高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》难题汇编及答案
新数学《函数与导数》复习知识点 一、选择题 1．已知函数()ln x f x x =，则使ln ()()()f x g x a f x = -有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10, e ? ? ??? C ．1,1e ?? ??? D ．1,e ??-∞ ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 令()ln x t f x x ==，利用导数研究其图象和值域，再将 ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x == ，当01x <<时，()0ln x t f x x == <， 当1x >时，() 2 ln 1 ()ln x t f x x -''== ， 当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>， 所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示： 所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t = ，2 1ln 0t m t -'=≤，所以ln t m t =在[),e +∞上递减， 所以1 0m e <≤ ， 所以10a e <≤，当1 a e =时，x e =，只有一个零点，不合题意，
所以10a e << 故选：B 【点睛】 本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 2．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4 C ．0 D ．﹣4 【答案】A 【解析】 ()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处 的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-， ()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 3．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1 C ．1ln2- D ．1ln2+ 【答案】D 【解析】 由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，00000 2 ln y kx y x x =-?? =?， 0002ln kx x x ∴-=，00 2 ln k x x ∴=+ ，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D. 4．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ． 16 B ． 13 C ． 12 D ． 56 【答案】A 【解析】 曲线2 y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2 y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ()1 2 2 3100 1 11 |2 36 x x dx x x ??-=-= ???? ，故选A. 5．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
函数与导数经典例题高考压轴题含答案
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m高中数学函数与导数练习题
1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像，指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间，的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ，且对m 、n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12 x >-时，()0f x > （1）求证：()f x 是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(23)f x f x -<-，求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数，对x R ∈有()0f x >，且(5)1f =，设1()()()F x f x f x =+，讨论()F x 的单调性，并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+（其中[,1]x t t ∈+，t R ∈）的最小值为()g t ，求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）(2)1f =；（2）()()()f xy f x f y =+； （3）当x y >时，有()()f x f y >，若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈， 都满足()()()f ab af b bf a =+ （1）求(0)f ，(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-
函数与导数练习题(有标准答案)
函数与导数练习题(有答案)
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函数与导数练习题（高二理科） 1．下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0()f x x =与01 ()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2 4 ++= x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．12 log (1)y x =+ B ．22 log 1y x =- C ．2 1log y x = D ．2 12 log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1 )(x x f =则当2-函数与导数经典例题高考压轴题含答案
函数与导数经典例题高考 压轴题含答案 Last revision on 21 December 2020
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21()3 2 f x x =+，()h x =． （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)2 4 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥ ． 3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 =a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是 自然对数的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m函数与导数经典例题高考压轴题(答案)
函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，322 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：22 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-= 或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ??? 的单调递减区间是,.2t t ? ?- ???
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?? ???内的单调递减，在,2t ?? +∞ ??? 内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22 t t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当01,022t t < <<<即时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ?? ??? 内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ?? ∈=-+-≤-< ??? 2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ?? ??? 在内存在零点。 若()3377(1,2),110.244t t f t t t ?? ∈=-+-<-+< ? ?? (0)10f t =-> 所以()0,2t f x ? ? ??? 在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+．
函数与导数二轮复习建议
函数与导数二轮复习建议 金陵中学 朱骏 函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用． 下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考 基本题型一：函数性质的研究 例1（2019年江西理改）若f (x )＝ 1log(2x ＋1) ，则f (x )的定义域为____________． 【解析】由???2x ＋1＞0log(2x ＋1)＞0 ，解得?????x ＞－12x ＜0 ，故－12＜x ＜0，答案为（－1 2，0）． 说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质． 例2（2019年江苏）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． 【解析】 由g (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，得g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义解得． 说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法． 变式：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2 x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______． 答案：±1．
例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (1 2 )＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________． 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图． 由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t (0，a ) ∪(1，a a )． 说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体 性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查． 2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现． 例4（2019年江苏卷）已知函数f (x )＝???x 2 ＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2 )＞f (2x ) 的x 的范围是 ． 【解析】画出函数f (x )的图象，根据单调性，得???1－x 2 ＞2x ， 1－x 2 ＞0． ，解得 x ∈(－1，2－1)． 说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f (1－x 2 )＞f (2x )具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用． 变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________________________． 答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)． 例5（2019年江苏）设a 为实数，函数f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以，－a ＞0，即a ＜0．由a 2 ≥1，得a ≤－1． （2）记f (x )的最小值为g (a )， f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |＝? ????3(x － a 3)2＋2a 2 3，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2 ， x ≤a ， ② （ⅰ）当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2 ，由①②知f (x )≥－2a 2 ，此时，g (a )＝－2a 2 ． （ⅱ）当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2．若x ＞a ，则由①知f (x )≥23 a 2 ；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a ＜0，由②知f (x )≥2a 2 ＞23a 2．此时，g (a )＝23 a 2．
高考数学函数与导数专项练习题
函数与导数 一、填空题 （2017·11）若2x =-是函数2 1` ()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1 ()m i i i x y =+=∑ （ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m （2015·5）设函数211log (2)(1) ()2 (1)x x x f x x -+-0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-+∞U C ．(,1)(1,0)-∞--U D ．(0,1)(1,)+∞U （2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2014·12）设函数()3x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围 是（ ） A ．(,6)(6,+)-∞-∞U B ．(,4)(4,+)-∞-∞U C ．(,2)(2,+)-∞-∞U D ．(,1)(4,+)-∞-∞U （2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ） A .c b a >> B .b c a >> C .a c b >> D .a b c >> （2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A .00,()0x f x ?∈=R B .函数()y f x =的图像是中心对称图形
高考理科数学真题练习题导数与函数的零点问题理含解析
高考数学复习 课时作业17 导数与函数的零点问题 1．已知f (x )＝ax 2 －(b ＋1)x ln x －b ，曲线y ＝f (x )在点P (e ，f (e))处的切线方程为2x ＋y ＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)研究函数f (x )在区间(0，e 4 ]内的零点的个数． 解：(1)由题知? ?? ?? f e ＝－2e ， f ′e ＝－2，得? ?? ?? a ＝1， b ＝e ， ∴f (x )＝x 2 －(e ＋1)x ln x －e. (2)x 2－(e ＋1)x ln x －e ＝0?x －(e ＋1)ln x －e x ＝0，x ∈(0，e 4 ]． 设g (x )＝x －(e ＋1)ln x －e x ，x ∈(0，e 4 ]， 则g ′(x )＝1－e ＋1x ＋e x 2＝ x －1 x －e x 2 . 由g ′(x )＝0得x 1＝1，x 2＝e ， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0， 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0， 当x ∈(e ，e 4 ]时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e ，e 4 ]上单调递增． 极大值g (1)＝1－e<0，极小值g (e)＝－2<0，g (e 4)＝e 4 －4(e ＋1)－1e 3， ∵4(e ＋1)＋1 e 3<4×4＋1＝17， e 4 >2.74 >2.54 >62 ＝36，
∴g (e 4 )>0. 综上，g (x )在(0，e 4 ]内有唯一零点， 因此，f (x )在(0，e 4]内有唯一零点． 2．(2019·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1 a ，a ∈R 且a ≠0. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当x ∈[1e ，e]时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点个数． 解：(1)f ′(x )＝ ax －1 ax 2 (x >0)， 当a <0时，f ′(x )>0恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，由f ′(x )＝ax －1ax 2>0，得x >1 a ， 由f ′(x )＝ ax －1ax 2<0，得00时，函数f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，在(0，1 a )上单调递减． (2)∵当x ∈[1e ，e]时，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点，即当x ∈[1e ，e]时，方 程(ln x －1)e x ＋x ＝m 的根． 令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，h ′(x )＝(1x ＋ln x －1)e x ＋1. 由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1在(1 e ，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增， ∴当x ∈[1 e ，e]时， f (x )≥f (1)＝0. ∴1x ＋ln x －1≥0在x ∈[1 e ，e]上恒成立． ∴h ′(x )＝(1x ＋ln x －1)e x ＋1≥0＋1>0， ∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈[1e ，e]上单调递增． ∴h (x )min ＝h (1 e )＝－2e 1e ＋1e ， h (x )max ＝e.
(完整版)导数与函数的单调性练习题
2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>2 1 . 2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a <－4 C ．a ≥0或a ≤－4 D ．a >0或a <－4 答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在 (0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0
