数学分析选讲
第一章 极 限
数学分析以极限为工具，以函数为研究对象，主要研究函数的连续性、可微性和可积性，及其相关问题和应用。
极限理论是分析的基础，是分析中难点之一，其中心问题有两个：极限的存在性和极限的计算，两者是密切相关的。本章通过若干例题，总结了求解数列极限和函数极限的常用方法.
Ⅰ 基本概念和主要结果 一 数列极限
1 定义 设{为数列，为定数. 若}n a a 0,0>?>?N ε，使得当时有
N n >ε
则称数列{收敛于a ，a 称为数列{的极限，并记作
}n a }n a a a n n =∞
→lim .
2 几何意义：a a n n =∞
→lim 的充要条件是：0>?ε，邻域),(εa U 之外至多含有数列中的有限项.
{}
n a 3 性质
性质1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。 性质2（有界性） 收敛数列必有界。
性质3（保号性） 若0lim >=∞
→a a n n ，则0>?N ，当时，有.
N n >0>n a 性质4（保不等式性）设{与{均为数列. 若存在正数，使得当时有
，则}n a }n b 0N 0N n >n n b a ≤n n n n b a ∞
→∞
→≤lim lim .
性质5 改变数列的有限项不改变数列的敛散性，且不改变收敛数列的极限。
性质6（迫敛性） 设收敛数列{与}n a {}n b 均以a 为极限，数列{}n c 满足：，当
时，有0>?N N n >n n n b c a ≤≤，则数列收敛，且{}n c a c n n =∞
→lim .
性质7（柯西收敛准则）数列{收敛的充要条件是：}n a ,0,0>?>?N ε 当N
m n >,
时有ε
性质8 数列{收敛的充要条件是：}n a {}n a 的任何非平凡子列都收敛。 性质9（致密性定理）有界数列必有收敛子列。 性质10 任何数列必有单调子列。
性质11（单调有界定理）在实数系中，单调有界数列必收敛，且单增（减）数列收敛到该数列的上（下）确界。
性质12 收敛数列的四则运算法则。 性质13 数列??????+
n n 11(严格单增收敛于e , ?
?????
++111(n n 严格单减收敛收敛于e . 性质14 Stolz 定理 定理1（
∞∞
） 设数列严格单调递增，且n x +∞=∞
→n n x lim . 若 ?????∞?∞+=??++∞→，，，a x x y y n n n n n 11lim 则 ??
???∞?∞+=∞→.
lim ，，
a x y n n n 定理2（
） 设数列,0lim =∞→n n y 0lim =∞→n n x ，且严格单调递减. 若
n x ???
??∞?∞+=??++∞→，，，a x x y y n n n n n 11lim 则 ??
???∞?∞+=∞→.
lim ，，
a x y n n n 二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式：
(1) ,0,0)(lim 0
>?>??=→δεA x f x x 当δ
(2) ,0,0)(lim 0
>?>??=+
→δεA x f x x 当δ
>?>??=?
→δεA x f x x 当00?>??=∞
→M A x f x ε当M x >时，有ε
(5). ,0,0)(lim >?>??=+∞
→M A x f x ε当时，有M x >ε
(6) ,0,0)(lim >?>??=?∞
→M A x f x ε当M x ?<时，有ε
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当时，
0→x 1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~?+x e x x x x x x ， a x a x x x x x ln ~1,~)1(,2
~cos 12
?+?αα.
以上给出了极限为有限值情形下的6种定义。当极限为无穷时，相应的定义为（仅以一种类型极限为例，读者可类似给出其余定义）：
(7) ,0,0)(lim >?>??∞=∞
→N M x f x 当N x >时，有M x f >)(.
(8) ,0,0)(lim >?>??+∞=∞
→N M x f x 当N x >时，有.
M x f >)((9),0,0)(lim >?>???∞=∞
→N M x f x 当N x >时，有M x f ?<)(.
2 性质（仅以为例）
0x x →性质1（唯一性）若极限存在，则必是唯一的。
性质2（局部有界性）若极限存在，则存在的某去心邻域，使得在其内有界。 0x )(x f 性质3（局部保号性）若0)(lim 0
>=→A x f x x ,则A r <?δ，当
时，有.
),(00δx U x ∈0)(>>r x f 性质4（不等式性）设，A x f x x =→)(lim 0
B x g x x =→)(lim 0
.
1）若存在的某去心邻域，使得时，有，则
0x ),(00δx U ),(00δx U x ∈?)()(x g x f ≤B A ≤.
2）若B A <，则0>?δ，当时，有),(00δx U x ∈)()(x g x f <.
性质5（迫敛性）若A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，且存在的某去心邻域，
使得时，有0x ),(00δx U ),(00δx U x ∈?)()()(x g x h x f ≤≤，则
A x h x x =→)(lim 0
.
性质6（柯西收敛准则）设函数在的某去心邻域内有定义，则极限
存在的充分必要条件是：，有
)(x f 0x ),(00δx U )(lim 0
x f x x →),(,,0,000δδδε′∈′′′?<′?x U x x
ε<′′?′)()(x f x f .
性质7（海涅（Heine）定理）设函数在的某去心邻域内有定义，则极限存在的充分必要条件是：对任意满足条件)(x f 0x ),(00δx U )(lim 0
x f x x →∈=∞
→n n n x x x ,lim 0),(00δx U
的数列),2,1( =n {}n x ，极限存在且相等.
)(lim n n x f ∞
→性质8（单调有界定理）若函数是定义在（或）内的单调有界函
数，则极限（或）存在. )(x f )(00x U +)(00
x U +)(lim 0
x f x x +
→)(lim 0
x f x x ?→性质9（极限的四则运算法则）设A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
，则函数在
时极限存在，且.
fg g f ,±0x x →.))()((lim ,))()((lim 0
AB x g x f B A x g x f x x x x =±=±→→
性质10（复合函数的极限）设函数 在内有定义，且，
在内有定义，当时，，且，则
)(t f )(00t U A t f t t =→)(lim 0
)(x g t =)(00x U )(00x U x ∈)()(00t U x g ∈0)(lim 0
t x g x x =→A x g f x x =→))((lim 0
.
性质11 Stolze 定理 定理3（
∞
∞
） 设函数在)(),(x g x f ),[∞+a 有定义，且存在正数T ，满足： （1）a x x g T x g ≥?>+),()(；
（2）在)(),(x g x f ),[∞+a 内闭有界，且)()(+∞→+∞→x x g ；
（3）???
??∞?∞+=?+?++∞→，
，
，
a x g T x g x f T x f x )()()()(lim 则??
?
??∞?∞+=+∞→.
)()(lim ，，a x g x f x 定理4（
） 设函数在)(),(x g x f ),[∞+a 有定义，且存在正数T ，满足： （1）a x x g T x g ≥?<+<),()(0；
（2）0)(lim )(lim ==+∞
→+∞
→x g x f x x ；
（3）???
??∞?∞+=?+?++∞→，
，
，
a x g T x g x f T x f x )()()()(lim 则??
?
??∞?∞+=+∞→.
)()(lim ，，a x g x f x
注 上述性质6和性质7常用来证明极限不存在.
Ⅱ 典型例题与方法 1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值； 关键：寻找)(δN . 基本方法：
（1）求最小的：从不等式N ε
n （2）适当放大法：不等式ε
（3）分步法：不对作限制（尤其是函数极限），便无法化简和放大，为此先限定
，然后按（2）求得，于是所求的n 1N n >2N {}21,max N N N =.
例1（安徽大学2005，湖北大学2002，中国地质大学2002，浙江大学2005，北京工业大学2003）已知A x n n =∞
→lim （有限，，或∞+∞?），用定义证明：
A n
x x x n
n =++∞
→ 21lim
.
解 当A 为有限数时，有
n
A x A x A x A n x x x n n
?++?+?≤
?++ 2121.
由知，A x n n =∞
→lim 2
,,0,011ε
ε<
?>?>?>?A x N n N n ，从而当时，有
1N n >n
N n n A x A x A x A n x x x N n
2)(121211ε?+?++?+?≤?++ .
注意到A x A x N ?++?11 为常数，因而02>?N ，当时，有
2N n >2
121ε
<
?++?+?n
A
x A x A x N .
取{}21,max N N N =，则当时，有
N n >ε
x x x n
21，
即A n
x x x n
n =++∞
→ 21lim
.
当时，则+∞=A 11,0,0N n N M >?>?>?时，有
)1(2+>M x n .
于是当时，有
12N n >.
1)
1(2)(112112121++++>+??+++>
++M n
x x x n
M N n n x x x n x x x N N n
注意到为常数，因而11N x x +02>?N ，当时，有
2N n >11
1<+n
x x N .
取，则当时，有
{}21,2max N N N =N n >M n
x x x >+++1
21 ，
即+∞=++∞
→n
x x x n
n 21lim
.
同理可证?∞=A 情形.
注1 当∞=A 时结论不成立。如数列
,,,2,2,1,1n n ???.
注2 若不限制方法，用Stolz 定理最简单.
思考题1（北京工业大学2003） 若 且,1,0≥>n a n a a n n =∞
→lim ，则
a a a a n n n =∞
→ 21lim .
提示：当时直接用定义证明，当时取对数化为例1。
0=a 0>a 思考题2（华南理工大学2001）设.lim ,1,0+∞=≥>∞
→n n n a n a 用定义证明：
.lim 21+∞=∞
→n n n a a a
思考题3（北方交通大学2003，江西师范大学） 若 且极限,1,0≥>n a n n
n n a a 1
lim +∞→存
在，则
n
n n n n n a a a 1
lim
lim +∞→∞
→=.
提示：n
n
n n n a a a a a a a 1
2312+=
. 例2（首都师范大学）设{是一数列，试证：若}n a A n
a a a n
n =++∞→ 21lim （有限），
则0lim
=∞→n
a n
n .
证 由于
n
n n a a a n a a a n a n n n 1112121??+++?+++=? ， 所以 0lim
=∞→n
a n
n .
例3（广西师范大学2000，东北师范大学）若a a n n =∞
→lim ，，且
),,2,1(0 =>k p k 0lim
1=++∞
→n
n
n p p p ，则
a p p p a p a p a p n
n n n n =++++++?∞
→ 211
121lim
.
证 由a a n n =∞
→lim 知：0>?M ，有M a a n ?>?N ε，当时，
有
1N n >
ε
又0lim
1=++∞
→n
n
n p p p ，对上述12,0N N >?>?ε，当时，有
2N n >1
1N p p p n n ε
<++ .
取，则当时，有
22N N =N n >)(1111111a a p a a p p p a p p a p a p n n n n n n ?++?++≤?++++
εε)1()(
11
1111111M p p p p p p M p p p p n
n
N n N n n
N n +<++++++<
+?+??
.
即命题为真.
注 此例是例1的推广，它是加权平均的极限.
例4（哈尔滨工业大学2002，武汉大学2001）设a x n n =∞
→lim ，证明：33lim a x n n =∞
→.
证 当，即，由极限定义知：0=a 0lim =∞
→n n x 0,0>?>?N ε，当时有
N n >3ε 从而当时有 N n >ε<3 n x ， 即0lim 3=∞ →n n x . 当0≠a 时，由于 0)(43)(43)2 1()()(2 323233233323>≥++ =++a a a x a a x x n n n ， 所以，当时，有 N n >ε2 3 2 3 2 3 3 32 3 33 ) (34) (34) ()(a a x a a a x x a x a x n n n n n < ?≤ ++?= ?， 由极限定义得33lim a x n n =∞ →. 思考题4 （北京大学1997） 设),2,1(,0 =>n x n ，且a x n n =∞ →lim ，用“N ?ε”语 言证明： a x n n =∞ →lim . 思考题5（北京大学1994）设)()(lim 0 +∞<=+ →A A x f x x ，用“δε?”语言证明： 33)(lim 0 A x f x x =+ →. 思考题6（湖南师大2000，曲阜师大2000）若0)(lim 0 >=→A x f x x ，则 .)(lim 0 A x f x x =→ 思考题7（山东大学）用“N ?ε”定义证明：11lim =+∞ →n n n . 提示：令,11t n n =?+则，且当时，有 0>t 2>n 2 22 )1(2)1(1)1(1t n n t n n nt t n n ?≥?+ +≥+=+， 解得 1 4)1(4)1() 1(2?≤ ?≤ ?+≤ n n n n n n n t . 思考题8（清华大学2000）用定义证明：1 11lim 1=→x x . 思考题9（清华大学2001）设a a n n =∞ →lim ， 0lim ≠=∞ →b b n n ，用定义证明： b a b a n n n =∞→lim . 思考题10（华东师大1998）用定义验证：.2 3 1223lim 22=+++∞→n n n n 例5 (四川大学，国防科技大学) 设实数列{}n x 满足条件：)(02∞→→??n x x n n . 证明： 0lim 1 =??∞→n x x n n n . 证 由)(02∞→→??n x x n n 得：0,01>?>?N ε,当时，有 1N n >2 2ε < ??n n x x . 记1??=n n n x x y ，则21???≤?n n n n x x y y ，从而有 n y n y y y y y y n y n x x N N N n n n n n n n 11112111 +?++?+?≤=?+???? n y n x x x x x x N N N n n n n 1111 1312+?++?+?≤ ?+??? . 注意到是常数，因此1N y 02>?N ，当时，有 2N n >2 1ε < n y N . 取{21,max N N N }=，则当 时，有 N n >εε ε =+ < ??2 2 2 n x x n n ， 即0lim 1 =??∞→n x x n n n . 注 利用Stolze 定理可得出奇子列和偶子列的极限均为零，从而极限为零。 2. 拟合法 在证明A x n ?能任意小的过程中，有时需将A 改写成与结构相类似的形式，从而达到解题的目的. n x 例6 设时，0→x ∑=?=n i n a n i f x x x f 12)1 2( ,~)(. 试证明：. 其中是大于零的常数. a x n n =∞→lim a 证 由于∑ ∑==?==?n i n i a n i a n i 1 22 1 1 2,)12(，从而有 ∑∑ ∑===???≤???= ?n i n i n i n a n i a n i f a n i a n i f a x 1 221 12212)12(12)12(. 若能证明：0>?ε，当充分大时，有 n ε2 221 212)12( n i a n i a n i f ?< ???， ,2,1=i 则命题成立。要证上式成立，只要证明：当充分大时，有 n a a n i a n i f ε 2( 22. 事实上，因为，因此，)0(~)(→x x x f ,0,0>?>?δε当δ< a x x f ε (. 于是令2,212(222δδδa n a n n a n n a N >< ，当时，有 N n >.,,2,1,1 202 n i a n i = δ 从而所证之式成立. 注（1）拟合法的实质就是将实数1作适当分解. 数学中采用拟合法解决了不少重大问题； （2）本例极限中的函数可替换成与)(x f x 等价的无穷小量，从而得到不同形式的极限，应予以注意. 例7证明： （1）2 122 )121(lim a n i n e a n i =?+ ∏=∞ →； （2）2 1 2 412cos lim a n i n e a n i ? =∞ →=?∏. 提示：（1）两边取对数得 2 1 22)121ln(lim a a n i n i n =?+ ∑=∞ →. 已知，由上例立明. )0(~)1ln(→+x x x （2）两边取对数得 2)12ln(cos lim 41 2 a a n i n i n ?=?∑=∞→. 而 .1221~212sin 2~)212sin 21ln())12cos 1(1ln()12ln(cos 2 2 22 2 22 2a n i a n i a n i a n i a n i ??????=???=? 由例4立明. 3. 初等方法 用初等数学的方法首先将数列通项进行恒等变形，然后求极限. 例8计算下列极限： （1）)0(2cos 2cos 2cos 2≠=x x x x x n n ；（中科院） （2）n n n x 222 1 216174523+= ； （3）∑ =++=n i n i x 13 3 3 211 ； （4）∑ =++=n i n i i i x 1 )2)(1(1 ； （5）)1 1()311)(211(22 2n x n ??? = （中国科技大学，北航，湖北大学2003） （6）)(sin 2 2 n n x n +=π.（浙江大学2001） 解 （1），则当充分大时0≠x n 02sin ≠n x ，于是 )(sin 2 sin 2sin 2sin 222sin 2cos 2cos 2cos 2∞→→=?=n x x x x x x x x x x n n n n n n n n . （2）211()1611)(4 11)(21 1(2 n n x ++ ++= 22 1) 21 (1211)211()1611)(411)(211)(211(12 2→?=?++++?=+n n . （3）2)11 1(2)111(221111→+?=+?=+++=∑∑ ==n i i i x n i n i n . （4）41)2(21)1(211141)) 2(21 1121( 1 →+++++? =+++?=∑=n n n i i i x n i n . （5）因式分解可得： .2 1 21)11)(11()311)(311)(211)(211(→+=+?+?+?=n n n n x n . （6）.1sin )(sin )(sin 2 2 2222→++=?+=+=n n n n n n n n n x n ππππ 思考题11 求极限： （1） ).12sin(lim 2 +∞→n n n ππ （中国矿大1998） （2）333lim ∞ →n （n 个根号）.（中科院） （3）（)1()1)(1)(1(lim 242n x x x x n ++++∞
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