卷积

卷积

科技名词定义

中文名称：

卷积

英文名称：

convolution

定义：

数学中关于两个函数的一种无穷积分运算。对于函数f1(t)和f2(t)，其卷积表示为：式中：“”为卷积运算符号。

所属学科：

电力（一级学科）；通论（二级学科）

本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布

百科名片

卷积运算图

在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f 与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

目录

基本内涵

定义

性质

卷积定理

在群上的卷积

应用

展开

编辑本段基本内涵

简单介绍卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的，上述积分是存在的。这样，随着x的不

同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)＝(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) ＝(g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

编辑本段定义

函数f与g的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。积分区间取决于f与g的定义域。函数f与g的卷积可以定义为：z(t)=f(t)*g(t)= ∫f(m)g(t-m)dm. 对于定义在离散域的函数，卷积定义为

快速卷积算法

当是有限长度N，需要约N次运算。藉由一些快速算法可以降到O(N log N) 复杂度。最常见的快速卷积算法是藉由圆周摺积利用快速傅里叶变换。也可藉由其它不包含FFT 的做法，如数论转换。

多元函数卷积

按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：

编辑本段性质

各

perfect spaces卷积混响

种卷积算子都满足下列性质：交换律结合律分配律数乘结合律其中a为任意实数（或复数）。微分定理其中D f表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：前向差分：后向差分：

编辑本段卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。其中表示f的傅里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

编辑本段在群上的卷积

卷积与相关分析

若G是有某m测度的群（例如豪斯多夫空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G上m-勒贝格可积的实数或复数函数f和g，可定义它们的卷积：对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的Peter-Weyl定理。

编辑本段应用

卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为possion(λ)分布，需求的大小的分布函数为D（.)，则单位时间的需求量的分布函数为F(x)：

卷积应用(1张)

其中D(k)(x)为k阶卷积。卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：for(i=0; i

sum += g[i*N+j]; } } 再除以sum 得到归一化算子N是滤波器的大小，delta自选首先，再提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入输出和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

信号与系统知识点整理

第一章 1.什么是信号？ 是信息的载体，即信息的表现形式。通过信号传递和处理信息，传达某种物理现象（事件）特性的一个函数。 2.什么是系统？ 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。3.信号作用于系统产生什么反应？ 系统依赖于信号来表现，而系统对信号有选择做出的反应。 4.通常把信号分为五种： ?连续信号与离散信号 ?偶信号和奇信号 ?周期信号与非周期信号 ?确定信号与随机信号 ?能量信号与功率信号 5.连续信号：在所有的时刻或位置都有定义的信号。 6.离散信号：只在某些离散的时刻或位置才有定义的信号。 通常考虑自变量取等间隔的离散值的情况。 7.确定信号：任何时候都有确定值的信号 。 8.随机信号：出现之前具有不确定性的信号。 可以看作若干信号的集合，信号集中每一个信号 出现的可能性（概率）是相对确定的，但何时出 现及出现的状态是不确定的。 9.能量信号的平均功率为零，功率信号的能量为无穷大。 因此信号只能在能量信号与功率信号间取其一。 10.自变量线性变换的顺序：先时间平移，后时间变换做缩放. 注意：对离散信号做自变量线性变换会产生信息的丢失！ 11.系统对阶跃输入信号的响应反映了系统对突然变化的输入信号的快速响应能 力。（开关效应） 12.单位冲激信号的物理图景： 持续时间极短、幅度极大的实际信号的数学近似。 对于储能状态为零的系统，系统在单位冲激信号作 用下产生的零状态响应，可揭示系统的有关特性。

例：测试电路的瞬态响应。 13.冲激偶：即单位冲激信号的一阶导数，包含一对冲激信号， 一个位于t=0-处，强度正无穷大； 另一个位于t=0+处，强度负无穷大。 要求：冲激偶作为对时间积分的被积函数中一个因子， 其他因子在冲激偶出现处存在时间的连续导数. 14.斜升信号： 单位阶跃信号对时间的积分即为单位斜率的斜升信号。 15.系统具有六个方面的特性： 1、稳定性 2、记忆性 3、因果性 4、可逆性 5、时变性与非时变性 6、线性性 16.对于任意有界的输入都只产生有界的输出的系统，称为有界输入有界输出（BIBO ）意义下的稳定系统。 17.记忆系统：系统的输出取决于过去或将来的输入。 18.非记忆系统：系统的输出只取决于现在的输入有关，而与现时刻以外的输入无关。 19.因果系统：输出只取决于现在或过去的输入信号，而与未来的输入无关。 20.非因果系统：输出与未来的输入信号相关联。 21.系统的因果性决定了系统的实时性：因果系统可以实时方式工作，而非因果系统不能以实时方式工作. 22.可逆系统：可以从输出信号复原输入信号的系统。 23.不可逆系统：对两个或者两个以上不同的输入信号能产生相同的输出的系统。 24.系统的时变性： 如果一个系统当输入信号仅发生时移时，输出信号也只产生同样的时移，除此之外，输出响应无任何其他变化，则称该系统为非时变系统；即非时变系统的特性不随时间而改变，否则称其为时变系统。 25.检验一个系统时不变性的步骤： 1. 令输入为 ，根据系统的描述，确定此时的输出 。 1()x t 1()y t

铁屑的熔化特性

铁屑的熔化特性 1.1 铁屑的微观形态观察铸件的机加工过程，可以看出，铁屑是在剪力与压力下，从铸件本体上剥离、压碎、成卷、断裂而形成的。在10倍放大镜下，铁屑好象一把铁刷子，而每“一根”铁刷“毛”上，又像鸡毛开花一样，伴生附着许多小片。这些小片小毛，近根部的细而密，在端部的粗而疏，还有的像石墨片一样，游离在刷毛之间。 1.2 铁屑的表面积在10倍放大镜下，游离的碎片目测体积大约有3.5mm×3.5mm×0.5mm大小，缩小10倍，当是0.35mm×0.5mm×0.05mm。以此为根据计算： (1) 每片表面积 S=2×0.352+4×0.35×0.05=0.315(mm2) (2) 每片体积 y=0.352×0.05=6.125×10-3(mm3) (3) 每片重量W=rV=7.1 ×6.125×10-3=0.04348(mg) 1kg铁有W的n数量：lkg=106mg n=106／W=106／0．04348=23×100个 (4) 1kg铁屑的表面积： ∑nS=nS=23×106×0.315=7.245×106=7.245(mm2) (5)面包铁到铁屑表面积放大倍数：面包铁y： 200×100×50=l(em3) S=200×100×2+600×50=7×104(mm2)

W=rV=7.1kg 7.1kg铁屑的表面积 =7.1nS=51．4×106(mm2) 15．14×106 倍数K= = 735 7×104 1.3 铁屑的密度铁锭密度7．1g／cm3 铁屑的堆密度3．02g／cm3 每1m3铁屑，空气空间占(7．1-3．02)／7．1=57％。这57％的空间，一部分是铁屑块之间的插空，从实践中我们了解，铁屑块的插空是很小的。这些空间，实际上，大部分是放大镜观察的刷毛之间的空间，尤其是片状之间的空间。大致可以认为，铁屑的微观空间是：每片铁屑0．35mm×0．35mm×0．05mm；两片这样的铁屑之间，其空间也是 0.35mm×0.35mm×0.05mm(≤57％)。 2冲天炉中回用铁屑 2.1配料单与化验单(见表1，2，3) 表1 HT200配料单编号铸铁名生铁回炉料铁屑块废铁70Si—Fe 60Mn-Fe 1 无铁屑185 80 O 35 3.5 2.7 2 有铁屑185 50 35 35 4 3 表2炉子的烧损经验数与配料单计算结果 元素Si Mn C 炉子烧损(％) -20 -25 +12 配料成分(％) 2.06 0.95 3.0 表3化验结果：两种编号铸铁的化学成分(％) 编号铸铁名C Si Mn S P 1 无铁屑3.62 1.67 0.71 0.08 0.09 2 有铁屑3.39 1.61 0.6 0.087 0.01 2．2铁液的氧化 2．2．1加铁屑铁液氧化的宏观表现铁液发白耀眼，流动

信号与系统试验----信号卷积

一、 实验目的 1. 理解卷积的概念及物理意义； 2. 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。 二、实验设备 1.信号与系统实验箱 1台 2.双踪示波器 1台 三、实验原理 卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。设系统的激励信号为)t (x ，冲激响应为)t (h ，则系统的零状态响应为)(*)()(t h t x t y =?∞∞ --=ττd t h t x )()(。 对于任意两个信号)t (f 1和)t (f 2，两者做卷积运算定义为： ?∞∞--=ττd t f t f t f )(2 )(1)(=)t (f 1*)t (f 2=)t (f 2*)t (f 1。 1. 两个矩形脉冲信号的卷积过程 两信号)t (x 与)t (h 都为矩形脉冲信号，如图9-1所示。下面由图解的方法（图9-1）给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。 0≤<∞-t 2 10≤ ≤t 1 ≤≤t 4 1≤ ≤t ∞ <≤t 212 4 τ （b)(a)(c) (d)(e) (f) (g) (h)(i)2卷积结果

2. 矩形脉冲信号与锯齿波信号的卷积 信号)t (f 1为矩形脉冲信号，)t (f 2为锯齿波信号，如图9-2所示。根据卷积积分的运算方法得到)t (f 1和)t (f 2的卷积积分结果)t (f ，如图9-2(c)所示。 图9-2 矩形脉冲信号与锯齿脉冲信号的卷积积分的结果 3. 本实验进行的卷积运算的实现方法 在本实验装置中采用了DSP 数字信号处理芯片，因此在处理模拟信号的卷积积分运算时，是先通过A/D 转换器把模拟信号转换为数字信号，利用所编写的相应程序控制DSP 芯片实现数字信号的卷积运算，再把运算结果通过D/A 转换为模拟信号输出。结果与模拟信号的直接运算结果是一致的。数字信号处理系统逐步和完全取代模拟信号处理系统是科学技术发展的必然趋势。图9-3为信号卷积的流程图。 图9-3 信号卷积的流程图 四、实验内容 1. 检测矩形脉冲信号的自卷积结果 用双踪示波器同时观察输入信号和卷积后的输出信号，把输入信号的幅度峰峰值调节为4V ，再调节输入信号的频率或占空比使输入信号的时间宽度满足表中的要求，观察输出信号有何变化，判断卷积的结果是否正确，并记录表9-1。 实验步骤如下： (a) (b) (c)

信号与系统 连续时间信号卷积运算

连续时间信号的卷积运算的MATILAB实现 薛皓20091453 例1：已知两连续时间信号如图9-3所示，试用matlab求f(t)=f1(t)*f2(t)，并绘出f（t）的时域波形图。 图1-1 连续时间信号波形图示例 实现上述过程的matlab命令如下： p=0.5; k1=0:p:2; f1=0.5*k1; k2=k1; f2=f1; [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p) 上述命令绘制的波形图也在图9-3中示出。图9-3中给出了抽样时间间隔p=0.5时的处理效果。而图9-4给出了抽样时间间隔p=0.01时的处理效果。

图1-2 例1的连续时间信号波形图 习题1：已知f1(t)=1(2t 1≤≤)，f2(t)=1(3t 2≤≤)，用matlab 实现其卷积并绘制出卷积曲线。 解：程序代码如下： >> p=0.01; k1=1:p:2; f1=ones(size(k1)).*(k1>1); k2=2:p:3; f2=ones(size(k2)).*(k2>2); f=conv(f1,f2); f=f*p; k0=k1(1)+k2(1); k3=k1(length(k1))+k2(length(k2)); subplot(2,2,1) plot(k1,f1) title('f1(t)') xlabel('t') ylabel('f1(t)') subplot(2,2,2) plot(k2,f2)

title('f2(t)') xlabel('t') ylabel('f2(t)') subplot(2,2,3) plot(k,f); h=get(gca,'position'); h(3)=2.5*h(3); 0 set(gca,'position',h) title('f(t)=f1(t)*f2(t)') xlabel('t') ylabel('f(t)') 绘制图形如图2-1所示。 图2-1 习题2：)1()2/1t ()t (2f ),1t ()t ()t (1f δ-+δ=-ε-ε=，求其卷积。 程序代码： p=0.01; t1=0:p:1; f1=ones(size(t1)).*(t1>0); t2=-0.5:p:1; f2=(t2==-0.5)-(t2==1); f=conv(f1,f2); f=f*p; t=-0.5:p:2;

熔融塑料流动特性对注塑的影响

熔融塑料流动特性对注塑的影响 一、熔融塑料在模腔中流动的速度 1.各流层的速度 塑料在模腔内的流动可近视的看成层流。根据流体力学理论，层流流体可视为一层层彼此相邻的液体在剪切应力（引起材料沿平行于作用力的平面产生滑移而变形的力,即切向应力）作用下的相对滑移。层流流体的这种特性可用两平行板间的液体流动来说明。如图所示，在两个平行的平板间充满具有一定黏度的液体，若平板A以速度V移动，另一平板B静止不动，则由于液体分子与平板表面的吸附作用，将使贴近板A的液体层以同样的速度v=V随板移动，从而对和它相邻的液体层产生摩擦力（即剪切应力）。如此传递下去，于是在各层的界面上产生相应的剪切应力，从而形成各液体层间的相对滑移，而紧贴板B的液体，由于液体分子与平板表面的吸附作用，则静止不动(v=0)。 由于塑料熔体在成型过程中流动时，其雷诺准数—般小于10，分散体也不会大于2100，因此其流动均为层流。塑料从喷嘴中射出到流道中后，由于塑料分子与流道壁（或模具型腔壁）的吸附作用，使得紧贴流道壁（或模具型腔壁）的流层速度为零，从而对和它相邻的液体层产生摩擦阻力。如此传递下去，于是形成中间流层速度最大，两侧靠近流道壁（或模具型腔壁）的流层速度递减的流动形式，如图所示。 2.流通面积变化时速度的变化 由于塑料熔体在成型过程中的流动是连续的，而且塑料熔体基本上是不可压缩的，所以流体通过每个流通面（管道的横截面）的流量是相等的，所以，当流体从大的流管流入小的流管时，如果流体源头仍以同样的流量持续注入流体（如图所示），则流体进入小管后流速变快了，其流速与流通面积成反比。但此时由于管径变细流体受到了阻力，所以需要更大的注入压力。同理当流体从小的流管流入大的流管时流速会放慢。

熔融石英的性能特点和使用

熔融石英的性能特点和使用 一、熔融石英的性能特点和使用 熔融石英材料在精铸型壳的使用上国外发达国家如美国的使用量和日本的使用量不断地逐年增加，特别是在硅溶胶型壳的面层方面有了很有经验的效果，在同锆英材料的使用和价格比上有了较大突破，是目前较为理想的工程应用材料。 熔融石英是用天然高纯度二氧化硅经电炉在高于1760℃以上温度熔融，随后快速冷却而制得的。此过程将晶型SiO2转变为非晶型的玻璃熔体。 熔融石英熔化温度约1713℃，导热系数低，热膨胀系数几乎是所有耐火材料中最小的，因而它具有极高的热震稳定性。所以，在焙烧和浇注过程中熔融石英型壳很少因温度剧变而破裂，是理想的熔模铸造制型的耐火材料，可作为面层或背层涂料用的耐火材料，以及撒砂材料。 熔融石英会部分或全面提高型壳性能。熔融石英热膨胀系数小，有利于防止型壳在脱蜡和焙烧过程中开裂、变形，利于确保铸件尺寸稳定。熔融石英纯净度高，所配涂料稳定性好；型壳高温抗蠕变能力提高。 熔融石英温度较低时的导热性较差，热容量小，仅为锆砂的一半，大多数金属液对它的润湿性较差，使得金属凝固

层与型壳内表面间易产生间隙，热导率进一步减小，有利于壁薄铸件充型。在高温下熔融石英的透明度高，能通过辐射传热，使其导热能力超过硅酸铝类壳。而使铸件冷却较快，更易获得健全铸件。 铸件冷却时方石英又从高温型转变为低温型，同时体积产生骤变，使型壳出现无数裂纹，强度剧降，有利于脱壳进行。熔融石英为酸性，能采用碱煮、碱爆等化学清砂方法去除型壳。 熔模铸造用熔融石英，其中SiO2所占的质量分数应为%，配涂料用的粉料最好是270目或320目细粉占50%（质量分数），200目和120目粉各占25%（质量分数）。

基于MATLAB的卷积演示系统

目录 摘要 (2) ABSTRACT (3) 第一章背景 (4) 1.1MATLAB的优点 (4) 1.2MATLAB的组成 (5) 第二章设计原理及分析 (7) 2.1卷积的定义 (7) 2.2线性卷积的运算 (7) 2.3循环卷积的运算 (8) 第三章设计内容与分析 (9) 3.1设计内容 (9) 3.2线性卷积的分析 (9) 3.3循环卷积的分析 (9) 第四章实验代码及结果 (10) 4.1线性卷积的MATLAB设计源程序 (10) 4.2循环卷积的MATLAB设计源程序 (11) 4.3分析两类卷积关系 (13) 4.4动态演示基于重叠相加法的长序列快速卷积 (13) 4.5用MATLAB设计一个卷积演示界面 (16) 第五章收获与体会 (19) 致谢 (20) 参考文献 (21)

摘要 本文讲述的是运用MATLAB软件编写线性卷积和循环卷积，运行程序并得到正确结果，附上运行结果图让大家参照对比。 MATLAB是一款在数学类科技应用软件中特别是在数值计算方面首屈一指的软件，它可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。而线性卷积和循环卷积在工程上的应用亦非常广泛，在MATLAB软件处理下，实现任意两个序列的线性和循环卷积对于工程上的辅助是相当重要的。卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。 本文从线性卷积和循环的定义出发，分析其运算原理以及相关的公式、程序，着重介绍并分析了卷积的运算过程，让大家明白什么是卷积。程序运行之后得到正确的结果，将运行后正确的波形图放在本次论文中让大家直观的做比较。 关键词：MATLAB、线性卷积、循环卷积、波形图

信号与系统常用公式

1 信号与系统常用公式 一、周期信号的傅里叶级数 1．三角函数形式的傅里叶级数：0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞ ==++∑，其中 01 011()t T t a f t dt T += ?，010112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=?，010112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=?。 2．指数形式的傅里叶级数：11()()jn t n f t F n e ωω∞ =-∞ =∑ ，其中0110 111()()t T jn t t F n f t e dt T ωω+-= ?。 二、傅里叶变换 1．傅氏正变换：()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞ ==? 2．傅氏逆变换：11()[()]()2j t f t F F F e d ωωωωπ ∞ --∞ ==? 3 1．拉氏正变换：0 ()[()]()st F s L f t f t e dt ∞ -==? 2．拉氏逆变换：11()[()]()2j st j f t L F s F s e ds j σσπ+∞ --∞ ==?

2 3 四、z 变换 1．z 正变换：0 ()[()]()k k X z Z x k x k z ∞ -===∑ 2．z 逆变换：111 ()[()]()2k C x k Z X z X z z dz j π--==? 3．z 变换的基本性质： 1．连续时间信号的卷积：121221()()()()()()f t f t f f t d f f t d ττττττ∞ ∞ -∞ -∞ *=-=-?? 2．离散时间信号的卷积：()()()()()()n n x k h k x n h k n h n x k n ∞ ∞ =-∞ =-∞ *=-=-∑∑ 3．卷积定理： （1）1212[()()]()()F f t f t F F ωω*=? （2）12121[()()]()()2F f t f t F F ωωπ?=* （3）1212[()()]()()L f t f t F s F s *=? （4）12121[()()]()()2L f t f t F s F s j π?=* （5）[()()]()()Z x k h k X z H z *= （6）1 [()()]()()2C z dv Z x k h k X v H j v v π?=?

信号与系统卷积介绍

卷积积分与卷积 一、摘要： 近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。 卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。 二、关键词： 信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法 三、正文： 卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。对连续时间信号 的卷积称为卷积积分，定义式为： ∞ f t=f1τf2t?τdτ ?f1(t)?f2(t) ?∞ 对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为： ∞ f n=f1m f2n?m ?f1(n)?f2(n) m=?∞ 1、卷积积分的解法 （1）图解法 图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。

如果给定f 1 t 和f 2(t )，要求这两个函数的卷积积分f t =f 1(t )?f 2(t ),首先要改变自变量，即将f 1 t 和f 2(t )变成f 1 τ 和f 2(τ)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了t ，然后再经过以下四个步骤： （1）反褶，即将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(?τ)； （2）时移，即将f 2(?τ)时移t ，变为f 2 t ?τ =f 2[?(τ?t )]，当t >0时，将f 2(?τ)右移t ，而当t <0时，将f 2(?τ)左移t ； （3）相乘，即将f 1 t 与f 2 t ?τ 相乘得到f 1 t f 2 t ?τ ； （4）积分，即将乘积f 1 t f 2 t ?τ 进行积分，积分的关键是确定积分限。一般是将f 1 t f 2 t ?τ 不等于零的区间作为上下限，而当取不同的值时，不为零的区间有所变化，因此要分成不同的区间来求卷积。 例1、已知f 1 t 和f 2(t )的波形如图1-1所示，求f t =f 1(t )?f 2(t )。 图1-1 解：（1）变量代换，将变量f 1 t 和f 2(t )变成f 1 τ 和f 2(τ)，此时波形不变； （2）将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(?τ)，图1-2； （3）时移，即将f 2(?τ)时移t ，图1-3； （4）相乘，即将f 1 t 与f 2 t ?τ 相乘得到f 1 t f 2 t ?τ ，图1-4～8； 图 1-3 图1-2 [τ] [τ]

熔融结晶特点

熔融结晶特点 产品分类： 可分为高效静态熔融结晶器和动态塔式降膜熔融结晶器两种。 结晶器材质： 根据物料特性可用材质分为：碳钢、不锈钢及特殊金属材料 熔融结晶器优点： ①实用性强，针对不同的工艺要求选用不同类型的设备。 ②投资费用低，价格仅为国外同类价格的1/5-1/10；国内价格的1/2-1/6。 ③操作弹性大，可自动控制也可手动操作。 ④设备紧凑、合理。 ⑤实际应用效果好，结晶损耗低。 ⑥应用熔融结晶工艺可以使有些复杂的工艺变得尤其简单。 熔融结晶器缺点： 结晶器的结构相对精馏塔来说，略复杂。需要发汗、洗涤等步骤。过程较复杂，过程的连续化较困难。 熔融结晶相对于其它热分离单元操作，熔融结晶具有如下优点： 1、高选择性 2、低能耗 3、操作温度低 4、无溶剂 5、无废液 6、无气相 熔融结晶与精馏相比较，具有操作温度低、所需能耗小（液体变成固体所释放结晶热远远小于液体变成气体所需要要的汽化热，一般情况下结晶热大约为汽化热的1/5）等突出优点。操作温度低尤其利于分离热敏性物质。除以上两点外，第三点就是可以利用工厂里其它操作单元所产生的废热。这是因为，现有的大部分有机化合物的熔点都在工厂废热温度范围内。据Ulrich，Lu, Glade[i]对1999年Merck产品目录中的4773中有机物进行分析，发现71%以上的物质熔点在0℃和200℃之间。超过86%的物质熔点在0℃和300℃之间。 熔融结晶与溶液结晶相比较，由于没有添加新的溶剂，所以避免了溶剂的后处理过程，这个优点往往可以弥补熔融结晶的其它缺点. 熔融结晶处理的是液态物质，液态相对于气态而言，所需要的体积小，所用设备体积小，投资少。当然，如果熔融结晶需要更长的停留时间时，则这点优势就不明显了。 熔融结晶过程没有气体产生，泄露易于控制。而且整个设备可密闭，更有利于环境安全。 熔融结晶不需要添加任何物质，所以没有废液和其它化学物质（溶剂）产生。要知道，溶剂回收的成本往往占整个结晶成本的大部分。 对于非固体溶液型体系，从理论上来说，结晶过程具有非常高的选择性和可以高达100%的产品纯度。

卷积特征提取

卷积特征提取 ? ? ? ? ? ? 前面的练习中，解决了一些有关低分辨率图像的问题，比如：小块图像，手写数字小幅图像等。在这部分中，我们将把已知的方法扩展到实际应用中更加常见的大图像数据集。 在稀疏自编码章节中，我们介绍了把输入层和隐含层进行“全连接”的设计。从计算的角度来讲，在其他章节中曾经用过的相对较小的图像（如在稀疏自编码的作业中用到过的8x8 的小块图像，在MNIST数据集中用到过的28x28 的小块图像），从整幅图像中计算特征是可行的。但是，如果是更大的图像（如96x96 的图像），要通过这种全联通网络的这种方法来学习整幅图像上的特征，从计算角度而言，将变得非常耗时。你需要设计10 的4 次方（=10000）个输入单元，假设你要学习100 个特征，那么就有10 的 6 次方个参数需要去学习。与28x28 的小块图像相比较，96x96 的图像使用前向输送或者后向传导的计算方式，计算过程也会慢10 的 2 次方（=100）倍。 解决这类问题的一种简单方法是对隐含单元和输入单元间的连接加以限制：每个隐含单元仅仅只能连接输入单元的一部分。例如，每个隐含单元仅仅连接输入图像的一小片相邻区域。（对于不同于图像输入的输入形式，也会有一些特别的连接到单隐含层的输入信号“连接区域”选择方式。如音频作为一种信号输入方式，一个隐含单元所需要连接的输入单元的子集，可能仅仅是一段音频输入所对应的某个时间段上的信号。） 网络部分连通的思想，也是受启发于生物学里面的视觉系统结构。视觉皮层的神经元就是局部接受信息的（即这些神经元只响应某些特定区域的刺激）。

自然图像有其固有特性，也就是说，图像的一部分的统计特性与其他部分是一样的。这也意味着我们在这一部分学习的特征也能用在另一部分上，所以对于这个图像上的所有位置，我们都能使用同样的学习特征。 更恰当的解释是，当从一个大尺寸图像中随机选取一小块，比如说8x8 作为样本，并且从这个小块样本中学习到了一些特征，这时我们可以把从这个8x8 样本中学习到的特征作为探测器，应用到这个图像的任意地方中去。特别是，我们可以用从8x8 样本中所学习到的特征跟原本的大尺寸图像作卷积，从而对这个大尺寸图像上的任一位置获得一个不同特征的激活值。 下面给出一个具体的例子：假设你已经从一个96x96 的图像中学习到了它的一个8x8 的样本所具有的特征，假设这是由有100 个隐含单元的自编码完成的。为了得到卷积特征，需要对96x96 的图像的每个8x8 的小块图像区域都进行卷积运算。也就是说，抽取8x8 的小块区域，并且从起始坐标开始依次标记为（1，1），（1，2），...，一直到（89，89），然后对抽取的区域逐个运行训练过的稀疏自编码来得到特征的激活值。在这个例子里，显然可以得到100 个集合，每个集合含有89x89 个卷积特征。 假设给定了的大尺寸图像，将其定义为x large。首先通过从大尺寸图像中抽取的的小尺寸图像样本x small训练稀疏自编码，计算f= σ(W(1)x small + b(1))（σ是一个sigmoid 型函数）得到了k个特征，其中W(1)和b(1)是可视层单元和隐含单元之间的权重和偏差值。对于每一个大小的小

熔融塑料流动特性对注塑的影响

熔融塑料流动特性对注塑的影响

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熔融塑料流动特性对注塑的影响 一、熔融塑料在模腔中流动的速度 １.各流层的速度 塑料在模腔内的流动可近视的看成层流。根据流体力学理论,层流流体可视为一层层彼此相邻的液体在剪切应力（引起材料沿平行于作用力的平面产生滑移而变形的力,即切向应力）作用下的相对滑移。层流流体的这种特性可用两平行板间的液体流动来说明。如图所示，在两个平行的平板间充满具有一定黏度的液体，若平板Ａ以速度V移动,另一平板B静止不动,则由于液体分子与平板表面的吸附作用,将使贴近板Ａ的液体层以同样的速度v=V随板移动,从而对和它相邻的液体层产生摩擦力（即剪切应力）。如此传递下去,于是在各层的界面上产生相应的剪切应力,从而形成各液体层间的相对滑移，而紧贴板B的液体，由于液体分子与平板表面的吸附作用,则静止不动(v＝０)。 由于塑料熔体在成型过程中流动时，其雷诺准数—般小于1０，分散体也不会大于２1０0,因此其流动均为层流。塑料从喷嘴中射出到流道中后,由于塑料分子与流道壁(或模具型腔壁)的吸附作用，使得紧贴流道壁（或模具型腔壁)的流层速度为零，从而对和它相邻的液体层产生摩擦阻力。如此传递下去,于是形成中间流层速度最大,两侧靠近流道壁(或模具型腔壁)的流层速度递减的流动形式，如图所示。 2．流通面积变化时速度的变化 由于塑料熔体在成型过程中的流动是连续的，而且塑料熔体基本上是不可压缩的,所以流体通过每个流通面（管道的横截面）的流量是相等的，所以，当流体从大的流管流入小的流管时,如果流体源头仍以同样的流量持续注入流体（如图所示)，则流体进入小管后流速变快了，其流速与流通面积成反比。但此时由于管径变细流体受到了阻力,所以需要更大的注入压力。同理当流体从小的流管流入大的流管时流速会放慢。

煤的灰熔融特性测定

煤的灰熔融特性测定 一、实验目的与要求 煤燃烧后产生的成分，在高温下的熔融特性是锅炉用煤的重要特性之一。对于煤粉燃烧固态排渣的锅炉，它是判断炉膛结渣可能性的主要依据之一，为了减少结渣的可能，煤粉炉要求燃用灰熔点较高的煤。对于层燃炉，灰熔点较低的美可形成适当的炉渣，起到保护炉排的作用。对于液态排渣粉炉，燃用灰熔点较低的煤种有利于排渣。 通过该实验，感性认识灰熔融过程和灰熔融特性的三个特征温度（DT、ST 和FT） 二、实验仪器 5E-AFII智能灰熔点测试仪、玻璃板、小尖刀 三、实验原理 测定煤的灰熔融特性，采用角锥法，即将煤灰制成一定尺寸（高20mm、底为边长7mm的正三角形，椎体的一侧面垂直于底面）的三角锥，在一定的气体介质中，以一定的升温速度加热，观察灰锥在受热过程中的形状变化，观测并记录它的四个特征熔融温度：变形温度（DT）、软化温度（ST）、半球温度（HT）和流动温度（FT）。 这四个温度的定义如下： 1.变形温度（DT）：灰锥尖端或棱开始变圆或弯曲时的温度； 2.软化温度（ST）：灰锥变形或锥尖触及托板或灰锥变成球形时的温度； 3.半球温度（HT）：灰锥变形至近似半球形，即高约等于底长的一半时的温度； 4.流动温度（FT）：灰锥熔化展开成高度在1.5mm以下的薄层时的温度。 四、实验步骤 1.取粒度小于0.2mm的空气干燥煤样，按GB/T212-91规定将其完全灰化，然后用玛瑙研钵研细至0.1mrn以下。 2.取1~2g煤灰放在瓷板或玻璃板上，用数滴糊精溶液湿润并调成可塑状，然后用小尖刀铲入灰锥模中挤压成型。用小尖刀将模内灰锥小心推至瓷板或玻璃板上，于空气中或于60摄氏度下干燥备用。 3.用糊精溶液将少量氧化镁或灰锥固定在灰锥托板的三角坑内，并使灰锥垂直于底面的那个侧面与托板表面垂直。 4.按顺序打开打印机、计算机、测试仪主机（包括调压器）的电源开关。 5.运行测试程序，点击“开始测试”，待高温炉完全退出后，将带灰锥的托板置于样品支架上，然后输入样品相关数据，再点击“确定”。 6.如用封碳法实验，则等高温炉完全退出后，拧下尾部密封螺帽，将装好碳物质的刚玉舟推入炉内，直到接触到样品支架头部，检查密封垫圈并拧好螺帽，螺帽不要拧得过紧，以防刚玉管膨胀而损坏。 7.如果用通气法则需打开钢瓶阀门，当炉温上升到500摄氏度时将自动向炉内送人混合气体，注意观察流量应为150ml/min左右；氧化性气氛则装上有孔的石英垫板。 8.高温炉运动到位后即开始控制升温，当所有样品各特征温度判定完成或温度到达1500摄氏度后，实验结束，停止升温、自动保存和打印结果。 9.实验结束后，可立即关闭测试仪主机电源开关、计算机系统电源，但最好

成本卷积功能的系统操作说明

成本卷积功能的使用 一、成本卷积原理 如上图所示的产品结构，成本卷积会先用算出D、E两个外购件材料领用的加权单价，然后得出半成品B的实际发生总成本(包括：料、工、费)，然后再算出B、C材料领用的加权单价，最终算出成品A的总发生成本，有了总成本后进而计算出产成品入库单价，从而算出销售出库加权成本。 价格取数方式： 采购入库：取采购价格 材料出库：加权单价 其它特殊入库：在[成本管理]->[正常单据记账]模块,手工填写入库单价并记账 半成品入库：通过入库成本分摊算出，未完工按标准成本入库，已完工按待分摊成本/待入库数量算出入库单价 半成品领用出库：加权单价 产成品入库：与半成品入库一样作法 销售出库：加权单价 全月平均法公式：加权单价=（期初结存金额+本期入库金额）/（期初结存数量+本期入库数量）二、系统操作流程图 由于成本卷积功能已帮助用户自动实现了一系列繁琐操作，因此用户需要做的，其实就是建立费用单进行分摊、对无单价的特殊入库单输入单价进行记账、成本卷积、成本月结，然后每月重复上述操作。 三、系统模块操作说明

1、【正常单据记账】 功能：对无单价的特殊入库单进行价格写入 系统位置：成本管理->正常单据记账 操作说明： 点击单价列，输入入库单价格(全月平均法计价方式下出库单不可输价格)，选中有价格的入库单，点记账按钮，完成核算单价记账。 2、【录入费用单】 功能：记录生产制造杂项费用 系统位置：成本管理->制造费用管理 操作说明： 制造费用管理列表点击新增按钮，选择费用代码、发生部门，录入发生日期与发生金额，点击保存按钮，完成费用单的录入。 3、【成本卷积】 功能：从最末阶开始往上计算出库单价、工单总成本、产成品入库单价 系统位置：成本管理->工单成本卷积

信号与系统中的卷积算法 论文

信号与系统论文 卷积算法 姓名：曹九一 班级：电气10-9 学号:29号

卷积算法 摘要：卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独 谈卷积是没有意义的。卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理领域中一种常用的重要工具。随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，不仅使卷积方法在很多领域得到很广泛的应用，而且卷积运算的逆运算------反卷积的问题也越来越受重视和应用。在语言识别、现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多信号处理领域中卷积和反卷积无处不在，而且许多都是有待深入开发研究的课题。用计算机来进行信号与系统分析，了解并灵活运用卷积运算去解决问题，提高自身的理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。 卷积运算的理论运算 1 卷积的概念及表达方式 卷积是信号处理中经常用到的运算。其离散型基本的表达式为： ∑=-=*=n m m n h n x n h n x n y 0 ) ()()()()( 其连续型基本的表达式为： ?+∞ ∞ -= *=τ ττd t h x t h t x t )-()()()()(y 换而言之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)d 做一变量代换不难得出： f(t)d=f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t) 2 阶梯函数卷积 所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子

1—1 其中 3)-u(t -2)-2u(t -1)-u(t 2u(t)f(t)+=, 3)-3u(t -2)-2u(t 1)-u(t -2u(t) h(t)+=。 以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。 根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与 h(t)的积分的卷积，即： ()t d h dt t d t h t ?+∞ ∞ -= )t *) (f )(*)(f （ 由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合， 如图1—2（a ） 所示。

信号与系统——卷积

卷积积分与卷积和初步分析 一、摘要： 近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。 卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。 二、关键词： 信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法 三、正文： 卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。对连续时间信号的卷积称为卷积积分，定义式为： 对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为： 1、卷积积分的解法 （1）图解法 图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。

如果给定 和 ，要求这两个函数的卷积积分 ,首先要改变自变量，即将 和 变成 和 ，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了 ，然后再经过以下四个步骤： （1）反褶，即将 进行反褶，变为 ； （2）时移，即将 时移 ，变为 ，当 时，将 右移 ，而当 时，将 左移 ； （3）相乘，即将 与 相乘得到 ； （4）积分，即将乘积 进行积分，积分的关键是确定积分限。一般是将 不等于零的区间作为上下限，而当取不同的值时，不为零的区间有所变化，因此要分成不同的区间来求卷积。 例1、已知 和 的波形如图1-1所示，求 。 图1-1 解：（1）变量代换，将变量 和 变成 和 ，此时波形不变； （2）将 进行反褶，变为 ，图1-2； （3）时移，即将 时移 ，图1-3； （4）相乘，即将 与 相乘得到 ，图1-4～8； 图 1-3 图 1-2

最新信号与系统精品专题复习(试题及答案)2：卷积-答案

2.1 选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填 入（ ）内） 1．系统微分方程式),()(),(2)(2)(t u t x t x t y dt t dy ==+若 3 4)0(=-y ，解得完全响应y (t )=)0(,13 12≥+-t e t 当 则零输入响应分量为——————————— （ 3 ） （1）t e 23 1- （2）21133t e -- （3）t e 23 4- （4）12+--t e 2．已知)()(),()(21t u e t f t u t f at -==，可以求得=)(*)(21t f t f ———— —（ 3 ） （1）1-at e - （2）at e - （3）)1(1at e a -- （4）at e a -1 3．线性系统响应满足以下规律————————————（ 1、4 ） （1）若起始状态为零，则零输入响应为零。 （2）若起始状态为零，则零状态响应为零。 （3）若系统的零状态响应为零，则强迫响应也为零。 （4）若激励信号为零，零输入响应就是自由响应。 4．若系统的起始状态为0，在x （t ）的激励下，所得的响应为—— —（ 4 ） （1）强迫响应；（2）稳态响应；（3）暂态响应；（4）零状态响应。 2.2 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入 ×）

1．零输入响应就是由输入信号产生的响应。 （ × ） 2．零状态响应是自由响应的一部分。 （ × ） 3．若系统起始状态为零，则系统的零状态响应就是系统的强迫响应 （ × ） 4．当激励为冲激信号时，系统的全响应就是冲激响应。 （ × ） 5．已知)2()1()(),1()1()(21---=--+=t u t u t f t u t u t f ，则f 1（t ）*f 2 （t ）的非零值区间为（0，3）。 （ √ ） 2.3 填空题 1．=-t e t *)(δt e - ()at t e δ-*=at e - 2．=+t t 0cos *)1(ωδ0cos (1)t ω+ =-)(cos *)(0τωδt t 0cos ()t ωτ- =--)2 (*)cos 1(πδt t 1cos()2t π-- 3．=)](*)([t u t u dt d ()u t =*)]()([t tu t u dt d ()tu t =?? ?????∞-t d u t u dt d λλ)(*)(()tu t =-)](*)([t u t u e dt d t ()t e u t - 4．已知),()1()(),1()()(21t u t u t f t u t u t f -+=--=则)(*)(21t f t f 的非 零值区间为（ -1 ，1 ）

7-5 离散系统的卷积和分析

7-5 离散系统的卷积和分析 一、离散时间信号的时域分解 根据单位序列)(k δ及单位移位序列)(m k -δ的抽样性，即 )()0()()(k f k k f δδ= )()()()(m k m f m k k f -=-δδ 可将任意序列f(k)用单位序列及其移位序列表示，即 =???+-+-+++-+???=)2()2()1()1()()0()1()1()(k f k f k f k f k f δδδδ ∑∞ -∞ =-i i k k f )()(δ (7-31) 可见任意离散时间信号在时域可表示为)(i k -δ的线性组合，或者为在不同离散序号上 出现的具有不同加权值的离散序列和。 对于右边序列有 ∑∞ =-=0 ) ()()(i i k i f k f δ 例如，对于图7-21所示离散时间，可表示为 )5(2)4(4)3(6)2(4)1(2)(-+-+-+-+-=k k k k k k f δδδδδ 二、卷积和 设两个离散时间信号为)(1k f 和)(2k f ，定义)(1k f 与)(2k f 的卷积和运算为 )()()()(2 1 21i k f i f k f k f i -= *∑∞ -∞ = (7-32) 与连续时间信号的卷积积分相同，卷积求和也满足基本运算规律，即 k 图 7 - 21 交换律：)()()()(1221k f k f k f k f *=* (7-33) 分配律：)()()()()]()([)(3121321k f k f k f k f k f k f k f *+*=+* (7-34) 结合律：)()]()([)]()([)(321321k f k f k f k f k f k f **=** (7-35)

信号与系统试验----信号卷积

信号与系统试验----信号卷积

一、 实验目的 1. 理解卷积的概念及物理意义； 2. 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果 的理解。 二、实验设备 1.信号与系统实验箱 1台 2.双踪示波器 1台 三、实验原理 卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。设系统的激励信号为)t (x ，冲激响应为)t (h ，则系统的零状态响应为 )(*)()(t h t x t y =?∞∞ --=ττd t h t x )()(。 对于任意两个信号)t (f 1 和)t (f 2 ，两者做卷积运算定义 为：?∞∞--=ττd t f t f t f )(2 )(1)(=)t (f 1 *)t (f 2 =)t (f 2 *)t (f 1 。 1. 两个矩形脉冲信号的卷积过程 两信号)t (x 与)t (h 都为矩形脉冲信号，如图9-1所示。下面由图解的方法（图9-1）给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。

图9-1 两矩形脉冲的卷积积分的运算过程与结果 2. 矩形脉冲信号与锯齿波信号的卷积 信号)t (f 1 为矩形脉冲信号，)t (f 2 为锯齿波信号，如图9-2所示。根据卷积积分的运算方法得到)t (f 1 和)t (f 2 的卷积积分结果)t (f ，如图9-2(c)所示。 )t (x )t (h )(h τ) (h τ-t 0≤<∞-t t 2 10≤ ≤t t 11 ≤≤t t 4 1≤ ≤t t ∞<≤t 21214 7t τ τ ) (x τ或或) t (h τ-)t (h τ-) t (h τ-t (h τ-)t (h τ-)(x τ) (x τ) (x τ) (x τ1 11 11 2 141t (h *)t (x )t (y =)(x τt 或 t τ 或（b)(a)(c) (d)(e) (f) (g) (h)(i) 2卷积结果