小王同时从同一地点出发反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 解析：（1）同时同地反向，是相遇问题。 S和 = V和 ·t遇 500米 1分钟 第一次相遇，即合跑一圈，即合跑500米，S和、t遇都知道， 那么就可求速度和，得500÷1=500（米/分） 小张的速度： 500-200=300（米/分） （2）同时同地同向，是追及问题。 S差 = V差 ·t追 500米 300-200 第一次追上，即小张比小王多跑一圈，即S差是500米，速度差也可算出来， 那么可求追及时间：500÷（300-200）=5（分） 小张共跑了多少米：300×5=1500（米） 小张跑了多少圈：1500÷500=3（圈） 例1 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 解析： 同时同地同向——追及问题，S差 = V差 ·t追 300米 2分30秒 同时同地反向——相遇问题。S和 = V和 ·t遇 300米 半分钟 根据分析，根据追及过程可求出速度差，根据相遇过程可求出速度和，接着再用和差问题即可求出两人的速度了。只是注意单位要统一，时间单位我们统一为秒。 速度差：300÷150=2（米/秒） 速度和：300÷30=10（米/秒） 快的速度：（10+2）÷2=6（米/秒） 慢的速度：（10-2）÷2=4（米/秒） 或 6-2=4（米/秒） 例2 巍巍、铮铮两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时巍巍骑了1440米。 请问：（1）巍巍的速度是多少米/分？ （2）从出发到第一次相遇用时多少分钟？ （3）铮铮骑一圈需要多少分钟？ （4）再过多久他们第二次相遇？ 解析：我们做行程问题要敏感，任何一个行程过程，只要知道三要素的两个，一定要反应出马上能求出第三个。 （1）“公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟”，可知巍巍的速度：2400÷10=240（米/分）（2）“第一次相遇时巍巍骑了1440米”，那么可知巍巍用时1440÷240=6（分），这个也是他

学而思行程问题

学习目标 本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。 在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(.s)这三个基本量，它们之间的关系如下： 路程=速度×时间可简记为：s vt = 速度=路程÷时间可简记为：/v s t = 时间=路程÷速度可简记为：/t s v = 路程一定，速度与时间成反比 速度一定，路程与时间成正比 时间一定，路程与速度成正比 显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【例1】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是4：5：6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米，此人走完全程需多少时间？ 【例2】甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？ 【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分钟，那么下山用多少时间？ 【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。 【例5】甲、乙两车往返于A 、B 两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比. 【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23 ，一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时，这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？

学而思奥数网奥数专题行程问题火车过桥b图文稿

学而思奥数网奥数专题行程问题火车过桥b 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

学而思奥数网奥数专题（行程问题） 1、五年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 答： 2、四年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 答： 3、五年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 答： 4、五年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千 米．两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，乙车上也有一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了11秒，那么站在铁路旁的的丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用铁路与公路平行．公路上有一行人，速度是4千米／小时，公路上还有一辆汽车，速度是64千米／小时，汽车追上并超过这个行人用了2.4秒．铁路上有一列火车与汽车同向行驶，火车追上并超过行人用了6秒，火车从车头追上汽车车尾到完全超过这辆汽车用了48秒．求火车两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长225米，每秒钟行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒，求： ⑴ 乙列车长多少米？ ⑵ 甲列车通过这个道口用多少秒？

小明沿着长为100米的桥面步行．当他走到桥头A时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头A．100秒钟后，小明走到桥尾B，火车的车尾恰好也到达桥尾B．已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？ 答： 5、五年级行程问题：火车过桥 难度：中难度 两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间后两人相遇 答： 学而思奥数网奥数专题（行程问题详解） 1、、四年级火车过桥问题答案： 2、四年级火车过桥问题答案： 3、四年级火车过桥问题答案： 4、四年级火车过桥问题答案： 5、四年级火车过桥问题答案：

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学而思奥数网奥数专题（行程问题） 1、五年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米．两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，乙车上也有一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了11秒，那么站在铁路旁的的丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用多少时间 答： 2、四年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 铁路与公路平行．公路上有一行人，速度是4千米／小时，公路上还有一辆汽车，速度是64千米／小时，汽车追上并超过这个行人用了2.4秒．铁路上有一列火车与汽车同向行驶，火车追上并超过行人用了6秒，火车从车头追上汽车车尾到完全超过这辆汽车用了48秒．求火车的长度与速度． 答： 3、五年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长225米，每秒钟行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒，求： ⑴乙列车长多少米？ ⑵甲列车通过这个道口用多少秒？ ⑶坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒

答： 4、五年级行程问题：火车过桥 难度：高难度 小明沿着长为100米的桥面步行．当他走到桥头A时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头A．100秒钟后，小明走到桥尾B，火车的车尾恰好也到达桥尾B．已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒 答： 5、五年级行程问题：火车过桥 难度：中难度 两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间后两人相遇 答：

学而思小学数学专题大全36讲座第5讲 比和比例

第5讲比和比例 两个数相除又叫做两个数的比． 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、比和比例在行程问题中的体现 在行程问题中，因为有速度=路程 时间 ，所以： 当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比； 当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比； 当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比． 1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数． 【分析与解】 方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A为136，B为85． 方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85． 2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的 5 11 再向前 56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米? 【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？ ( 5 11 x+56)：x=60：120，即( 5 11 x+56)：x=1：2，即x= 10 11 x+112，解得x=1232． 即北京西站、安庆西站两地相距1232千米， 3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A 内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?

学而思内部资料-奥数-行程问题(一)

第29讲行程问题（一） 一、专题简析： 我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。 二、精讲精练： 例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？

1、甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？ 2、一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米。8小时后两车相距多少千米？ 例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？

1、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？ 2、A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？ 例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？

学而思奥数板块二由简单行程问题拓展出的次相遇问题

学而思奥数模块之行程问题 板块二由简单行程问题拓展出的次相遇问题 【例1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到岀发点？ 【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍, 为300 10 3000米，因为甲的速度为每秒钟跑 3.5米，乙的速度为每秒钟跑 4 米, 3 5 所以这段时间内甲共行了3000 1400米，也就是甲最后一次离开出发点 3.5 4 继续行了200米，可知甲还需行300 200 100米才能回到出发点. 【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米?如果他们同时分另以直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【解析】17 1.两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； ， ; 第N次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每 次都走2N米。 2.同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； 第N次相遇，共走2N个全程; 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键几个全程 多人相遇追及的解题关键路程差 【例2】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小 明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

学而思奥数板块二由简单行程问题拓展出的次相遇问题

学而思奥数模块之行程问题 板块二 由简单行程问题拓展出的次相遇问题 【例 1】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒 钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍， 为300103000?=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54 ?=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点． 【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒 2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【解析】 17 1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。 2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N 个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多人相遇追及的解题关键 路程差 【例 2】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在 离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

学而思 行程问题——方程与比例方法(砍柴篇)

(★★★★) 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬。一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑568步。如果狼跑9步的时间狗跑7步，狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步？狼跑了多少步？ (★★★★) 野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5 步。问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔？ 行程问题—— 方程与比例方法(砍柴篇) 例1 例2

例3 (★★★)(2006年希望杯第四届五年级二试) 康仔、阿学两人同时从A地出发前往B地，康仔每分钟走80米，阿学每分钟走60米。康仔到达B地后，休息了半个小时，然后返回A地，康仔离开B地15分钟后与正向B地行走的阿学相遇。A、B两地相距_____________米。

例4 (★★★★★) (2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动六年级初赛) 甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快1千米，则可在下午4时相遇；如果他们每人每小时都比预订速度慢1.5千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是_ _____ 千米。

(★★★★) 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是25千米/小时，甲乙两车第三次相遇地点与第四次相遇的地点相差100千米，求A、B两地的距离是多少千米？ 例5 例6

(★★★★★) A 、 B 两地相距6000米，甲、乙两人分别从A ，B 两地同时出发相向而行，结果在距B 地2400米处相遇。如果乙的速度提高到原来的2.5倍，那么两人可提9分钟相遇，则甲的速度是每分钟行____ 米。 例7

学而思十二级课程体系

《小学数学智力开发课程》十二级体系 1、什么是十二级体系？ “十二级体系”，即“小学数学智力开发课程十二级体系”。是学而思教育专家团队经过7 年的积累和沉淀，在2010年推出的全国唯一的完整的奥数学系知识体系。其包括“优秀儿童智力开 发体系”、“超常儿童培养体系”两个结构统一的部分。 为了培养孩子品质全面提升，十二级体系中加入了二十四项品格教育，将采取“分阶段、分年 级”的方式，使品格教育符合孩子的认知规律，从而取得良好的学习效果。 一年级孝顺、勇敢、勤奋、谦虚 二年级自律、自信、主动、同情心 三年级诚信、专注、坚持、忠诚 四年级反思、行动、感恩、坚韧 五年级学习、热忱、乐观、责任 六年级宽容、目标、信念、全力以赴《超常儿童培养课程》封面《优秀儿童智力开发课程》封面各年级阶段品格培养目标

年级划分（一年两级，既相互联系又相对独立） 注：由于体系详细内容属教研宝贵成果，暂不对外公布，请见谅！ 2、为什么要建立十二级体系？ （1）我们每年培训无数金牌选手的培训教材需要沉淀； （2）近几年尤其是09年和10年杯赛及小升初的现状有了新的变化； （3）当前缺乏完整而优质的教材体系，数学的教学效果需要在分层的基础上实现标准化。 3、谁来创立主导十二级体系？ 在全国著名数学教育家，超常教育的卓越实践者陶晓永教授指导下，在众多华杯赛等全国顶级赛事的主试委员们的关心下，由一批全部来自清华北大等顶尖学府、拥有辉煌竞赛及培训战绩的学而思教育核心教研团队经过长时间的充分酝酿及反复调研，最终推出这套《超常儿童培养体系》及《优秀儿童智力开发体系》。 编委会成员： 王伟张瑞祥林博季云英周清赵永明陈晨张旷昊张超月申强 张剑肖京园曹岚李春芳吴昊庄文辉吴旭谷运增张邦鑫韩涛 孙凯赵璞铮杨巍田芳宇张嘉荆晨伟况雯董博聪王雪婷戴宁 震荣谢玉才兰海赵元红周斌姜付加王磊张宇鹏何晓燕 4、在哪些班级展开？ 在学而思小学数学课程全面展开。其中，"优秀儿童智力开发体系"将在现有的基础班、提高班、尖子班推行；"超常儿童培养体系"将在竞赛班、竞赛123班推行。 5、何时开始推行？ 从春季班第十次课起开始全面启用新的十二级体系，新体系保留了原体系专业性和应试性的优点，同时增加了层级间的区分度、趣味性、励志性、针对性。

学而思-六年级奥数-第七讲.行程问题(一).刘--用-教师版

第一讲行程问题 学习目标： 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：发车问题 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个

标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 时钟问题： 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分 针和时针。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者 千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。 流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲： 模块一发车问题 【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出 租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【解析】这个题可以简单的找规律求解 时间车辆 4分钟9辆 6分钟10辆 8分钟9辆 12分钟9辆 16分钟8辆 18分钟9辆 20分钟8辆 24分钟8辆 由此可以看出：每12分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的到了12*9=108分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟车厂恰好没有车了，所以第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为108分钟。

学而思-小学六年级奥数教师讲义版-工程问题汇编

六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效 例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15

学而思三年级奥数第6讲.和差问题

和差问题 第六讲 凯奥斯一共给了树树和妖妖85个金币，树树比妖妖多3个．问树树、妖妖各拿到多少个金币？ 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？ 第4级下·提高班·学生版

第4级下·提高班·学生版 长方形训练场的长与宽相差80丈，沿训练场跑一周是400丈，求训练场的长与宽各是多少丈？ 凯奥斯和妖妖两人搬麻袋的速度不变，2天一共搬了240袋，已知凯奥斯每天比妖妖多搬10袋．问凯奥斯、妖妖两人每天各搬了多少袋？

第4级下·提高班·学生版 船的上、下两层一共有220名工匠，从上层调10人到下层帮忙后，上下两层人数相等．求原来上、下两层各有多少人？ 有大、小两条船，一共装了24捆干草，从两条船上都搬走同样捆数的干草后分别还剩9捆和5捆．问：原来大、小两条船各装干草多少捆？

第4级下·提高班·学生版 1. 果园共有260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？ 小青和大朋玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1枚棋子.一开始小青有18枚棋子，大朋有22枚，玩了若干局之后，小青反而比大朋多了10枚棋子. 请问：此时小青和大朋分别有多少枚棋子？

第4级下·提高班·学生版 2. 兄弟俩现在年龄和是28岁，哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？ 3. 小华和小林4小时一共做了184朵花，小华每小时比小林多做6朵，小华和小林每小时各做几朵花？

4.小白和小黑一共有35元，花掉同样多的钱以后小白还剩9元小黑还剩4元．问：原来小白和小 黑各有多少元钱？ 5.甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、 乙两个仓库原有大米各多少包？ 第4级下·提高班·学生版

2013年学而思杯数学试题(五年级)答案解析

2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯） 数学试卷（五年级）详解 一． 填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 两个质数的和是 9，那么这两个质数的乘积是 ． 【考点】数论，质数性质 【难度】☆ 【答案】14 【分析】两质数和为奇数，必有偶质数 2，另一质数为 7，故答案为 2 ? 7 = 14 . 2. 如右图，共有 个正方形． 【考点】组合，几何计数 【难度】☆ 【答案】10 【分析】1?1的正方形有 4 个， 2 ? 2 的正方形有 5 个， 4 ? 4 的正方形有 1 个，共 10 个. 3. 学而思教研部一共购买了 300 本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语 书．那么，英语书共有 本． 【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆ 【答案】80 【分析】 300 ? (1 - 2 - 1 ) = 300 - 120 - 100 = 80 （本）. 5 3 4. 如右图，正方形 ABCD 边长为 40 厘米，其中 M 、N 、P 、Q 为所在边的 中点；分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形， 那么形成图中阴影部分的面积是 平方厘米．（π取 3.14） 【考点】几何，圆与扇形面积 【难度】☆☆ 【答案】344 【分析】阴影面积的实质是整体减空白：边长 40 厘米的正方形面积减去半径为 20 厘米的圆的面积（4 个扇形刚好拼成一个整圆），故答案为 402 - 3.14 ? 202 = 400 ? (4 - 3.14) = 344 平方厘米.

5. 对一个大于1 的自然数进行如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则先减去1 再除以2， 如此进行直到得数为1，操作停止．那么，所有经过3 次操作结果为1 的数中，最大的数是． 【考点】数论，奇偶性，倒推 【难度】☆☆ 【答案】15 【分析】从1 向前倒推，寻找原数的最大值；但发现若上一步是偶数，则须本数?2 ；若上一步是奇数，则须本数?2 + 1 ；明显每次向前推出奇数可使原数更大，倒推过程为：1→3→7→15；故15 为原数的可能达到的最大值. 6. 定义：?( A, B,C, D) = A ? 4 + B ? 3 + C ? 2 + D ?1 ，那么，?(2, 0,1, 3) =_ ． 【考点】计算，定义新运算 【难度】☆ 【答案】13 【分析】按定义式，?(2, 0,1,3) = 2 ? 4 + 0 ? 3 + 1? 2 + 3 ?1 = 13 . 7. 一项工程，由甲队单独做10 天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了8 天完成；这项工程，如果 全部由乙队单独做，20 天可以完成．那么，如果全部由甲队单独做，天可以完成．【考点】应用题，工程问题 【难度】☆☆ 【答案】30 【分析】把总工作量看做单位“1”，则乙队的工作效率为每天做 1 20 ，故可在甲乙合作的条件中求出甲 队的工作效率为每天做(1 - 1 ? 8) ÷ (10 + 8) = 3 ÷18 = 1 ；故答案为30. 20 5 30 8. 如右图，大正方体的棱长为2 厘米，两个小正方体的棱长均为1 厘米，那么，组合后整个立体图形的表面积为平方厘米． 【考点】几何，立体几何，表面积 【难度】☆☆ 【答案】32 【分析】三个立方体原总表面积为12 ? 6 + 12 ? 6 + 22 ? 6 = 36 平方厘米，之后放在一起时缺失了4 个1?1 的表面，故答案为36 - 12 ? 4 = 32 平方厘米； 或者可用三视图法求表面积：(5 + 5 + 6) ? 2 = 32 平方厘米.