一维谐振子的本征值问题

一维谐振子的本征值问题

姜罗罗

赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班

摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。

关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。

在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一

般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。

一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研

究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a

?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a

?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。

1.矩阵力学解法

V 可

表成

2

2

1kx V x =

（１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ

ωk

=

（２）

它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势

222?2

12??x p H μωμ+= (3) 在能量H

?表象中，由于

]?),?([?)?(p x

f i

x x f -=? (4a) ]?),?([?)?(x p

f i x p

f

=? (4b) 因此有

]?

???[???2H P P H i x x H --==??

μω

(5a)

]????[???H X X H i p

p H -==??

μ (5b) 取H

?表象的矩阵元ij ，由于 ij ij ij E H δ=

(6)

故有

ij j i ij p E E i

x

?)(?2--=

μω (7a) ij j i ij x

E E i

p

?)(?-=

μ

(7b) 由于H

?矩阵的对角性， (7a)，(7b) 两式中的矩阵乘法的取和消失了。且只是ij ?和ij p 两个未知量的方程，与x ，p 的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的

体现，从而使得求解矩阵元大为简化。得

ω ±=-j i E E

(8)

则有

ωε )(+=i E i ， ...2,1,0±±=i 10≤≤ε (9)

不为零的矩阵元为

)(1,1,-++=i j i j ij ij p p δδ (10a)

)(??1,1,-++=i j i j ij ij x x

δδ (10b) 由(6)式得

ωε )(2

,12

1,+=+-+i p p i

i i i (11)

此式的解为

2

1

1,+

+=+εi c p i i (12) 由(10b)式可知0≥i ，为满足此条件应有

00,1=-p 即02

1

1=+

+-εc 得 2

1=ε

(13)

则

ω )2

1(+=i E i ， i =1，2…

(14)

2. Dirac 算符算子代数解法 2.1求解一维谐振子能量本征值

由(3)式，采用自然单位1===μω ，则

)(2

122

p x H +=

(15) 因此H 具有相空中的旋转不变性，令

)??(21)??(2

1?x

d d

x

p i x

a

+=+= (16a) )??(2

1)??(2

1?x

d d

x

p i x

a

-=-=+ (16b) 利用 i p x

=]?,?[，容易得

1]?,?[]?,?[=-=+p x i a a

(17) 对H 进行因式分解

2

1?)21??(]1)??)(??[(21?+=+=+++-=+N a a x x d d x x d d H

(18) 式中

a a N

???+= (19)

则

[H

?，N ?]=0 (20)

因为

0????2

≥==+?????a a a N

(21)

N a a a a N

???)??(?===++++ (22) 所以N

?为正定Hermite 算符，H ?亦为正定Hermite 算符 设

n n n N

=? (23)

n 为正数，n 表示N

?的一个本征态，由(17)(18)式得 a a N

?]?,?[-= (24a) ++=a a N

?]?,?[ (24b) n a n n N a a N n a N

+++++=+=?)1()??]?,?([?? (25a) n a n n N a a N n a

N ?)1()??]?,?([?-=+=

(25b) 因此可知，若n 为N ?的本征态，且本征值为n ，则n a

?与n a +?也是N ?的本征态，

且本征值为n-1，n+1。

由(25a)式可知n a

?是N ?的本征态，从N ?的某个本征态n 出发，逐次用降算符a

?运算可得N ?的一系列本征态， n ， n a

?， 2?a n ， … (26) 相应的本征值为

n ， n-1， n-2， …

(27)

因为N ?为正定Hermite 算符，它的所有本征值必须0≥。设N ?的最小本征值为0

n ，本征态为0n 。故它的必须满足

0?0=n a

(28) 由此可得

0???00

==+n a a n N (29) 即0n 是N ?的本征值，对应本征值为0n =0，因此0

n 可记为0。 由(25b)式可知，n a +?也是N ?的本征态，从N ? 的最小本征值 0

n =0对应的本征态0出发，逐次运用算符+a

?可得N ?的全部本征态 0， +a

?0， 2)?(+a 0， (30)

相应本征值为

0， 1，

2， (31)

可以得 N

?的归一化本征态 0)?(!

1n a

n n +=

(32)

它是H

?的本征态 0?n

E n H = (33)

2

1

+

=n E n ， n=0，1，2 (34)

添上能量单位，

ω )2

1

(+=n E n ， n=0，1，2….

(35)

2.2求解波函数

由(28)式 a

?0=0即00)??(2

1=+p x

得， 0)()??(2

10=+x x

d d

x

?αα，

μω

α= (36)

解得 2

002

2)(x e N x α?-=

(37)

由归一化条件1)(2

=?∞

∞dx x n ?得，

21

0)2

(α

=N (38)

由(32)式得0)?(!

1n a

n n +=，即 )()?(!1

)(0x a n x n

n ??+=

=2

2

122)()!

2(x n n

e dx d x n n αααα

-- (39) 令x αξ=，则(36)式可写成:22

1

22)()!

2()(x n n

n e d d n n αξξα

ξ?--= =2

2

)(ξξ-e H N n n

(40)

n N =21

)!

2(

n n n

α

(41) 2

2

)()1()(ξξξ

ξξ--

-=e d d e H n n n (42) 易得)(x n ?=n )1(-)(x n ?， 即n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。

2.3 Hermite 多项式的递推关系

1)??(21?-=+=n n n x

d d

x n a

(43) 11)??(2

1?++=-=+n n n x

d d

x

n a (44) 因此

2

112

2

2

)()()(2

1

ξξξξξξ----=+e

H N n e

H N d d

n n n n (45)

2

112

2

2

)(1)()(2

1

ξξξξξξ-++-+=-e

H N n e

H N d d

n n n n (46)

由(45)(46)两式得

12

121-+++=

n n n n n ξ (47) 即2

112

112

2

2

2

)(2

)(2

1)(ξξξξξξξ----++-++=e

H N n

e

H N n e

H N n n n n n n

=

2

12

12

2

)(22

)()

1(221

ξξξξ---++++e

H N n n

e H n N n n n n n 得

)(2)()(211ξξξξ-++=n n n nH H H (48)

由(43)得

2

2

)()(2

1

ξξξξ-+e

H N d d

n n =2

2

)(21ξξξ

-e H N d d

n n

=2

112

)(ξξ---e

H N n n n

(49)

而

n

N N n n 21-=

(50)

由(49)(50)两式得

)(2)(1ξξξ

-=n n nH H d d

(51)

2.4相干态与压缩态 2.4.1相干态

由(24)式a a N

?]?,?[-=≠0。N ?，a ?不对易。又由(43)式1?-=n n n a ，所以除n=0 以外，一般n 不是N

?的本征态。而且设N ?的本征态为α则α必须包含所有的n 。设

n C n n )(0

αα∑∞

==

(52)

满足方程

αλα=a

? (53)

λ为本征值，利用式(43)，得

n C n n ∑∞

==0

λαλ=n C a n n ∑∞

=0

=10

-∑∞=n n C n n (54)

即得

10

-''=∑∑∞

=''∞

=n n C n C n n n n λ (55)

以1-'n 左乘上式，得

1110

-'-''=-'∑∑∞

=''∞

=n n n C n n C n n n n λ (56)

利用正交归一条件n n n n '='δ，得

1-=

n n C n

C λ

(57)

依次递推，即得

0!

C n C n

n λ=

(58)

0C 为归一化常数，归一化条件为

2

∑∞

==n n C αα=n

n n n C ∑

∞

=0

2

2

!

λ=1

(59)

由于

2

!

λ

λe

n n

n n

=∑

∞

=

(60)

所以

212

0i C e

e λ

δ-= (61)

通常可以取0C 为正实数，即取 δ=0 ，这时

α=n C n n ∑∞

=0=n n e

n ∑

∞

=-0

2

2

1

!

2

λλ

(62)

此即为谐振子的相干态。

在光学中，光子的产生和湮灭算符满足玻色对易关系

1]?,?[=+a a

， (63)

2

1

??=??+a a

(64)

引入正交振幅分量算符

+++=a a X

??? (65a)

+--=a a X

??? (65b)

+X

?和-X ?分别对应于电磁场的正交振幅和相位分量，其不确定性为 i X X

2]?,?[=-+ (66)

1??≥??-+X X

(67)

这种由 Heisenberg 不确定性所限定的正交分量起伏称之为电磁场的量子噪

声。当1??=??-+X X

时是最小测不准态， 量值-+?=?X X ??时，该态称为相干态。 理想的无量子噪声的经典光波在相空间中是一个点，它给出的迹是一个理想正弦电场，没有任何不确定性，而相干态在x-p 相空间起伏范围是以相位矢量末端为圆心的一个圆。起伏圆中的点(x ，p) 描绘出电场具有不依赖于时间

的起伏。

2.4.2压缩态

电磁场另外两个共扼参量，光子数n 和相位Φ满足以下不确定性关系:

1≥?Φ?n

(68)

相干光的光子数起伏的平方等于平均光子数

n n =

?

(69)

若n ?<

n 则为强度压缩态，若?Φ

1

则为相位压缩态。

对于相干态，由于量子起伏的无规性，其强度差噪声与强度的噪声相等， 即

)()(2121I I I I -?=+? (70) 对于具有强度量子关联的生光束，若有

)(21I I -?<)(21I I +? (71)

则称为强度差压缩。

以上三种压缩性质完全不同，但又相互联系，从不同角度反映电磁场的非经典性。

3.波动方程解法

由(3)式，Schr ?dinger 方程为

)()()2

12(2

22

22x E x x dx d ??μωμ=+- (72) 为简单起见，引进无量纲参数

x αξ=， μωα=，

(73)

ωλ E 2=。

(74)

则方程(72)变成

0)(2

2

2=-+?ξλ?ξ

d d (75) 严格的谐振子势是一个无限深阱(如图1)粒子只存在束缚态，即

0)(,????→?∞

→∞→ξξ?x (76)

任何有限的ξ都是微分方程的常点，而±∞→ξ是方程的非正则奇点，当x ±∞→时，方程(72)可近似表成

02

22=-?ξ?ξ

d d (77)

此时，波函数的渐近行为是

]2

1exp[2ξ?±≈ (78)

其中]2

1exp[2ξ?≈不满足边条件(76)式，弃之，因此令方程的一般解为

)(]2

1exp[2ξξ?u -= (79)

代入(75)式得

0)1(22=-+-u d du

d u d λξ

ξξ (80) 此即Hermite 方程。由于0=ξ是方程(75)的常点，在0=ξ的邻域(ξ<∞)把?展成Tailor 级数，可以证明，只有当

n 21=-λ， n=0，1，2，…

(81)

时，方程(80)才有一个多项式解(Hermite 多项式)。只有这样的解代入式(79)，才能保证?满足 ∞→ξ的边条件(76)，因此只有条件(81)满足时，才能求得物理上允许的解，将收集(81)代入式(74)，得谐振子能量本征值

ω )2

1

(+=n E n ，n=0，1，2…

(82)

其次，我们来讨论波函数，当谐振子能量取式(82)的值时，方程(80)的一个解是Hermite 多项式)(ξn H (另外一解是无穷级数)最简单的几个Hermite 多项式是

)(0ξH =1 )(1ξH =2ξ )(2ξH =42ξ-2

)(3ξH =83ξ-12ξ

(83)

利用正交公式

!2]exp[)()(2mn

n n m

n d H H

δπξξξξ=-?+∞

∞

-

(84)

得归一化的谐振子波函数为

]2

1exp[)()(22x x H N x n n n αα?-=，

n N =2

1

)!

2(

n n n

α

， 22)()1()(ξξξξξ---=e d d e H n n n (85)

mn n dx x x δ??=?∞

+∞

)()( -m

(86)

4 。一维谐振子势能量本征值问题

4.1 半壁谐振子势阱

设一维势场]14[的形式为

)(x V =222

1

x μω，)(x V = ∞，x ≤0 (87b) 图２．半壁谐振

子势阱

我们称之为半壁谐振子势阱（如图２），利用类似求解谐振子方法，先求出势阱中粒子的波函数为束缚态

0)(=x ?， x ≤0， +∞→x (88a)

]2

1

exp[)()(22x x H N x n n n αα?-=， x>0 (88b)

由(48)式)(ξn H 的递推关系0)(2)(2)(11=+--+ξξξξn n n nH H H 可得

)0(2)0(11-+-=n n nH H (89)

又由(73)式)(0ξH =1可知

)0(2H ≠0 )0(4H ≠0 … )0(2l H ≠0

(90)

不满足波函数(88a)式。 由(73)式)0(1H =0 又由于(89)式 则

)0(1H =)0(3H =)0(5H =…=)0(12+l H =0

(91)

满足波函数(88a)式.故仅当n=2l +1(l =0，1，2….)才满足波函数束缚条件所以波函数

]2

1exp[)()(22x x H N x n n n αα?-=，

μω

α=

，x >0 (92a)

)(x n ?=0， x ≤0

(92b)

能量本征值:

ωω )12()2

1

(+=+=l n E n ， l =0，1，2 (93)

4.2半壁谐振子势垒

设一维势场]15[的形式

)(x V =222

1

x μω，x >0 (94a)

)(x V =0，x ≤0 我们称之为半壁谐振子势垒(如图3) 图３．半壁谐振子势垒

把(94a)，(94b)两式代入schr ?dinger 方程得

0)21(22

22

22=-+?μωμ?x E dx d

(95a) 022

22=+?μ

?E dx d (95b)

得

]2

1exp[)()(22x x H N x n n n αα?-= (96a)

)(x n ?=)sin()cos(kx B kx A +

(96b)

在x =0处)(x n ?连续得

)(x H N A n n α=

(97)

在x =0处)('x n ?连续，由于(51)式

)(2)(1ξξξ

-=n n nH H d d

得 k

x H x H nN B n n n ααα)

()(21-=

(98)

因此波函数为

]2

1exp[)()(22x x H N x n n n αα?-=，x >0 (99a)

)(x n ?=)(x H N n n α +)cos(kx

k

x H x H nN n n n ααα)

()(21-)sin(kx ，x ≤0 (99b)

能量本征值为

ω )2

1

(+=n E n ，n ＝０，１，

２．．． (100)

5.讨论

通过以上演算，我们认识到采用坐标表象中求解定态Schr ?dinger 方程的方法，繁复而冗长，采用Heisenberg 矩阵力学解法，在定态情况下，只需要

知道一个体系的Hamilton 量和对易关系ij j i i p x

δ =]?,?[便可确定它的全部性质，但在实际问题的处理和计算中， Schr ?dinger 波动力学远比Heisenberg 矩阵力学便易，特别是在处理半壁谐振子势情况下。而算符算子代数运算则集中了两者的优点，不仅给出了一维谐振子比较漂亮的解，而且极便捷地推导出谐振子的波函数Hermite 多项式递推关系。

参考文献

［１］ 曾谨言.量子力学 卷I (第三版)[M].北京:科学出版社，2000：109，

730-734，453.

［２］吴大猷.量子力学(甲部)[M].北京:科学出版社.1984：4，25.

［３］周世勋.量子力学教程[M].北京:高等教育出版社.1992:38-4.

［４］Glauber R J .The Quantum Theory of Optical Coherence. Phys.Rev.

1963,130:2529-2530.

［５］Stoler D .Equivalence classes of minimum uncertainty packts.

Phys.Rev.1970,D12(12):3217-3219.

［６］倪致祥.非简谐振子广义相干态的叠加态［J］.物理学报，1997，46(6):1687-1689.

［７］夏云杰，李洪珍，郭光灿.奇偶相干态的高阶压缩及其准概率分布函数［J］.物理学报，1991，40（5）:386-389.

［８］于肇贤，王继锁，刘业厚.非简谐振子的广义相干态的高阶压缩效应及反聚束效应［J］.物理学报，1997，46(6):1693-1696.

［９］于祖荣.量子光学中的非经典态［J］.物理学进展，1999，19(5):72-74. ［１０］杨志勇，侯洵.量子光学领若干重大进展［A］.新世纪科论坛[C].

西安：陕西科学技术出版社，1999:125-139.

［１１］路洪.光子数迭加的位相特性[J].量子光学学报.1996，2（2）:114-118.

［１２］董传奇.奇偶相干中测量相位算符涨落及压缩[J]. 光子学报.1998,18(11): 1491-1493.

［１３］朱从旭，汪发伯，匡乐满.关于奇偶相干态的经典特性[J].物理学报.1994，43（8）：1263-1267.

［１４］马涛，倪致祥，张德明.研究生量子力学入学试题选解[M].福州:福

建科学技术出版社，1986:83.

［１５］关洪.量子力学[M].北京:高等教育出版社.1999：57.

Problems of One-dimensional Harmonic

Oscillator’s Energy Eigernvalue

Jiang-Luoluo

Class two of 2000, specialty of physics in The Department of Physics and Electronic Information Science, Gannan Teacher’s College

Abstract: One-dimensional harmonic oscillator’s energy eigernvalue is solved by the way of Heisenberg’s matrix mechanics， algebra solution of the operator， and Schr?dinger’s wave mechanics. On this basis, solving of problems in half potential wells (build) of one dimension harmonic oscillator is given. Coherent state and squeezed state that are one of the front subjects in physics are results of the non- classical quantum effect.There are extensive application prospects in high-accuracy optics measurement of the quantum limit of super standard、exceed the low noise photo-communication and quantum communication field. Eigernstate of a?that is harmonic oscillator’s coherent state is solved out from Dirac’s algebra solution of the operator. Meanwhile, minimum uncertain relation of fall operator a? and rise operator +a?, photon count n and phase place φdraw coherent state and squeezed state in this paper.

Key words: Quantum Mechanics， one-dimensional harmonic oscillator，

Heisenberg’s matrix mechanics，algebra solution of the operator ，Schr?dinger’s wave mechanics，half potential wells of oscillator in harmony(build) of one dimension , coherent state, squeezed state.

一维谐振子的本征值问题

摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。 学等领域]13 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成

一维谐振子的本征值问题

一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一

般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于

第三章 谐振子

第三章 谐振子 一 内容提要 1 一维线性谐振子的能级与波函数 2221)(x x V μω= 2222 12??x p H μω+= ,3,2,1)2 1(=ω+=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符 )??(2?p i x a μω-μω=+ )??(21p i x μω-α= )??(2?p i x a μω+μω= )??(21p i x μω+α= 则 )??(2?++μω =a a x )??(2?+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质 11?++ψ+=ψn n n a 1?-ψ=ψn n n a 1]?,?[=+a a 二 例题讲解 1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4 ' ?x H λ=，求体系能级的一级修正。 解：>+<μω λ>=<λ>==<+n a a n n x n n H n E n 42 4 ' ) 1()??()2(? 可以导出 )122(3)??(24++>=+<+n n n a a n 那么 = ) 1(n E )122()(4322++μω λn n 2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。求： [1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。 [2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。 解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为 )cos 1(θ-==mgl mgh V （1） [1] 由公式 -θ+θ-=θ4 2! 41!211c o s （2）

经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。

经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规

用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试

用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试 本文旨在结合《高等量子力学》课上关于Feynman传播函数的知识，以及参考侯伯元教授编著的《路径积分与量子物理导引》的知识，尝试用路径积分的方法来求解一维谐振子的问题。 直接引用课上推导的结果，Feynman传播子为： ()() 12 212 11 ,,exp 22 j j j j j j j x x m m x t x t i V x i εε πεε + ++ ?? ?? - ?? ?? ???? =-+O ?? ? ? ?? ???? ?? ?? ??（1）式子中，令1 j j t t ε+ ≡- ，并已采用自然单位制， 1 =。 式（1）中，有 ()() 2 1 2 j j j j x x m L t V x ε + - ?? ≡- ? ??（2）是拉氏量。考虑一维谐振子，其拉氏量为： 222 22 m m L x x ω =- （3）那么，Feynman传播子为 ()()() 12 22 212 11 ,,exp 222 j j j j j j x x m m D x x i x x i ω εεε πεε + ++ ?? ?? - ?? ?? ???? =--+O ?? ? ? ?? ???? ?? ?? ??（4）令 2 00 12, 222 m m a b ωε εε ?? ?? =-= ?? ? ?? ?? ?? 则，式（4）改写为： ()() {}() 1 2 22 10101 ,,exp2 2 j j j j j j m D x x i a x x b x x i εε πε +++ ???? =--?+O ??? ?? ??（5）而对于Feynman传播函数有， ()()() {} ,;,exp f i t F f f i i t D x t x t D x t i L t dt =?? ?? ?? （6）

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

初中物理 题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 作者单位：响水滩乡中心学校 作者姓名：宁国强 2012年9月28日

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 响水滩中心学校 宁国强 摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。 关键词：一维线性谐振子；坐标表象； 一、 能量本征值、本征函数的求解 取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 221()2V x x μω= （1） 其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为 222122 p H x μωμ=+ （2） 体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ?dinger 方程）为 ()()222221?22d x x E x dx μωψψμ??-+= ??? h （3） 严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件： ()0x x ψ→∞ ???→ （4） 将方程（3）无量纲化，为此，令

x ξα==， α= λ=2E ω h （5） （3）式可改写为 () 2220d d ψλξψξ+-= （6） 这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。当ξ????很大时,λ与2ξ相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为 2220d d ψξψξ -= （7） ξ→±∞时， 它的渐近解为2/2~e ξψ±。因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，所以2/2e ξψ:不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即2/2e ξψ-:。方程(6)在ξ为有限处的 根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式： ()()2 2Ae H ξψξξ-= （8） 式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得 ()22210d H dH H d d ξλξξ -+-= （9） 用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使()ψξ为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：21n λ=+，()0,1,2n =L L 。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为 12n E n ω??=+ ?? ?h ， ()0,1,2n =L L （10） 因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为ωh ，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。

一维量子谐振子的概率分布

一维量子谐振子的概率分布 摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。 关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布 1.引言： 谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。 通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子： 首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子

一维量子谐振子几率密度图形的绘制

一维量子谐振子几率密度图形的绘制 钟瑞妍 （华南师范大学，物理与电信工程学院，物理三班，20082301059） 摘要：谐振子是一个重要的物理模型，体现了周期运动的基本特性,也是理解一系列复杂现象的物理基础。本文着重介绍运用科学计算与模拟平台完成一维量子谐振子几率密度的图形绘制，并把它与经典谐振子进行比较。 关键词：谐振子、几率密度、厄米多项式 一维线性谐振子模型在经典力学中和量子力学中都是一个倍受关注的问题，它的重要性在于自然界中广泛碰到简谐运动，常常可以作为研究复杂运动的初步近似。例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动[1]。本文先根据薛定谔方法推导出谐振子的几率分布函数，再运用科学计算与模拟平台把几率分布函数绘制成几率分布曲线，这样可以在直观上加深对几率密度的理解。 1. 一维量子谐振子的几率密度分布 已知一维线性谐振子模型的薛定谔方程为 2222 2 ()022d u E x u dx ψωψ+-= 1.1 为方便计算，可以令 2,u E x ax ωξλω = == 。把他们带入式1.1可得 22 2 ()0d d ψλξψξ+-= 1.2 当ξ→±∞时，方程1.2可化为 22 2 0d d ψξψξ+= 1.3 它的解的形式应为22 e ξ± ，当ξ→±∞时，ψ应该为有限，因此方程1.2的通解为 2 2 ()()e H ξψξξ- = 1.4 把1.4代入1.2求导可得()H ξ满足下面方程 222(1)0d H dH H d d ξλξξ-+-= 1.5

采用级数解法，令 2 ()H a υυξξ∞ ==∑，代入1.5整理得 232026(2)(1)(1)(21)a a a a a υυξυυξλυλξ+++???++++???=-+???+-++??? 由于ξ的系数必须相等，有 2(21) (1)(2)a a υυ υλυυ+-+= ++ 1.6 要使 2 ()H a υυξξ∞ ==∑有限，λ必须满足21n λ=+（0,1,2,3n =???）故可得 1 ()0,1,22 E n n ω =+=??? 1.7 方程1.5的解为厄米多项式，满足递推公式： 11()2()2()0 n n n H H nH ξξξξ+--+= 1.8 其中01H =，12H ξ=。 方程1.2的解为 2 2 ()()n n n N e H ξψξξ- = 1.9 由归一化条件*()1 n n x dx ψψ∞ -∞ =? 可解出 1 2 1 22!n n a N n π?? ?= ? ?? 1.10 一维量子谐振子的几率密度为 2 2 22()() n n n N e H ξψξξ-= 1.11 2.经典谐振子的几率分布 经典谐振子满足振动方程 sin()x A t ω?=+ 2.1 其中A 为振幅，在x 到x+dx 之间的区域内找到粒子的几率W(x)dx 与粒子在此区域内停留的时间dt 成正比，即

2.4一维谐振子

§ 2.4 一维谐振子 一、能量本征方程 二、级数解法 三、本征值和本征波函数 平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。 一、能量本征方程 取振子的平衡位置为坐标原点 2222 2212?x m x m H ω+-=d d )()(212222 22x E x x m x m ψ=ψ????????+-ωd d 因为0min =V ，∞ →min out V ，所以∞<

能量本征值问题转化成如下定解问题 0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d )(lim =ψ±∞ →ξξ 下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值 ,2,1,0,12=+=n n λ 这导致能量的量子化。 首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。考虑±∞→ξ的渐近解。这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于 02 22 =ψ-ψξξd d 渐近通解为 2 2 22e e ξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ） 但因2 2ξe 不满足束缚态的条件，所以渐近解取为 2 2~ξ-ψe 把波函数写成 )(2ξξu -=ψe

代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程 )1(222=-+-u u u λξξξd d d d 这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。 二、级数解法 在原点0=ξ附近，用幂级数 k k k a u ξξ∑∞ ==0 )( 代入Hermite 方程，得 0)1(2)1(0 11 22 =-+--∑∑∑∞ =-∞ =-∞ =k k k k k k k k k a ka a k k ξλξξξ 把前两项的求和序号改为从0开始 0)1(2)1)(2(0 2=-+-++∑∑∑∞ =∞ =∞ =+k k k k k k k k k a ka a k k ξλξξ 由此得到展开系数 k a 的递推关系 ,2,1,0,)1)(2() 1(22=++--= +k a k k k a k k λ