一.解答题(共30小题)
1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值;
(2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k;
(3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式.
2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.
(Ⅰ)求{a n}的通项公式;
(
(Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n.
3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*).
(Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3.
(Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤.
4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n;
`
(Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小.
5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4;
(2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;
(3)求数列{c n}的通项公式.
6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10
*
(I)求数列{a n}的通项公式;
(II)求数列{}的前n项和.
7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值;
(2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由.
8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.
(I)求数列{b n}的通项公式;
]
(II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列.
9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2)
(1)求数列{a n}的通项公式;
(4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
10.(2011?安徽)在数1 和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积计作T n,再令a n=lgT n,n≥1.
(I)求数列{a n}的通项公式;
—
(Ⅱ)设b n=tana n?tana n+1,求数列{b n}的前n项和S n.
11.(2010?浙江)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.
(Ⅰ)若S5=5,求S6及a1;
(Ⅱ)求d的取值范围.
12.(2010?四川)已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
,
(Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.
13.(2010?四川)已知数列{a n}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n
+2(m﹣n)2
﹣1
(1)求a3,a5;
(2)设b n=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N*),证明:{b n}是等差数列;
(3)设c n=(a n+1﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{c n}的前n项和S n.
14.(2010?陕西)已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.:
(Ⅰ)求数列{a n}的通项;
15.(2010?宁夏)设数列满足a1=2,a n+1﹣a n=3?22n﹣1
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=na n,求数列的前n项和S n.
16.(2010?江西)正实数数列{a n}中,a1=1,a2=5,且{a n2}成等差数列.
…
(1)证明数列{a n}中有无穷多项为无理数;
(2)当n为何值时,a n为整数,并求出使a n<200的所有整数项的和.
17.(2009?陕西)已知数列{a n}满足,,n∈N×.
(1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列;
(2)求{a n}的通项公式.
18.(2009?山东)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知对任意的n∈N*,点(n,S n),均在函数y=b x+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
\
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记b n=n∈N*求数列{b n}的前n项和T n.
19.(2009?江西)数列{a n}的通项,其前n项和为S n,(1)求S n;
(2),求数列{b n}的前n项和T n.
20.(2009?辽宁)等比数列{a n}的前n项和为s n,已知S1,S3,S2成等差数列,
-
(1)求{a n}的公比q;
(2)求a1﹣a3=3,求s n.
21.(2009?湖北)已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a2a6=55,a2+a7=16(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.
22.(2009?福建)等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16
(
(I)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.
23.(2009?安徽)已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n,数列{b n}的前n项和Tn=2﹣b n (Ⅰ)求数列{a n}与{b n}的通项公式;
(Ⅱ)设c n=a n2?b n,证明:当且仅当n≥3时,c n+1<c n.
24.(2009?北京)设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q(n∈N*,P>0).数列{b n}定义如下:对于正整数m,b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值.
…
(Ⅰ)若,求b3;
(Ⅲ)是否存在p和q,使得b m=3m+2(m∈N*)如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.
25.(2008?浙江)已知数列{x n}的首项x1=3,通项x n=2n p+np(n∈N*,p,q为常数),且成等差数列.求:
(Ⅰ)p,q的值;
(Ⅱ)数列{x n}前n项和S n的公式.
|
26.(2008?四川)设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n,
(Ⅰ)求a1,a4
(Ⅱ)证明:{a n+1﹣2a n}是等比数列;
(Ⅲ)求{a n}的通项公式.
27.(2008?四川)在数列{a n}中,a1=1,.
(Ⅰ)求{a n}的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列{b n}的前n项和S n;
《
(Ⅲ)求数列{a n}的前n项和T n.
28.(2008?陕西)已知数列{a n}的首项,,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前n项和S n.
29.(2008?辽宁)在数列{a n},{b n}是各项均为正数的等比数列,设.
(Ⅰ)数列{c n}是否为等比数列证明你的结论;
,
(Ⅱ)设数列{lna n},{lnb n}的前n项和分别为S n,T n.若a1=2,,求数列{c n}的前n项和.
30.(2008?辽宁)在数列{a n},{b n}中,a1=2,b1=4,且a n,b n,a n+1成等差数列,b n,a n+1,b n+1成等比数列.
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{a n},{b n}的通项公式,并证明你的结论;(2)证明:.
答案与评分标准
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一.解答题(共30小题)
1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值;
(2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k;
(3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式.
考点:数列递推式;数列的函数特性。
专题:计算题;分类讨论。
分析:(1)先根据条件得到数列{b n}的递推关系式,即可求出结论;
【
(2)先根据条件得到数列{b n}的递推关系式;进而判断出其增减性,即可求出结论;(3)先根据条件得到数列{b n}的递推关系式;再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{b n}的通项公式,最后综合即可.
解答:解:(1)∵a n+1﹣a n=3,
∴b n+1﹣b n=n+2,
∵b1=1,
∴b2=4,b3=8.
(2)∵.
∴a n+1﹣a n=2n﹣7,
;
∴b n+1﹣b n=,
由b n+1﹣b n>0,解得n≥4,即b4<b5<b6…;
∴k=4.
(3)∵a n+1﹣a n=(﹣1)n+1,
∴b n+1﹣b n=(﹣1)n+1(2n+n).
∴b n﹣b n﹣1=(﹣1)n(2n﹣1+n﹣1)(n≥2).
故b2﹣b1=21+1;
-
b3﹣b2=(﹣1)(22+2),
…
b n﹣1﹣b n﹣2=(﹣1)n﹣1(2n﹣2+n﹣2).
b n﹣b n﹣1=(﹣1)n(2n﹣1+n﹣1).
当n=2k时,以上各式相加得
b n﹣b1=(2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1)+[1﹣2+…﹣(n﹣2)+(n﹣1)]
=+=+.
∴b n==++.
"
当n=2k﹣1时,
=++﹣(2n+n)
=﹣﹣+
∴b n=.
点评:本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用.是对数列知识的综合考察,属于难度较高的题目.
2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.
…
(Ⅰ)求{a n}的通项公式;
(Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n.
考点:等比数列的通项公式;数列的求和。
专题:计算题。
分析:(Ⅰ)由{a n}是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用a1=2,a3=a2+4可求得q,即可求得{a n}的通项公式
(Ⅱ)由{b n}是首项为1,公差为2的等差数列可求得b n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n.
解答:解:(Ⅰ)∵设{a n}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q,q>0
—
∵a3=a2+4,a1=2
∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1
∵q>0
∴q=2
∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n
(Ⅱ)∵{b n}是首项为1,公差为2的等差数列
∴b n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1
∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
`
点评:本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和,注意题目条件的应用.在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1,只要简单数字运算时不出错,问题可解,
3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*).
(Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3.
(Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤.
考点:数列与不等式的综合;数列递推式。
专题:综合题。
分析:(Ⅰ)由题意,得S22=﹣2S2,由S2是等比中项知S2=﹣2,由此能
求出S2和a3.
¥
(Ⅱ)由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n,S n≠1,a n+1≠1,且,,由此能
≤.
够证明对k≥3有0≤a n
﹣1
解答:解:(Ⅰ)由题意,
得S22=﹣2S2,
由S2是等比中项知S2≠0,
∴S2=﹣2.
由S2+a3=a3S2,解得.
(Ⅱ)证明:因为S n+1=a1+a2+a3+…+a n+a n+1=a n+1+S n,
由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n,
。
∴S n≠1,a n+1≠1,且,
又从而对k≥3,有
0≤a k≤.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n;
<
(Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小.考点:数列与不等式的综合;数列的求和;等差数列的性质。
分析:(Ⅰ)设出等差数列的公差,利用等比中项的性质,建立等式求得d,则数列的通项公式和前n项的和可得.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的a n和S n,代入不等式,利用裂项法和等比数列的求和公式整理A n 与B n,最后对a>0和a<0两种情况分情况进行比较.
解答:解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,由()2=?,
得(a1+d)2=a1(a1+3d),因为d≠0,所以d=a1=a
所以a n=na,S n=
/
(Ⅱ)解:∵=(﹣)
∴A n=+++…+=(1﹣)
∵=2n﹣1a,所以==,
B n=++…+=?=?(1﹣)
当n≥2时,2n=C n0+C n1+…+C n n>n+1,即1﹣<1﹣
所以,当a>0时,A n<B n;当a<0时,A n>B n.
点评:本题主要考查了等差数列的性质.涉及了等差数列的通项公式,求和公式以及数列的求和的方法,综合考查了基础知识的运用.
<
5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,…,c n,…
(1)写出c1,c2,c3,c4;
(2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;
考点:等差数列的通项公式;数列的概念及简单表示法。
专题:综合题;分类讨论;转化思想。
分析:(1)利用两个数列的通项公式求出前3项,按从小到大挑出4项.
(2)对于数列{a n},对n从奇数与偶数进行分类讨论,判断是否能写成2n+7的形式.…
(3)对{a n}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论,对{b n}中的n从被3除的情况分类讨论,判断项的大小,求出数列的通项.
解答:解:(1)a1=3×1+6=9;a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15
b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13
∴c1=9;c2=11;c3=12;c4=13
(2)解对于a n=3n+6,
当n为奇数时,设为n=2k+1
则3n+6=2(3k+1)+7∈{b n}
当n为偶数时,设n=2k则3n+6=6k﹣1+7不属于{b n}
、
∴在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;
=2(3k﹣2)+7=a2k﹣1
(3)b3k
﹣2
b3k﹣1=6k+5
a2k=6k+6
b3k=6k+7
∵6k+3<6k+5<6k+6<6k+7
∴当k=1时,依次有b1=a1=c1,b2=c2,a2=c3,b3=c4…
∴
点评:本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法.
6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10
(I)求数列{a n}的通项公式;
(II)求数列{}的前n项和.
考点:等差数列的通项公式;数列的求和。
专题:综合题。
分析:(I)
*
根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10,得到关于首项和公差的方程组,求出方程组的解即可得到数列的首项和公差,根据首项和公差写出数列的通项公式即可;(II)
把(I)求出通项公式代入已知数列,列举出各项记作①,然后给两边都除以2得另一个关系式记作②,①﹣②后,利用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后,即可得到数列{}的前n项和的通项公式.
解答:解:(I)设等差数列{a n}的公差为d,由已知条件可得,
解得:,
故数列{a n}的通项公式为a n=2﹣n;
(II)设数列{}的前n项和为S n,即S n=a1++…+①,故S1=1,
=++…+②,
当n>1时,①﹣②得:
=a1++…+﹣
=1﹣(++…+)﹣
=1﹣(1﹣)﹣=,
所以S n=,
综上,数列{}的前n项和S n=.
点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,会利用错位相减法求数列的和,是一道中档题.
^
7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值;
(2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由.
考点:等比数列的性质;等比数列的通项公式。
专题:综合题。
分析:(1)设等比数列{a n}的公比为q,根据等比数列的通项公式,由b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3表示出b1,b2,b3,根据b1,b2,b3成等比数列,再根据等比数列的通项公式得到等比数列{a n}的首项与公比的关系式,把q看作未知数,根据a大于0得出根的判别式大于0,进而得到方程有两个不同的实根,又数列{a n}唯一,得到方程必有一根为0,把q=0代入方程即可得到关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值;(2)利用反证法进行证明,假设存在,分别设出两等比数列的公比,根据等差数列的
简后分别求出两等比数列的首项及公比,分别求出b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3,b4﹣a4的公差为0,与已知的公差不为0矛盾,假设错误,进而得到不存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列.
解答:解:(1)设{a n}的公比为q,
∵a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,
-
∴b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,
∵b1,b2,b3成等比数列,
∴(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)即aq2﹣4aq+3a﹣1=0,
∵a>0,
∴△=4a2+4a>0,
∴方程有两个不同的实根,
又∵数列{a n}唯一,
∴方程必有一根为0,将q=0代入方程得a=,
!
∴a=;
(2)假设存在两个等比数列{a n},{b n},使b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3,b4﹣a4成公差不为0的等差数列,
设{a n}的公比为q1,{b n}的公比为q2,
则b2﹣a2=b1q2﹣a1q1,b3﹣a3=b1q22﹣a1q12,b4﹣a4=b1q23﹣a1q13,
由b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3,b4﹣a4成的等差数列得:
即,
由a1≠0得:q1=q2或q1=1,
(i)当q1=q2时,由①,②得b1=a1或q1=q2=1,这时(b2﹣a2)﹣(b1﹣a1)=0与公差不为0矛盾;
(ii)q1=1时,由①,②得b1=0或q2=1,这时(b2﹣a2)﹣(b1﹣a1)=0与公差不为0矛盾,
综上所述,不存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差列.
点评:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及等比数列的性质化简求值,会利用反证法说明命题的真假,是一道中档题.
8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.
(I)求数列{b n}的通项公式;
。
(II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列.
考点:等比关系的确定;等比数列的通项公式;等比数列的前n项和。
专题:证明题;综合题。
分析:(I)利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5﹣d,5+d,代入等比数列中可求d,进一步可求数列{b n}的通项公式
(II)根据(I)及等比数列的前n项和公式可求S n,要证数列{S n+}是等比数列
?即可.
解答:解:(I)设成等差数列的三个正数分别为a﹣d,a,a+d
依题意,得a﹣d+a+a+d=15,解得a=5
依题意,有(7﹣d)(18+d)=100,解得d=2或d=﹣13(舍去)
故{b n}的第3项为5,公比为2
由b3=b1?22,即5=4b1,解得
所以{b n}是以首项,2为公比的等比数列,通项公式为
(II)数列{b n}的前和
即,所以,
因此{}是以为首项,公比为2的等比数列
点评:本题主要考查了等差数列、等比数列及前n和公式等基础知识,同时考查基本运算能力
)
9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2)
(1)求数列{a n}的通项公式;
(4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
考点:数列递推式;数列与不等式的综合。
专题:综合题;分类讨论;转化思想。
分析:(1)由题设形式可以看出,题设中给出了关于数列a n的面的一个方程,即一个递推关系,所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律,观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式,对其中参数进行讨论,分类求其通项即可.
(2)由于本题中条件较少,解题思路不宜用综合法直接分析出,故求解本题可以采取分析法的思路,由结论探究其成立的条件,再证明此条件成立,即可达到证明不等式
解答:解:(1)∵(n≥2),
∴(n≥2),
当b=1时,(n≥2),
∴数列{}是以为首项,以1为公差的等差数列,
∴=1+(n﹣1)×1=n,即a n=1,
当b>0,且b≠1时,(n≥2),
即数列{}是以=为首项,公比为的等比数列,
∴=×=,即a n=,
}
∴数列{a n}的通项公式是
(2)证明:当b=1时,不等式显然成立
当b>0,且b≠1时,a n=,要证对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1,只需证2×≤b n+1+1,即证
∵
=
=(b n+1+1)×(b n﹣1+b n﹣2+…+b+1)
=(b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1)+(b n﹣1+b n﹣2+…+b+1)
=b n[(b n+b n﹣1+…+b2+b)+(++…+)]