高中数学-微积分基本定理
高中数学-微积分基本定理
A 级 基础巩固
一、选择题
1．(2018·四平模拟)定积分??0
1x 2－x
d x 的值为( A )
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．2π
[解析] ∵y ＝x
2－x
，
∴(x －1)2
＋y 2
＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分??01x
2－x d x 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一， ∴定积分??0
1x 2－x d x ＝π
4
，
故选A ．
2．(2018·铁东区校级二模)由曲线xy ＝1与直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭图形面积为( D )
A ．2－ln3
B ．ln3
C ．2
D ．4－ln3
[解析] 方法一：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(1
3，3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐
标为(1,1)，
由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)，
∴由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为
???1
3
1
(3－1x )d x ＋?
?1
3(3－x )d x ＝(3x －ln x )|1
13＋(3x －12x 2)|3
1，
＝(3－1－ln3)＋(9－92－3＋1
2)＝4－ln3
故选D ．
方法二：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(1
3，3)，
由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)，
对y 积分，则S ＝?
?0
3(y －1y )dy ＝(12y 2－lny )|3
1＝92－ln3－(12－0)＝4－ln3，
故选D ．
3．(2018·安庆高二检测)已知函数f (x )＝x n
＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则??1
3f (－
x )d x ＝( D )
A ．0
B ．3
C ．－2
3
D ．23
[解析] ∵f (x )＝x n
＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx
n －1
＋m ＝2x ＋2，
解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2
＋2x ， ∴f (－x )＝x 2－2x ，
∴??1
3f (－x )d x ＝?
?1
3(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|3
1＝9－9－13＋1＝23，故选D ．
4．函数F (x )＝??0
x cos t d t 的导数是( A )
A ．f ′(x )＝cos x
B ．f ′(x )＝sin x
C ．f ′(x )＝－cos x
D ．f ′(x )＝－sin x
[解析] F (x )＝??0
x cos t d t ＝sin t | x
0＝sin x －sin0＝sin x ．
所以f ′(x )＝cos x ，故应选A ．
5．(2018·昆明高二检测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分??－a
a
(x 3
＋sin x －5)d x 的值为( D )
A ．6＋2sin 2
B ．－6－2cos 2
C ．20
D ．－20
[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝
??－22 (x 3＋sin x －5)d x ＝??－22 (x 3＋sin x )d x ＋??－2
2
(－5)d x ＝0－20＝－20． 6．???0
π
3?
????1－2sin 2θ2d θ的值为( D ) A ．－
32 B ．－12
C ．12
D ．
32
[解析] ∵1－2sin
2
θ
2
＝cos θ，
∴???0 π3? ????1－2sin 2θ2d θ＝??
?0
π
3cos θd θ ＝sin θ????
π3
＝
3
2
，故应选D ． 二、填空题
7．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为1
3
．
[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝??0
13x 2
d x ＝x 3
| 1
0＝1，则P ＝
S 阴
S 1
＝13
． 8．已知f (x )＝3x 2
＋2x ＋1，若?
?－1
1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝－1或13．
[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2
＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴??－1
1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，
∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2．
即3a 2
＋2a ＋1＝2．解得a ＝－1或13．
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)??0
2(4－2x )(4－x 2
)d x; (2)?
?1
2x 2＋2x －3
x d x ．
[解析] (1)??02(4－2x )(4－x 2)d x ＝??0
2(16－8x －4x 2＋2x 3
)d x
＝?
????16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403．
(2)??1
2x 2＋2x －3x d x ＝??1
2?
????x ＋2－3x d x
＝? ??
??12x 2＋2x －3ln x | 21＝7
2－3ln2．
10．(2017·泉州模拟)已知f (x )＝(kx ＋b )e x
且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)．
(1)求k 与b 的值； (2)求??0
1x ·e x
d x ．
[解析] (1)∵f (x )＝(kx ＋b )e x
， ∴f ′(x )＝(kx ＋k ＋b )e x
， ∴f ′(1)＝e ，f (1)＝0， 即???
?
?
2k ＋b e ＝e
k ＋b e ＝0
解得k ＝1，b ＝－1． (2)由(1)知f (x )＝(x －1)e x
，
f ′(x )＝x e x ，
∴??0
1(x e x
)d x ＝(x －1)e x |1
0＝0＋1＝1．
B 级 素养提升
一、选择题
1．(2016·岳阳高二检测)若S 1＝??1
2x 2d x ，S 2＝??121x
d x ，S 3＝??1
2e x
d x ，则S 1，S 2，S 3的大小
关系为( B )
A ．S 1
B ．S 2
C ．S 2
D ．S 3
[解析] S 1＝?
?1
2x 2d x ＝x 3
3|2
1＝73．
S 2＝??1
21
x
d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2．
S 3＝??1
2e x d x ＝e x |21＝e 2
－e ＝e(e －1)．
∵e>2．7，∴S 3>3>S 1>S 2．故选B ．
2．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝
??a
b
f x d x b －a
成
立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3
－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 由已知得：f (x 0)＝
??－2
2
x 3－3x d x 4
＝
?
??? ????14x 4－32x 22－2
4
＝0，即x 3
0－3x 0＝0，
解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C ．
二、填空题
3．????–π
2
π
2
(x ＋cos x )d x ＝2． [解析] ???
?–π
2
π
2
(x ＋cos x )d x ＝(12x 2
＋sin x ) ?
?
??
π2
-π2
＝2．
4．函数y ＝x 2
与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92
，则k ＝3．
[解析] 由?????
y ＝kx ，
y ＝x 2
，
解得???
??
x ＝0，
y ＝0，
或?????
x ＝k ，
y ＝k 2
.
由题意得，?
?0
k (kx －x 2
)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3．
三、解答题
5．已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0
1f (x )d x ＝－2，求a 、
b 、
c 的值．
[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2．① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而??01f (x )d x ＝??0
1(ax 2
＋bx ＋c )d x ，
取F (x )＝13ax 3＋12bx 2
＋cx ，
则f ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c ，
∴?
?0
1f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋1
2b ＋c ＝－2③
解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4．
6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2
与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．
[解析] 抛物线y ＝x －x 2
与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积
S ＝??0
1
(x －x 2
)d x ＝(x 22
－x 3
3
)|10＝12－13＝16
．
抛物线y ＝x －x 2
与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S
2＝?
?0
1－k (x
－x 2
－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 3
3)|1－k 0＝1
6
(1－k )3，
又知S ＝16，所以(1－k )3
＝12．
于是k ＝1－312＝1－34
2
．
C 级 能力拔高
设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2． (1)求y ＝f (x )的表达式．
(2)若直线x ＝－t (0 [解析] (1)设f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x 2 ＋2x ＋c ． 又方程f (x )＝0有两个相等实根． 所以判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1． 故f (x )＝x 2 ＋2x ＋1． (2)依题意有??－1 －t (x 2 ＋2x ＋1)d x ＝??－t 0(x 2 ＋2x ＋1)d x ， 所以? ????13x 3＋x 2＋x |－t －1＝? ?? ??13x 3＋x 2＋x |0 －t 即－13t 3＋t 2 －t ＋13＝13t 3－t 2＋t ． 所以2t 3 －6t 2 ＋6t －1＝0， 所以2(t －1)3 ＝－1， 所以t ＝1－ 132． 理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林 摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明 ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof微积分基本定理的证明
7.微积分基本定理练习题