直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =
-+-
②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222
111(1)[()4]AB y y y y y y k
k
=+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长
例1、 过双曲线1322
=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6
π
的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦长；
2、过双曲线1449162
2=-y x 的右焦点作倾斜角为
3
π
的弦AB ，求弦长AB ；
3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22
154
x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；
4、过双曲线12
2
=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3
π
的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB
（2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点）
二、已知弦长求双曲线方程
5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．
6、已知倾斜角为4
π的直线l 被双曲线6042
2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．
例2、 已知双曲线方程为332
2
=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．
解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322
=-y x .
问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为21
3
的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ?的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。
题型三：
9、设双曲线()01:2
22>=-a y a
x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B.
⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围； ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12
5
=
，求a 的值。 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2
a
2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2
＝0 ① 由题设条件知，
?????
1－a 2
≠04a 4
＋8a 21－a
2
>0
，解得0 2 a ＝ 1 a 2＋1， ∵0 6 2 且e≠ 2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵PA → ＝ 5 12 PB → ，∴(x1，y1－1)＝ 5 12 (x2，y2－1)．∴x1＝ 5 12 x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴ 17 12 x2＝－ 2a2 1－a2 ， 5 12 x22＝－ 2a2 1－a2 ， 消去x2得，－ 2a2 1－a2 ＝ 289 60 ，∵a>0，∴a＝ 17 13 . 10. 已知双曲线的焦点为()0, 1 c F-，()0, 2 c F，过 2 F且斜率为 5 3 的直线交双曲线于P、Q两点，若OQ OP⊥ (其中O为原点），4 = PQ，求双曲线方程。 11. 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12 l l ，，经过右焦点F垂直于 1 l的直线分 别交 12 l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+由勾股定理可得：222 ()() m d m m d -+=+ 得： 1 4 d m =，tan b AOF a ∠=， 4 tan tan2 3 AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴ 2 24 3 1 b a b a = ?? - ? ?? ，解得 1 2 b a =,则离心率 5 e=． （Ⅱ）过F直线方程为() a y x c b =--,与双曲线方程 22 22 1 x y a b -=联立，将2 a b =，5 c b =代入， 化简有2 2 1585 210 4 x x b -+= 22 2 121212 411()4 a a x x x x x b b ?? ?????? =+-=++- ?? ? ??? ???? ?? ?? 将数值代入，有 2 2 32528 454 155 b b ?? ?? ?? =- ? ? ?? ?? ?? 解得3 b=故所求的双曲线方程为 22 1 369 x y -=。 12、已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上． (1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且0=?OQ OP .求 1|OP | 2 ＋ 1|OQ | 2 的值． 解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2 ＝c 2 －a 2 ＝3a 2 ，双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2 . ∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2 ＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2 12 ＝1. (2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 2 12 ＝1，得 2 2222123123x k k y k ?=??-??=?-? ∴|OP |2＝x 2＋y 2 ＝12k 2＋13－k 2. 则OQ 的方程为y ＝－1k x ， 同理有|OQ |2 ＝22 11211 3k k ? ?+ ???-＝12k 2＋13k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋3k 2－112k 2＋1＝2＋2k 2 12k 2 ＋1＝16. 13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2 －y 2 ＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2 ＋y 2 ＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2 ＋y 2 ＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 解：(1)双曲线C 1： 22 112 x y -=，左顶点A 2?? ? ??? ，渐近线方程为：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为222y x =+? ，即y ＝2x ＋1. 解方程组221 y x y x ?=-??=+??，得2 412 y y ?=-??? ?=??. ∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28 . (2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b |2＝1，即b 2 ＝2. 由2 2 21 y x b x y =+?? -=?得x 2－2bx －b 2 －1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则122 1221x x b x x b +=?? =--? 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )， ∴OP OQ ?＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2 )＋2b 2 ＋b 2 ＝b 2 －2＝0. 故OP ⊥OQ . (3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝ 22，则O 到直线MN 的距离为33 . 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ( 显然2 k > )， 则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由2241y kx x y =??+=?得2 2 222144x k k y k ?=??+??=?+? ∴|ON |2 ＝1＋k 2 4＋k 2.同理|OM |2 ＝1＋k 2 2k 2 －1 . 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2 ＋|ON |2 )d 2 ＝|OM |2 |ON |2 ， ∴1d 2＝1|OM |2＋1 |ON |2＝3k 2 ＋3k 2 ＋1＝3，即d ＝3 3 . 综上，O 到直线MN 的距离是定值． 五、能力提升 1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b 与双曲线12 2 =-y x 总有公共点，则b 的取值范围是（ ） (A) () 3,3- (B)]3,3[- (C) ()2,2- (D) []2,2- 2．过双曲线12 2 2 =-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 3．过点??? ? ? --a b P ,1的直线l 与双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 有且仅有一个公共点，且这个公共点恰 是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4 4. 已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为 45的直线与双曲线的右支 有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） (A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞) 6．直线2:+=kx y l 与双曲线6:2 2=-y x C 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 ． 7. 已知倾斜角为 4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程． 8. 设直线13:-=x y l 与双曲线于()0,0122 22>>=-b a b y a x 相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标 为 2 1 ． (1)求22 b a 的值；(2)求双曲线离心率． 9. 已知双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ， 能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项 点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。 定理 在双曲线 12 22 2=- b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0a b x y k MN = ? . 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 2222 22 1 221 b y a x b y a x )2()1(-，得 .02 2 2 2 12 2 2 2 1=-- -b y y a x x .2 21 2121 212a b x x y y x x y y = ++? --∴ 又.22, 00 02 1211 212x y x y x x y y x x y y k MN = = ++--= .2 20 0a b x y k MN =? ∴ 同理可证，在双曲线 12 22 2=- b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点， 点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0b a x y k MN = ? . 典题妙解 例1 已知双曲线13 :2 2 =- x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. 圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题 圆锥曲线的中点弦问题------点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 02020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x 二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞ 0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且 倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线 AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线 l 与圆C 交于A ，B 两点， 设弦心距为d ，圆的半 径为r ，弦长为|AB |， 则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程 与圆的方程联立，设直线与圆的两交 点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆 内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； .. . … 中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0 3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB?K OM的值为（） A．e﹣1 B．1﹣e C． e2﹣1 D． 1﹣e2 4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0 5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（） A．2B．﹣2 C．D． 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D． 7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（） A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，） 8．以椭圆一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________ ． 10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________ ． 11．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________ ，直线方程为_________ ． 12．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________ ． 13．过椭圆=1一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________ ． 14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM= _________ ． 15．以椭圆的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________ ． 16．在椭圆+=1以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________ ． 17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________ ． 三．解答题（共13小题） 18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程． 20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程． 22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（） （1）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积． 第 1 页 共 1 页 双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦） 双曲线 ()0,01- 2 22 2>>=b a b y a x 与直线m kx y l +=:相交于AB 两点，求AB 的弦长． 设 设()()2211,,,y x B y x A 则()()()2122122 1221241x x x x k y y x x AB -++=-+-= 将 m kx y +=代 入 1 - 2 22 2=b y a x 得： ( ) ??? ????---=?-=+∴=-2222 222212222212 22222222-20-2--a k b b a m a x x a k b km a x x b a m a kmx a x a k b () 2 2 2 2 2222 212 212 2141k a b m a k b ab k x x x x k AB -+-+=-++==∴． 双曲线与直线交点的判别式：() 2222224m a k b b a +-=?用来判断是否有两个交点问题． 面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ?．设C 到l 的距离为d ，则222222200200-1 21 21a k b m a k b ab m y kx k m y kx AB d AB S ABC -+?+-=++-==△． 直线与双曲线交点问题： （1）直线m kx y +=与双曲线()0,01- 2 2 2 2 >>=b a b y a x 有两个交点时， ( )04222222>+-=?m a k b b a ；() 04222222=+-=?m a k b b a ，有仅有一个交点； ()042 222 2 2<+-=?m a k b b a ，没有交点． （2）过点()00,y x P 的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论： ①当a b x y ±=00时，点P 在渐近线上，当a x ±=0时，有两条直线（一条切线，一条与另一条 渐近线平行的直线）；②当a x ±≠0时，且在双曲线外部，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）； ③当()0,01-220220>>>b a b y a x 时（点P 在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率a b k ±=时， 有一交点，当直线斜率a b k ±≠时，有两个交点． 关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4) 2(82 221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4) 2(422 221=+-=+k k k x x ， 解得2 1 -=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x ， 两式相减得0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x ， 所以 21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21 -=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642 222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆 136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ）， 用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 1直线:m 360x y ++=,过)0,1(-A 的动直线l 与直线m 相两点,M 是PQ 中点. (Ⅰ)l 与m 垂直时,求证:l 过圆心 C ;(求直线l 的方程;(Ⅲ)设t =AN AM ?,试问t 是否为定值 2（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与圆O 交于上是否存在一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 3．圆2 2 :(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=（1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ；（2） 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3） 若定点P （1，1）满足2PB AP =，求直线l 的方程。 4．圆C 经过点A （－2,0），B （0,2），且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．（1）求圆C 的方程；（2）若2OP PQ ?=-，求实数k 的值； （3）过点(0,4)作动直线m 交圆C 于E ，F 两点．试问：在以EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M 5．如图，圆C ：0)1(2 2 =+-++-a ay y x a x ．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：42 2 =+y x 相交于两点,A B ．问：是否存在实数a ，使得 BNM ANM ∠=∠？ 6．（14分） 已知方程0422 2 =+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. 7．圆0122:2 2 =+--+y x y x C ，直线kx y l =:，直线l 与圆C 交于点M 的坐标为(0,)b ，且满足MA MB ⊥．（1）当1=b 时，求k 的值； （2时，求k 的取值范围． 8．圆C ：2 2 (3)(3)9x y -+-=，直线1:l y kx =与圆C 交于P 、Q 两个不同的点，M 为P 、Q 的中点．（Ⅰ）已知(3,0)A ，若0AP AQ ?=，求实数k 的值；（Ⅱ）求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线1l 与2:10l x y ++=的交点为N ，求证：||||OM ON ?为定值． 直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y = -+- ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ； 3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2 =-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点） 二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程． 例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由???? ? Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2 ＋y －b 2 ＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心 距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ? ?|AB |22＋ d 2 ＝r 2 ， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2 ＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两 点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则|AB | ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 双曲线中的中点弦 一道课后作业题的教学所思 绵阳南山中学 青树国 在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。 一、课本习题再现 普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社 A 版）第二章第三节课后习题 B 组第4题：已知双曲线12 2 2 =-y x ,过 点)1,1(P 能否作一条直线l ,与双曲线交于A 、B 两点,且点P 是线段AB 的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设——推理——验证——下结论。具体来说普遍采用了以下两法。 法一：（设而不求）假设能作这样的直线l ，通过作图可知：直线 l 的斜率显然，设其为k ，从而直线的方程为：)1(1-=-x k y 即： 1+-=k kx y ，联立直线和双曲线的方程并消去未知数y 可得 032)1(2)2(222=-+--+-k k x k k x k 。（*）设),(11y x A 、),(22y x B 由题意可知1x 、2x 是方程 （*）的两个根。故022≠-k 且0)32)(2(4)1(42222>+--+-=?k k k k k ， 由题意可知：22) 1(22 21=--- =+k k k x x ，解之得2=k ，带入判别式知0 圆锥曲线的中点弦问题 一：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！ 1、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 2 1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125 752 2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 五、注意的问题 （1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论 圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题. 定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不 平行y 轴）的中点，则有：2 2AB OM b k k a ?=- 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有 1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?+=????+=?? 两式相减得：2222 1212 22 0x x y y a b --+=整理得：22 2 1222 212y y b x x a -=--，即2 121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以 0012 001222OM y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ?=- 定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22 221x y a b -=弦AB 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每 （AB 不平行y 轴）的中点，则有2 2AB OM b k k a ?= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?-=????-=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22 2 1222 212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012 001222OM y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ?= 例1、已知椭圆22 221x y a b -=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中 点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、 1 2 B 、2 C 、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且1 2 OM k =-，根据定理有2212b a =，即 222 2112 a c e a -=-= ，解得e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆22 1164 x y + =内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程. 解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知1 4 AB OM k k ?=-，显 然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为1 1(2)2y x -=--，即 240x y +-=. 圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题 . - 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由? ?? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27， 求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 . - (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2 r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将 直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ x 1－x 2 2＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1 k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C | A 2＋B 2＜r ； 性质2：由??? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， ∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2 ＝2 2.∵r ＝2 2， ∴|BC |＝ 8－ ? ?? ??? 222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝ 30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得 2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7 2 ， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1 2， ∴直线AB 的方程为y －2＝1 2(x ＋ 1)，即x －2y ＋5＝0. 点差法求解中点弦问题 【定理1】 在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又 【定理2】 在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又 【定理3】 在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN 的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在、 一、椭圆 1、过椭圆＋＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于 A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程． 【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝、∵P为弦AB的中点，∴2＝＝、解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0、 法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2、又∵ A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝ 16、两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0、∴＝＝－，即kAB＝－、∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0、 2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程． 【解答】 解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P为弦AB 的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为： x+y=0．（﹣＜x＜）∴点P的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x＜）； 3、（xx秋?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ． 【解答】 解：设椭圆=1（a＞b＞0），则a2﹣b2=50①又设直线3x﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点 （x0，y0）∵x0=，∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣，由，得，∴AB 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又 ，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。 秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题： 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题： 注：方程：2 2 1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆； ②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。 秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：2 2 1mx ny +=交于 两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ， Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22 1122 22 1 (1) 1 (2) mx ny mx ny ?+=??+=??, Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m k k k x n =-=中中。(作为公式记住，在小题中直接用。) 题型一：求值 ： 〖母题1〗已知椭圆 22 1164 x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 【解析】:由结论可得： 16421-=?-k ，得2 1 -=k ，直线方程为：240x y --=。 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22 22:1(0)x y G a b a b +=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆 于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-， ,则E 的方程为 ( ) A. 1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.19182 2=+y x 【解析】:由结论可得： 22 2111a b -=?-，得222b a =，3= c ，选D 。 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
1. 中点弦问题(点差法)
直线与圆相交弦长问题
圆锥曲线经典中点弦问题
双曲线的弦长公式与面积(不过焦点的弦)
圆锥曲线中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆-韦达定理
直线与双曲线的相交弦问题
直线与圆相交弦长问题
双曲线中点弦 存在
中点弦问题(基础知识)
高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
直线与圆相交弦长问题
点差法求解中点弦问题
圆锥曲线的焦点弦公式及应用(难)
秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦(解析版)