北航研究生课程《矩阵理论》期末考试题2

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1.（42分）填空

（1）设是R4的?一

组基,则在上述基下的坐标是___________________. ()

（2）在三次多项式空间中，由多项式组

张成的?子空间维数是___2___.（3）设矩阵,当参数a满?足_______()时,矩阵A与B相似.

（4）A=,则A的全部盖尔圆为_______________________________,且A是?一个________（可逆或者不不可逆）矩阵.

（5）设,则矩阵A的正奇异值有______个，_____(是或否)存在矩阵B使得BA=I n.

（6）矩阵幂级数=__________________。

（7）设，则A的Jordan标准形J=。（8）设，则A+=________________。

（9）若=__4__,的迹=__2sin1__.

（10）设，则||A||1=_6___,||A||F=____. 2．（15分）设A=,求A的奇异值分解.

解：，则

，

对，求得

对，求得

分别单位化为;令

?而，补充基为

令所以

3．（10分）设并且A是正交矩阵，证明A的每个特征值的模等于1.课本P51推论2

证明：设,共轭转置得所以

即

4．（18分）已知A=，b=.（1）求A的满秩分解，并?用满

秩分解求.（2）判断?方程组Ax=b是否有解.（3）求Ax=b的极?小范数解或极?小最?小?二乘解.

解：（1）

（2）

（3）

（4）

5．（15分）设，求.

解：，因为所以最?小多项式为，设.有：