一次函数
一、知识点:
1、常量和变量:在一些问题中,其中有些量的值时按照某种规律变化的,在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值是始终不变的,我们称它们为常量。
2、函数:⑴函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量,y 是x 的函数。如果当a x =时,b y =,那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。
⑵函数的表示方法:⑶函数自变量的取值范围:
常见的使函数解析式有意义的式子有:
① 函数的解析式是整式时,自变量可以取__________;
② 函数的解析式是分式时,自变量的取值要使___________;
③ 函数的解析式是二次根式时,自变量的取值要使_______________________; 3.函数的图象:1.列表法 2.解析式法
3.图象法。描点法画函数图象的一般步骤:
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点)
第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来) 二、举例:
例1: 求下例函数中自变量x 的取值范围: (1)y=2x+3;(2)y=-3x 2 (3)1
1
y x =
+ (4)2y x =-
例2:某煤厂有煤80吨,每天要烧5吨,求工厂余烧量y 与燃烧天数x 之间的函数关系式,
并指出y 是不是x 的函数和自变量的取值范围。
一次函数
一、知识点:
1、一次函数与正比例函数的定义:
正比例函数定义:一般的,形如kx y =(k 是常数,0≠k )的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数。
一次函数定义:一般的,形如b kx y +=(k,b 是常数,0≠k )的函数,叫做一次函数,而当b=0时,b kx y +=即kx y =,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 例:下列函数中,哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?
(1)x y 8-= (2)x
y 8
-= (3)652+=x y (4)15.0--=x y 练习:
2、如何求一次函数与正比例函数的解析式:
待定系数法:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的数,从而具体写出这个式子。
由于一次函数b kx y +=中有k 和b 两个待定系数,所以用待定系数法时需要根据两个条件列出二元一次方程组(以k 和b 为未知数),解方程后就能具体写出一次函数的解析式。 例:1.已知直线b kx y +=经过点(9,0)和点(24,20),求k ,b 的值。
2.“黄金1号”玉米种子的价格为6元/千克,如果一次购买4千克以上种子,超过4千克的部分的种子的价格打8折.
购买种子数量(千克) 1 2 4 6 8 …付款金额(元) (1)填表:
(2)写出购买种子数量x 与付款金额y 之间的解析式,并画出图象.
练习1.已知一次函数2+=kx y ,当5=x 时y 的值为4,求k 的值。
2:我国现行个人工资薪金税征收办法规定:月收入低于800元但低于1300元的部分征
收5%的所得税……如某人某月收入1160元,他应缴个人工资薪金所得税为(1160-800)×5%=18(元)
① 当月收入大于800元而又小于1300元时,写出应缴所得税y (元)与月收入x (元)之间的关系式。
② 某人某月收入为960元,他应缴所得税多少元?
③ 如果某人本月缴所得税19.2元,那么此人本月工资薪金是多少元?
3:商店出售一种瓜子,数量x(g)与售价y(元)之间的关系如下表:
数量x(g) 售价y(元) 100 0.9+0.1 200 1.8+0.1 300
2.7+0.1
表中售价栏中的0.1是塑料袋的价钱。 (1)写出售价y(元)与数量x(g)之间的关系式 是 ;
(2)当数量由1kg 变化到3kg 时,售价的变化范围是 元。
3、一次函数的图象与性质:
1.在正比例函数y=kx 中:
一般的,正比例函数的图象是一条经过原点的直线
如果k>0,那么正比例函数的图象经过_________象限,y 随x 的增大而______; 如果k<0,那么正比例函数的图象经过_________象限,y 随x 的增大而______; 在一次函数y=kx+b 中:
如果k>0、b>0,那么一次函数的图象经过______________象限; 如果k>0、b<0,那么一次函数的图象经过____________象限; 如果k<0、b>0,那么一次函数的图象经过____________象限; 如果k<0、b<0,那么一次函数的图象经过____________象限;
如果k>0,那么y 随x 的增大而______;如果k<0,那么y 随x 的增大而______.
正比例函数与一次函数的关系: 二、举例:
例1:填空题和选择题: 1.函数x 3
2
y =
的图象是过原点与点(-6, ___)的一条直线, 并且过第_____________象限. 2.函数y=5-8x 中,y 随x 的增大而_______,当x =-0.5时,y =_______。 3.已知点A (-4,a ),B (-2,b )都在直线k x y +=
2
1
(k 为常数)上, 则a 与b 的大小关系是a b (填“<”“=”或“>”) 4.函数3x 2
1
y -=
的图象不经过_____象限,它与x 轴的交点坐标是______, 它与y 轴的交点坐标是______, 与两坐标轴围成的三角形面积是______. 5.在一次函数1x 3
2
y +-
=中, 当-5≤y ≤3时, 则x 的取值范围为_______. 6.直线只过二、四象限时, 则y=kx+b 须满足的条件是________________. 7、若点(m ,m +3)在函数y=-
2
1
x +2的图象上,则m=____________. 8、 已知直线y=kx+b 与y=2x+1平行,且经过点(-3,4),则k=____,b=____. 9、 下面两个变量是成正比例变化的是( )
A 、正方形的面积和它的面积;
B 、变量x 增加,变量y 也随之增加;
C 、矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长;
D 、圆的周长与它的半径
例2:① 已知y 与x 成正比例,且当x=1时,y=0.5,求函数解析式。
② 已知一次函数y=kx+b 中,当x=2时, y=5, 当x= -3时, y= -5,求函数解析式。
例3:已知y 与z 成正比例,z +1与x 成正比例,且当x=1时y=1,
当x=0时y=-3,求y 与x 的函数关系式。
400 3.6+0.1
例4:如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象,它们交于点A (4,3),一次函数
的图象与y 轴交于点B ,且OA=OB ,求这两个函数的解析式.
练习:
1.下列说法正确的是( )
A 、正比例函数是一次函数;
B 、一次函数是正比例函数;
C 、正比例函数不是一次函数;
D 、不是正比例函数就不是一次函数. 2、直线y=kx +b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足( )
A 、k>0, b<0
B 、k>0,b>0
C 、k<0, b<0
D 、k<0, b>0. 3、一次函数y=kx -b 的图象(其中k<0,b>0)大致是( )
A B
C D
4、一次函数y=(m +2)x +m 2
-m -4的图象经过点(0,2),则m 的值是( ) A 、 2 B 、 -2 C 、 -2或3 D 、 3
5、直线y==kx +b 在坐标系中的位置如图所示,这直线的函数解析式为( ) A 、 y=2x +1 B 、 y=-2x +1 C 、 y=2x +2 D 、 y=-2x +2
6、若ab <0,bc <0,那么直线b
c
x b a y --
=不经过( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
7.:① 已知正比例函数y=kx 的图象经过点(1,0.5),求函数解析式。 ② 已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(2,5)和(-3,-5), 求函数解析式。
x y
B
0 A
8.:见下表:
x -2 -1 0 1 2 …… y
-5
-2
1
4
7
……
根据上表写出y 与x 之间的关系式
当x=25时,求y 的值;当y=25时,求x 的值。
9:一次函数图象如右图,求这个一次函数的解析式。
10:已知一个正比例函数和一个一次函数的图象都经过点P( -1, 3),且一次函数的图象与x
轴交于Q 点,OQ 的长等于2。求这两个函数的解析式。
一次函数的应用
一、知识点:
1、一次函数的应用:
2、二元一次方程组的图象解法
O
2
1 x
y
⑴一次函数与二元一次方程的关系:
一般地,一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx -y+b=0的解;以二元一次方程kx -y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b 的图象上。 ⑵两个一次函数与二元一次方程组的解的关系:
一般地,如果两个一次函数的图象有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。
所以解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法。 用图象法解二元一次方程组的步骤如下:
①把二元一次方程化成一次函数的形式;
②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像,并标出交点; ③交点坐标就是方程组的解。 二、举例:
例1:填空题和选择题: 1、方程组?
?
?+==-321
4x y y x 的解是 ,则一次函数y=4x -1与y=2x+3的图象交点
为 。
2、方程2x -y=2的解有 个,用x 表示y 为 ,此时y 是x 的 函数。
3、函数y=-2x+1与y=3x -9的图象交点坐标为 ,该方程组 的解是 。
4、把3x+2y=11改为用含x 的代数式表示y ,
5、函数y=3x -4与函数y=
3
2
32+x 的图象交点坐标是 6、若点A(2,-3)、B(4,3)、C(5,a)在同一条直线上,则a 的值是( )
A 、6或-6
B 、6
C 、-6
D 、6和3 7、小明的父亲饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,用15分钟返回家里。下面图形中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是( )
8、已知A 、B 两地相距80km ,甲、乙两人沿一条公路从A 地出发到B 地,甲骑摩托车,乙骑电动车,MC 、OD 分别表示甲、乙两人离开A 地的距离s (km )与时间t (h )的函数关系式图象。根据图象,回答下列问题:
(1) 比 先出发 小时;
(2)大约在乙出发 小时后两人相遇; 相
乙
甲
t/h
s/km
40
80
·
900 O x (分) y (米)
C
45 20 · 900 O x (分)
y (米)
B
45 20 · 900 O x (分)
y (米) A
45
20 ·
900 O x (分)
y (米)
D
20
45
O 1 2 销售量(万件)
800 1300 月收入(元)
遇时乙距A 地约 km ;
(3)甲到达B 地时,乙距B 地还有 km ,乙还需 小时到达B 地; (4)甲的速度是 km/h ,乙的速度是 km/h
(5)甲的函数表达式是 , 乙的函数表达式是 。
9、某公司市场营部的营销人员的个人收入与其每月的销售业绩满足一次函数关系,其图象如图-4所示,由图中给出的信息可知:营销人员没有销售业绩时的收入是( )元。 A. 280 B. 290 C. 300 D. 310
例2:某市出租车的收费标准:不超过3km 记费为7.0元,3km 后按2.4元/km 记费。
⑴ 写出车费y (元)与路程x (km )之间的函数关系式;
⑵ 小亮乘出租车出行,付费12.3元,你能算出小亮乘车的路程吗?
例3:某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一出租公司其中的一
家签定月租车合同,设汽车每月行驶xkm ,应付给个体车主的月费用是Y 1元,应付给出租公司的月费用是Y 2元,Y 1、Y 2分别与x 之间的函数关系图象如图,观察图象回答下列问题: (1) 每月行驶的路程在什么范围内,租公司的车合算?
(2) 每月行驶的路程等于什么时,租两辆车的费用相同?
(3) 如果这个单位每月行驶的路程为2300km ,那么这个
单位租哪家的车合算?
例6:已知直线y 1= 2x -6与y 2= -ax+6在x 轴上交于A ,直线y = x 与y 1 、y 2分别交于C 、
B 。
(1)求a 的值;
(2)求三条直线所围成的ΔABC 的面积。
25001500500y2
Y1
X (KM )
y(元)30002000
10000
初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点P 在直线y=-x-m 上,且AP=OP=4,则m 的值是多少 2、如图,已知点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y=-x 上运动,当线段AB 最短时,试求点B 的坐标。 3、如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分,试求b 的值。 4、如图,在平面直角坐标系中,直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,点C 在x 轴上,若△ABC 是等腰三角形,试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中,已知A (1,4)、B (3,1),P 是坐标轴上一点,(1)当P 的坐标为多少时,AP+BP 取最小值,最小值为多少 当P 的坐标为多少时,AP-BP 取最大值,最大值为多少 ~ 6、如图,已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点,交x 轴于点B (-6,0),△AOB 的面积为15,且AB=AO ,求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O
7、已知一次函数的图象经过点(2,20),它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 ( 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴负半轴上,A点的坐标是(-1,0), (1)经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E,求四边形AECD的面积; (2)若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中,一次函数y=Kx+b(b小于0)的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C,直线x=4与x轴交于点D,四边形OBCD的面积为10,若A的横坐标为-1/2,求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A,且OA=OB:求这个一次函数解析式 12、如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,m)在第一象限,直线PA 交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,S AOP=6. ; 求:(1)△COP的面积 (2)求点A的坐标及m的值; (3)若S BOP =S DOP ,求直线BD的解析式
例谈求一次函数解析式的常见题型 一次函数及其图像是初中代数的重要内容,也是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型 例1. 已知函数是一次函数,求其解析式。 解:由一次函数定义知 ,故一次函数的解析式为 注意:利用定义求一次函数解析式时,要保证。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点(2,-1),求这个函数的解析式。 解:一次函数的图像过点(2,-1) ,即 故这个一次函数的解析式为 变式问法:已知一次函数,当时,y=-1,求这个函数的解析式。三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2,0)、(0,4),则这个函数的解析式为_____________。
解:设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。 解:设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点(1,0)、(0,2) 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型
例5. 已知直线与直线平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________。 解析:两条直线:;:。当,时, 直线与直线平行,。 又直线在y轴上的截距为2, 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析:设函数解析式为,直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行 直线在y轴上的截距为,故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为___________。 解:由题意得,即 故所求函数的解析式为() 注意:求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为 __________。
集合与函数、导数部分易错题分析 1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.你会用补集的思想解决有关问题吗? 3.求不等式(方程)的解集,或求定义域(值域)时,你按要求写成集合的形式了吗? [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么? 4.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 5.解一元一次不等式(组)的基本步骤是什么? [问题]:如何解不等式:()0122>--b x a ? 6.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数及对 称轴进行讨论了吗? 7.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? [问题]:请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射? [问题]:已知:A={1,2,3},B={1,2,3},那么可以作 个A 到B 上的映射,那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9.函数的表示方法有哪一些?如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性?单调性、周期性、奇偶性在函数的 图象上如何反应?什么样的函数有反函数?如何求反函数?互为反函数的图象间有什么关系?求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,你注明函数的定义域了吗? [问题]:已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.(你处理函数问题是是否将定义域放在首位) [问题]:已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称,求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂?指数、对数的运算性质是什么? 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]:已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上,恒有()1>x f ,则实数的a 取值范围是: 。 12.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?(定义法、导数法) 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒 成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? [问题]:写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么? [问题]:证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗? 例题讲解 1、忽略φ的存在: 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-},B ={x|25x -≤≤},若A ?B ,求实数m 的取值范围. 【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ,解得:33≤≤m - 【分析】忽略A =φ的情况.
巩固练习 一、选择题: 1.已知y与x+3成正比例,并且x=1时,y=8,那么y与x之间的函数关系式为()(A)y=8x (B)y=2x+6 (C)y=8x+6 (D)y=5x+3 2.若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过() (A)一象限(B)二象限(C)三象限(D)四象限 3.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是() (A)4 (B)6 (C)8 (D)16 4.若甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2, 如图,所挂物体质量均为2kg时,甲弹簧长为y1,乙 弹簧长为y2,则y1与y2的大小关系为() (A)y1>y2(B)y1=y2 \ (C)y1