（iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))2
1(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的
两个定点.
说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。
例15、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作
垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e ；
（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；
解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴ac
b k OM 2
-=。
∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e 。 （2）设
1
122121212,,,2,2,
FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==
2222222
121212212121212
4()24cos 11022()2
r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+
当且仅当21r r =时，cosθ=0，∴θ]2
,0[π
∈。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。
例16、一条斜率为1的直线l 与离心率为22
的椭圆C ：12222=+b
y a x （0>>b a ）交于P 、Q ，两
点，直线l 与Y 轴交于点R ，且3-=?，3=，求直线l 和椭圆C 的方程。
解： 椭圆离心率为
22，∴=a c 2
2，2
22b a =
所以椭圆方程为1222
22=+b
y b x ，设l 方程为：m x y +=，),(),,(2211y x Q y x P
由??
???+==+m x y b y b x 1222
22消去y 得022432
22=-++b m mx x 0)3(8)22(341622222>+-=-?-=?b m b m m 223m b >∴(*)
m x x 3421-=+……（1） )(3
2
2221b m x x -= (2)
3-=? 所以32121-=+y y x x
而221212121)())((m x x m x x m x m x y y +++=++=
所以3)(222121-=+++m x x m x x 33
4)(342
222-=+--m m b m
所以9432
2-=-b m ……（3）又),0(m R ，RQ PR 3=，),(3),(2211m y x y m x -=-- 从而
213x x =-……（4） 由（1）
（2）（4）得2
23b m =……（5） 由（3）（5）解得32
=b ，1±=m 适合(*)，
所以所求直线l 方程为：1+=x y 或1-=x y ；椭圆C 的方程为13
622
=+y x
说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类
问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。
例17、已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．
解法一：（1）设c
F F r PF r PF 2||,||,||212211===, 对,21F PF ? 由余弦定理, 得
1)2
(2441244242)(24cos 2
212
22
12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F
0212=-=e ， 解出 .2
2=e
（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………①
椭圆方程为),(),,(,1221122
22y x B y x A b
y a x =+
由.2
2=e 得 2222,2c b c a ==.
于是椭圆方程可转化为 0
22222=-+c y x ………………② 将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,
整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k . 则x 1、x 2是上述方程的两根．且
2
21221122||k k c x x ++=
-，
2
212221)1(22||1||k k c x x k AB ++=
-+=， AB 边上的高,1||2sin ||2
2121k k c F BF F F h +?=∠=
c k
k k k c S 21||)211(2221222+++=
22.
==
ii) 当k不存在时，把直线c
x-
=代入椭圆方程得
2
2
2
2
1
,
2
|
|,
2
2
c
c
S
c
AB
c
y?
=
=
±
=
由①②知S的最大值为2
2c由题意得2
2c=12 所以2
22
6b
c=
=2
12
2=
a
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：.1
2
6
2
12
2
2
=
+
y
x
解法二：设过左焦点的直线方程为：c
my
x-
=…………①
椭圆的方程为：)
,
(
),
,
(
,1
2
2
1
1
2
2
2
2
y
x
B
y
x
A
b
y
a
x
=
+
由.
2
2
=
e得：,
,
22
2
2
2c
b
c
a=
=于是椭圆方程可化为：0
2
22
2
2=
-
+c
y
x……②
把①代入②并整理得：0
2
)2
(2
2
2=
-
-
-c
mcy
y
m
于是
2
1
,y
y是上述方程的两根.
|
|
1
)
(
)
(
|
|1
2
2
2
2
1
2
2
1y
y
m
y
y
x
x
AB-
+
=
-
+
-
=
2
)2
(
4
4
1
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
=
m
m
c
c
m
m
2
)
1(
2
2
2
2
+
+
=
m
m
c,
AB边上的高
2
1
2
m
c
h
+
=,
从而
2
2
2
2
2
2
)2
(
1
2
2
1
2
2
)
1(
2
2
2
1
|
|
2
1
+
+
=
+
?
+
+
?
=
=
m
m
c
m
c
m
m
c
h
AB
S
.
2
2
1
1
1
1
2
22
2
2
2c
m
m
c≤
+
+
+
+
=
当且仅当m=0取等号，即.
22
max
c
S=
由题意知12
22=
c, 于是2
12
,2
62
2
2=
=
=a
c
b.
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：.1
2
6
2
12
2
2
=
+
y
x
例18、（2002年天津高考题）已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使NP
NM
PN
PM
MN
MP?
?
?,
,
成公差小于零的等差数列，
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为)
,
(
y
x，θ为PN
PM与的夹角，求tanθ。
解：（Ⅰ）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得
)
,
1
(y
x
MP
PM-
-
-
=
-
=)
,
1
(y
x
NP
PN-
-
-
=
-
=)0,2(
=
-
=NM
MN
所以)
1(2x
MN
MP+
=
?
1
2
2-
+
=
?y
x)
1(2x
-
=
?
于是，NP
NM
PN
PM
MN
MP?
?
?,
,是公差小于零的等差数列等价于
??
?
?
?
<
+
-
-
-
+
+
=
-
+
)
1(2
)
1(2
)]
1(2
)
1(2[
2
1
1
2
2
x
x
x
x
y
x
即
?
?
?
>
=
+
3
2
2
x
y
x
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆。
（Ⅱ）点P的坐标为)
,
(
y
x。2
1
2
2
=
-
+
=
?y
x
PN
PM。
00(1)PM PN x y =++cos 4PM PN PM PN
θ?=
=
?所以 因为 0〈30≤x ， 所以
,30,1cos 21πθθ<≤≤<,411cos 1sin 20
2x --=-=θθ.341411cos sin tan 02
02
2
y x x x =-=---
==
θ
θ
θ
说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。
向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。 （Ⅲ）、强化训练
1、已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点，若021=?PF PF
1
tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 （ ）
（A 234
5、某人有楼房一幢，室内面积共1802m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为182
m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152
m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
6、已知△ABC 三边所在直线方程AB ：x-6=0，BC ：x-2y-8=0，CA ：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长
为
3
13
4，求点A 的坐标。 8、已知椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）上两点A 、B ，直线k x y l +=:上有两点C 、D ，且ABCD 是
正方形。此正方形外接圆为x 2+y 2-2y-8=0，求椭圆方程和直线l 的方程。
9、求以直线2:-=x l 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN 端点的轨迹方程。
10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为12-，求椭圆的方程。
11、已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线
02:=-y x l 上.
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程. 12、设A （x 1，y 1）为椭圆x 2+2y 2=2上任意一点，过点A 作一条直线l ，斜率为1
1
2y x -，又设d 为原点到直线l 的距离,r 1、r 2分别为点A 到椭圆两焦点的距离。求证：d r r ??21为定值。
13、 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
14、已知椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0），P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，
（1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF ，求证：离心率2
cos
2cos
βαβα-+=e ；（2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ?的面积为θtan 2
?b 。
15、在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=2
2
。DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线E 过C
点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；
（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设λ=DN
DM
， 16、 （2004 （I （II （Ⅳ）、参考答案
1、解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=?PF PF ∴21PF PF ⊥
又21tan 21=∠F PF ∴???
?
?
????
==+=+212)2(122122221
PF PF a PF PF c PF PF
解得：3
5
95)(2=
==a c e a c 选（D ）。 说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“0=??⊥”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。
2、解：设B(a, b)，B 在直线BT 上，∴a-4b+10=0① 又AB 中点?
?? ??-+21,2
3b a M 在直线CM 上，∴
点M 的坐标满足方程6x+10y-59=0 ∴0592
110236=--?++?
b a ② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5
∴B(10, 5)，又由角平分线的定义可知，直线BC 到BT 的角等于直线BT 到直线BA 的角，又76=AB k 4
1=BT k ∴
BT BA BC BT BC BT k k k k k k k k ?+-=+-11 ∴92 ，∴BC 所在直线的方程为9
2即2x+9y-65=0 3、解法一∴
k k k k ---=+-11717∴k=-3，又由{
7+x x 由点斜式得-49y 解法二：设l 知
342
1222=-θθ
θ
tg tg tg 2θ212θ2θ 为锐角， ∴k
k tg 717212+-=
=θ，∴k=-3等同解法一。 解法三：设l ：(x+y-2)+λ(7x -y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0① ∴171-+=
λλk ，由解法一知1713-+=-=λλk ，∴5
1=λ，代入①化简即得：6x+2y-3=0 解法四：用点到直线的距离公式，设l 上任一点P(x, y)，则P 到l 1与l 2的距离相等。 ∴
50
|
47|2|2|+-=-+y x y x 整理得：6x+2y-3=0与x-3y+7=0，又l 是l 2到l 1的角的平分线， k<0，∴x-3y+7=04、分析：由x+y+z=100k 元，那么k=6x+5y+4（ x≥0， y≥0，
x+y≤100， 400x+600y+400 800x+200y+400 x+y≤100，
即y≥20，①
2x-y≥40.
在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG（包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分.
设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.
作直线
l：2x+y=0，把直线
l向右上方平移至
1
l位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而k的值最小.
2x-y=40，x=30，
由得即点E的坐标是（30，20）.
y=20，y=20，
所以，
最小值
k=2×30+20+400=480（元），此时z=100-30-20=50.
答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元.
取最大值1800元.
6、解：解方程组可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：
??
?
?
?
=
+
+
+
+
=
+
-
+
-
+
=
+
-
+
-
+
2
4
2
4
6
)1
(
6
3
6
)3
(
6
2
2
2
2
2
2
F
E
D
F
E
D
F
E
D
解之得：D=
2
21
-，E=4，F=30
所以所求的△ABC的外接圆方程为：0
30
4
2
21
2
2=
+
+
-
+y
x
y
x
7、分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为|
|
1
1
|
|
1
|
|
2
1
2
2
1
2y
y
k
x
x
k
PQ-
+
=
-
+
=，而
2
1
2
2
1
2
1
4
)
(
|
|x
x
x
x
x
x-
+
=
-，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y （或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线l的方程为y=x-x0，设直线l与椭圆相交于P（x1，y1），
Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=12
34021x x x =+，3
12
22
021-=?x x x ，则
2
02
020212
21212363
234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-
∴||13
144212x x x -?+=，即
202363223144x -??= ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）。
8、解：圆方程x 2+y 2-2y-8=0即x 2+(y-1)2=9的圆心O ＇（0，1），半径r=3。
设正方形的边长为p 的距离应等于正方形边长 （1）设AB ：y=x-2 CD ：y=x+4 得A （3，1）B （0，-2∴a 2=12，b 2
=4 （2）设AB ：y=x+4（-3，1）代入椭圆方程得
16 ,5
482
2==
b a ，此时综上所述，直线l 方程为
9、分析：圆的第二定义：比等于离心率e 要运用第二定义结合a 、b 、c 解：设M （x ，y ），过M 作2||+=x MA ，∴
x y
x ++2
2
2
因为点M 为短轴端点，则O ∴c x O O =='||，2
2
||y x a MO +==，∴22y
x x a
c
e +=
=，∴
2
22
22y x x x y x +++化简得y 2=2x ，
∴短轴端点的轨迹方程为y 2=2x （x≠0）。
10、解：若椭圆的焦点在x 轴上，如图，∵四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，且A 1F 1=12-，由椭圆的几
何意义可知，1
b c
a a c =??=??
-=?解之得：1, 2==b a ，此时椭圆的方程为1222
=+y x ，同理焦点也可以
在y 轴上，综上所述，椭圆的方程为122
2=+y x 或12
22=+x y 。
11、解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为???
??=++-=1
1).,(),,(22
222211b y a
x x y y x B y x A ，
则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,
根据韦达定理，得
,22)(,22
22
212122
221b
a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（2
22
222,
b a b b a a ++）. 由已知得2222222
22
2222)(22,02c a c a b a b
a b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为2
2
=
e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点
为,02
22121
0),,(000000=?-+-=?--y
b x b x y y x 且
则
解得 b y b x 5
4
5
3
00=
=且 由已知得 4,4)54()53(,42
222020=∴=+∴=+b b b y x
故所求的椭圆方程为14
82
2=+y x .
12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e （0＜e ＜1）的点
的轨迹是椭圆，椭圆122
22=+b y a x 上任一点P （x 1，y 1）到左焦点F 1的距离|PF 1|=a+ex 1，到右焦点F 2的距
离|PF 2|=a-ex 1；同理椭圆122
22=+b
x a y 上任一点P （x 1，y 1）到两焦点的距离分别为a+ey 1和a-ey 1，这两个
结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。 解：由椭圆方程2222=+y x 可知a 2=2，b 2=1则c=1，∴离心率2
2
=
e ，由焦半径公式可知，2
12
12211212
12))((x x e a ex a ex a r r -
=-=-+=?。又直线l 的方程为： )(211
1
1x x y x y y --
=-即x 1x+2y 1y-2=0，由点到直线的距离公式知，2
1
2
142y x d +=，又点（x 1，y 1）
在椭圆上，∴2y 12=2=x 12， ∴2
1
2
12
12
1
2
142)
2(2242x x x y x d -=
-+=
+=
，
∴2442
2421
2
121=-?-=?x x d r r 为定值。
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
1解析几何基本题型
解析几何基本题型 一．直线的斜率和倾斜角： 1．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，且 2190αα=+ ，则m 的值为 . 2．设直线0=++c by ax 的倾斜为α，且0cos sin =+αα，则a 、b 满足 。 3．已知直线l 经过)1,2(A 、),1(2m B )(R m ∈两点，那么直线l 倾斜角的取值范围是 。 4．直线01cos =++y a x 的倾斜角的取值范围是 。 5．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率 k 的取值范围为 。 6．实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的取值范围为 ． 7．已知直线210ax y a -++=．（1）若(1,1)x ∈-时，y >0恒成立，求a 的取值范围； （2）若1 [,1]6 a ∈时，恒有y >0，求x 的取值范围． 二．直线的方程： 1．下列四个命题中真命题的序号是 。 ①经过点),(00y x P 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示；②经过任意两个不同点),(111y x P 、),(222y x P 的直线都可以用方程))(())((121121y y x x x x y y --=--表示； ③不经过原点的直线都可以用方程1=+ b y a x 表示；④经过定点),0(b A 的直线都可以用方 程b kx y +=表示。 2．无论m 、n 取何实数值，直线0)2()3(=-++-n y n m x n m 都过一定点P ，则P 点坐标是 。 3．经过点)1,2(-P ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条 4．直线过点)1,2(--，且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程为 。
第17—20课时 解析几何问题的题型与方法
第17－20课时： 解析几何问题的题型与方法 一．复习目标： 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θ θ=?? =? （θ为参数），明确各字母 的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二．考试要求： (一)直线和圆的方程 1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3．了解二元一次不等式表示平面区域。 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4．了解圆锥曲线的初步应用。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识．．．．．．．和向量的．．．．基本方法．．．． ，这一点值得强化。 (一)直线的方程 1.点斜式：)(11x x k y y -=-； 2. 截距式：b kx y +=； 3.两点式： 1 21121x x x x y y y y --= --；4. 截距式：1=+b y a x ；
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 1 D ．m b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1， 2），P 4（1，2 ）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2 212 x y +=上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r 。
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
高考中解析几何的常考题型分析总结
高考中解析几何的常考题型分析 一、高考定位 回顾2008,2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25 分左右，在高考中一般有2,3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题. 二、应对策略 复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧. 二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力. 三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识. 预测在2013年的高考题中: 1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及. 2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还 有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题. 三、常见题型
1.直线与圆的位置关系问题 直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力. 求解策略:首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘;再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法;最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位. 点评:(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理. (2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨. 2.圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 求解策略:主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 常用的一些证明方法: 点评:本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲
高中数学解析几何题型
解析几何题型 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22 162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =， 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?，进而可求出AB 的中点11(,)22M b -- +，又由11 (,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出2 211 14(2)32AB =+-?-=． 例3．如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆22 12516 x y +=的方程知225, 5.a a =∴= ∴1234567 7277535.2 a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 考点3. 曲线的离心率
高中数学解析几何常考题型整理归纳
高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为
解析几何大题题型总结(1)
圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。
例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k
例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。
第二轮第14讲 解析几何问题的题型与方法doc
第14讲 解析几何问题的题型与方法 一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：2 2 2 )()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：02 2 =++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 cos sin x r y r θ θ =?? =?（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析 2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及． 1．选择、填空题 1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主 （1）对直线、圆的基本概念及性质的考查 例1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________． （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查 例2（04辽宁）已知点)0,2(1- F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当
解析几何问题的题型与方法
解析几何问题的题型与方法 一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：2 2 2 )()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θ θ =?? =?（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关 系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析 2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及． 1．选择、填空题 1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主 （1）对直线、圆的基本概念及性质的考查 例 1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________． （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查
解析几何(经典题型)
高中数学解析几何公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 2、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 3、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 4、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 5、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 6、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(原卷版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动 点，过动点P 作的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF PQ PF ?+=u u u v u u u v u u u v ． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）若直线m 与（1）中的轨迹C 相切于点0(N x ，00)(0)y y >，且m 与圆心为M 的圆22 (3)16x y -+=， 相交于A ，B 两点，当AMB ?的面积最大时，求点N 的坐标. 【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】
如图，已知椭圆 22 221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点 的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B 、A 和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12· 1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得· AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图1C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右顶点与抛物 线2C ：()2 20y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为 1 2 ，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线 截抛物线所得的弦长为（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； （2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论. 【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线22441 3 x y -=的一个焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；
(完整版)解析几何七种常规题型及方法
解析几何七种常规题型及方法 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆2222x y a b 1x y a b 2263， 过椭圆C 的右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为22，得228a b +=，………① 又63e =，即222 3 c a =，所以223a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y + =. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：()32y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55x x x x +== 从而() 2 12121226 45 x x x x x x -= +-= ， 由弦长公式，得() 2 2 122646 11355 AB k x x =+-=+ ? =， 即弦AB 的长度为 46 5 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题： 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。 过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+--+-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --= --12121 2 ， 代入得24022x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是24022x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦的中点， 所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 112 28,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+= 则21 21 4y y k x x -= =-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. () 由()241 8y k x y x ?=-+??=??，整理得283280ky y k --+=. 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128 y y k += ，
解析几何重点题型归纳
解析几何重点题型归纳 1、设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足?4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程. 2、在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切. （Ⅰ）求圆O 的方程； （Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、 的取值范围. 3、已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足 AP PB =，0MA AP ?=. （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程； （Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ， 当12l l ⊥，求直线l 的方程. 4、已知抛物线C :2 2x py =()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的 不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标； (2) 证明：A 、B 、F 三点共线；
(3) 假设点D 的坐标为3,12??- ??? ，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 5、 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3 ，过右焦点F 的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 2 （I ）求a ，b 的值； （II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立 若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。 6、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直 于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 7、设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 8、如图，已知抛物线2 :E y x =与圆 222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。 （I ）求r 得取值范围； （II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、 BD 的交点P 坐标。
人教版高考数学专题复习：解析几何专题
高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
