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多元Proshan_Sullo型指数分布的特征

第19卷第3期宁波大学学报（理工版）

V ol.19 No.3 2006年9月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE ) Sept. 2006

文章编号:1001-5132（2006）03-0360-03

多元Proshan-Sullo 型指数分布的特征

王立洪，李国安

（宁波大学理学院，浙江宁波 315211）

摘要：利用分布密度分拆的思想，导出了二元Proshan-Sullo 型指数分布的多元推广，得到了多元Proshan-Sullo 型指数分布的特征，并获得了相应参数的最大似然估计及矩估计. 关键词：Proshan-Sullo 型；多元指数分布；特征；最大似然估计；矩估计中图分类号：O212.4

文献标识码：A

Proshan 和Sullo [1]于1974年引入了如下的二元指数分布

12112211221022222121

1222011121211112(){(){exp[()()()exp()}{(){exp[()()]()exp()}F x x ''x 'x 'x x x ''x 'x 'x x x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ??=?+??+?

??++???≤??+??+??

收稿日期：2006-03-29.

作者简介：王立洪（1978－），男，浙江奉化人，硕士，主要研究方向：计算机数学. E-mail:wanglihong@https://www.sodocs.net/doc/0a8813296.html,

??+?+??

?≥??

，，，其中121 N 元可分离混合型随机变量的特征

记A 为正整数集{1

的非空子集全体所组成的集合，2}n ???，，，12min()n Z X X X =???，，，，分别定义12{}s I i i i =???，，，，当(对所有12s i i i j X X X X ==???=<112)1212s s j i i i i i i n s n ≠???≤

件密度，表示(()()a a p f z a A ∈)Z I ，

的联合密度. 定义 1 多元混合型随机变量 12()n X X X ???，

，，0λλλλ=++，这个分布包含了Freund 型二元指数分布[2]和Marshall-Olkin 型二元指数分布[3]. 文献[4，5]分别给出了多元Freund 型指数分布和多元Marshall-Olkin 型指数分布的特征，在已有多元Marshall-Olkin 型指数分布和多元Freund 型指数分布的情况下，讨论二元Proshan-Sullo 型指数分布的多元推广是有意义的，同时多元Proshan-Sullo 型指数分布的特征及参数估计也值得研究. 本文引入了N 元可分离混合型随机变量的概念，给出了N 元可分离混合型随机变量的1个特征. 并从分布密度的等价分拆角度出发，导出Proshan-Sullo 型二元指数分布的多元推广，并给出多元Proshan- Sullo 型指数分布的特征，以及Proshan-Sullo 型多元指数分布参数的最大似然估计及矩估计.

~12()n f x x x ???，，，，称为元可分离混合型随机变量，服从多元可分离混合型分布. 若

12(n X X X ???，，，))n 12()()(n aa i aj j i j a

f x x x f x f x x ????=Π?，，，，

.j i i a x x j a a A ∈>???∈，，，

定理1 若是元可分离混合型随机变量，12(n X X X ???，

，，))n 12(n f x x x ???，

，，是其联合密度，()Z I ，的联合密度记为则

()a a p f z a A ∈，，()

()()()(i j a a a X X j a

).f p f z f i a a A ?????????Π?∈?∈，，，，，证明 “?”不设一般性

2121(1||||)n n P I Z z X X x X X x =≥?≤????≤，，，，=

112211)(n x P X z X X x X X =≥<≤+???，，<，

1)n n X x X ≤+=

第3期王立洪等：多元Proshan-Sullo 型指数分布的特征 361

1211

11d (n y x y x z

y y y f y y +∞++??????∫

∫

，，，2，

23)d d d .n n y y y y ???，，，

两边关于求偏导数，得 2n z x x ???，

，，(1)

11||

()()()i j X X j n j p f z f x f z z x z x ?≠=+???+∏，，， ()||

12()()(i j i i i X X j j i

p f f x f z x z x z ?≠?=++???+∏，，， 11)(12).i i n x z z x z x i n ?++???+=???，，，，，，，， “?”

不妨设12131n x x x x x x <

，，，则 11112222(P x X x x X x εε≤<+≤<+???，，，

11(1)n n n n P I x Z x x X x ε==≤<≤<+，+

121121212,x x X X x x εεε??≤?

212

211

(1)

11||

22()d ()d X X x x x x

x x p f z z f u u εεε?+?+?????∫∫

111

(1)

()d .n n

n n

X X n n x x x x f u u εε

??+??∫ 由积分中值定理，并令得： 012i i n ε→=???，，，，，21(1)

12111||

21()()(n X X f x x x p f x f

x x ????=????，，，)

1(1)

1()n X X n f x x ??，当11j x x j

时，即 ()

()()()(i j a a a X X j a

).f p f z f i a a A ?????????Π?∈?∈，，，，，定理 2 若是多元可分离混合型随机变量当且仅当12(n X X X ???，

，，)I 是值离散型随机变

量，且给定21n ?I a a A =?∈，时，(j i Z X X i a ???????∈，，，，， )j a ??是相互条件独立的连续型随机变量.

2 N 元Proshan-Sullo 型指数分布的特征及参数估计

2.1 二元Proshan-Sullo 型指数分布的多元推广

Proshan 和Sullo 于1974年提出上述的二元指数分布后，至今还未有它的多元形式出现，在本节，从分布密度等价表示出发，导出了二元Proshan- Sullo 型指数分布的多元推广. 记12{}s a i i i =???，，

，， 111(11)()z a a a i i i n n p f z e s λλ?≤<

，当j a ?时， {}{}()

()exp[(())]1

.a j j a j a j X

i j

'f x 'x i a j a i a j a λλλλ∪∪?+?+??=∈???

∈∈?，，，，，

定义2 设是元非负随机变量，其联合分布密度为

12(n X X X ???，，，)n ()

12()()(j

a m a a i j i X X

j i

f x x x p f x f x x ?≠)???=?=∏，，，

{}()()

{}()a j j j i j a 'x x x a a j j j i

e 'e λλλλλλ∪??

+??∪≠∑a +??∏，，

当i j a ∈，时，i j x x =；当时，i a j a ∈?，j i x x >，

则称服从元Proshan-Sullo 型指数分布. 12()n X X X ???，

，，n 1

}

{,s j j λ",改写为与二元Proshan-Sullo 指数分布

参数和多元Marshall-Olkin 指数分布参数平行的符

号1

1,1.s j j s j j n s λ???≤≤≤=n ??????，，，记为 12()n X X X ???，

，，n 0112121~PSMVED().n n ''λλλλλλλ????????????，，，，，，，，，

多元Proshan-Sullo 型指数分布还包含了多元Marshall-Olkin 型指数分布和Freund 型指数分布.

定理3 若服从元Proshan- Sullo 型指数分布，那么服从元Proshan-Sullo 型指数分布.

12()n X X X ???，

，，n 1()(2)m j j X X m n ???≤<，，，m 证明直接验证可得.

2.2 N 元Proshan-Sullo 型指数分布的特征

定理4 1201()~PSMVED(n n X X X λλλ??????，，，，，，，

12121)n n ''λλλλ??????，，，，，???当且仅当1

}1{/s s

j j j j p λ???="，，

11.j j n n s λ≤≤=??????，，，，且给定1(1{}s I j j ≤=???，，，

1s 1)j j n n s <<≤=?????，，，时，1

()i j k Z X X i j ????????≠，，，，，

?1.k s =???，，分别是1n s ?+元条件独立的连续型随

机变量，且~()Z E λ，1

~().i s i j j j i X X E 'λλ????+并

且给定{1}I n =???，，时，Z 为条件连续型随机变量，且~()Z E λ.

定理5 1201()~PSMVED(n n X X X λλλ??????，，，，，，，

12121)n n ''λλλλ?????????，，，，，当且仅当I 是1个21n ?值

的随机变量，且给定1{}s I j j =???，

，时，(i Z X ????，， 1),1.j k X i j k s ????≠=???，，，，λλ???分别是元条件

独立的连续型随机变量，且

1n s ?+1~()~i j Z E X X λ?，11().(1s j j i i s E 'j j +≤

，，证明由定理4直接可得.

362 宁波大学学报（理工版） 2006

2.3 N 元Proshan-Sullo 型指数分布的参数估计

设120112()~PSMVED(n n X X X λλλλ??????，，，，，，，，是来自12112)()(1)n n j j nj ''X X X j m λλλ????????????=???，，，，，，，，，，，，120112()~PSMVED(n n X X X λλλλ??????，

，，，，，，， 121)n n ''λλλ??????，，，，1212{}

1(1)0j j j j j j s s i u X X X X W i j u s ???==???=

=?≠=??????

，，，，，，，，，其他，)???的容量为的样本，记

m 12{}121(10s j j j j

s j j j j j j u i j X X X W X i j u s ???==???=???

=?≠=???????，，，，，，，，，，

，，，，其他.

1min()(1)j j nj Z X X j =???=???，，，，，n

1212{,,,}{,,,},1

1m j j j j j j j j s s W W m ==∑，……11.m

j j Z Z m ==∑

定理6 设服从元Proshan-Sullo 型指数分布，()是随机样本，则参数1()n X X ???，

，n (12)j nj X X j m ???=???，，，，，1(11)s s 11j j j j n s n λ≤

111j j j j s

s s W .j j n s n λ??????=

?≤

，，，， λ′ 是方程'a a'j i

a'i i i a A a A j a W

W X X 'λλ∈∈∈=?+∑∑ ，的解，1

2i n =???，，，. 这里i A 是集合{1

211}i i n ????+???，，，，，，的一切子集所组成的集合, 是a'i A 的元素. 参考文献：

[1] Proschan F, Sullo P. Estimating the parameters of a

bivariate exponential distribution in several sampling situations[C]// Proschan F, Serfling R. Reliability and biometry, statist, analysis of lifelengths. Philadelphia: SIAM, 1974:423-440.

[2] Freund J E. A bivariate extension of the exponential

distribution[J]. J Amer Statist Assoc, 1961, 56:971-977. [3] Marshall A W, Olkin I. A multivariate exponential

distribution[J]. J Amer Statist Assoc, 1967, 62(1):30-44. [4] 李国安. 多元Freund 型指数分布的特征及参数估计[J].

宁波大学学报: 理工版, 2006, 19(1):9-13.

[5] 李国安. 多元Marshall-Olkin 型指数分布的特征及其参

数估计[J]. 工程数学学报, 2005, 22(6):1055-1062.

Characteristics of Multivariate Exponential Distributions of Proshan-Sullo

WANG Li-hong, LI Guo-an

(Faculty of Science, Ningbo University, Ningbo 315211, China)

Abstract: Based on distribution density partitioning technique, a multivariate extension is derived of

Proshan-Sullo’s bivariate exponential distribution, and the characteristics of Proshan-Sullo type’s multivariate exponential distribution are found. Both maximum likelihood estimators and the moment estimators of parameters of the distribution are also derived in this work.

Key words: Proshan-Sullo type; multivariate exponential distribution; characterization; maximum likelihood

estimators; moment estimators CLC number: O212.4

Document code: A

（责任编辑史小丽）

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1几种常见的具有可加性的分布 (1) 二项分布 (2) 泊松分布（Possion分布） (3) 正态分布 (4) 伽玛分布 (6) 柯西分布 (7) 卡方分布 (7) 2具有可加性的概率分布间的关系 (8) 二项分布的泊松近似 (8) 二项分布的正态近似 (9) 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数 SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdd itive 'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion. KeyWords probabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction 引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是 n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示为 ②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是 )(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζ?+=的密度函数如下其证明如下： ξζ?+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z y x )()()()(ξζ?ξζ??≤+= ≤+= 其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζ?+=的密度函数：

特征函数

特征函数 (概率论) 维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：，其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。用矩母函数M X（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。与矩母函数不同，特征函数总是存在。如果F X是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：。在概率密度函数f X存在的情况下，该公式就变为：。如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X(x) = f X(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。

目录 [隐藏] ? 1 性质 ? 2 连续性 o 2.1 反演定理 o 2.2 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 o 2.3 计算性质 ? 3 特征函数的应用 o 3.1 矩 o 3.2 一个例子 ? 4 多元特征函数 o 4.1 例子 ? 5 矩阵值随机变量 ? 6 相关概念 ?7 参考文献 [编辑]性质 [编辑]连续性主条目：勒维连续定理勒维连续定理说明，假设为一个随机变量序列，其中每一个都有特征函数，那么它依分布收敛于某个随机变量：当如果当且在处连续，是的特征函数。勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。

常用连续型分布性质汇总及其关系

常用连续型分布性质汇总及其关系 1. 常用分布 1．1 正态分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为 ()( )()22 222(), . ,. x t x p x x F x e dt x μσμσ-- -- -∞ = -∞<<+∞= -∞<<+∞ 则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞> （2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。（3）关于参数,μσ： μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参数。μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在 μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，所以μ也是正态分布的中位数。 2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。σ又称为是正态分布的的尺度参数。（4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。记U 为标准正态分布变量，()u ?和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。 ()u ?和()u φ满足：

()()()(); 1. u u u u ??-=Φ-=-Φ （5）标准化变换：若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μ σ -= （6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有 ()( ),()1( ),()( )( ),b P X b a P a X b a P a X b μ σ μ σμ μ σ σ -≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ 0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=?? -<=Φ-Φ-==??=? （7）特征函数 22 ()exp{}.2 t t i t σ?μ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ?=-） 1.2.均匀分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为 1 ().0 a x b P x b a else ?<

特征函数与极限定理

第十二次课 2学时本次课教学重点：特征函数的定义与性质本次课教学难点：常见分布的特征函数的计算本次课教学内容：第四章特征函数通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的，另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度函数的卷积），要解决复杂的多的问题，没有更优越的数学工具是不行的，在学习数学分析时我们就知道富里埃变换能把卷积运算变成乘法运算，它在数学中是非常重要而有效的工具，把富里埃变换引入到概率之中来，就产生了“特征函数”，可以毫不夸张地说，概率统计自从引进了特征函数以后，就把理论的研究推进到一个新的台阶。第一节特征函数定义与性质一、定义本章中1-= i 定义4.1.1设ξ是定义在概率空间),,(P F Ω一个随机变量，分布函数为)(x F ，称 ()ξ?it Ee t =，∞<<∞-t （4.1）为ξ的特征函数。有时也称为分布函数)(x F 的特征函数。由定义 ()()???????=?∑∞ ∞ -∞=dx x f e p e t itx k k ita k 1 ? （4.2）由1=itx e ，故（4.2）的级数或积分是绝对收敛，即ξ,,v r 的特征函数总存在。由（4.2）看出，ξ..v r 的f c .是其概率函数或密度函数的富里埃变换，计算特征函数则需要进行复数求和或作实变量复值函数的积分。作积分时有时会用到复变函数中的残数理当ξ～f （x ）当

指数族和几何分布

指数族和几何分布关于指数族和广义线性模型的相关知识，详情请点击。以φ为参数的指数分布为： ,...2,1)1();(1=-=-y y p y ，φφφ （1）证明指数分布是指数族分布。 ) 1log ))1exp((log()log )1log()1exp(()1();(1φφφφφφ φφ-+?-=+--=-=-y y y p y 于是， )1log()1log()(, )() 1(),1(log 1)(η ηφφ ηφφηe e a y y T e y b -=--==-=?-==，（2）使用具有几何反应变量的广义线性模型，执行回归，可得典型反应函数为： η φ ηηηe y E y T E g -====11 1] ;[] );([)( （3）给定一组训练集},...,2,1);,{()()(m i y x i i =，令一个样本的log 似然性为);|()()(θi i x y p ，下面我们求解随机梯度上升的更新规则。先写出

)1log(11 log 1log ))1log )1g(log(exp(lo );|(log )()() ()()()()()()()()()()()(-+=--=--=---==--i T i T i T i T x i i T x i i T x x i i T i i i e y x e y x e e y x y x y p l θθθθθθθφφφθθ， )(θl 关于j θ求导，得到 ) ( )()()()()( )()())1(1 ()1() 1()()()()()(i j x i x i j i i j x i j x i i j j x e y e x y x e x e y x l i T i T i T i T θθθθθ---- =--?+=??-- 所以梯度上升更新规则为 )()()11(:)(i j x i j j x e y i T θαθθ-- +=。

几种常见的分布

一、常见数据类型数据可大致分为离散我们先来看一看平时遇到的数据。在正式的解释分布之前，型数据和连续型数据。离散型数据结果只当你掷骰子的时候，离散型数据顾名思义就是只取几个特定的值。例如：。1,2,3,4,5,6，不会出现类似1.5,2.5有连续型数据这个范围可以是有限的或者是连续型数据可以取任意值。在一个给定的范围内，等 54kg,54.4kg,54.33333kg无穷的。例如：一个人的体重或者身高，可以取值等都没有问题。下面就开始介绍分布的类型。二、分布类型）Bernoulli Distribution伯努利分布（首先从最简单的分布开始，伯努利分布实际上是一个听起来最容易理解的分布。。代表0failure1代表success及伯努利分布一次实验有两个可能的结果，比如pX表示失，一个取值为1并代表成功，成功概率为0随机变量pX一个取值为pq1?或者说1?p。败，失败概率为q(0,1)∈xp(1?p)，我们(0,1)x这里，概率分布函数为px(1?p)1?x，其中∈xx1?也可以写成如下形式：x=0x=1pP(x)={1?p x=1 ，，，x=0p，P(x)={1?p，但是这俩概率加和应该0.5成功和失败的概率没必要相同，也就是没必要都是，比如可以是下面的图：为 1. p(failure)=0.85p(success)=0.15p(failure)这个图就是p(success)=0.15，，

=0.85。服从伯努利下面说一下随机变量的期望，一个分布的期望就是这个分布的均值。X X分布的随机变量的期望值就是： p)=p?(1?E(X)=1?p+0?(1?p)=pE(X)=1?p+0服从伯努利分布的随机变量的方差是：p)(1?=p?p=pV(X)=E(X)?[E(X)] V(X)=E(X2)?[E(X)]2=p?p2=p(1?p)222明天今天会不会去健身，还有许多伯努利分布的例子，比如说明天是否会下雨，乒乓球比赛是不是会赢。）均匀分布（Uniform Distribution而任何一个结果出现的概率中的任何一个，1到6当你掷骰子的时候，结果出现与伯努利分布不都是相同的，这就是均匀分布最原始的雏形。你可能看出来了，n n个出现的结果的概率都是相同的。同的是，这X X为均匀分布是指密度函数如下：一个随机变量<∞≤b?f(x)=1ba?∞(a+b)2V(X)= Variance->V(X)=(b?a)21212?a)(b2b=0a=0，所以对于标准