2.2.2 向量减法运算及其几何意义(教案)

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

【教学目标】

1、知识与技能

理解向量减法的意义；能熟练掌握向量减法的三角形法则；能准确作出两个向量的差向量；知道向量的减法运算可转化为向量的加法运算。

2、过程与方法

理解向量减法定义时要结合图形语言，并通过相反向量来揭示加法和减法的内在联系，通过本节课的学习，对学生渗透化归思想和数形结合思想，继续对培养学生识图、作图的能力及运用图形运算的能力。

3、情感、态度与价值观

培养学生用联系的观点看问题，继续培养学生对数学美的感受。

【教学重点】

向量减法的运算。

【教学难点】

对向量减法法则的理解。

【教学方法】

引导探究法。

【教学过程】

〖创设情境 导入新课〗

【导语】上一节课，我们学习了向量的加法，知道了加法的三角形法则和平行四边形法则，并用这两种

法则进行了加法运算，这一节课，我们将进一步学习向量的减法。

〖合作交流 解读探究〗 1、向量减法的定义：

定义1：求两个向量的差的运算，叫做向量的减法。

定义2：向量a 加上向量b 的相反向量，叫做向量a 与向量b 的差，记作：a b -

。 即：

()

a b a b -=+- 。（减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。）

【说明】向量的差仍然是一个向量。 【导语】()()()

0b a b b a b a b b a a ????+-=++-=++-=+=????

∴求a b - 就是求这样一个向量：它与b 的和向量为a

。

因此，根据向量加法的三角形法则可作出如图所示的a b -

。

已知,a b 是平面上的任意两个向量，在平面上任取一点A ，作,AB a AC b ==

，

则CB a b =-

。

2、向量减法的三角形法则：（特点：向量的“起点相同”）

其法则为：当两个向量的起点相同时，则连接两个向量的终点，且方向指向被减向量的

终点所对应的向量就是这两个向量的差向量。即：AB AC CB -=

。

【说明】（1）运用这一法则时要特别注意“起点相同”。 （2）三角形法则可用于求任何两个向量的差向量。

【例1】已知向量,,,a b c d

，求作向量()()

,,,,,a b c d a b a b c b c d ---+-----+ 。

【解】所求向量如图所示：

由作图结果知：()a b a b -+=-- ，()

c d c d --=-+

。

【练习1】课本87P 练习1

【例2】如图所示，ABCD 中，,AB a AD b == ，用,a b 表示,AC DB 。

【解】由向量加法法则和减法法则可知：

,AC a b DB a b =+=- 。

3、向量减法的平行四边形则：（特点：向量的“起点相同”）

在平面内任取一点A ，作,AB a AD b == ，以表示向量,AB AD

的有向线段为邻边作平行四边形ABCD ，则连接两个向量的终点，且方向指向被减向量的终点所对应的对角线向量就是这两个向量的差向量。如图所示：

b

c+d

C

【说明】向量加法的三角形法则和平行四边形法则实质是相同的。

4、向量减法的性质：对于任意两个向量,a b

，有a b a b a b -≤-≤+ 。

（1）若a 与b

不共线，则a b a b a b -<-<+ 【如图（1）】；

（2）若a 与b

共线且同向，则a b a b

-=- 【如图（2）】； （3）若a 与b 共线且反向，则a b a b -=+

【如图（3）】。

图（

1 图（2） 图（3）

【练习2】若8,5,AB AC == 求BC

的取值范围。

【解】BC AC AB AC AB AC AB AC AB =--≤-≤+

且，

311BC ∴≤≤

。

〖应用迁移 巩固提高〗

题型一：向量的减法的基本运算

【例1】化简下列各式：

（1）AB AD DC --

；（2）()()

AB CD AC BD --- 。

【变式1】化简下列各式：

（1）

()()BA BC ED EC --- ；②()()

AC BO OA DC DO OB ++---

。

题型二：用已知向量表示其它向量

【例2】（1）如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD ，设,,AB a DA b OC c ===

，试用

,,a b c

表示向量OA 。

（2）如图所示，已知,,,,,,OA a OB b OC c OD d OE e OF f ====== 试用,,,,,a b c d e f 表示,,AC AD

,,,AD AB AB CF BF BD DF FE ED -+-++ 。

B a b a

C b a C

B

高2015级教案 必修4 第二章 平面向量 撰稿人：王海红

【变式2】（1）如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且,,AB a AC b AE c ===

，

试用,,a b c 表示向量,,,BD BC BE CD 及CE 。

（2）如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A B C 、、的向量分别为123r r r

、

、，求OD 。

题型三：向量加法、减法的综合应用

【例3】已知非零向量,a b

满足1,1,a b == 且4a b -= ，求4a b += 。

【变式3】已知G 为ABC ?内一点，若0GA GB GC ++=

，求证：G 为ABC ?的重心。

【例4】如图所示，正方形ABCD 的边长等于1，,,AB a BC b AC c ===

，试求：

（1）a b c ++ ；（2）a b c -+ 。

【变式4】已知非零向量,a b

满足8,6,a b a b a b ==+=- ，求a b - 。

〖当堂检测 随堂巩固〗

1在平行四边形ABCD 中，AC AD -=

（ ）

.A AB .B BA .C CD .D DB

2、在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）

.A 0AB DC -= .B AD BA AC -= .C AB AD BD -=

.D 0AD CB +=

3、在平行四边形ABCD 中，BC CD BA AD -+-=

。

4、已知,,OA a OB b == 若12,5,OA OB == 且90AOB ?

∠=，则a b -= 。

A

C

〖总结反思 拓展延伸〗

1、向量减法的实质是向量加法的逆运算。利用相反向量的定义，AB BA -=

就可以把减法转化为加法．即：

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。如()

a b a b -=+-

。

2、在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”。解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3、以平行四边形ABCD 的两邻边AB AD 、分别表示向量,AB a AD b ==

，则两条对角线表示的向量为,,AC a b BD b a DB a b =+=-=-

，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住。 〖课后检测 信息反馈〗 1、课本91P 习题2.2A 组 4、

（4）（5）（6）（7） 5、6、7、8 2、课时活页规范训练

〖板书设计〗 【教学反思】

【课时活页规范训练】

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷 一、填空题 1、向量的两个要素是： 和 。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有 ； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于 。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是 形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是 。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为 。 二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

向量的加减法运算及其几何意义

课题 向量的加减法运算及其几何意义 知识点一：向量的基本概念： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行， 要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

人教A版高中数学《平面向量的线性运算》教学设计

2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C

O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa

平面向量线性运算教案

向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】

（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.

向量减法及其几何意义

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间 可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 授课类型：新授课 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算 定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图 较繁，但最后作图可统一. O A B a B’ b -b b a + (- b ) a b A B D C O a b B a b a -b

平面向量的加减法测试题

平面向量的加减法练习题 一、选择题 1、下列说法正确的有( )个. ①零向量是没有方向的向量,①零向量的方向是任意的,①零向量与任一向量共线,①零向量只能与零向量 共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量①速度①位移①力①加速度①路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、①ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B．C．D． 6、如图.点M是①ABC的重心,则MA+MB－MC为（） A．0 B．4 C．4 D．4

7、在正六边形ABCDEF 中,不与向量相等的是 （ ） A ． + B ．－ C ． + D ．+ 8、a =－b 是|a | = |b |的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简： + + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是①ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且= 31 , =31 , = 31 ,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知： = a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， .

向量减法运算及其几何意义教学设计.doc

向量减法运算及其几何意义教学设计 教学课题简介 学科数学教学题目向量减法运算及其几何意义教材普通高中课程标准实验教科书（必修4） 一、教学目标 1、知识与技能知道相反向量的定义；理解记住向量减法法则及其几何意义；能够用向量减法法 则及其几何意义求两向量的差. 2、过程与方法通过回顾向量运算与实数运算之间的联系分析归纳相反向量的的定义和向量的减 法运算；通过联系向量加法的作图方法观察并归纳向量减法的作图方法和要点， 体会向量减法的几何意义. 3、情感态度与 价值观通过阐述向量减法与数量减法的联系，培养学生类比的数学思想方法；由向量减法向加法的转化，让学生懂得从已知到未知这一转化思想；由作图了解向量减法的几何意义，培养学生作图能力，并从中体会数形结合的数学思想. 二、教学重点和难点 1．重点：向量减法法则及其几何意义． 2．难点：向量减法法则及其作图方法；向量减法几何意义的应用． 三、教学方法：互动探究式授课 通过引导让学生自主探究，合作交流，体验学习过程中涉及的转化和数形结合的数学思想，类比、观察、分析、归纳等数学方法． 四、教学使用工具 多媒体教学 五、课堂教学过程设计 （一）内容引入 类比数量加法的意义，我们联系实际了解了向量加法，并学习了向量加法法则和作图方法，那么你能否同样与数量减法相比较得到向量减法法则和其几何意义呢？这就是本节课将要探讨和学 习的主要内容． （二）、师生交流温故知新 1 回顾、类比、得新知——相反向量 问题1你是否还记得刚进初中时学习有理数减法时的减法法则？你能否由此联系思考向量减法的减法法则呢？ 我们知道，在数量中，减去一个数等于加上这个数的相反数，如果向量减法可以相应的也转化为向量的的加法，那么向量减法对于我们而言就不再是问题了！向量的减法法则，类比一下，可以

7.1.2平面向量的加法教案

7.1.2 平面向量的加法 教学目标 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力； 3、将向量运算与数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律。 教学重点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 教学难点 理解向量加法的定义. 教学方法和思路 采用问题引领和探究式教学方法。通过实例抽象出向量加法的定义，学生分析探究加法的定义，分情况探究三角形法则的几种情况，进一步分析公式特点。在例题中得出向量加法的平行四边形法则，通过质量检测使学生熟练运用三角形法则和平行四边形法则求和向量，并运用定义和运算法则进行向量的加法运算。 教学过程 复习提问: 1、什么叫向量？叫向量。 2、长度（模）为零的向量叫做。零向量的方向具有性。 3、长度（模）等于一个单位的向量叫做。 4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。 5、长度相等且方向相同的向量叫做，长度相等且方向相反的向量互为。 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 情景设置 王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达学校（C处）（如图）．你能用向量表示王涛同学这两次位移的总效果吗？

学习新课 1. 向量加法的定义（三角形法则） 问题：向量的加法运算是如何定义的？ 位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r 与位移BC u u u r 的和，记作AC u u u r =AB u u u r +BC u u u r ． 一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A ，依次作AB u u u r =a , BC u u u r =b ，则向量AC u u u r 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋ b =AB u u u r ＋BC u u u r =AC u u u r 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量a 与向量b 的加法运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的和向量．其和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点． 探究：三角形法则的几种情况： 情形1： 首尾相连，求两向量和. a a 情形2：两向量分离 ，求两向量和. a a 情形3：起点相连或终点相连，求两向量和. A B C 500m 200m A C B a b a +b a b

向量的减法及其几何意义

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、学习目标: 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 二、重难点 : 1. 重点：向量减法的三角形法则及其应用； 2. 难点：对向量的减法定义的理解. 三、知识回顾: 1、向量加法的法则： 。 2、向量加法的运算定律： 。 四、探究新知： 1.用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义： 。 (2) 规定：零向量的相反向量仍是 . --=a a （ ）. 任一向量与它的相反向量的和是 +- =0a a （） 如果a 、b 互为相反向量，则=-,=-,+0a b b a a b = （3）向量减法的定义： . 即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法. (4).用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b x a +=,则x 叫做a 与b 的差，记作 。 2.向量的减法的三角形法则： 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 五、典例分析：

例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -. 练习：已知向量，求作向量。 例2.化简:(AB →－CD →)－(AC →－BD → )． ,a b a b -

练习：化简：(1)AB →－CB →－DC →＋DE →＋F A → ； 例3、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、. 变式一：当a ，b 满足什么条件时，+a b 与a b -垂直？ 变式二：当a ，b 满足什么条件时，|+a b | = |a b -|？ 变式三：+a b 与a b -可能是相等向量吗？

《向量加法运算及其几何意义》教学设计

《向量加法运算及其几何意义》教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标

(完整版)2.2.2向量的减法运算及其几何意义教案

2.2.2向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++AD BA CB . 解： =+=++ 二、 提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) O A a B’ b -b b B a + (- b ) a b O a b B a b a -b

《平面向量的加法教案》(可编辑修改word版)

《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》 年级：高一 撰写教师：徐艳 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第 1 课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用. （2）教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情. 教学目标： （1）知识目标 ① 理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量； ② 掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；

③ 掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算. （2）能力目标 ① 经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程； ② 通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力. (3) 情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行” 的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. (2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流. 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源 1 名称：两岸直航视频 媒体格式：avr 媒体资源 2 名称：《爱的直航》 媒体格式：MP3

向量的减法运算及其几何意义

向量的减法运算及其几何意义 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义教学目标： 1.了解相反向量的概念； 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 例：在四边形中， . 解： 二、提出课题：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b 3求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点o， 作= a，= b 则= a b 即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 注意：1 表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数 2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. 2．探究：

向量加法运算及其几何意义(教学设计)(精选、)

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量； 2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算； 二、过程与方法： 1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． [教学重点] 向量加法定义的理解；向量加法的运算律． [教学难点] 向量加法的意义 一、复习回顾，新课导入 1．物理学中，两次位移, OA AB的结果与位移OB是相同的。 2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。 二、师生互动，新课讲解 1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC += 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a 例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。 作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b. 作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。 变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 2．归纳： 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|. 3.当a与b共线时， (1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律 探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？ 要求学生画图进行探索. （1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，

平面向量的加减法的复习教案及教学反思

B B 平面向量的加减法复习教案 执教:毛移民 教学目标 1.掌握向量加法的三角形法则、向量加法的多边形法则、向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法则； 2.掌握向量的加法满足交换律与结合律； 3.灵活运用向量加减法法则和运算律进行向量的运算. 教学重难点 灵活运用向量加减法法则和运算律进行向量的运算. 教学过程 一、知识点复习 1. 向量加法的三角形法则与多边形法则的两个要点: (1) ; (2) . 提示: 当与是两个平行向量时，方法同上. 符号语言：如图，(1)AB BC +=_____________；（2）++_____________. 练习： （1）思考：已知向量,,,，能直接写出+++的和向量吗？ （2）填空：=+BC AB ；=+BA CB ；=+ED OE ； =++ ；=++++EF DE CD BC AB . 2. 向量减法的三角形法则的两个要点: (1) ; (2) . 提示: 当与是两个平行向量时，方法同上. 符号语言：如图，=-________． B A

A 练习： (1)如图，试用,,表示向量,. = ；= . (2) 填空：=- ；=+- ； =-- . 3. 向量加法的平行四边形法则的两个要点: (1) ; (2) . 符号语言：如图，=+________；=-________． 练习： (1)如图，已知平行四边形ABCD ，设b AB a AD ==,，试用向量b a ,表示向量BD CA ,. =_________________；=_________________. （2）如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，点E 在AB 上，CE //AD . AE EC CD BE ++＋＝__________________； AB BC CE AD ++＋＝__________________. 4．零向量： 叫做零向量. 记作 . 练习： （1）零向量既没有大小，又没有方向，这句话对吗？. （2）填空：a +（-a ）= ； a + =a （3）填空：=+ ；=++ ； =+-BC AC AB ；=-+OC AC OA . C C E D C B A

向量的加法及其几何意义

向量的加法及其几何意义 一、教材分析 高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

平面向量线性运算教案

适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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平面向量加减法练习题

向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+

a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）

向量减法运算及其几何意义(教学设计)

2．2．2向量减法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。 2.向量的加法与减法互为逆运算。 二、过程与方法： 1． 经历向量减法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：向量减法定义的理解。 教学难点：向量减法的意义． 教学过程： 一、复习回顾 1、向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 2、在四边形中，CB BA AD ++= . 二、师生互动，新课讲解： 1、 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + ( b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2、 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3、 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a b ∵(a b ) + b = a + ( b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， AB = b A B D C O a b B a b a b

最新向量加减法运算及其几何意义练习

李林中学高一年级（下）数学练习 编号 向量加减法运算及其几何意义 制作人：贾胜如 审核人： 时间： 一、选择题 1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定 2．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.A B →＋B C →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0 D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM → 3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝b D ．a ，b 无论什么关系均可 4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 5.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 6．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的 是( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤ 7．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( ) A.AB → B.BA → C.CD → D.DB → 8．下列等式中，正确的个数为( ) ①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ； ⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a －(－a )＝0.