九年级数学相似三角形

是 ．

【分析】分PM ＞PN 和PM ＜PN 两种情况，根据黄金比值计算． 【解答】解：当PM ＞PN 时，PM =√5?1

2

MN =√5?1

2

，当PM ＜PN 时，PM ＝MN ?√5?1

2

MN =3?√5

2

， 故答案为：

√5?12或3?√52．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是√5?1

2

是解题的关键． 【变式2-1】（2020秋?静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是

√5?1

2

的为（ ） A ．AC

BC

B ．BC

AC

C ．BC

AB

D ．AB

BC

【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（

√5?1

2

）叫做黄金比作出判断． 【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC 2＝AB ?BC （AC ＞BC ），则AC AB

=

BC AC

=

√5?1

2

； 或BC 2＝AB ?AC （AC ＜BC ），则

AC

BC

=

BC AB

=

√5?12．故只有AB BC 的值不可能是√5?1

2

．故选：D ． 【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．

【变式2-2】（2020春?相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ） A ．

√5?1

2

B ．

√5+1

2

C ．

3?√52

D ．

3+√52

【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5?1

2

AB ，进行计算即可．

【解答】解：如图，设AB ＝1，

∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴AE ＝GF =

√5?1

2

，∴BE ＝FH ＝AB ﹣AE =

3?√5

2

， ∴S 3：S 2＝（GF ?FH ）：（BC ?BE ）＝（√5?12×3?√52

）：（1×3?√5

2） =

√5?1

2

．故选：A ．

【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．

【变式2-3】（2020?泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与

较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN =GN

MG =

√5?12，后人把√5?1

2

这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ） A ．10﹣4√5

B ．3√5?5

C ．

5?2√52

D ．20﹣8√5

【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据等腰三角形的性质得到BH ＝CH =1

2BC ＝2，则根据勾股定理可计算出AH =√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE =√5?1

2

BC ＝2√5?2，则计算出HE ＝2√5?4，然后

根据三角形面积公式计算．

【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =1

2BC ＝2， 在Rt △ABH 中，AH =√32?22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =

√5?1

2

BC ＝2（√5?1）＝2√5?2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5?2﹣2＝2√5?4，

∴DE ＝2HE ＝4√5?8∴S △ADE =1

2×（4√5?8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．

【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使

AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =

√5?1

2

AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．

三、成比例线段、比例的基本性质

（1）①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .（a,b,c,d,都不为0）；

（2）合比性质：d d

c b b a

d c b a ±=

±?=； （3）等比性质：b

a

n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== )0(

例3.已知非零实数a,b,c,满足,34,13

125=+==b a c

b a 且求

c 的值。

【变式3-1】（2020?徐汇区一模）已知：a ：b ：c ＝2：3：5

（1）求代数式3a?b+c

2a+3b?c 的值； （2）如果3a ﹣b +c ＝24，求a ，b ，c 的值．

【分析】（1）根据比例设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0），然后代入比例式进行计算即可得解； （2）先设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0），然后将其代入3a ﹣b +c ＝24，即可求得a 、b 、c 的值． 【解答】解：（1）∵a ：b ：c ＝2：3：5，∴设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0）， 则

3a?b+c 2a+3b?c

=

6k?3k+5k 4k+9k?5k

=1；

（2）设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0），则6k ﹣3k +5k ＝24，解得k ＝3．则a ＝2k ＝6，b ＝3k ＝9，c ＝5k ＝15．

?ac b =?2

比例式仍成立，因为图形中有关的对应线段均没改变。 例4.如图，已知DE//BC,EF//AB,现得到下列结论：

.;;;BF

EA

CF CE BC DE AB EF BC AB BF AD FC BF EC AE ====④③②①

其中正确比例式的个数有（ ）

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

【变式4-1】如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DE//BC ，AE

EC =5

2，DE =10，则BC 的长为( )

A. 16

B. 14

C. 12

D. 11

【答案】B【解析】解：∵AE

EC =5

2

，∴AE

AC

=5

7

，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AE

AC

=DE

BC

，∴5

7

=10

BC

，∴BC=14，

故选：B．根据已知条件得到AE

AC =5

7

，根据相似三角形的性质即可得到结论．【分析】本题主要考查了相似三角形

的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．

五、相似三角形的基本图形

【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角

形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似

例5.（2019秋?瑞安市期末）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）

A．B．

C．D．

【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．

【解答】解：根据题意得：AC=√12+22=√5，AB=√12+12=√2，BC＝1，

∴BC：AB：AC＝1：√2：√5，

A 、三边之比为1：√2：√5，选项A 符合题意；

B 、三边之比√2：√5：3，选项B 不符合题意；

C 、三边之比为2：√5：√17，选项C 不符合题意；

D 、三边之比为√5：√5：4，选项D 不符合题意． 故选：A ．

【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．

【变式5-1】（2019秋?顺义区期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC ，②△ADE ，③△AEF ，④△AFH ，⑤△AHG ，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ） A ．②④

B ．②⑤

C ．③④

D ．④⑤

【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．

【解答】解：由题意：①②④中，∠ABC ＝∠ADE ＝∠AFH ＝135°， 又∵

AB BC

=

AD DE

=

FH AF

=

√2

2，∴AB AD =BC DE ，AB FH =BC AF

， ∴△ABC ∽△ADE ∽△HF A ，故选：A ．

【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

（1）基础模型梳理--“A ”字型

【方法点拨】基础模型：

A 字型（平行） 反A 字型（不平行） 斜A 共边共角（1） 斜A 共边共角（2）

例6.如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE//BC.若AD =1，BD =2，则△ADE 与△ABC 的面积之比为( )

A. 1：2

B. 1：3

C. 1：4

D. 1：9

【答案】D 【解析】解：∵DE//BC ，∴△ADE∽△ABC ，∴S △ADE

S

△ABC

=(AD AB )2=(11+2)2=1

9．故选：D ． 【分析】由DE//BC 可得出△ADE∽△ABC ，利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与△ABC 的面积之比．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

【变式6-1】（2020?东明县模拟）如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3． （1）求CE 的长．

（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DP

BQ =PE

QC ，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．

【分析】（1）证明△ADE ∽△ABC ，所以

AD AD+BD

=

AE AE+EC

，代入数据即可求出CE 的长

度．（2）在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ，所以△ADP ∽△ABQ ，根据相似三角形的性质即可求出答案．

【解答】解：（1）由DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴

AD AD+BD

=

AE AE+EC

，∵AD ＝5，BD

＝10，AE ＝3，∴CE ＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP

BQ

=

AP AQ

，

同理可得：

EP

CQ

=

AP AQ

，∴

DP

BQ

=

EP CQ

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．

【变式6-2】（2020?东莞市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD

AC =DF

CG ． （1）求证：△ADF ∽△ACG ； （2）若AD

AC =3

7，求AF

FG 的值．

【分析】（1）由∠AED ＝∠B 、∠DAE ＝∠CAB 利用相似三角形的判定即可证出△ADE ∽△ACB ；根据相似三角形的性质再得出∠ADF ＝∠C ，即可证出△ADF ∽△ACG ； （2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．

【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵AD AC

=

DF CG

，

∴△ADF ∽△ACG ；

（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴

AD AC

=

AF AG

，∵

AD AC

=37

，∴

AF

AG

=37

，∴

AF FG

=3

4

．

【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题．

【变式6-3】（2019?越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB

边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）

A．3：2B．2：3C．3：√13D．2：√13

【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得

AC

BC

=

CD

BD

=

6

4

=

3

2

，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，

∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，

∴

AC

BC

=

CD

BD

=

6

4

=

3

2

∴

BC

AC

=

2

3

，故选：B．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型(2)相似基本模型（X字型）

基础模型：

X字型（平行）蝴蝶型（不平行）燕尾型

图1：

CO

BO

DO

AO

DC

AB

DCO

ABO

CD

AB=

=

?

?,

∽

//得，

由

图2：

DO

BO

CO

AO

CD

AB

DCO

ABO

D

B

C

A=

=

?

?

∠

=

∠

∠

=

∠,

∽

)

(得，

或

由

图3：

AB

AD

AE

AC

EB

DC

ADC

ABE

EBC

EDC

CO

EO

BO

DO

BC

DE

BCO

DEO

C

E

=

=

?

?

∠

=

∠

=

=

?

?

∠

=

∠

,

∽

,

∽

得，

②

得，

①

例7.如图，AB//CD，AO

OD

=2

3

，则△AOB的周长与△DOC的周长比是()

A. 2

5

B. 3

2

C. 4

9

D. 2

3

【答案】D 【解析】解：∵AB//CD ，∴∠A =∠D ，∠B =∠C ，∴△AOB∽△DOC ，

，故选D ．

【分析】由平行可证明△AOB∽△DOC ，再结合条件利用相似三角形的性质可求得答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

【变式7-1】（2019秋?滨江区期末）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，

BO ＝1，CO ＝3，AO =3

2，DO =9

2． （1）求证：∠A ＝∠D ．

（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．

【分析】（1）证明△OAB ∽△ODC ，可得出结论； （2）证得AB ∥CD ，可得

AE DF

=

OE OF

，

BE CF

=

OE OF

，则结论得证．

【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =3

2，DO =9

2．∴OB OC

=

AO DO

，∵∠AOB ＝∠COD ，

∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ． （2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴

AE DF

=

OE OF

，

BE CF

=

OE OF

，∴

AE

DF

=

BE CF

．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．熟练掌握定理内容是解题的关键．

【变式7-2】（2019秋?花都区期末）如图：已知?ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ．（1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长； （2）证明：AF 2＝FG ·FE ．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，证明△EGC ∽△EAB ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；（2）分别证明△DFG ∽△BF A ，△AFD ∽△EFB ，根据相似三角形的性质证明．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EGC ∽△EAB ，∴CG AB

=

EC EB

，即

CG 3

=

2

2+4

，

解得，CG ＝1；

（2）证明：∴AB ∥CD ，∴△DFG ∽△BF A ，∴FG FA

=

DF FB

，∴AD ∥CB ，∴△AFD ∽△EFB ，∴

AF FE

=

DF FB

，

∴

FG FA

=

AF FE

，即AF 2＝FG ×FE ．

【点评】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

【变式7-3】（2019秋?朔城区期末）如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GE

ED 的值.

【分析】证明△AFG ∽△BFD ，可得AG BD

=

AF BF

=1

2

，由AG ∥BD ，可得△AEG ∽△CED ，

则结论得出．

【解答】解：∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AG BD

=

AF BF

=12，∵

BC CD =2， ∴CD =1

3BD ，∴

AG CD

=32

，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴

GE

ED

=

AG CD

=3

2．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

【变式7-4】（2019秋?黄浦区期中）如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA ?BC ＝BD ?BE ． （1）求证：△ABD ∽△EBC ； （2）求证：AD 2＝BD ?DE ．

【分析】（1）根据相似三角形的判定证明△ABD ∽△EBC 即可；

（2）由相似三角形的判定证明△ABD ∽△EBC ，△ADE ∽△BEC ，△AED ∽△ABD ，再利用相似三角形的性质证明即可．

【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ，∵BA ?BC ＝BD ?BE ．即

AB BC

=

BD BE

，∴△ABD ∽△EBC ；

（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ，∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ， ∴△ADE ∽△BEC ，∴△AED ∽△ABD ，∴

AD BD

=

DE AD

，即AD 2＝BD ?DE ．

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定方法解答．

（3） 相似基本模型（AX 型）

【方法点拨】A 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化.

例8. （2020?丛台区校级三模）如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，

CE ＝2AE ．

（1）求证：△ADE ∽△ABC ； （2）若DF ＝2，求FC 的长度．

【分析】（1）由BD ＝2AD ，CE ＝2AE 可得出AD AB

=

AE AC

，结合∠DAE ＝∠BAC 可证出

△ADE ∽△ABC ；

（2）由△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质可得出

DE BC

=1

3

及∠ADE ＝∠ABC ，利用“同位角相等，两直

线平行”可得出DE ∥BC ，进而可得出△DEF ∽△CBF ，再利用相似三角形的性质可求出FC 的长．

【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AD AB

=

AE AC

=1

3

，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ；

（2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC

=

AD AB

=1

3

，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，

∴

DF CF

=

DE CB

，即

2

CF

=1

3

，∴FC ＝6．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE ∽△ABC ；（2）利用相似三角形的性质及平行线的判定定理，找出DE ∥BC ．

【变式8-1】（2020?江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果

CE BE

=23

，求FE

EG

的值．

【分析】由平行四边形的性质可得出AD ∥BC ，AD ＝BC ，由AD ∥BE 可得出△BEF ∽△DAF ，利用相似三角形的性质结合

CE BE

=2

3可得出AE =8

3

EF ，由CE ∥AD 可得出△CEG

∽DAG ，利用相似三角形的性质可得出GE =2

5GA =2

3AE ，代入AE =8

3EF 即可得出

FE EG

=

916

．【解答】解：∵四边

形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ．∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ， ∴

EF AF

=

BE DA

．又∵BC ＝BE +CE ，

CE BE =2

3，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =8

3EF ．

∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴

GE

GA

=

CE DA

=

2

2+3，∴GE =25GA ，∴GE =25?2AE =23×83EF =16

9EF ，∴FE EG =9

16

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，找出AE =8

3

EF 及GE =2

3AE 是解题的关键．

【变式8-2】（2019秋?五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ． （1）求证：△AFG ∽△CMG ； （2）求证：GF

GM =EF

EM ．

【分析】（1）可得出∠F AG ＝∠MCG ，又∠AGF ＝∠CGM ，则结论得证； （2）由（1）可得出GF GM

=AF CM

，证明△AEF ∽△BEM ，可得出AF BM

=EF EM

，由BM ＝

CM ，则结论得出．

【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠F AG ＝∠MCG ，∵∠AGF ＝∠CGM ，∴△AFG ∽△CMG ； （2）证明：∵△AFG ∽△CMG ，∴

GF GM

=

AF CM

∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△BEM ，∴

AF

BM

=

EF EM

又∵CM ＝BM ，∴

AF

CM

=

EF EM

，∴

GF

GM

=

EF EM

．

【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

【变式8-3】（2019?黄浦区一模）如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，

AB CD

=12，BF CF =1

2．

（1）求证：AB ∥EF ； （2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．

【分析】（1）只要证明

BE ED

=

BF FC

=1

2

，即可推出EF ∥CD 解决问题；

（2）设△ABE 的面积为m ．利用相似三角形的性质，等高模型求出△BCE ，△ECD 的面积即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴

AB CD

=

BE ED

=12

，∵

BF CF

=12

，∴

BE

ED =

BF

FC

，∴EF ∥CD ，∴AB ∥EF ．

（2）解：设△ABE 的面积为m ．∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴S △ABE S △EDC

=（

AB CD

）2=1

4

，

∴S △CDE ＝4m ，∵

AE CE

=

AB CD

=1

2

，∴S △BEC ＝2m ，∴S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ＝m ：2m ：4m ＝1：2：4．

【点评】本题考查平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

(4) 相似基本模型（一线三等角型）

①同侧型

②异侧型

例9.（2020?肥东县二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =5

2，∠AED ＝∠B ，则CE 的长为（ ） A ．15

2

B ．22

3

C ．36

5

D ．64

9

【分析】证明△BAE ∽△CED ，推出BA CE

=

BE CD

可得结论．

【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝∠B +∠BAE ，∠AED ＝∠B ， ∴∠DEC ＝∠BAE ，∴△BAE ∽△CED ，∴BA CE

=

BE CD

，∵AB ＝AC ＝6，AD ＝DC ＝3，BE =5

2，∴

6

CE

=

5

2

3

，

∴CE =36

5，故选：C ．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

【变式9-1】（2019秋?资阳区期末）如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD ＝60°，BP ＝2，CD ＝1，则△ABC 的边长为（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【分析】根据等边三角形性质求出AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，推出∠BAP ＝∠DPC ，即可证得△ABP ∽△PCD ，据此解答即可，．

【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，

∴∠BAP +∠APB ＝180°﹣60°＝120°，∵∠APD ＝60°，∴∠APB +∠DPC ＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BAP ＝∠DPC ，即∠B ＝∠C ，∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ；AB PC

=

BP CD

，∵BP ＝2，CD ＝1，

∴

AB AB?2

=2

1

，∴AB ＝4，∴△ABC 的边长为4．故选：B ．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP ∽△PCD ，主要考查了学生的推理能力和计算能力．

【变式9-2】（2019秋?杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝5，D 是AB 上一点，BD ＝2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF ＝∠B ，射线EF 交线段AC 于F ．

（1）求证：△DBE ∽△ECF ；

（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；

（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，由三角形的内角和和平角的定义得到∠DEF ＝∠B ，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到结论；

（3）当∠BED ＝∠EDF ，得到DF ∥BC ，根据平行线的性质得到∠ADF ＝∠B ，∠AFD ＝∠C ，根据等腰三角形的性质得到CF ＝2；当∠DFE ＝∠BED ，推出点E 在∠BDF 与∠DFC 的角平分线上，过E 作EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC 于N ，EG ⊥DF 于G ，连接AE ，得到AE 是∠BAC 的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB ＝AC ＝6，∴∠B ＝∠C ，∵∠BDE ＝180°﹣∠B ﹣∠BED ，∠CEF ＝180°﹣∠DEF ﹣∠BED ，∵∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△DBE ∽△ECF ； （2）∵△DBE ∽△ECF ，∴

BD CE

=

BE CF

，∵F 是线段AC 中点，∴CF =1

2

AC ＝3，∴

2

5?BE

=

BE 3

，∴BE ＝2或3；

（3）∵△DEF 与△DBE 相似，∴∠BED ＝∠EDF ，或∠DFE ＝∠BED ，当∠BED ＝∠EDF ，∴DF ∥BC ， ∴∠ADF ＝∠B ，∠AFD ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠AFD ，∴AD ＝AF ＝4，∵AC ＝6，∴CF ＝2；当∠DFE ＝∠BED ， ∵△DBE ∽△ECF ，∴∠BED ＝∠CFE ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∠BDE ＝∠FDE ，∴点E 在∠BDF 与∠DFC 的角平分线上，过E 作EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC 于N ，EG ⊥DF 于G ，连接AE ，∴EM ＝EG ＝EN ， ∴AE 是∠BAC 的角平分线，∴BE ＝CE =5

2，∵△DBE ∽△ECF ，∴BD CE

=

BE CF

，即2

52

=

52

CF

，∴CF =25

8． 综上所述，FC 的长为2或

258

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

【变式9-3】（2020?嘉定区二模）已知：△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，

点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上（点E 不与点A 、B 重合），点F 在边AC 上，联结DE 、DF ．

（1）如图1，当∠EDF ＝90°时，求证：BE ＝AF ； （2）如图2，当∠EDF ＝45°时，求证：DE 2

DF 2=

BE CF

．

【分析】（1）连接AD ，证△BDE ≌△ADF （ASA ），即可得出结论； （2）证明△BDE ∽△CFD ．得出

BE CD

=

BD CF

=

DE DF

，得出

BE CD

?

BD CF

=(

DE DF

)2，由BD ＝CD ，即可得出结论．

【解答】证明：（1）连接AD ，如图1所示：在Rt △ABC 中，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，

∵点D 是边BC 的中点，∴AD =1

2

BC ＝BD ，AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∴∠B ＝∠CAD ， ∵∠EDF ＝90°，∴∠ADF +∠ADE ＝90°∵∠BDE +∠ADE ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF ， 在△BDE 和△ADF 中，{∠B =∠CAD

BD =AD ∠BDE =∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴BE ＝AF ；

（2）∵∠BDF ＝∠BDE +∠EDF ，∠BDF ＝∠C +∠CFD ，∴∠BDE +∠EDF ＝∠C +∠CFD ． 又∵∠C ＝∠EDF ＝45°，∴∠BDE ＝∠CFD ，∴△BDE ∽△CFD ．∴BE CD

=

BD CF

=

DE DF

，∴

BE CD

?

BD CF

=(

DE DF

)2，

又∵BD ＝CD ，∴

DE 2DF 2

=

BE CF

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．

六．相似三角形的应用

例10.身高为165cm 的小冰在中午时影长为55cm ，小雪此时在同一地点的影长为60cm ，那么小雪的身高为( )

A. 185cm

B. 180cm

C. 170cm

D. 160cm

【答案】B 【解析】解：∵小冰的身高小冰的影长

=小雪的身高小雪的影长

，∴小雪的身高=

小冰的身高小冰的影长

×小雪的影长=

16555

×60=180(cm)．

故选：B ．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

【变式10-1】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )

A. ①处

B. ②处

C. ③处

D. ④处

【答案】B 【解析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．

【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2√5、4√2； “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为√5，“车”②之间的距离为2√2，

∵√5

2√5=2√2

4√2

=1

2

，∴马应该落在②的位置，故选：B．

【变式10-2】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为()

A. 8.5米

B. 9米

C. 9.5米

D. 10米

【答案】A【解析】解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=

∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴AC

EF =CG

GE

，∴AC

1.6

=15

3

，

∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．

故选：A．只要证明△ACG∽△FEG，可得AC

EF =CG

GE

，代入已知条

件即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题，中考常考题型．

【变式10-3】已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是()

A. B.

C. D.

【答案】A【分析】本题主要考查作图?相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法是解题的关键．以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的

另一边与AB的交点即为所求作的点．

【解答】解：如图，点E即为所求作的点．

故选：A．

【变式10-4】如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为()

A. 6

7B. 30

37

C. 12

7

D. 60

37

【答案】D【解析】解：如图，Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，可知AC=5cm，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．

∵S△ABC=1

2?AB?BC=1

2

?AC?BP，∴BP=AB?BC

AC

=3×4

5

=12

5

．

∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DE

AC =BQ

BP

．

设DE=x，则有：x

5=

12

5

?x

12

5

，解得x=60

37

，故选：D．

Rt△ABC中，求出AC，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．

【变式10-5】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF=50cm，EF= 30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为()

A. 12m

B. 13.5m

C. 15m

D. 16.5m

【答案】D【分析】此题主要考查相似三角形的应用，先根据勾股定理求得DE的长，再根据相似三角形的判定求得两三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例求解．

【解答】解：∵∠DEF=90°，DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，

∴DE=√DF2?EF2=40cm=0.4m．∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，所以△DEF∽△DCB．

∴EF

CB =DE

DC

，即0.3

CB

=0.4

20

，解得BC=15m．∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5m．故选：D．

【变式10-6】如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB=1.4米，BP= 2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是______米．

【答案】8【解析】解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP

∴AB

CD =BP

PD

即1.4

CD

=2.1

12

，解得：CD=8米．由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=

∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到AB

CD =BP

PD

代入数值求的CD=8．

本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．

【变式10-7】如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长

的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一

楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为

21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．

【答案】解：过C作CE⊥AB于E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，

∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°，∴四边形CDBE为矩形，

∴BD=CE=21，CD=BE=2，设AE=x，∴1

1.5=x

21

，解得：x=14，

∴旗杆的高AB=AE+BE=14+2=16米．