玻尔兹曼分布例题1

例1：试证明，对子一维自由粒子，在长度L 内，在ε到εεd +的能量

范围内，量子态数为：

εεεεd m h L d D 2122)(??

? ??=

证明：一维自由粒子，x P 附近的量子态为 x dP h

L dn =x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222

+=?+==?= 于是，()εεεεd m

h L d D 2+= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=???

? ???= 例2： 试证明，在面积S = L 2内,在ε 到ε + d ε 的能量范围内,二

维自由粒子的量子态数为：

επεεd 2d )(2m h

S D =

D (ε)称为态密度. 证明:在四维μ空间，体积元d p x d p y d x d y 中可能的微观状态数为

d p x d p y d x d y /h 2.可得,在面积S 中, 动量绝对值p 到p +d p 范围内的量子态(微观状态)数为

p p h S y x p p h L L d 2d d d d 1200202π?π=???, (1.3)

根据二维自由粒子的能量动量关系m p 2/2=ε,易得m p p /d d =ε,

即:

2

/1)2(εm p =, εεεd

)2/(d /d 2/12/1m p m p ==, (1.4) 将(1.4)代入(1.3),整理可得

ε

πεεd 2d )(2m h S

D =.