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受限玻尔兹曼机(RBM)学习笔记(三)能量函数和概率分布

受限玻尔兹曼机(RBM)学习笔记(三)能量函数和概率分布
受限玻尔兹曼机(RBM)学习笔记(三)能量函数和概率分布

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 中文名称:麦克斯韦-玻尔兹曼分布 外文名称:Maxwell Boltzmann distribution 麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个概率分布,在物理学和化学中有应用。最常见的应用是统计力学的领域。任何(宏观)物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围,而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而,对于大量粒子来说,处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变,如果系统处于或接近处于平衡。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例,对于任何速度范围,作为系统的温度的函数。它以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。 物理应用: 麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础,它解释了许多基本的气体性质,包括压强和扩散。麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布,但它还可以指分子的速度、动量,以及动量的大小的分布,每一个都有不同的概率分布函数,而它们都是联系在一起的。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导,它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布,其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的,因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。

在许多情况下(例如非弹性碰撞),这些条件不适用。例如,在电离层和空间等离子体的物理学中,特别对电子而言,重组和碰撞激发(也就是辐射过程)是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布,就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况,就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时,由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。另外,由于它是基于非相对论的假设,因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。 推导: 麦克斯韦的推导假设了三个方向上的表现都相同,但在玻尔兹曼的一个推导中利用分子运动论去掉了这个假设。麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以轻易地从能量的玻尔兹曼分布推出:其中Ni是平衡温度T时,处于状态i的粒子数目,具有能量EI和简并度GI,N是系统中的总粒子数目,k是玻尔兹曼常数。(注意有时在上面的方程中不写出简并度HI。在这个情况下,指标i将指定了一个单态,而不是具有相同能量EI的GI的多重态。)由于速度和速率与能量有关,因此方程1可以用来推出气体的温度和分子的速度之间的关系。这个方程中的分母称为正则配分函数。

基于协同过滤视角的受限玻尔兹曼机研究

目录 摘要.............................................................................I ABSTRACT(英文摘要).........................................................III 目录.............................................................................VII 主要符号对照表...................................................................VIII 第一章绪论. (1) 1.1信息过载与协同过滤 (2) 1.2受限玻尔兹曼机 (3) 1.3本文的研究内容和组织结构 (4) 1.3.1本文的研究内容 (4) 1.3.2本文的组织结构 (5) 第二章协同过滤以及受限玻尔兹曼机 (7) 2.1协同过滤问题简介 (7) 2.2协同过滤算法 (8) 2.2.1基于内存的(Memory-based)方法 (8) 2.2.2基于模型的(Model-based)方法 (10) 2.3受限玻尔兹曼机简介 (11) 2.3.1模型 (11) 2.3.2学习算法 (14) 2.3.2.1RBM中的吉布斯采样 (14) 2.3.2.2对比散度 (15) 2.4应用受限玻尔兹曼机构建深层神经网路 (17) 2.5应用受限玻尔兹曼机求解协同过滤问题 (19) 2.6受限玻尔兹曼机与基于用户的最近邻算法的联系 (21) 2.7本章小结 (23)

玻尔兹曼机网络

Boltzmann 机网络 1. 网络结构 伯尔兹曼机网络(Boltzmann machines ,BM )在网络结构方面与Hopfield 神经网络类似,网络采取有教师的学习方法,每一个神经元之间对称的反馈互联,即各对神经元之间的传输权重系数是对称的:ji ij w w =,0=ii w 。但是,两者之间在运行原理方面有根本区别。 (1)Hopfield 网络的神经元的结构功能,及其在网络中的地位是一样的。BM 中一部分神经元与外部相连,可以起到网络的输入、输出功能,或者严格的说可以受到外部条件的约束;而另一部分神经元则不与外部相连,因而属于隐单元;BM 是具有隐单元的反馈互联网络。 (2)神经元的状态为0或1的概率取决于相应的输入。 (3)学习与工作原理有其独特之处。 BM 网络的神经元特性取概率阈值模型,如图1所示。对于第i 号神经元,它的全部输入信号的总和为i I ,可表示如下 i N i j j j ij i x w I θ-=∑-≠=1 ,0 (1) 或者 ∑-≠==1 ,0N i j j j ij i x w I (2) 神经元i 的输出为i x ,i x 只能取1或0,i x 取1的概率i p 由下式决定 ()()T I i j e x p /111-+== (3) ()()==-==110i i x p x p ()T I T I j j e e //1--+ (4) 式(3)就是我们熟悉的Sigmoid 形式,但是前面分析中常用的参数0u 改用了字母T ,并且称之为温度,这与在BM 的分析中将与热力学类比有关,在不同的温度下i p 随i I 的变化如图2所示,温度参数T 在BM 神经网络的搜索过程中起重要的作用。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 在物理学(特别是统计力学)中,麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。 这是第一次定义,并且用于描述颗粒速度在理想化的气体,其中所述颗粒的固定容器内自由移动,而不会彼此互动,除了非常简短的碰撞,其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。在该上下文中,术语“颗粒”仅指气态颗粒(原子或分子),并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。 在一个封闭的空间中,温度为T,里面只有两种能级,粒子的总数为N,且两种能级对应的个数分别 为:,所以能级的粒子总和为。那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为:

通过组合数计算一下熵,熵是来源热力学的概念,熵是衡量物质的混乱程度的量,通常和物质的状态有关,我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高,能量越低时混乱程度也越低,下面给出熵的定义: 其中是玻尔兹曼常数,取log就是熵的来源。 把带进上式的: 现在我给空间增加少了的能量,此时封闭的空间的低 能级的粒子就会越变到高能级,也就是说会有少量的变为即: ,其中是变化的粒子数,由此我们从新计算熵为: 得到:

我们知道上式的分子和分母项是一样多的,同时在封闭的空间中是足够大的,是很小的,因此可以 把化简为: 然而从热力学角度,熵的变化量和温度以及加入的能量有关(参考维基百科),因此有如下的公式; 联立和两式的到: 化简得到为:

从上式我们看到,不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系,上式就称为玻尔兹曼分布。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。当有保守外力(如重力场、电场等)作用时,气体分子的空间位置就不再均匀分布了,不同位置处分子数密度不同。玻尔兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时,处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律 玻尔兹曼(L.E.Boltzmann)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。在等宽的区间内,若E1>E2,则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2,状态即粒子优先占据能量小的,这是玻尔兹曼分布律的一个重要结果。经过将近一个世纪的传播,物理学界、化学界渐渐接受了道尔顿的“原子—分子模型”,但原子、分子的确凿证据迟迟没有找到。恰恰此时,一股更强大的科学成就——热力学第一、第二定律出现了。热力学原则上解决了一切化学平衡的问题。1892年,物理化学家奥斯特瓦尔德试图在此基础上证明,将物理学和化学问题还原为原子或分子之间的力学关系是多余的。他试图将“能量”赋以实物一样的地位,甚至要把物质还原为能量。他提出“世界上的一切现象仅仅是由于处于空间和时间中的能量变化构成的”。在统计学中,麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布,以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它一开始在物理中定义并使用是为了描述(特别是统计力学中描述理想气体)在理想气体中粒子自由移动的在一个固定容器内与其它粒子无相互作用的粒子速度,除了它们相互或与它们的热环境交换能量与动量所产生的非常短暂的碰撞。在这种情况下粒子指的是气态粒子(原子或分子),并且粒子

系统被假定达到热力学平衡。在这种分布最初从麦斯威尔1960年的启发性的基础上衍生出来时,玻尔兹曼之后对这种分布的物理起源进行了大量重要调查粒子速度概率分布指出哪一种速度更具有可能性:粒子将具有从分布中随机选择的速度,并且比其它选择方法更可能在速度范围内。分布取决于系统的温度和粒子的质量。麦克斯韦- 波尔兹曼分布适用于经典理想气体,这是一种理想化的实际气体。在实际气体中,存在可以使其速度分布与麦克斯韦- 波尔兹曼形式不同的各种效应(例如,范德华相互作用,涡流,相对论速度限制和量子交换相互作用)。然而,常温下的稀释气体表现得非常接近于理想的气体,麦克斯韦速度分布对于这种气体是非常好的近似值。因此,它形成了动力学气体理论的基础,其提供了许多基本气体性质(包括压力和扩散)的简化解释。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布,概率测量或频率分布。 当存在保守的外力(例如重力场,电场等)时,气体分子的空间位置不再均匀分布,并且在不同位置分子数密度也不同。玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。 L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。在相同的宽度范围内,如果E1> E2,则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量,并且状态是粒子优先占据较小的能量,这是玻尔兹曼的重要结果分配法。 经过近一个世纪的传播,物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”,但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。这时,出现了更强大的科学成就,即热力学的第一定律和第二定律。热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。1892年,物理化学家奥斯特瓦尔德(Ostwald)试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态,甚至使物质恢复能量。他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。 在统计中,麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布,以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它首先被定义并在物理学中用于描述(特别是在统计力学中)粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度,除了粒子与

其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。在这种情况下,粒子是指气态粒子(原子或分子),并且假定粒子系统达到了热力学平衡。当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时,玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。 粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能:粒子具有从分布中随机选择的速度,并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。分布取决于系统温度和颗粒质量。Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体,这是理想的真实气体。在实际气体中,存在多种影响(例如范德华相互作用,涡流,相对论速度极限和量子交换相互作用),这些影响可能使速度分布不同于麦克斯韦·玻耳兹曼形式。但是,室温下的稀气体的性能非常接近理想气体,麦克斯韦速度分布非常近似于该气体。因此,它构成了动气理论的基础,它为许多基本的气体特性(包括压力和扩散)提供了简化的解释。

【CN110197704A】一种基于受限玻尔兹曼机的自组织BP神经网络出水总磷预测方法【专利】

(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910311618.2 (22)申请日 2019.04.18 (71)申请人 北京工业大学 地址 100124 北京市朝阳区平乐园100号 (72)发明人 乔俊飞 王龙洋  (74)专利代理机构 北京思海天达知识产权代理 有限公司 11203 代理人 刘萍 (51)Int.Cl. G16C 20/70(2019.01) G06N 3/08(2006.01) (54)发明名称 一种基于受限玻尔兹曼机的自组织BP神经 网络出水总磷预测方法 (57)摘要 本发明涉及一种基于受限玻尔兹曼机的自 组织BP神经网络出水总磷预测方法,本发明,包 括以下几个步骤:1.在分析污水处理过程可测和 难测变量的基础上,将出水氨氮、溶解氧浓度、化 学需氧量、出水悬浮物浓度、总氮和氧化还原电 位这6个关键可测变量作为预测模型的输入参 数,并进行数据预处理。2.采用基于互信息和敏 感度分析的自组织BP神经网络对输入样本数据 进行训练,从而实现网络结构自动调整。3.采用 受限玻尔兹曼机对结构调整后的神经网络初始 权值和阈值进行训练,进而提高网络收敛速度和 总磷预测精度。本发明设计合理,不仅解决了传 统BP神经网络在总磷预测时结构冗余,容易过拟 合的问题,提高了网络的收敛速度和总磷的预测 精度。权利要求书1页 说明书6页 附图3页CN 110197704 A 2019.09.03 C N 110197704 A

权 利 要 求 书1/1页CN 110197704 A 1.一种基于受限玻尔兹曼机的自组织BP神经网络出水总磷预测方法,其特征在于,包括以下几个步骤: (1)将出水氨氮、溶解氧浓度、化学需氧量、出水悬浮物浓度、总氮和氧化还原电位这6个关键可测变量作为预测模型的输入参数,并进行数据的预处理; (2)将预处理过的输入样本数据送入到自组织BP神经网络中,对网络进行训练,从而实现自组织网络的结构自动调整; (3)采用受限玻尔兹曼机对结构调整后的自组织BP神经神经网络的初始权值和阈值进行训练,进而实现神经网络收敛速度的提高和污水处理过程出水总磷的预测; 所述步骤(2)将处理过的样本数据送入到自组织BP神经网络中进行训练,自组织BP神经网络在样本训练过程中通过自动的改变隐含层神经元的数量而实现结构的自动调整和确定,网络结构调整的依据依赖于隐含层神经元的互信息值以及隐含层神经元的敏感度值,首先计算隐含层各个神经元的敏感度值的大小,考虑将敏感度值小于0.04的隐含层神经元认为是无效且冗余的神经元,将其删除,然后计算任意两个隐含层神经元之间的互信息值的大小,并确定互信息值过大的隐含层神经元,将互信息值大于3.15的两个神经元认为是相关性过大的神经元,将它们合并为一个神经元,最后确定敏感度过大的神经元,将敏感度值大于0.15的隐含层神经元认为是贡献过大的神经元,则将该神经元进行分裂。 2

基于大数据的人工智能运维服务支撑方案

基于大数据的人工智能运维服务支撑方案 01概述 在运营商传统网络运维中,巡检、告警分析、故障处理等工作长期积累了丰富的经验,其价值并未被充分挖掘。同时,目前的人工运维存在系统复杂耦合度高、数据来源多种多样、人工维护风险度高,修复间隔时间过长、人员培养难度大等现状,导致了性能相关告警不明确、无效告警筛查规则缺失、故障维护只能被动解决,优化/维护工单重复派发等问题,影响网络运维的效率和成本。为了优化网络运维的工作模式,提升网络运维准确性及效率性,提出集中维护支撑服务项目,基于人工智能(Artificial Intelligence)的运维解决方案旨在强调实现以维护为中心,依托大数据挖掘技术与深度学习算法,实现问题早发现,由被动处理问题改为积极预防问题,从而提高整体资源的利用率和维护效率。 02 基于人工智能(AI)核心算法 2.1 聚类算法(KMeans) 通过对多维度求欧拉距离(或余弦距离),不断的迭代对隐患进行聚类,找到关键核心点的特性进行隐患挖掘。K-Means算法是基于多维度距离的聚类算法,通过设置参数K,将样本点分为K个紧凑且独立的簇,每个簇由与簇的质心欧拉距离靠近的样本点组成。 计算步骤:

· 随机选取K个中心点遍历所有数据,将每个数据划分到最近的中心点中 · 计算每个聚类的平均值,并作为新的中心点 · 重复2-3,直到这k个中线点不再变化(收敛了),或执行了足够多的迭代 以每个基站作为样本点,以其性能指标参数及历史告警类别和频次作为特征,对所有有告警基站进行K-Means聚类,通过不断迭代将将告警类型依据相似性能指标进行聚类,深入挖掘各类告警的关键核心特征,作为基站画像、隐患挖掘与管理的基础。 2.2 常规分类算法(逻辑回归,KNN,决策树,随机森林) 通过把相似隐患进行归并,可以对隐患进行分级,从而方便查找隐患的级别。常规分类算法是有监督的机器学习算法,对于给定的目标类别,将样本进行分类。 逻辑回归:基于Sigmoid函数的多特征的二分类/多分类广义线性回归。通过建立代价函数并利用梯度下降优化的方法,实现多样本的分类。 KNN:K最近邻(kNN,k-NearestNeighbor)分类算法是数据挖掘分类技术中最简单的方法之一。所谓K最近邻,就是将每个样本分类为它最接近的k个样本的类别均值。 决策树:决策树又称为判定树,是运用于分类的一种树结构,其中的每个内部节点代表对某一属性的一次测试,每条边代表一个测试结果,叶节点代表某个类或类的分布。决策树的决策过程需要

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 麦克斯韦-玻尔兹曼分布是描述一定温度下,理想气体分子运动速度的概率分布。宏观物理系统的温度,微观上来讲就是大量分子热运动的剧烈程度。单个气体分子的热运动有一个速度范围,通过与其它分子的碰撞而不断变化。然而对于大量气体分子来说,处于特定的速度范围的分子所占的比例基本不变。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布就是理想气体分子的速度关于系统温度的函数: 在这之前,首先了解什么是理想气体,以及系统的玻尔兹曼分布。 气体三定律: 1、一定质量的气体,在等温过程中,压强跟体积成反比。即P1V1=P2V2=C1。

2、一定质量的气体,在压强不变时,体积与温度成正比。即V1/T1=V2/T2=C2。 3、一定质量的气体,当体积一定时,压强与温度成正比。即P1/T1=P2/T2=C3。综合气体三定律可得PV/T=C,C表示常量。 理想气体: 在任何情况下都遵守气体三定律,服从方程PV/T=C的气体称为理想气体。其有三大性质: 1、理想气体分子之间没有相互作用力,即没有分子势能。 2、理想气体分子的碰撞不造成动能损失。 3、理想气体的内能是气体分子动能之和。

玻尔兹曼分布 玻尔兹曼分布是系统中的粒子在各种可能的能量状态下的概率分布:F∝e^(-ε/kT) ε表示某个能量态的能量。 其概率密度分布为:

Pi=(e^-ε/kT)/∑(e^-εi/kT) 其中Pi是能量态i的概率,εi是量子态i的能量,k是玻尔兹曼常数,T是热力学温度,∑是对系统各个能量态概率的求和。 Pi=Ni/N 其中Ni为处于i能量态的粒子数,N为系统中的粒子总数。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 麦克斯韦-玻尔兹曼分布也是一种玻尔兹曼分布,对于理想气体,能量是分子动能之和。气体分子的动能表示为: E=mV2/2 m是单个分子的质量,V是分子速度矢量(Vx,Vy,Vz)。 将其代入玻尔兹曼分布:

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布详解 为了解决伪吸引子还需要引入另外一个重要概念即:玻尔兹曼分布。本篇将详解玻尔兹曼分布,但是还是先说说为什么要引入玻尔兹曼分布,因为为了解决Hopfield神经网络的伪吸引子的问题,引入模拟退火算法和玻尔兹曼分布,下一节将在Hopfield神经网络中加入这两个算法,组合成一个新的神经网络即随机神经网络或者玻尔兹曼机。因为本人喜欢刨根问底,所以会深入挖掘引入的知识,这样下节讲起来就会很容易,也会更容易理解,不会觉的太突兀,另外一点就是希望能深入理解和掌握玻尔兹曼机,因为后面还会引入受限玻尔兹曼机、深度信念网络、CNN、RNN。因此我们正在慢慢的靠近深度学习的核心区域,前面就说过,所有的算法都不是拍着脑袋想出来的,他是根据出现的问题,慢慢研究出算法的,我们要想深入理解深度学习,沿着他的发展历程学习将更容易,更具有体系化,以后遇到问题也知道如何解决,您说呢?好,废话不多说,下面就开始主题:玻尔兹曼分布。 玻尔兹曼分布: 在物理学(特别是统计力学)中,麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。 这是第一次定义,并且用于描述颗粒速度在理想化的气体,其中所述颗粒的固定容器内自由移动,而不会彼此互动,除了非常简短的碰撞,其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。在该上下文中,术语“颗粒”仅指气态颗粒(原子或分子),并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。(此来源维基百科,详情请点击了解),在这里我不会讲解的那么深,从容易接受的角度出发,因此会有点不严谨,但是对于我们理解已经够用了,想深入理解的请参考维基百科。

玻尔兹曼分布律

玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础,它解释了许多基本的气体性质,包括压强和扩散。玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布,但它还可以指分子的速度、动量,以及动量的大小的分布,每一个都有不同的概率分布函数,而它们都是联系在一起的。 玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布,其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的,因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。 在许多情况下(例如非弹性碰撞),这些条件不适用。例如,在电离层和空间等离子体的物理学中,特别对电子而言,重组和碰撞激发(也就是辐射过程)是重要的。如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布,就会得到错误的结果。另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况,就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时,由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。另外,由于它是基于非相对论的假设,因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。 玻尔兹曼分布律 - 推导

麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。这时分子在空间分布是均匀的,气体分子在空间各处的密度是一样的。如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中,分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢?能有关。实际上,麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布,即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关,而且与e-εk/kT成正比。据(9.29)式可得 玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。在这种情况下,应考虑到分子的总能量ε=εk+εp,这里εk是分子的动能,εp是分子在力场中的势能。同时,由于一般说来势能随位置而定,分子在空间的分布是不均匀的,需要指明分子按空间位置的分布,即要指出位置坐标分别在x到x+dx,y到y+dy,z到z+dz区间内的分子数或百分比,这里dxdydz叫位置区间,而dvxdvydvz叫速度区间。这样,一般讲来,从微观上统计地说明理想气体的状态时,以速度和位置表示一个分子的状态就需要指出其分子在d vxdvydvzdxdydz所限定的各个状态区间分子数或百分比。于是,玻耳兹曼得到理想气体在平衡态下的状态区间内分子的百分比为:

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 Maxwell-Boltzmann分布是一种概率分布,在物理和化学中都有应用。最常见的应用是统计力学领域。任何(宏观)物理系统的温度都是组成系统的分子和原子运动的结果。这些粒子具有不同的速度范围,并且任何单个粒子的速度由于与其他粒子的碰撞而不断变化。但是,对于大量粒子,如果系统处于或接近于平衡状态,则在一定速度范围内的粒子比例几乎不变。Maxwell-Boltzmann分布针对任何速度范围指定了该比率,该比率是系统温度的函数。它以James Clark Maxwell和Ludwig Boltzmann的名字命名。 Maxwell-Boltzmann分布构成了分子动力学理论的基础。它解释了许多基本 气体性质,包括压力和扩散。Maxwell-Boltzmann分布通常是指气体中分子速度的分布,但也可以指分子的速度,动量和动量的分布。每个都有不同的概率分布函数,并且它们都是相关的。一起。 Maxwell-Boltzmann分布可以使用统计力学方法得出(请参阅Maxwell-Boltzmann统计数据)。它对应于由大量非相互作用粒子组成的基于碰撞的系统中最可能的速度分布,其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用通常很小,因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布提供了非常好的气体状态近似值。 在许多情况下(例如非弹性碰撞),这些条件不适用。例如,在电离层和空间等离子体的物理学中,特别是对于电子,复合和碰撞激发(即辐射过程)很重要。如果在这种情况下应用Maxwell-Boltzmann分布,将会得到错误的结果。

Maxwell-Boltzmann分布不适用的另一种情况是,当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时,由于明显的量子效应,无法使用Maxwell-Boltzmann 分布。另外,由于它是基于非相对论的假设,因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布无法预测分子速度大于光速的概率为零。

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