福建省厦门双十中学2020-2021学年高一上学期期中考试
数学试题
试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分,满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.
1.(2020双十高一11月期中考)如图,U 是全集,M 、P 是U 的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.()U M
C P
B.M P
C.()
U C M P
D.()()U U C M C P
『答案』A
『解析』由题易知阴影部分所表示的集合是()U M
C P ,故选A.
2.(2020双十高一11月期中考)函数()2
f x x =-的定义域为( ) A.[1,2)
(2,)+∞ B (1,)+∞ C.[1,2)
D.[1,)+∞
『答案』A
『解析』由题知10x -≥,解得1x ≥:20x -≠,
解得2x ≠;两者取交集得[1,2)(2,)+∞,
故选A.
3.(2020双十高一11月期中考)若a b c <<,则函数
()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间( )
A.(,)b c 和(,)c +∞内
B.(,)a -∞和(,)a b 内
C.(,)a b 和(,)b c 内
D.(,)a -∞和(,)c +∞内
『答案』C
『解析』∵a b c <<,∴()()()0f a a b a c =-->,()()()0f b b c b a =--<,
()()()0f c c a c b =-->,由函数零点存在判定定理可知:在区间(,)a b 和(,)b c 内分别存
在一个零点;又函数()f x 是二次函数,最多有两个零点,因此函数()f x 的两个两个零点分别位于区间(,)a b 和(,)b c 内,故选C. 4.(2020双十高一11月期中考)设0.3
2a =,2
0.3b =,2log 0.3c =,则a ,b ,c 的大小
关系是( )
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b c a <<
『答案』B
『解析』因为2
00.31<<,2log 0.30<,0.321>,
所以20.32log 0.30.32<<,即c b a <<,故选B.
5.(2020双十高一11月期中考)已知函数()f x 满足(1)lg f x x -=,则不等式()0f x <的解集为( ) A.(,1)-∞
B.(1,2)
C.(,0)-∞
D.(1,0)-
『答案』D
『解析』令1x t -=,∴1x t =+,10t +>,所以()lg(1)f t t =+,函数()f x 的解析式
为:()lg(1)f x x =+,不等式()0f x <化为lg(1)0x +<,解得10x -<<,故选D. 6.(2020双十高一11月期中考)已知函数2()log f x x =的反函数为()g x ,则()1g x -的图像为( )
A. B.
C.
D.
『答案』C
『解析』函数2()log f x x =的反函数为()2x
g x =,11(1)222x
x
g x -??
-==? ???
,当0x =时,()11g =,再利用单调性可知图像为C ,故选C
7.(2020双十高一11月期中考)某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际的养殖量x 要小于m ,留出适当的空闲量,已知鱼群的年增加量y (吨)和实际养殖量x (吨)与空闲率(空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率)的乘积成正比(设比例系数0k >),则鱼群年增长量的最大值为( ) A.
2mk B.4mk C.2
m
D.
4
m
『答案』B
『解析』由题知,2
24
m x k m km
y kx m m -??=?≤=
???,(0,0)k x m ><<,当且仅当x m x =-,即2
m
x =
时,等号成立,故选B . 8.(2020双十高一11月期中考)已知函数()f x 满足1
()1(1)
f x f x +=
+,当[0,1]x ∈时,
()f x x =,若在区间(1,1]-内,函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点,则实数m 的
取值范围是( ) A.(1,3)
B.10,3
?? ??
?
C.(1,3]
D.[3,)+∞
『答案』D
『解析』1
()1(1)
f x f x +=
+,当[0,1]x ∈时,()f x x =,
(1,0)x ∴∈-时,1(0,1)x +∈,则
11()1(1)1f x f x x +=
=++,1
()11
f x x ∴=-+,
若函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点,则()log (2)m f x x =+有两个根,即()y f x =与log (2)m y x =+的图像有两个交点.函数图像如图所示,
当01m <<时,函数log (2)m y x =+单调递减,此时不满足条件;当1m >时,函数
log (2)m y x =+单
调递增,若两函数有两个交点,则满足当1x =时,()11g ≤,即log 31m ≤,解得3m ≥,故选D.
二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合要求,全部选对得5分,选对但不全得3分,有选错的得0分.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.
9.(2020双十高一11月期中考)已知全集为R ,集合112x
A x ????
??=≤?? ???????
,
{}
2680B x x x =-+≤,则下列结论正确的有( )
A.(,0]A =-∞
B.{}
2 4C B x x x =<>R 或 C.{}02A
C B x x =≤ C B x x x =≤<>R 或 『答案』BD 『解析』因为0 11122x ????≤= ? ????? ,所以0x ≥,所以{}0A x x =≥,又因为2 680 x x -+≤解得24x ≤≤,所以{} 24B x x =≤≤∣{} 24C B x x x ∴=<>R 或,所以 {}024A C B x x x =≤<>R 或,故选BD. 10.(2020双十高一11月期中考)若函数( ) 2 ()3104m f x m m x =-+是幂函数,则()f x 一定( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.在(,0)x ∈-∞上单调递减 D.在(,0)x ∈-∞上单调递增 『答案』BD 『解析』由题知2 31041m m -+=,解得3m =或1 3 m =,所以3()f x x =或1 3()f x x =, 由幂函数性质知()f x 是奇函数且单调递增,故选BD. 11.(2020双十高一11月期中考)已知34log log a b =,则下列结论正确的有( ) A.1a b << B.1b a << C.01b a <<< D.01a b <<< 『答案』AC 『解析』由题知,当a ,1b >时343log log log a b b =<;∴a b <;当a ,1b <时 343log log log a b b =>,∴a b >,故选AC. 12.(2020双十高一11月期中考)关于函数21 || ()(0,1)x x f x a a a +=>≠,下列命题中正确的 是( ) A.函数图像关于y 轴对称 B.当1a >时,函数在(0,)+∞上为增函数 C.当01a <<时,函数有最大值,且最大值为2 a D.函数的值域是) 2 ,a ?+∞? 『答案』AC 『解析』由题知,()f x 的定义域为{}0|x x ≠,且22()11|| || ()()x x x x f x a a f x -++--===,所以 ()f x 为偶函数,所以函数图像关于y 轴对称,故A 正确. 令21,0 11()||1||||,0x x x x g x x x x x x x ?+>?+?==+=?? --? ,当1x >时,()g x 为增函数, 当01x <<时,()g x 为减函数;当1a >,函数x y a =为增函数,由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1) 上为减函数,在(1,)+∞上为增函数,故B 错误.由1 ||2|| x x + ≥,当且仅当||1x =时取等号,当01a <<时,函数x y a =为减函数,()f x 在(0,1),(1,)+∞上为增函数,在(1,)+∞, (1,0)-上为减函数,故有最大值2a ,故C 正确.当01a <<时,值域为(2 0,a ??; 当1a >时, 值域为) 2 ,a ?+∞?,故D 错误. 故选AC. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 13.(2020双十高一11月期中考)已知2 1,0 (),0 x x f x x x -≥?=? ,若()4f x =,则x =______. 『答案』2x =-或5x = 『解析』当0x ≥时,()4f x =,即14x -=,得5x =;当0x <时,()4f x =,即2 4x =, 得2x =-;故2x =-或5x =. 14.(2020双十高一11月期中考)化简41log 3 2 +的值=______. 『答案』 『解析』2442log 3 log 231log 3 log 3 log 4 12 =2=2 22 22 2 +==== 15.(2020双十高一11月期中考)计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低13 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后价格可降为______. 『答案』2400元 『解析』由题知93 181********???-= ??? . 16.(2020双十高一11月期中考)已知函数121 ()22 x x f x --=+,某同学利用计算器,算得() f x 的部分x 与()f x 的值如下表: 请你通过观察,研究后,写出关于()f x 的正确的一个性质______.(不包括定义域) 『答案』关于(1,0)对称 『解析』由表格易知 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 17.(2020双十高一11月期中考)已知集合{ } 2 210M x ax x =-++=只有一个元素, { A x y ==,{} 221B y y x x ==-+-. (1)求A B ; (2)设N 是由a 可取的所有值组成的集合,试判断N 与A B 的关系. 解:(1)由10x +≥,得1x ≥-,所以{} 1A x x =≥-;由2 2 21(1)y x x x =-+-=--,得0y ≤,所以{} 0B y y =≤,所以[1,0]A B =-; (2)由题知,当0a =,方程210x +=只有一个实数解,符合题意;当0a ≠时,0?=,解得1a =-,所以{1,0}N =-,所以()N A B ?. 18.(2020双十高一11月期中考)我国是世界上人口最多的国家,1982年十二大,计划生育被确定为基本国策.实行计划生育,严格控制人口增长,坚持少生优生,这是直接关系到人民生活水平的进一步提高,也是造福子孙后代的百年大计. (1)据统计1995年底,我国人口总数约12亿,如果人口的自然年增长率控制在1%,到2020年底我国人口总数大约为多少亿(精确到亿); (2)当前,我国人口发展已经出现转折性变化,2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定,坚持计划生育的基本国策,完善人口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策,积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年,十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿,若实行全面两孩政策后,预计人口年增长率实际可达1%,那么需经过多少年我国人口可达16亿. (参考数字:25 1.01 1.2824≈,lg 20.3010≈,lg70.8451≈,lg1.010.0043≈) 解:(1)由1995年底到2020年底,经过25年,由题知,到2020年底我国人口总数大约为 2512(11%)12 1.282415?+≈?≈(亿); (2)设需要经过x 年我国人口可达16亿,由题知14(11%)16x ?+=,两边取对数得, lg14lg1.01lg16x +=,即有lg16lg143lg 2lg 730.30100.8451 14lg1.01lg1.010.0043 x --?-= =≈≈, 则需要经过14年我国人口可达16亿. 19.(2020双十高一11月期中考)已知函数1 ()422x x f x a +=--. (1)若()f x 的最小值为-3,求实数a 的值; (2)若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)由题() 2 1 ()42 22 222x x x x f x a a +=-?-=-?-,令2(0,]x t =∈+∞,所以 222y t at =--,对称轴t a =,所以22223a a --=-,解得1a =±,又因为0t >,所 以1a =; (2)由(1)知若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立,即2 220y t at =--<对任意的 [1,2)t ∈恒成立,即22122t t a t t ->=-对任意的[1,2)t ∈恒成立;易知1 2t y t =-是增函数, 所以max 1(2)2 y y <=, 所以12a ≥ 即1,2a ??∈+∞???? . 20.(2020双十高一11月期中考)函数2 ()f x x =和3()log (1)g x x =+的部分图像如图所示,设两函数的图像交于点(0,0)O ,()00,A x y . (1)请指出图中曲线1C ,2C 分别对应哪一个函数; (2)求证:01,12x ?? ∈ ??? : (3)请通过直观感知,求出使()()f x g x a >+对任何18x <<恒成立时,实数a 的取值范围. 解:(1)1C 是3()log (1)g x x =+的图像,2C 是2 ()f x x =的图像; (2)证明:令2 3()()()log (1)F x f x g x x x =-=-+,因为 331113log 1log 22424F ???? =-+=- ? ????? , 因为3 14 4 33log 3log 27=,14 33log 2log 16=,所以102F ?? < ??? ;3(1)1log 20F =->;故存在01,12x ?? ∈ ??? ,使得()00F x =,即0x 是3()log (1)g x x =+与2()f x x =图像的交点; (3)由(2)知3(1)1log 20F =->,且由图知31log 2a <-,即()3,1log 2a ∈-∞-. 21.(2020双十高一11月期中考)定义在(0,)+∞的函数()f x 满足:①当1x >时,()2f x <-;②对任意x ,(0,)y ∈+∞,总有()()()2f xy f x f y =++. (1)求出()1f 的值; (2)解不等式()()14f x f x +->-; (3)写出一个满足上述条件的具体函数(不必说明理由,只需写出一个就可以). 解:(1)令1x y ==,则()()()2111f f f =++,所以()12f =-; (2)令1 y x = ,1x >,则有()()()21f f x f y =++,所以()()4f y f x =--;又因为1x >时, ()2f x <-,所以()2f y >-;而()()14f x f x +->-可化为()()124f x x -->-,即()()12f x x ->- 故0 100(1)1x x x x >?? ->??<- ,解得112x +<< ,即x ?∈ ?? (3)由题知12 ()log 2f x x =-. 22.(2020双十高一11月期中考)已知函数2 (1)() ()x x a f x x ++=为偶函数. (1)求实数a 的值; (2)判断()f x 的单调性,并证明你的判断; (3)是否存在实数λ,使得当11,(0,0)x m n m n ?? ∈>>? ??? 时,函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--.若存在,求出λ的取值范围;若不存在说明理由. 解:(1)因为函数222 (1)()(1)()x x a x a x a f x x x +++++==为偶函数,所以 2222 (1)(1)()x a x a x a x a f x x x -+++++-==,即(1)1a a -+=+,所以1a =-; (2)当1a =-时,222 11 ()1x f x x x -==-,则函数()f x 在(0,)+∞上为增函数,在(,0)-∞上为减函数. 证明:设120x x <<,则()()()()1212122222 2112 11x x x x f x f x x x x x -+-= -=,因为120x x << 所以120x x +>,120x x -<,所以()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,故()f x 在 (0,)+∞上为增函数;同理可证()f x 在(,0)-∞上为减函数; (3)因为函数()f x 在(0,)+∞上为增函数,所以若存在实数λ,使得当 11,(0,0)x m n m n ?? ∈>>???? 时,函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--,则满足 2 2112112f m m m f n n n λλ???=-=- ????? ????=-=- ???? ?,即221010m m n n λλ?-+=?-+=?, 即m ,n 是方程2 10x x λ-+=的两个不等的正根.则满足240010m n mn λλ??=->?+=>??=>? ,解得2λ>,故 存在2λ>,使得结论成立.