高考物理万有引力与航天专题训练答案

高考物理万有引力与航天专题训练答案

一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天

1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ．

（1）求静止轨道卫星的角速度ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1；

（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由．

【答案】（1）2π=T ω；（2）2

3124GMT h R π

（3）h 1= h 2 【解析】 【分析】

（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度； （2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】

（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=T

ω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：2

1

212π=()()()Mm G

m R h R h T

++ 解得：2

312

=4π

GMT

h R

（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，2

2

222=()()()Mm G

m R h R h T

π++ 解得：2

322

4GMT

h R π

因此h 1= h 2．

故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π

（3）h 1= h 2 【点睛】

对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．

2．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G ．求： (1)地球的密度； (2)地球的第一宇宙速度v ； (3)“天宫一号”距离地球表面的高度． 【答案】(1)34g

GR

ρπ= (2)v gR =

22

3

2

4gT R h R π

= 【解析】

（1）在地球表面重力与万有引力相等：2

Mm

G

mg R =， 地球密度：

343

M M R V

ρπ=

=

解得：34g

GR

ρπ=

（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，2

v mg m R

=

v gR =

（3）天宫一号的轨道半径r R h =+， 据万有引力提供圆周运动向心力有：()

()

2

2

24Mm

G

m R h T R h π=++，

解得：h R =

3．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该星球半径为R ，引力常量为G ，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度；

(3)该星球的“第一宇宙速度”．

【答案】(1)02v g t = (2) 0

32πv RGt ρ=

(3)v = 【解析】

(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间0

2v t g

= 可得星球表面重力加速度：0

2v g t

=

． (2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：2

GMm

mg R =

得：2

202v R gR M G Gt ==

因为3

43

R V π=

则有：032πv M V RGt

ρ=

= (3)重力提供向心力，故2

v mg m R

=

该星球的第一宇宙速度v =

=

【点睛】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．

4．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？

（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距

最远？ 【答案】（1

）2

，16（2）速度之比为2

【解析】

【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；

解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2

Mm

G

mg R = a 卫星

2

224a

GMm m R R T π=

解得2a T =b 卫星2

2

24·4(4)b

GMm m R R T π=

解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向，

a 卫星2

2a mv GMm R R

=

解得a v =

b 卫星b 卫星2

2

(4)4Mm v G m R R

=

解得v b =

所以 2a

b

V V = （3）最远的条件22a b

T T πππ-=

解得t =

5．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆

形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的P 点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的

Q 点．到达远地点Q 时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为G ，地球质量为

M ，地球半径为R ，飞船质量为m ，同步轨道距地面高度为h ．当卫星距离地心的距离

为r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为p GMm

E r

=-（取无穷远处的引力势能为

零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：

（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？

（2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过P 点时的速率为1v ，则经过Q 点时的速率2v 多大？ （3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度

3v （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引

力势能） 【答案】（1）2GMm R （22122GM GM v R h R +-+32GM

R

【解析】 【分析】

（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解； （2）根据能量守恒进行求解即可；

（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能； 【详解】

（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动

即：2

2mM v G m R R

=

则飞船的动能为2122k GMm

E mv R

=

=； （2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：

221211()22GMm GMm

mv mv R h R

-=--+ 若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为1v ，则经过Q 点时速率为：

2v = （3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能 即：2312

Mm G

mv R =

则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：3v =． 【点睛】

本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解．

6．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

(1)试求月球表面处的重力加速度g . (2)试求月球的质量M

(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T ，试求月球的平均密度ρ.

【答案】（1）2022hv g L =（2）22

02

2hv R

M GL = （3）23GT πρ=

【解析】 【详解】

（1）根据题目可得小球做平抛运动, 水平位移: v 0t =L

竖直位移:h =

12

gt 2 联立可得:20

22hv g L

=

（2）根据万有引力黄金代换式2

mM

G

mg R ＝， 可得2220

2

2hv R gR M G GL

== （3）根据万有引力公式2224mM G m R R T π＝；可得23

2

4R M GT

π=， 而星球密度M V ρ=

,3

43

V R π=

联立可得2

3GT π

ρ=

7．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P 点的线速度之比。

【答案】

【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P 点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P 点的线速度之比。 设地球的半径为R ，对量子卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

对同步卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

同步卫星与P 点有相同的角速度，则有：

解得：

则量子卫星的线速度与P 点的线速度之比为

【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

8．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。已知月球和地球之间的距离为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，求地球和月球的质量之和。

【答案】23

2

4r GT

π 【解析】 【分析】

双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解． 【详解】

对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：22122Mm

G

M r m r r

ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22

2GM r r ω=；

其中2T

π

ω=

，r=r 1+r 2； 三式联立解得：23

2

4r M m GT π+=

【点睛】

解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．

9．2017年4月20日19时41分天舟一号货运飞船在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空。22日12时23分，天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成首次自动交会对接。中国载人航天工程已经顺利完成“三步走”发展战略的前两步，中国航天空间站预计2022年建成。建成后的空间站绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M ，空间站的质量为m 0，轨道半径为r 0，引力常量为G ，不考虑地球自转的影响。 （1）求空间站线速度v 0的大小；

（2）宇航员相对太空舱静止站立，应用物理规律推导说明宇航员对太空舱的压力大小等于零；

（3）规定距地球无穷远处引力势能为零，质量为m 的物体与地心距离为r 时引力势能为Ep=-

GMm

r

。由于太空中宇宙尘埃的阻力以及地磁场的电磁阻尼作用，长时间在轨无动力运行的空间站轨道半径慢慢减小到r 1（仍可看作匀速圆周运动），为了修正轨道使轨道半径恢复到r 0，需要短时间开动发动机对空间站做功，求发动机至少做多少功。

【答案】(1) 00GM

v r =；(2)0；(3) 10

22GMm GMm W r r =- 【解析】 【详解】

解：(1)空间站在万有引力作用下做匀速圆周运动，则有：

2

000

200

GMm m v r r = 解得：00

GM

v r =

(2)宇航员相对太空舱静止，即随太空舱一起绕地球做匀速圆周运动，轨道半径与速度和太空舱相同，此时宇航员受万有引力和太空舱的支持力，合力提供向心力

设宇航员质量为m ，所受支持力为N F ，则有：2

000

2

00

N GMm m v F r r -= 解得：0N F =

根据牛顿第三定律，宇航员对太空舱的压力大小等于太空舱对宇航员的支持力，故宇航员对太空舱的压力大小等于零

(3) 在空间站轨道由1r 修正到0r 的过程中，根据动能定理有：22

011122

W W mv mv +=-万 而：10

()GMm GMm

W r r =-

--万 2

1211

mv GMm r r = 联立上述方程解得：10

22GMm GMm

W r r =

-

10．宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T ，行星的平均密度为．试证明

（万有引力恒量G 为已知，

是恒量）

【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】

设行星半径为R、质量为M，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有

即①

又行星密度②

将①代入②得证毕