傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换
专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式
一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2
,2[T
T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o
只有有限个极值点。那么)(t f 在]2
,2[T
T -
上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞
=++=1
)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1）
其中 T
πω2=
， ),2,1,0(,cos )(2
22Λ==?-n dt t n t f T a T
T n ω， （2）
),3,2,1(,sin )(2
22
Λ==?-n dt t n t f T b T
T n ω， （3）
根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为
∑∞=--??
????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω
∑∞=-??
?
???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令
dt t f T c T
T ?-=22
0)(1
Λ,3,2,1,)(1
]sin )[cos (1
sin )(1cos )(1222
2222
22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt
t n t f T j dt t n t f T jb a c T
T t jn T
T T
T T T n n n ωωωωω
Λ,3,2,1,)(1
22
==?--n dt e t f T c T
T t jn n
ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子
Λ,2,1,0,)(1
22
±±==?--n dt e t f T c T
T t jn n ω， （5）
若令Λ,2,1,0,±±==n n n ωω，则（1）式可写为
∑∑+∞
-∞
=∞
=--=
++=n t
j n
n t
j n t
j n n n n e c e
c e
c c t f ω
ωω10)()(， （6）
这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。或写成
∑?+∞-∞=--??
????=n t j T
T j n n e d e f T t f ωτωττ2
2
)(1)(。 （7）
傅里叶积分定理
因为任何一个非周期函数)(t f 都可以看成是由某个周期函数)(t f T 当+∞→T 时转化而来的，即)()(lim t f t f T T =+∞
→。于是有
∑?+∞-∞=--+∞→??
????=n t j T
T j T T n n e d e f T t f ωτ
ωττ22)(1lim )(。 可以证明（详细过程可参阅文[46]），当+∞→T 时，有
ωττπ
ωωτd e d e f t f t j j ??∞
+∞-∞+∞--??
????=
)(21
)(， （8） 公式（8）称为傅里叶积分公式。从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里叶积分定理。 傅里叶变换
根据傅里叶积分定理，设
dt e t f F t j ?
+∞∞
--=ωω)()(， （9）
则
ωωπ
ωd e F t f t j ?
∞
+∞
-=
)(21)(， （10）
从上两式可以看出，)(t f 和)(ωF 通过指定的积分运算可以相互表达。（9）式叫做)(t f 的傅里叶变换，记为
=)(ωF F )]([t f .
)(ωF 叫做)(t f 的象函数，（10）式叫做)(ωF 的傅里叶逆变换，记为
)(t f = F -1
)]([ωF .
)(t f 叫做)(ωF 的原象函数。
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
实验八 利用快速傅里叶变换(FFT)实现快速卷积(精选、)
实验八 利用FFT 实现快速卷积 一、 实验目的 （1） 通过这一实验，加深理解FFT 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好的利用FFT 进行数字信号处理。 （2） 进一步掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。 二、 实验原理与方法 数字滤波器根据系统的单位脉冲响应h(n)是有限长还是无限长可分为有限长单位脉冲响应（Finite Impulse Response ）系统（简记为FIR 系统）和无限长单位脉冲响应（Infinite Impulse Response ）系统（简记为IIR 系统）。 对于FIR 滤波器来说，除了可以通过数字网络来实现外，也可以通过FFT 的变换来实现。 一个信号序列x(n)通过FIR 滤波器时，其输出应该是x(n)与h(n)的卷积： ∑+∞ -∞ =-= =m m n h m x n h n x n y )()()(*)()( 或 ∑+∞ -∞ =-= =m m n x m h n x n h n y ) ()()(*)()( 当h(n)是一个有限长序列，即h(n)是FIR 滤波器，且10-≤≤N n 时 ∑-=-=1 0) ()()(N m m n x m h n y 在数字网络（见图6.1）类的FIR 滤波器中，普遍使用的横截型结构（见下图6.2 图6.1 滤波器的数字网络实现方法 图6.2 FIR 滤波器横截型结构 y(n) y(n) -1-1-1-1
应用FFT 实现数字滤波器实际上就是用FFT 来快速计算有限长度列间的线性卷积。 粗略地说，这种方法就是先将输入信号x(n)通过FFT 变换为它的频谱采样 值X(k)，然后再和FIR 滤波器的频响采样值H(k)相乘，H(k)可事先存放在存储器中，最后再将乘积H(k)X(k)通过快速傅里叶变换（简称IFFT ）还原为时域序列，即得到输出y(n)如图6.3所示。 图6.3 数字滤波器的快速傅里叶变换实现方法 现以FFT 求有限长序列间的卷积及求有限长度列与较长序列间的卷积为例来讨论FFT 的快速卷积方法。 （1） 序列)(n x 和)(n h 的列长差不多。设)(n x 的列长为1N ，)(n h 的列长为2N ，要求 )()(n x n y =N ∑-=-==1 ) ()()(*)()(N r r n h r x n h n x n h 用FFT 完成这一卷积的具体步骤如下： i. 为使两有限长序列的线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠，必须选择循环卷积长度121-+≥N N N ，若采用基2-FFT 完成卷积运 算，要求m N 2=（m 为整数）。 ii. 用补零方法使)(n x ，)(n h 变成列长为N 的序列。 ?? ?-≤≤-≤≤=10 10)()(11N n N N n n x n x ?? ?-≤≤-≤≤=10 1 0)()(22N n N N n n h n h iii. 用FFT 计算)(),(n h n x 的N 点离散傅里叶变换 )()(k X n x FFT ??→? )()(k H n h FFT ??→? iv. 做)(k X 和)(k H 乘积，)()()(k H k X k Y ?= v. 用FFT 计算)(k Y 的离散傅里叶反变换得 y(n)
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）
式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
C语言实现FFT(快速傅里叶变换)
C语言实现FFT(快速傅里叶变换) 函数原型:空快速傅立叶变换(Struct Compx *xin，Intn) 函数函数:对输入复数组执行快速傅立叶变换(FFT)输入参数:*xin复结构组的第一个地址指针。结构输出参数:no * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *结构compx u，w，t。 nv2 =快速傅立叶变换_ N/2；nm1 =快速傅立叶变换_ N-1；(I = 0；i
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间 LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信 号响应的加权和或积分; 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 f (t ) 1 T /2 -1 T t 周期信号的特点： (1) 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 ( - , ) (2) 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 f (t ) 可以 写成 周期信号: 定义在区间 (- , ) ，每隔一定时间 T ，按相同
f (t ) = f 0(t -nT ) n =- (3) 周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 a +T b +T T f (t )dt = f (t )dt = f (t )dt ab 0 1. 三角形式的傅立叶级数 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 f (t ) = a + a cos(t ) + b sin(t ) + a cos(2t ) + b sin(2 t ) + ... + a cos(n t ) + b sin(n t ) + ... = a + a cos(n t ) + b sin(n t ) n =1 式中各正、余弦函数的系数 a n ,b n 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 周期信号 f (t ) = 2 f ，周期为T 1 ，角频率 2 T 1
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里
叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭
快速傅里叶变换FFT的FPGA设计与实现--电科1704 郭衡
快速傅里叶变换FFT的FPGA设计与实现 学生姓名郭衡 班级电科1704 学号17419002064 指导教师谭会生 成绩 2020年5 月20 日
快速傅里叶变换FFT 的设计与实现 一、研究项目概述 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为：= )(?X dt t j e t x ? ∞ ∞ --1 )(?，式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT 定义为： ∑-=-=-==1 02,1.....10)()(N n N j N kn N e W N k W n x K X π、、。 可以看出，DFT 需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N 较大时，这个计算量是很大的。利用WN 的对称性和周期性，将N 点DFT 分解为两个N ／2点的DFT ，这样两个N ／2点DFT 总的计算量只是原来的一半，即(N ／2)2+(N ／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N ／2再分解为N ／4点DFT 等。对于N=2m 点的DFT 都可以分解为2点的DFT ，这样其计算量可以减少为(N ／2)log2N 次乘法和Nlog2N 次加法。图1为FFT 与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT 算法的优越性。 图1 FFT 与DFT 所需乘法次数比 较
X[1] 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即x(n)=x1(n)+x2(n)。 x1(n)和x2(n)的长度都是N ／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 ∑∑=--=-=+2 )12(120 2)1.....,0()(2)(1)(N n k n N N n km N N k W n x W n x K X 所以)1...,0()(2)(1)(12 22120 -=+=∑∑-=-=N k W n x W W n x K X N n km N k N km N N n 由于km N N j km N j km N W e e W 2/2 /2222===--ππ ，则 )1.....,0)((2)(1)(2)(1)(12 2/120 2/-=+=+=∑∑-=-=N k k X W k X W n x W W n x K X k N N n km N k N N n kn N 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N ／2点DFT 。由于X1(k)和X2(k)均以N ／2为周期，且WNk+N/2=-WNk ，所以X(k)又可表示为： )12/....,1,0)((2)(1)(-=+=N k k X W k X K X k N )12/....,1,0)((2)(1)2/(-=-=+N k k X W k X N K X k N
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间 ，每隔一定时间 T ，按相同 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 周期信号的特点： （1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 （2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 可以写成 (,)-∞∞(,)-∞∞()f t
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 1. 三角形式的傅立叶级数 周期信号 ，周期为1T ，角频率 11122T f π πω= = 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 []∑∞ =++ =++++++++=1 1 1 011121211110)sin()cos(...)sin()cos(... )2sin()2cos()sin()cos()(n n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 式中各正、余弦函数的系数n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 0()() n f t f t nT ∞ =-∞ = -∑ ()()()a T b T T a b f t dt f t dt f t dt ++= =? ? ?f t ()
傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题
1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题 由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。 第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即 ()∞
吉布斯现象： 当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。 2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题 假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有 ()()∑∞-∞=-= r rN n x n x ~ 或表示为()()()N n x n x =~。于是()n x ~ 与()n x 的关系表示为： ()()()N n x n x =~ ()()()n R n x n x N ~= 将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有： ()()kn N N n W k X N n x --=?=∑10~~ 1 ()()kn N N n W n x k X ?=∑-=10~ ~ 其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将()k X ~的主值周期记为()k X ，10-≤≤N k ，由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1，在次区间内()n x ~ =()n x ，因此可以得到： ()()kn N N n W n x k X ∑-==10~， 10-≤≤N k ()()kn N N n W k X N n x --=∑=10~1， 10-≤≤N n 表明时域N 点有限长序列()n x 可以变换成频域N 点有限长序列()k X 。显然，DFT 与DFS 之间存在以下关系： ()()()N k X k X =~
三角函数性和e指数形式的傅里叶变换
三角级数、傅里叶级数 对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开： 1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，…… 显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn…… 一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。 傅里叶级数的复数形式 根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1， e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。 傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。 Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度 Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础. 经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。 连续频谱 周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对应Ω与-Ω处两根谱线.
C语言实现FFT(快速傅里叶变换)
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傅里叶级数与傅里叶变换关系与应用
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 目录 摘要： 0 关键词 0 Abstract 0 1绪论 (1) 2傅里叶级数的概念 (1) 2.1周期函数 (2) 2.2傅里叶级数的定义 (2) 3 傅里叶变换的概念及性质 (10) 3.1傅里叶变换的概念 (10) 3.2傅立叶变换的性质 (11) 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12) 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12) 5.1傅里叶级数的应用 (12) 5.2傅里叶变换的应用 (13) 参考文献 (15)
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。 傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性 Fourier series And Fourier Transforms Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms. Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications. Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features. Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
fft快速傅里叶变换 c语言实现
#include 傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述（更正版） ——老师不会这么讲，书上也不会讲 注：原来上传到百度文库的文档有较多问题，或者阐述不清楚，因原文档无法删除，只能重新上传一次了。此为更正版。 很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，傅里叶变换到底是怎样一种变换？具体又怎么变换？有没有确切一点，或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试从以一种可理解的、物理的方式来解释，并尽量形象地讲出来，形式是探究、渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？书上说：这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基上的投影很好理解，因为各矢量正交基在空间是垂直关系，原矢量在各正交基上的投影就是其模值乘以与各正交基夹角余弦值。那么，傅里叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？投影也是取余弦值么？ 傅立叶级数的指数形式（图） 上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。 一、傅立叶级数的三角形式 对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即： （1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为 （2） （3） （4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分 量系数。 二、傅立叶级数的指数形式 根据欧拉公式有 （5）其中j为虚数单位，即 （6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式： （7）其中傅立叶系数一般为复数 （8） 三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系 根据欧拉公式由式（7）有 （9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。其中两种形式的傅立叶系数关系如下： （10）或 （11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。 四、周期信号的频谱分析 从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。由式（9）得 （12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为 （13）基波分量的振幅为 （14）基波初相位为 各高次谐波分量的振幅为 （16）各高次谐波分量的初相位为 （17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为 （18） 五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？ 实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即 （19）傅立叶系数一般为复数，可写成 （20）其模就是双边的振幅频谱 (4) 2 T 2 T f (t)dt 傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。 通过对描述实际对象数学模型的数学分析、 求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。 傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。 我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有 2 2 数。在连续点处 有限个第一类间断点; 2。 只有有限个极值点。 那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级 f(t) a 0 ,. (a n cosn ?t b n sin n ?t) (1) 其中 a n T 2 f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)， _2 根据欧拉（Euler ）公式: b n ；认）州艸（n=1,2,3,）， (3) e" - cos ： j si ， （1）式化为 f(t)二色二 a 2 J e jn e" n jn ? ￡ j jn ? t +b e —e M n 2j 若令 a n - j b n 一 2 jn ;.-：t . a n jb n ?弓曲 2 」， §2.4 快速傅里叶变换 (FFT) 实现 一、实验目的 1. 掌握FFT 算法的基本原理； 2. 掌握用C 语言编写DSP 程序的方法。 二、实验设备 1. 一台装有CCS3.3软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320F2812主控板； 3. DSP 硬件仿真器。 三、实验原理 傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。但是DFT 的计算量非常大， FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2 步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。 离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为 ∑=-=1 0][)(N N nk N W n x k X ， N j N e W /2π-= 式中的W N 称为蝶形因子，利用它的对称性和周期性可以减少运算量。一般而言，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两大类。两者的区别是蝶形因子出现的位置不同，前者中蝶形因子出现在输入端，后者中出现在输出端。本实验以时间抽取方法为例。 时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。这样x(n) 的N 点DFT 可写成： ()()∑++∑=-=+-=1 2/0 )12(1 2/0 2122)(N n k n N N n nk N W n x W n x k X 考虑到W N 的性质，即 2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ 因此有： ()()∑++∑=-=-=1 2/0 2/1 2/0 2 /122)(N n nk N k N N n nk N W n x W W n x k X 或者写成： ()()k Z W k Y k X k N +=)( 由于Y(k) 与Z(k) 的周期为N/2，并且利用W N 的对称性和周期性，即： k N N k N W W -=+2/ 第四章快速傅里叶变换 有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley和Tukey提出了计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，将DFT的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基２DIT和基２DIF。FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。 快速傅里叶变换（FFT）是计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。 DFT的定义式为 )(k X =)()(1 k R W n x N N n kn N ∑-= 在所有复指数值kn N W 的值全部已算好的情况 下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。算出全部N 点)(k X 共需2 N 次 复数乘法和)1(-N N 次复数加法。即计算量是与2 N 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。 N W 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算 量尽量分解为小点数的DFT 运算： （1） 周期性：k N n N kn N n N k N W W W )()(++== （2） 对称性：k N N k N W W -=+)2/( 利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子：求当N ＝4时，X(2)的值 通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。 FFT 的算法形式有很多种，但基本上可以傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述
傅立叶级数的指数形式(图)
傅里叶Fourier级数的指数形式与傅里叶变换
快速傅里叶变换 (FFT) 实现
快速傅里叶变换
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