初中数学不等式知识点
初中数学不等式知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
不等式
性质
①如果x>y，那么y
②如果x>y，y>z，那么x>z；（）
③如果x>y，而z为任意实数或，那么x+z>y+z；（，或叫同向不等式可加性）
④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz ⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；() ⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn； ⑦如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n 次幂 ⑧倒数法则。 例如：a＜b 如果a，b同号（同为正数或同为负数） 那么则有1/a＞1/b成立（即变号） 如果a为负数，b为正数 则仍然是1/a＜1/b（即不变号） 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。 符号 不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（×÷负数要变号） 解集 确定： ①比两个值都大，就比大的还大(同大取大）； ②比两个值都小，就比小的还小(同小取小）； ③比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）； ④比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。 三个或三个以上成的不等式组，可以类推。 数轴法 把每个不等式的解集在上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。注意实点与空点的区别。 在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。 证明方法 比较法 1.作差比较法：根据a-b>0a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； 2.作商比较法：根据a/b=1， 当b>0时，得a>b， 当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1， 当b<0时，得a 综合法 由因导果。证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式。综合法又叫顺推证法或因导果法。 分析法 执果索因。证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件。由于“分析法”证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表述。 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的，已知A 数学归纳法 证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。注意两步一结论。在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为。 换元法 换元的目的就是减少不等式中变量的个数，使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 构造法 通过构造、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。 第九章不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 要点感知1 用__________表示大小关系的式子,叫做不等式,用__________表示不等关系的式子也是不等式. 预习练习1-1 下列式子中是不等式的有__________. ①3<4；②2x2-3>0；③5y2-8；④2x+3=7；⑤3x+1<7. 1-2 “b的1 2 与c的和是负数”用不等式表示为__________. 要点感知2使不等式__________的未知数的__________叫做不等式的解. 预习练习2-1以下所给的数值中，是不等式-2x+3＜0的解的是( ) A.-2 B.-1 C.3 2 D.2 2-2 不等式3x<9的解的个数有( ) A.1个 B.3个 C.5个 D.无数多个 要点感知3一个含有未知数的不等式的__________,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做__________. 预习练习3-1(20**·宿迁)如图，数轴所表示的不等式的解集是__________. 知识点1 不等式 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 3.用不等式表示： (1)x的2倍与5的差不大于1； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5； (4)a的20%与a的和大于a的3倍. 知识点2 不等式的解集 4.下列说法中，错误的是( ) A.x=1是不等式x＜2的解 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 C.不等式-3x＞9的解集是x=-3 D.不等式x＜10的整数解有无数个 5.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是( ) A.x>-2 B.x<-2 C.x≥-2 D.x ≤-2 6.如图所示，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的-3.6和x，则( ) A.9＜x＜10 B.10＜x＜11 C.11＜x＜12 D.12＜x＜13 7.在下列各数：-2，-2.5，0，1，6中，不等式2 3 x>1的解有__________；不等式- 2 3 x>1的 解有__________. 8.由于小于6的每一个数都是不等式1 2 x-1<6的解,所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法 对不对？ 9.x与3的和的一半是负数，用不等式表示为( ) A.1 2 x+3>0 B. 1 2 x+3<0 C. 1 2 (x+3)<0 D.1 2 (x+3)>0 10.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.下列说法正确的是( ) A.2是不等式x-3<5的解集 B.x>1是不等式x+1>0的解集 C.x>3是不等式x+3≥6的解集 D.x<5是不等式2x<10的解集 12.下列不等式中，4,5,6都是它的解的不等式是( ) A.2x+1>10 B.2x+1≥9 C.x+5≤10 D.3-x>-2 13.(20**·长春改编)不等式x＜-2的解集在数轴上表示为( ) 年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整 数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数 正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负 数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 不等式练习题 一、 选择题 1．下列式子①3x ＝5；②a ＞2；③3m －1≤4；④5x ＋6y ；⑤a ＋2≠a －2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2．下列不等关系中，正确的是（ ） A 、 a 不是负数表示为a ＞0； B 、x 不大于5可表示为x ＞5 C 、x 与1的和是非负数可表示为x ＋1＞0； D 、m 与4的差是负数可表示为m －4＜0 3．若m ＜n ，则下列各式中正确的是（ ） A 、m －2＞n －2 B 、2m ＞2n C 、－2m ＞－2n D 、2 2n m ＞ 4．下列说法错误的是（ ） A 、1不是x ≥2的解 B 、0是x ＜1的一个解 C 、不等式x ＋3＞3的解是x ＞0 D 、x ＝6是x －7＜0的解集 5．下列数值：－2，－1.5，－1，0，1.5，2能使不等式x ＋3＞2成立的数有（ ）个. A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 6．不等式x －2＞3的解集是（ ）A 、x ＞2 B 、x ＞3 C 、x ＞5 D 、x ＜5 7．如果关于x 的不等式（a ＋1）x ＞a ＋1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ＞0 B 、a ＜0 C 、a ＞－1 D 、a ＜－1 8．已知关于x 的不等式x －a ＜1的解集为x ＜2，则a 的取值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 9．满足不等式x －1≤3的自然数是（ ） A 、1，2，3，4 B 、0，1，2，3，4 C 、0，1，2，3 D 、无穷多个 10．下列说法中：①若a ＞b ，则a －b ＞0；②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；③若ac ＞bc ，则a ＞b ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b.正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 11．下列表达中正确的是（ ） A 、若x 2＞x ，则x ＜0 B 、若x 2＞0，则x ＞0 C 、若x ＜1则x 2＜x D 、若x ＜0，则x 2＞x 12．如果不等式ax ＜b 的解集是x ＜ a b ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a ＞0 D 、a ＜0 二、 填空题 1．不等式2x ＜5的解有________个. 2．“a 的3倍与b 的差小于0”用不等式可表示为_______________. 3．如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x ，则x 的取值范围是______________. 4．在－2＜x ≤3中，整数解有__________________. 5．下列各数0，－3，3，－0.5，－0.4，4，－20中，______是方程x ＋3＝0的解； _______是不等式x ＋3＞0的解；___________________是不等式x ＋3＞0. 6．不等式6－x ≤0的解集是__________. 第九章不等式与不等式组 第一节、知识梳理 一、学习目标 1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义. 2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式. 3.会用数轴表示出不等式的解集. 二、知识概要 1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式. 2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 5.不等式的性质： 性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 6.三角形中任意两边之差小于第三边. 三、重点难点 重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解. 四、知识链接 本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础. 五、中考视点 不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等. 1. 常用的不等号有哪些？ 常用的不等号有五种，其读法和意义是： （1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小. （2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大. （3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小. （4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量. （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量. 2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？ （1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示. （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义. （3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来. 根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”. 列不等式为：2a+b≤3. 3. 用数轴表示不等式注意什么？ 用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画. 在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2. 初中数学不等式专题复 习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、不等式的基本性质 1．若x＞y，则下列等式不一定成立的是（） A．x+4＞y+4 B．﹣3x＜﹣3y C．D．x2＞y2 2．下列命题中，正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c=d则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜d则 3．下列不等式变形正确的是（） A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 4．若a＜﹣1，那么不等式（a+1）x＞a+1的解集为（）二、不等式（组）的解集和整数解 1．如图，数轴所表示的不等式的解集是． 2．不等式2（1﹣x）＜4的解集表示正确的是（） A． B．C．D． 3．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D． 4．不等式组的解集是（） 5．不等式11﹣3x＞1的所有非负整数解的和为． 6．不等式组的最小整数解为（） 7．不等式组的所有整数解的积是（） 8．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为． 三、解不等式（组） 1．解不等式，并把解集表示在数轴上． ①2x+9≥3（x+2）②③≤ ﹣1 2 2．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来（注意原点和单位长度的比例）． （1）（2） （3）（4） 四、可转化为不等式（组） 1．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） 2．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围是 . 3．若代数式的值不小于1，则t的取值范围是．4．已知（x﹣2）2+|2x﹣3y﹣m|=0中，y为正数，则m的取值范围为 . 5．不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值． 6．关于x，y的方程组的解满足x+y＞2，求m的取值范围． 7．若方程组中，x是正数，y是非正数．求k的正整数解. 3 人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式 四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点 第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a不一定是负数，+a也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a和- a互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组） 5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1π y 与 10 31 y 的大小. 解析 首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π 31 <,所以110π 31 y y > 5.1.2★解关于x 的不等式 233122x x a a +--> . 解析 由题设知0a ≠,去分母并整理得 (23)(23)(1)a x a a +>+-. 当230a +>,即3 (0)2 a a >-≠时,1x a >-； 当230a +=,即32 a =-时,无解； 当230a +<,即32 a <-时,1x a <-. 评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论. 5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49 x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析 已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知 20, 434.29a b b a a b -等价于 721 ()2028 a a x a a -+->, 即5528ax a ->,解得14 x >-. 所求的不等式解为14 x >-. 5.1.4★★如果关于x 的不等式 (2)50a b x a b -+-> 的解集为10 7 x < ,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析 由已知得 (2)5a b x b a ->-,① 710x ->-.② 由已知①和②的解集相同,所以 27, 510, a b b a -=-?? -=-? 解得 5, 3. a b =-?? =-? 从而ax b >的解集是3 5 x <. 5.1.5★求不等式 111 (1)(1)(2)326 x x x +---≥ 的正整数解. 解析 由原不等式可得1736x ≤,所以72 x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90, 80x a x b -?? - 初中数学不等式知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 不等式 性质 ①如果x>y，那么y 不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（×÷负数要变号） 解集 确定： ①比两个值都大，就比大的还大(同大取大）； ②比两个值都小，就比小的还小(同小取小）； ③比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）； ④比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。 三个或三个以上成的不等式组，可以类推。 数轴法 把每个不等式的解集在上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。注意实点与空点的区别。 在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。 证明方法 比较法 1.作差比较法：根据a-b>0a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； 初中数学《不等式的解集》教案 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 3．不等式的解集 一、学生知识状况分析 学生在初一时已经学过数轴，对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法，知道实数与数轴上的点成一一对应关系，并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性,而不等式的解的个数有无数个,这对学生来说是全新的开始;在前一课时，学习了不等式的基本性质，学生可利用性质解一些简单的不等式,为本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习. 二、教学任务分析 1、教材分析： 通过前面的学习, 学生已初步体会到生活中量与量之间的关系,不仅有相等而且有大小之分,为了弄清这种大小关系,教材在此创设了丰富的实际问题情境,引出不等式的解的问题，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材循序渐进,螺旋上升的特点. 2、教学目标： （1）知识与技能目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式的解集 （2）过程与方法目标: ①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。 ②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出来，发展学生的创新意识。 （3）情感态度与价值观目标： 从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。 3、教学重点： （1）理解不等式中的相关概念 （2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 4、教学难点： 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 三、教学过程分析 本节课设计了七个环节，第一环节复习旧知识；第二环节情境引入；第三环节课堂探究；第四环节例题讲解；第五环节随堂练习；第六环节课堂小结；第七环节布置作业。 第一环节：复习旧知识 活动内容：师：上节课，对照等式的性质类比地学习了不等式的基本性质，并且也探索出了它们的异同点，下面我们来回顾一下不等式的基本性质。（多媒体呈现） 初中数学竞赛专项训练（4） （不等式） 一、选择题： 1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ） A. 0＜a ≤4 B. a ≥4 C. 0＜a ≤2 D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d c c b a a +<+ ③d c c b a b +>+ ④d c d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、 c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2 3535 2只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. -6 不等式和不等式组 知识点： 一、不等式与不等式的性质 1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。 2、不等式的性质： （l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数?a ＋c ＞b ＋c （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0?ac ＞bc 。 （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0?ac ＜bc. 注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。 3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）： （1）a – b ＞0? a ＞b （2）a – b=0?a=b （3）a –b ＜0?a ＜b 4、（1）a ＞b ＞0? b a > （2）a ＞b ＞0?22b a < 二、不等式（组）的解、解集、解不等式 1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。 不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。 2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。 三、不等式（组）的类型及解法 1、一元一次不等式： （l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。 （2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组： （l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 （2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。 注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。 典型例题： 1、判断正误： （1）若a ＞b ，c 为实数，则2ac ＞2 bc ； （2）若2ac ＞2bc ，则a ＞b 2、若a ＜b ＜0，那么下列各式成立的是（ ） A 、b a 11< B 、ab ＜0 C 、1 b a 3、如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 4、若x y >，则下列式子错误的是（ ） A ．33x y ->- B ．33x y ->- C ．32x y +>+ D ．33x y > 《认识不等式》教案 〖教学目标〗 ◆了解不等式的意义. ◆经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力. ◆感受生活中存在着大量的不等关系. ◆初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一. 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：不等式的意义. ◆教学难点经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力. 〖教学过程〗 一、创设情境： 1、下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？ （1）图5-1是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过40km/h.用v(km/h)表示汽车的速度，怎样表示v与40之间的关系？ （2）据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000℃。设太阳表面的温度为t（℃）怎样表示t与6000之间的关系？ （3）如图5-2，天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜。设每个乒乓球的质量 为x（g），怎样表示x与5之间的关系？ （4）如图5-3，小聪与小明玩跷跷板。大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小聪的身 体质量为p （kg ），书包的质量为2 kg ，小明的身体质量为q （kg ），怎样表示p ，q 之间的关系？ （5）要使代数式 3 3-+x x 有意义，x 的值与3之间有什么关系？ 二、探究新知： 2、议一议： 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同的特点？ 像v ≤40，t ≥6000，3x ＞5，q ＜p+2，x ≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连成的数学式子，叫不等式（inequality ）。这些用来连接的符号统称不等号（inequality symbol ） 3、讲解例题 例1 根据下列数量关系列不等式： （1）a 是正数； （2）y 的2倍与6的和比1小； （3）x 2减去10不大于10； （4设）a ，b ，c 为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边. 1、 做一做： （1）已知x 1=1，x 2=2，请在数轴上表示出x 1，x 2的位置； （2）x ＜1表示怎样的数的全体？ 4、归纳：x ＜a 表示小于a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，不包括a 在内（如图5—4）；x ≥a 表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，包括a 在内（如图 戴氏教育开县校区年级：初一教师：张苏 初中数学七年级知识点总结09不等式与不等式组（含答案）【编者按】本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 一．知识框架 二、知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 了一个一元一次不等式组。 6.不等式：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x ＜3，5x≠5等。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 7.解不等式可遵循的一些同解原理 戴氏教育开县校区年级：初一教师：张苏 主要的有： ①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。 ②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x） 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 专题二不等式（组） 知识点汇总： 1.不等式：用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”将两个式子连接以表示大小关系的式子。 2.不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 3.不等式的解集：使不等式成立的x的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。 4.不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 5.解不等式：求不等式解集的过程。其目的实质就是把不等式化为“x＞a或x ≥a”、“x＜a或x≤a”的形式。 6.用数轴表示不等式：（大于向右画，小于向左画，无等号画圆圈，有等号画实心点） 7.一元一次不等式：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 思考：解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同？ 8.一元一次不等式组：把两个或多个一元一次不等式组合起来是一个一元一次不等式组。 9.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。 思考：解一元一次方程组与解一元一次不等式组有什么异同？ 随堂练习： 1.已知a＜0，则关于x的不等式ax＜5的解为________,5x＜a的解为________。 2.已知a，b为常数，若ax+b＞0的解集为x＜3，则bx+a＜0的解集为________。 3.若不等式组有解，则k的取值范围是（） （A）k＜2 （B）k≥2 （C）k＜1 （D）1≤k＜2 4.若（x+1）（x-1）＜0，则x的解集为__________。 5.九年级一个班有几个同学毕业前合影留念，每人交0.7元，一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张，在收上来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有________个。 6. 7.某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾处理厂同时处理。已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，每吨需要费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需要费用11元。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少多少小时？ 精选教育类文档，如果您需要使用本文档，请点击下载，祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 马上就要中考了，祝大家中考都考上一个理想的高中！欢迎同学们下载，希望能帮助到你们！ 史上最全的初中数学知识点总结 第一章：实数 重要复习的知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方 根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原 点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根 （1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a 叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a叫实数a的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应 初中数学不等式试题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 初中数学不等式试题及答案 A 卷 1．不等式2(x + 1) - 12 732-≤-x x 的解集为_____________。 2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和5 23x x -<的整解为______________。 3．如果不等式3 3 131++ >+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。 4．不等式2 2 )(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。 5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。 6．关于x 的不等式组?? ?<->+2 53 32b x x 的解集为-1 方程与不等式是初中数学学习的巨头，属于基础知识的进阶，难度相对于基础有所提高，并且是今后学习的重中之重，为今后函数等学习奠基。方程是解决问题的必要手段，必须要学好，我们首先来看中考数学方程与不等式复习要求。 1、一元一次方程 了解一元一次方程及其相关概念，掌握等式的性质，了解解方程的基本目标，熟悉解一元 一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法． 掌握列一元一次方程解实际问题中的基本方法，熟悉列一元一次方程解实际问题中的基 本步骤．' 2．二元一次方程组． 了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种 相关的等量关系；了解解二元一次方程组的基本目标，体会"消元"思想，掌握解二兀一次方 程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；进一步认识利 用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能 力． 3．不等式与不等式组． 了解一元一次不等式及其相关概念，能够列出不等式或不等式组表示问题中的不等关 系；掌握不等式的T性，质-，熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并 能在数轴上表示出解集；了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不 等式组，并会用数轴确定解集；会利用不等式解决简单的实际问题· 4．一元二次方程． 认识一元二次方程及其有关概念，抓住"降次''这一基本策略，掌握配方法、公式法和因 式分解法等一元二次方程的基本解法，会列一元二次方程解决实际问题，体会一元二次方程 的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力· (一)方程和不等式的基本概念 1．方程．(1)等式和方程；(2)方程的解；(3)解方程 2．等式性质．性质1：等式两边都加上(或减去)同 等式； 性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是O) 3．不等式．(1)不等式；(2)不等式的解集；(3)解不等式· 4．不等式的基本性质，性质1：不等式的两边都加上(或减去)同 不等号的方向不变； 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 (二)方程和不等式的解法．。 1．方程的解法．' (1)一元一次方程．任何一个一元一次方程，总可以通过变形化为：一=6(o≠o)的形式． 元一次方程有唯一解z=鲁("to)． (2)一元二次方程．任何关于z的一元二次方程，都可以化成：一2+h+c=o(。≠o)的形 一元二次方程的解法有以下几种． ①直接开平方法：这种方法用于解不含 当詈≤o时，则x='√一詈；当詈>o时，则方程无实根·初中数学专题 不等式及其解集试题及答案
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