ch2_符号计算

第 2 章符号计算

符号计算：

解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。

符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，所得结果完全准确。

特点：

一，相对于MATLAB的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的。

二，在相当一些场合，符号计算解算问题的指令和过程，显得比数值计算更自然、更简明。三，大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式。

运算引擎MuPAD

MuPAD是极佳数学及符号数值运算绘图软件，同时也作为MATLAB7.8的符号计算工具箱，是一具有人工智能的数学软件,非常适合科学家及工程师使用.更适合每一个人使用,使用的方法非常简单,只要输入方程式就立刻得到答案,可以求Symbolic 符号解,多项式之根,求非线性方程式之根,矩阵及向量Vector and Matrices运算,代数Algebra运算,求积分之值,求微分之值Calculus 微积分等。方程式可以处理复数计算. 完美的绘图功能,图型输入,输出,轻松无比的绘图,可以输入多个2-D函数或极坐标函数或3-D函数,选择所要绘图参数,就可以完成图形，以及图形的动画制作也是非常方便。数值计算结果并不是MATLAB命令行窗口所得的类似代码形式，而是规范数学格式。并拥有一内建的程序语言，帮助文档以及文本操作，文本操作在一定程度上可以取代word. 是一个超级的工程数学计算器.

MathWorks自从2008年10开始，在Matlab的新版本(Matlab2008a，即7.6之后)中使用MuPAD 内核替换原来的Maple符号计算内核！

2.1符号对象和符号表达式

MATLAB依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量）、运算符及一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程。

2.1.1符号对象的创建和衍生

一生成符号对象的基本规则

●任何基本符号对象都必须借助专门的符号函数指令sym或syms定义。

●任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。

二 符号数字

符号（类）数字的定义：

sym('Num') 创建一个符号数字Num

sc=sym('Num') 创建一个符号常数sc ，该常数值准确等于Num 说明：Num 代表一个具体的数字 Num 必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于字符串参见附录A.1）。

【例2.1-1】符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异。

a=pi+sqrt(5) % 创建方式 sa=sym ('pi+sqrt(5)')

Ca=class (a) % 类别判断 Csa=class (sa) vpa(sa-a)

digits

digits(8)

三 符号参数

表达式e -ax sinbx 中的a,b 称为参数。 定义格式：

syms Para 定义符号参数Para Para=sym(' Para')

syms Para Flag 定义具有Flag 指定属性的符号参数Para Para=sym(' Para', 'Flag')

syms Para1 Para2 ParaN 定义Para1 Para2 ParaN 为符号参数

syms Para1 Para2 ParaN Flag 定义Para1 Para2 ParaN 为具有Flag 指定属性的符号参数

● 符号参数名不要用处于“字母表中小写字母x 及其两侧的英文字母”开头。 ● Flag 表示参数属性，可具体取以下词条：

positive 表示那些符号参数取正实数； real 表示那些符号参数限定为实时；

unreal /clear 表示那些符号参数为不限定的复数。

四 符号变量

e -ax

sinbx 中的x 称为变量，符号变量的定义同符号参数。

确定自由符号变量的规则：

● 在专门指定变量名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名进行。 ● 自动识别符号变量时，字母的优先次序为x ,y,w,z,v 等。

自动识别表达式中自由、独立的符号变量的指令： findsym(EXPR) 确认表达式EXPR 中所有自由符号变量

findsym(EXPR, N) 确认表达式EXPR 中距离x 最近的N 个自由符号变量

【例2.1-2】用符号计算研究方程02

=++w vz uz 的解。

（1）不指定变量情况

syms u v w z % 定义符号参数/变量

Eq=u*z^2+v*z+w;

result_1=solve(Eq) %

findsym(Eq,1)

（2）指定变量情况

result_2=solve(Eq,z)

【例2.1-3】对独立自由符号变量的自动辨认。

（1）

syms a b x X Y % 定义符号参数/变量

k=sym('3'); % 符号常数

z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta1)'); % 直接定义符号表达式EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; % 构成衍生符号表达式

（2）

findsym(EXPR)

（3）

findsym(EXPR,1)

（4）

findsym(EXPR,2),findsym(EXPR,9)

【例2.1-4】findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的。

syms a b t u v x y

A=[a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v]

findsym(A,5)

A =

[ a + b*x, u + sin(t)]

[ x/exp(t), v + log(y)]

ans =

x,y,v,u,t

2.1.2符号计算中的算符

●与数值计算中的算符在形状、名称和使用方法上几乎完全相同。

●仅注意：在符号对象的关系运算符中，只有算符“==”，“~=”

比较结果为“真”时，用1表示; 否则用0表示。

2.1.3符号计算中的函数指令

注意：使用函数注意数据类型。就数字而言，有双精度和符号类数字之分。

2.1.4符号对象的识别

为了函数指令与数据对象的适配，MATLAB提供了用于识别数据对象属性的指令：class(var) 给出变量var的数据类别（如double，sym等）

isa(var, 'Obj') 若变量var是Obj代表的类型，给出1，表示“真”

whos 给出所有MATLAB内存变量的属性

【例2.1-5】数据对象及其识别指令的使用。

（1）

clear

a=1;b=2;c=3;d=4; % 产生4个数值变量

Mn=[a,b;c,d] % 利用已赋值变量构成数值矩阵

Mc='[a,b;c,d]' % 字符串中的a,b,c,d与前面输入的数值变量无关Ms=sym(Mc) % Ms是一个符号矩阵，它与前面各变量无关

（2）

SizeMn=size(Mn)

SizeMc=size(Mc)

SizeMs=size(Ms)

（3）

CMn=class(Mn)

CMc=class(Mc)

CMs=class(Ms)

（4）

isa(Mn,'double')

isa(Mc,'char')

isa(Ms,'sym')

（5）

whos Mn Mc Ms

2.2符号数字及表达式的操作

2.2.1数值数字与符号数字之间的转换

一数值数字向符号数字的转换

在符号运算中，“数值类数字”会自动地转换为符号数字。

亦可借助sym函数：

sym(Num,'r')或sym(Num) 数值类数字Num的广义有理表达

sym(Num,'d') 数值类数字Num的“十进制浮点”近似表达sym(Num,'e') 数值类数字Num的带eps误差的理性近似表达sym(Num,'f') 数值类数字Num的“十六进制浮点”近似表达

sym('Num')和sym(Num)区别问题

IEEE-754标准的浮点数格式

二符号数字向双精度数字转换

double(Num_sym) 把符号数字Num_sym转换为双精度数字

2.2.2符号数字的任意精度计算

digits 显示当前环境下符号数字“十进制浮点”表示的有效数字位数

digits(n) 设定符号数字“十进制浮点”表示的有效数字位数（默认32位）

xs=vpa(x) 据表达式x得到digits指定精度下的符号数字xs

xs=vpa(x,n) 据表达式x得到n位有效数字的符号数字xs

【例2.2-1】digits, vpa指令的使用。

digits

p0=sym('(1+sqrt(5))/2')

pr=sym((1+sqrt(5))/2)

%

pd=sym((1+sqrt(5))/2,'d')

%

e32r=vpa(abs(p0-pr) )

e16=vpa(abs(p0-pd),16) %计算误差

e32d=vpa(abs(p0-pd))

Digits = 32 p0 =

(1+sqrt(5))/2 pr =

7286977268806824*2^(-52) pd =

1.6180339887498949025257388711907 e32r =

.543211520368251e-16 e16 = 0.

e32d =

.543211520368251e-16

2.2.3 符号表达式的基本操作

collect （合并同类项）

factor （进行因式分解） numden （提取公因式）等 最常用：

simple(EXPR) 把EXPR 转换成最简形式

【例2.2-2】简化3

2381261+++=

x

x x f 。 syms x

f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); g1=simple (f) g2=simple(g1)

syms x

f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); g1=simple(f) g2=simple(g1) g1 =

(2*x+1)/x g2 = 2+1/x

2.2.4 表达式中的置换操作 一

子表达式置换操作

[RS,ssub]=subexpr(S,ssub) 运用符号变量ssub 置换子表达式，并重写S 为RS

【例2.2-3】对符号矩阵??

?

?

??d c

b a 进行特征向量分解。

clear all

syms a b c d W

[V,D]=eig([a b;c d]) % V：特征向量阵 D：特征值阵

[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %对矩阵元素中的公共子表达式进行置换表达

二通用置换指令

RES=subs(ES,old,new) 用new置换ES中的old后产生RES

RES=subs(ES,new) 用new置换ES中的自由变量后产生RES

【例2.2-4】用简单算例演示subs的置换规则。

（1）产生符号函数

syms a x;f=a*sin(x)+5

f =

a*sin(x) + 5

（2）符号表达式置换

f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> class(f1)

（3）符号常数置换

f2=subs(f,{a,x},{2,sym('pi/3')}) % <3> a被双精度数字置换，x被符号数字置换class(f2)

（4）双精度数值置换

f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4> class(f3)

（5）数值数组置换之一

f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5> class(f4)

（6）数值数组置换之二

f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6> class(f5)

2.3符号微积分

2.3.1极限和导数的符号计算

大学本科高等数学中的大多数微积分问题，都能用符号计算解决，手工笔算演绎的烦劳都可以由计算机完成。

limit(f,v,a) 求极限 )(lim v f a

v →

【例2.3-1】试求kx

x x ??

?

??-∞

→11lim 。

syms x k

Lim_f=limit ((1-1/x)^(k*x),x ,inf)

diff(f,v,n) 求n

n dv f

d (n 缺省时，默认n=1) 【例2.3-2】求??

????=x x t t a f ln cos 3求dx df ， 2

2dt f d ，dtdx f

d 2。 syms a t x;f=[a,t^3;t*cos(x), log(x)];

df=diff (f) f 对x 的导数

dfdt2=diff(f,t,2) f 对x 的二阶导数 dfdxdt=diff(diff(f,x),t) 二阶混合导数

【例2.3-3】求????

??????=)sin()cos(),(212

1212

x x x e x x x x f 的Jacobian （雅可比）矩阵?????

???

??????????????????????231

3221

2

2111x f x f x f x f x f x f 。 syms x1 x2;f=[x1*exp(x2);x2;cos(x1)*sin(x2)];

v=[x1 x2];fjac=jacobian(f,v)

2.3.2 序列/级数的符号求和

symsum(f,v,a,b) 求f 在变量v 取遍[a, b]中所有整数时的和。a,b 缺省时默认求和区间[0, v-1]。

【例2.3-8】求∑-=1

3

],[t t k t ，∑∞

=???

???--12

)1(,)12(1k k k k 。 syms k t;f1=[t k^3];f2=[1/(2*k-1)^2,(-1)^k/k];

s1=simple(symsum (f1)) % f1的自变量被确认为t s2=simple(symsum (f2,1,inf)) % f1的自变量被确认为k syms x y;f1=[y x^3];f2=[1/(2*y-1)^2,(-1)^y/y];

s1=simple(symsum(f1)) % f1的自变量被确认为x s2=simple(symsum(f2,1,inf)) % f1的自变量被确认为y

2.3.3 符号积分

int(f,v) 求f 对变量v 的不定积分 int(f,v,a,b) 求f 对变量v 的定积分

【例2.3-9】求

dx x x

x +?11。

clear syms x

f=sqrt((1+x)/x)/x s=int(f,x)

s=simple(simple(s)) f =

((x + 1)/x)^(1/2)/x s =

- 2*(1/x + 1)^(1/2) - 2*atan((1/x + 1)^(1/2)*i)*i s =

- 2*(1/x + 1)^(1/2) - 2*atan((1/x + 1)^(1/2)*i)*i

【例2.3-10】求dx x x bx ax ????

?

?????sin 1

2。 syms a b x;f=[a*x,b*x^2;1/x,sin(x)];

disp('The integral of f is');pretty(int(f))

【例2.3-11】求积分

???

++2

1

22222)(x x y

x xy

dzdydx z y x 。

syms x y z

F2=int (int (int (x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) VF2=vpa (F2) %积分结果用32位数字表示

【例 2.3-12】求阿基米德（Archimedes ）螺线)0(,>?=a a r θ在0=θ到?间的曲线长

度函数，并求出π?2,1==a 时的曲线长度。

（1）

syms a r theta1 phi1 positive x=r*cos(theta1);x=subs(x,r,a*theta1); y=r*sin(theta1);y=subs(y,r,a*theta1);

dLdth=sqrt(diff(x,theta1)^2+diff(y,theta1)^2); L=simple(int(dLdth,theta1,0,phi1))

（2）

L_2pi=subs(L,[a,phi1],sym('[1,2*pi]')) L_2pi_vpa=vpa(L_2pi)

（3）

L1=subs(L,a,sym('1'));

ezplot(L1*cos(phi1),L1*sin(phi1),[0,2*pi])

grid on

hold on

x1=subs(x,a,sym('1'));

y1=subs(y,a,sym('1'));

h1=ezplot(x1,y1,[0,2*pi]);

set(h1,'Color','r','LineWidth',5)

title(' ')

legend('螺线长度-幅角曲线','阿基米德螺线')

1．说出以下三条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”对象，还是“符号”

对象？

3/7+0.1, sym(3/7+0.1), vpa(sym(3/7+0.1))

〖答案〗

c1 =

0.5286 c2 = 37/70 c3 =

.52857142857142857142857142857143

2． 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认为是独立自由变量。

sym('sin(w*t)') , sym('a*exp(-X)' ) , sym('z*exp(j*theta)')

〖答案〗

ans = w

ans = a

ans = z

3． 求符号矩阵????

??????=3332

31

232221131211a a a a a a a a a A 的行列式值和逆，所得结果应采用“子表达式置换”简洁化。

〖答案〗

A =

[ a11, a12, a13] [ a21, a22, a23] [ a31, a32, a33]

DA =

a11*a22*a33-a11*a23*a32-a21*a12*a33+a21*a13*a32+a31*a12*a23-a31*a 13*a22

IAs =

[(a22*a33-a23*a32)/d, -(a12*a33-a13*a32)/d, -(-a12*a23+a13*a22)/d] [-(a21*a33-a23*a31)/d, (a11*a33-a13*a31)/d, -(a11*a23-a13*a21)/d] [(-a21*a32+a22*a31)/d, -(a11*a32-a12*a31)/d, (a11*a22-a12*a21)/d] d =

a11*a22*a33-a11*a23*a32-a21*a12*a33+a21*a13*a32+a31*a12*a23-a31*a 13*a22

4． 对函数??

?<≥=0

00

)(k k a

k f k

，当a 为正实数时，求

∑∞

=-0

)(k k

z

k f 。（实际上，这

就是根据定义求Z 变换问题。）

〖答案〗

Z1 =

-z/(-z+a)

5． 对于0>x ，求1

20

11122+∞

=∑???

??+-+k k x x k 。（提示：理论结果为x ln ）

〖答案〗

s_ss = log(x)

6． （1）通过符号计算求t t y sin )(=的导数

dt

dy

。（2）然后根据此结果，求

-

=0t dt dy 和

2

π

=

t dt

dy

。

〖答案〗

d =

abs(1,sin(t))*cos(t) d0_ = -1

dpi_2 = 0

7． 求出

dx x e

x

sin 7.15?

--π

π

的具有64位有效数字的积分值。

〖答案〗

matlab 2008a

si =

1.087849499412904913166671875948174520895458535212845987519414167

8． 计算二重积分

??

+2

1

1

222

)(x dydx y x 。

〖答案〗

r =

1006/105

9． 在]2,0[π区间，画出dt t

t

x y x

?

=

sin )(曲线，并计算)5.4(y 。

〖答案〗

y =

sinint(x) y5 =

10． 求

xdx n y n ?

=

20

sin )(π

的一般积分表达式，并计算)3

1(y 的32位有效数字表达。

〖答案〗

yn =

1/2*pi^(1/2)*gamma(1/2+1/2*n)/gamma(1+1/2*n)

11． 有序列k

a k x =)(，k

b k h =)(，（在此0≥k ，b a ≠），求这两个序列的卷积

∑=-=k

n n k x n h k y 0

)()()(。

〖答案〗

y1 =

(-(b/a)^(k+1)+1)*a^k*a/(-b+a)

或

y2 =

(-b*b^k+a^k*a)/(-b+a)

12． 设系统的冲激响应为t

e t h 3)(-=，求该系统在输入t t u cos )(=，0≥t 作用下的输出。

（提示：运用卷积进行计算）

〖答案〗

hut =

-3/10/exp(t)^3+3/10*cos(t)+1/10*sin(t)

13． 求0,)(>=-ααt

Ae

t f 的Fourier 变换。

〖答案〗 F =

2*A*a/(a^2+w^2)

14． 求??

???>≤???

?

??-

=τ

ττt t t A t f 01)(的Fourier 变换，并画出2,2==τA 时的幅频谱。

〖答案〗

Fws =

4*A/tao/w^2*sin(1/2*tao*w)^2 Fw2 =

4/w^2*sin(w)^2

15． 求4

633

)(2

3++++=

s s s s s F 的Laplace 反变换。

〖答案〗

f =

1/3*exp(-t)*(-2*cos(3^(1/2)*t)+3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t)+2)

16． 利用符号运算证明Laplace 变换的时域求导性质：[])0()()(f t f L s dt t df L -?=?

?

?

?

??。

〖答案〗

Ldy =

s*laplace(f(t),t,s)-f(0)

17． 求T k ke k f )(λ-=的Z 变换表达式。

〖答案〗

F_z =

z*exp(-lambda*T)/(z-exp(-lambda*T))^2

18． 求方程2,12

2==+xy y x 的解。

〖答案〗

x =

-1/2*(1/2*5^(1/2)+1/2*i*3^(1/2))^3+1/4*5^(1/2)+1/4*i*3^(1/2)

-1/2*(1/2*5^(1/2)-1/2*i*3^(1/2))^3+1/4*5^(1/2)-1/4*i*3^(1/2) -1/2*(-1/2*5^(1/2)+1/2*i*3^(1/2))^3-1/4*5^(1/2)+1/4*i*3^(1/2) -1/2*(-1/2*5^(1/2)-1/2*i*3^(1/2))^3-1/4*5^(1/2)-1/4*i*3^(1/2) y =

1/2*5^(1/2)+1/2*i*3^(1/2) 1/2*5^(1/2)-1/2*i*3^(1/2) -1/2*5^(1/2)+1/2*i*3^(1/2) -1/2*5^(1/2)-1/2*i*3^(1/2)

19． 求图p2-1所示信号流图的系统传递函数，并对照胡寿松主编“自动控制原理”中的例

2-21结果，进行局部性验证。

图p2-1

〖答案〗

传递函数 Y2U 为

G1 G4 (G3 G2 + G3 G2 H5 + G3 G6 G5 + G7 G5)/(G1 G2 G4 H3 G3 H5 + G1 G4 H2 G3 H4 G5 + G1 G4 H3 G3 G6 G5 + G1 G2 G4 H3 G3

+ G1 G4 H3 G7 G5 - G4 H2 H1 G7 G5 + G4 H2 G3 H5 + G1 H4 G5 + G2 H1 H5 + G4 H2 G3 + H1 G6 G5 + G2 H1 + H5 + 1)

局部性验证用的传递函数

a f (e + e d + c b)

------------------------------ e g d + g b c + e g + d + 1

20． 采用代数状态方程法求图p2-2所示结构框图的传递函数

U Y 和W

Y

。

图p2-2

〖答案〗

传递函数 Y2U 为

G1 G2

----------------------- G1 G2 H2 + G1 G2 H1 + 1 传递函数 Y2W 为

-G1 G2 H1 - G2 G3 - 1 ----------------------- G1 G2 H2 + G1 G2 H1 + 1

21． 求微分方程

04

5=+'x y y 的通解，并绘制任意常数为1时解的图形。

〖答案〗

y =

1/2*(-5*x^2+4*C1)^(1/2) -1/2*(-5*x^2+4*C1)^(1/2) yy =

1/2*(-5*x^2+4)^(1/2)

22． 求一阶微分方程2)0(),2

=+='x bt at x 的解。

〖答案〗

x =

1/3*a*t^3+1/2*b*t^2+2

3 2

1/3 a t + 1/2 b t + 2

23． 求边值问题

1)0(,0)0(,34,43==+-=+=g f g f dx

dg g f dx df 的解。

〖答案〗

f =

exp(3*t)*sin(4*t) g =

exp(3*t)*cos(4*t)

第章MATLAB符号计算习题答案

第9章 MATLAB符号计算 习题9 一、选择题 1．设有a=sym(4)。则1/a+1/a的值是（）。B A． B．1/2 C．1/4+1/4 D．2/a 2．函数factor(sym(15))的值是（）。D A．'15' B．15 C．[ 1, 3, 5] D．[ 3, 5] 3．在命令行窗口输入下列命令： >> f=sym(1); >> eval(int(f,1,4)) 则命令执行后的输出结果是（）。A A．3 B．4 C．5 D．1 4．MATLAB将函数展开为幂级数，所使用的函数是（）。D A．tailor B．tayler C．diff D．taylor 5．MATLAB用于符号常微分方程求解的函数是（）。C

A．solve B．solver C．dsolve D．dsolver 二、填空题 1．在进行符号运算之前首先要建立，所使用的函数或命令有 和。符号对象，sym，syms 2．对于“没有定义”的极限，MATLAB给出的结果为；对于 极限值为无穷大的极限，MATLAB给出的结果为。NaN，Inf 3．在命令行窗口输入下列命令： >> syms n; >> s=symsum(n,1,10) 命令执行后s的值是。55 4．在MATLAB中，函数solve(s,v)用于代数方程符号求解，其中s 代表，v代表。符号代数方程，求解变量 5．在MATLAB符号计算中y的二阶导数表示为。D2y 三、应用题 1．分解因式。 （1）x9-1 （2）x4+x3+2x2+x+1 （3）125x6+75x4+15x2+1 （4）x2+y2+z2+2(xy+yz+zx) (1):

教案9巧填运算符号

第五册奥数兴趣班奥数教案 教学时间：年月日星期 9、巧填符号（一） 教学内容：P 26～29 例1～例5 练习题：第1～4题 教学要求： 1、使学生掌握添运算符号的各种方法。 2、培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。 教学过程： 一、导入新课语： 添运算符号，也是一种数学游戏，在几个或数个数字之间的适当地方填上“＋、－、×、÷和（）”，组成一个算式，使得运算后等于事先规定的结果。 添运算符号不仅有趣味，还能使人思维活跃，能力提高。 二、探索新课： 1、教学例1： 填上“＋、－、×、÷和（）”，使算式成立。 （1） 5 5 5=1 （2） 5 5 5=2 解题思路：我们可以运用凑数的方法思考。 （3） 5 5 5=5 a：1×1＝1 或两个相同的数相除＝1 b：1＋1＝2 c：使前3个5等于0即可。 2、教学例2： 在○填上“＋、－”使等式成立。 （1）12○3○4○5○6○7○89=100 （2）123○45○67○89=100 解题思路：采用凑数法思考。结果是：100，最后一个数是89，89再加上11就可以得到100，我们就把前面的数凑成11。 3、教学例3：

填上运算符号和括号使式子成立。 （1）9○13○7＝100 （2）14○2○5＝□□小于10 解题思路：我们可以采用逆推的方法。 4、教学例4： 在下面的式子里加上括号，使他们成为正确的算式。 （1）5＋7×8＋12÷4－2=20 （2）5＋7×8＋12÷4－2=75 解题思路：我们要运用凑数法和逆推法，综合分析。 注意考虑四则运算之间的关系。 三、全课小结： 我们解答巧填运算符号通常运用的方法是：凑数法和逆推法，有时也同时使用。 四、课堂练习： 1、填上“＋”使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 =99 （长春市小学数学竞赛试题） 2、填上运算符号或括号使等式成立。 1 2 3 4 5＝10 1 2 3 4 5＝10 1 2 3 4 5＝10 1 2 3 4 5＝10 （无锡市北塘区小学三年级数学竞赛试题） 3、把“＋、－、×、÷和（）”填入，是算式成立。 1 9 9 9＝2000 1 2 3 4 5 6 7 8 9＝2000 （广东省江西省小学数学竞赛试题） 4、填上括号，使等式成立。 6×7＋18÷3＝78 6×7＋18÷3＝50 5×8＋16÷4－2＝20 《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》教学体会：

【免费下载】MATLAB符号运算习题

第3讲 MATLAB 符号计算符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB 具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB 的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple 软件基础上的。 1、求矩阵的行列式值、非共轭转置和特征值。??????=22211211a a a a A 解: >> A=sym('[a11,a12;a21,a22]') A = [ a11, a12][ a21, a22] >> B=det(A) B = a11*a22-a12*a21 >> C=A.' C = [ a11, a21][ a12, a22] >> D=eig(A) D = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)2\符号表达式f=2x 2+3x+4与g=5x+6的代数运算（f+g ，f*g ）。

解: 2、将g=x3-6x2+11x-6用两种形式的符号表达式的表示。（因 式和嵌套式） 解:>> f=sym('x^3-6*x^2+11*x-6') f = x^3-6*x^2+11*x-6 >> g=sym('(x-1)*(x-2)*(x-3)') g = (x-1)*(x-2)*(x-3) >> g1=sym('x*(x*(x-6)+11)-6') g1 = x*(x*(x-6)+11)-6

三年级奥数第九讲 巧填运算符号

三年级数学提升班 学生姓名： 第九讲：巧填运算符号 知识是从刻苦劳动中得来的，任何成就都是刻苦劳动的结晶。 ——宋庆龄 知识纵横 根据题目给定的条件和要求，填运算符号或括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏，这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 填运算符号问题，通常采用尝试探索法，主要尝试方法有两种： １.如果题目的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想那些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子。 ２.如果题目中的数字比较多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。 通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 例题求解 【例１】在下面４个４之间填上＋、－、×、÷或括号，使等式成立４４４４＝８ 【例２】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。 １２３４５＝１０ 【例３】拿出都是８的四张牌，添上＋、－、×、÷或（），使等式成立，你能试一试吗？ ８８８８＝０８８８８＝１ ８８８８＝２８８８８＝３【例４】在下面算式合适的地方添上＋、－、×，使等式成立。 １２３４５６７８＝１ 【例５】在下面式子适当的地方添上＋、－号，使等式成立。 ９８７６５４３２１＝２１

【例６】在下面１２个５之间添上＋、－、×、÷，使下面等式成立。 ５５５５５５５５５５５５＝１０００ 学力训练 １.你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？ （１）５５５５＝１０（２）９９９９＝１８２.在下面数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。 （１）３３３３３＝９（２）４４４４４＝８ ３.在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。 （１）２３５６＝６（２）２３５６＝６４.你能在下面各数中添上运算符号，使等式成立吗？ ４１２５＝１０ ５.巧填运算符号，使等式成立。 （１）３３３３＝１ （２）４４４４＝２ （３）５５５５＝３ ６．在下面的各数中添上运算符号，使等式成立。 ３４５６８＝８ 家长签字：

符号运算练习题 homework

第五章符合运算练习题 1.求符号函数f=ax3+by2+cx+d分别对x,y进行三次微分；对 y进行定积分和不定积分，对y 的定积分区间为（0，1）；对y趋向于1求极限。

2. 已知f=1/(1+x^2),g=sin(y),求复合函数f(g(y)). >> syms x y; >> f=1/(1+x^2); >> g=sin(y); >> compose(f,g) ans = 1/(1+sin(y)^2) 3.求三元非线性方程组?? ???-==+=++1z *y 43z x 012x x 2的解。 >> syms x y z; >> f1=sym('x^2+2*x+1'); >> f2=sym('x+3*z-4'); >> f3=sym('y*z+1'); >> solve(f1,f2,f3); >> [x,y,z]=solve(f1,f2,f3) x = -1 y = -3/5 z = 5/3

解方程组??? ????=+=-1 cos y dx dz x z dx dy 当y(0)=1,z(0)=0时，求微分方程组的解。 >> [y,z]=dsolve('Dy-z=cos(x)','Dz+y=1','y(0)=1','z(0)=0','x') y = 1+1/2*sin(x)+1/2*cos(x)*x z = -1/2*sin(x)*x 5.求级数 +++++222k 131211和1+x+x 2+…+x k +…的和。 >> syms k; >> symsum(1/k^2,k,1,inf) ans = 1/6*pi^2 >> syms x k; >> symsum(x^k,k,0,inf) ans = -1/(x-1) 6计算积分21x dx 1x +∞?（+） >> syms x ; >> f=sym('sqrt(x)/((1+x)^2)'); >> int(f,x,1,+inf) ans =

24点及巧填运算符号习题(四上数学游戏练习含答案)

. 巧算“24”点练习卷（一） 1.你能将2、4、5、8利用“+、-、×、÷”和括号组成一个结果为24的算式吗？有几种解法？ ()()()8524382424583824582420424 -??=?=?-?=?=?÷+=+= 2.四张牌上的数是3、4、6、10，怎样用这四个不同的数组成得数是24 的算式? （写出三种解法） ()()()3104638243610418624 1043618624 ?+-=?=?+-=+=-?+=+= 3. 用1、2、5、8、这四个数组成得数是24的算式。（写出三 种解法） ()()()()()8215462452813824851212224 ÷?+=?=-??=?=+-?=?= 巧算“24”点练习卷（二） 1.怎样用下面四张牌上的数进行计算，使最后得数等于24？（写出三种解法） ()()()() ()2634121224 63423824 46322412434263824 ?+?=+=-??=?=??-=?=?÷+=?= 2. 怎样用3、3，8，9四个数进行计算，使最后得数等 于24？（写出三种解法） ()()()93383824 833915924833933924 --?=?=-?+=+=+?-=-= 3.用两个5和两个6计算，使最后得数等于24。（写出三 种解法） ()()55664624 556625124 65656424 +-?=?=?-÷=-=?--=?=????

. 巧算“24”点练习卷（三） 1.小华从一副扑克牌中摸出四张，请你进行计算，使最后得数等于24。 （写出三种解法） ()()()()6293462493623824396227324 -?-=?=÷?+=?=?-÷=-= 2.有四个数: 1、3、5、9，请你进行计算，使最后得数等于24。 （写出三种解法） ()()()135915924 51934624359124124 ??+=+=-?-=?=?+?=?= 3.你会用2、6、6、7这四个数进行计算，使最后的得数等于24吗? （写出三种解法） ()()()72663062467624822476264624 -?-=-=?+÷=÷=-÷?=?= 巧算“24”点练习卷（四） 1. 你会用两个4和两个5进行计算，使最后的得数是24吗? （写出三种解法） ()()554425124 4554462454546424 ?-÷=-=?+-=?=-+?=?= 2.有四个数: 2、4、8、10，请你进行计算，使最后得数等于 24。 （写出三种解法） ()()()()()82104462410284122244108248224 ÷?-=?=+?÷=?=?+÷=÷= 3.你会用3、4、7、10这四个数进行计算，使最后的得数等于24吗? （写出三种解法）

Mathematica强大的数值计算和符号运算数学专用软件

Mathematica强大的数值计算和符号运算数学专用软件 Mathematica是由美国物理学家Stephen Wolfram领导的Wolfram Research开发的数学系统软件。它拥有强大的数值计算和符号计算能力，在这一方面与Maple类似，但它的符号计算不是基于Maple上的，而是自己开发的。 Mathematica系统介绍 Mathematica的基本系统主要是用C语言开发的，因而可以比较容易地移植到各种平台上，Mathematica是一个交互式的计算系统，计算是在用户和Mathematica互相交换、传递信息数据的过程中完成的。Mathematica系统所接受的命令都被称作表达式，系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理，然后再把计算结果返回。Mathematica对于输入形式有比较严格的规定，用户必须按照系统规定的数学格式输入，系统才能正确地处理，不过由于3.0版本（及以后版本）引入输入面板，并且可以修改、重组输入面板，因此以前版本输入指令时需要不断切换大小写字符的繁琐方式得到很好的改善。3.0版本可以用各种格式保存文件和剪贴内容，包括RTF、HTML、BMP等格式。 Mathematica是一个功能强大的数学软件，也是目前国内外最常用的数学软件之一。该软件不但可以解决数学中的数值计算问题，还可以解决符号演算问题，并且能够方便地绘出各种函数图形。不管是一个正在学习的学生，还是教师或科研人员，当在学习或科学研究中遇到棘手的数学问题时，Mathematica会提供的各种命令，可以避免做繁琐的数学推导和计算，帮助方便地解决所遇到的很多数学问题，使能省出更多的时间和精力做进一步的学习和探索。目前，我们在国内外的科研论文、教材等很多地方都能看到Mathematica的身影。此外，Mathematica 具有简单、易学、界面友好和使用方便等特点，只要你有一定的数学知识并了解计算机的基本操作方法，就能快速掌握Mathematica大部分主要功能，并能用Mathematica解决在学习、教学和科学研究中遇到的数学求解问题。 Mathematica功能简介 1、数值计算和符号计算

现代通信原理指导书 第七章 信源编码 习题详解

第七章 信源编码 7-1已知某地天气预报状态分为六种：晴天、多云、阴天、小雨、中雨、大雨。 ① 若六种状态等概出现，求每种消息的平均信息量及等长二进制编码的码长N 。 ② 若六种状态出现的概率为：晴天—；多云—；阴天—；小雨—；中雨—；大雨—。试计算消息的平均信息量，若按Huffman 码进行最佳编码，试求各状态编码及平均码长N 。 解: ①每种状态出现的概率为 6,...,1,6 1 ==i P i 因此消息的平均信息量为 ∑=- ===6 1 22 /58.26log 1 log i i i bit P P I 消息 等长二进制编码的码长N ＝[][]316log 1log 22=+=+L 。 ②各种状态出现的概率如题所给，则消息的平均信息量为 6 2 1 2222221log 0.6log 0.60.22log 0.220.1log 0.10.06log 0.060.013log 0.0130.007log 0.0071.63/i i i I P P bit - == = ------ ≈ ∑消息 Huffman 编码树如下图所示： 由此可以得到各状态编码为：晴—0，多云—10，阴天—110，小雨—1110，中雨—11110， 大雨—11111。 平均码长为： 6 1 10.620.2230.140.0650.01350.0071.68 i i i N n P == =?+?+?+?+?+? =∑— 7-2某一离散无记忆信源（DMS ）由8个字母(1,2,,8)i X i =???组成，设每个字母出现的概率分别为：，，，，，，，。试求： ① Huffman 编码时产生的8个不等长码字； ② 平均二进制编码长度N ； ③ 信源的熵，并与N 比较。 解：①采用冒泡法画出Huffman 编码树如下图所示 可以得到按概率从大到小8个不等长码字依次为： 0100,0101,1110,1111,011,100,00,1087654321========X X X X X X X X

各种图形计算公式

圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中 s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝ a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα 菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 S＝r2/2·(πα/180-sinα) b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2 α－圆心角的度数≈2bh/3 圆环 R－外圆半径 S＝π(R2-r2) r－内圆半径＝π(D2-d2)/4 D－外圆直径 d－内圆直径 椭圆 D－长轴 S＝πDd/4 d－短轴 二维图形

第2章0和1-语义符号化、符号计算化与计算自动化练习题答案解析

第2章符号化、计算化与自动化 1、易经是用0和1符号化自然现象及其变化规律的典型案例。下列说法不正确的是_____。 (A)易经既是用0和1来抽象自然现象，同时又不单纯是0和1，起始即将0和1与语义“阴”和“阳”绑定在一起； (B)易经本质上是关于0和1、0和1的三画(或六画)组合、以及这些组合之间相互变化规律的一门学问； (C)易经仅仅是以自然现象为依托，对人事及未来进行占卜或算卦的一种学说； (D)易经通过“阴”“阳”(即0和1)符号化，既反映了自然现象及其变化规律，又能将其映射到不同的空间，反映不同空间事务的变化规律，例如人事现象及其变化规律。 答案：C 解释： 本题考核内容：考核0和1与易经 A．A的描述完全正确； B．B的叙述也完全正确； C．不正确，易经不仅仅以自然现象为依托，对事及未来进行占卜或算卦的一种学说，他还是将现象抽象为符号，进行符号组合，利用符号组合表达自然现象； D．D的表述完全正确，易经既反映了自然现象及其变化规律，还反映不同空间事物的变化规律； 具体内容请参考第二章视频“2. 0和1与易经”的“1.1～1.4”视频。 2、易经的乾卦是从“天”这种自然现象抽象出来的，为什么称其为“乾”而不称其为“天”呢？_____。 (A)易经创作者故弄玄虚，引入一个新的名词，其实没有必要； (B)易经的“乾”和“天”是不同的，“乾”是一种比“天”具有更丰富语义的事物； (C)“天”是一种具体事物，只能在自然空间中应用，若变换到不同空间应用，可能会引起混淆；而“乾”是抽象空间中的概念，是指具有“天”这种事务的性质，应用于不同的空间时不会产生这种问题； (D)易经创作者依据阴阳组合的符号特征，选择了更符合该符号的名字“乾”。 答案：C 解释： 本题考核内容：考核0和1与易经 A不正确，易经并不是故弄玄虚的； B不正确，易经中“乾”为“天”，“乾”是抽象空间中的概念，是指具有“天”这种事务的性质所以B并不正确； C完全正确，“天”是具体事物，“乾”是抽象概念； D不正确，“乾”并不是因为阴阳组合而命名的；

巧填运算符号

巧填运算符号 （配人教版数学四下第一单元） 我们已经学过了加、减、乘、除四则混合运算，以及四则混合运算的运算顺序，今天我们在此基础上，学习用加减乘除和括号来巧填算式。 例1在四个4中间填入运算符号和括号使算式的得数为2。 4 4 4 4 = 2 解题要点：想一想，哪些数的和、差、积、商等于2？如1＋1=2，1×2=2，4÷2 =2，16÷8=2，4-2=2，… 例题详解：4÷4＋4÷4=2 4×4÷（4＋4）=2 4－（4＋4）÷4=2 冰老师的话：解这类题目的关键是如何通过加、减、乘、除和括号使最后一步的和、差、积、商等于2。 牛刀小试1 1、在五个5中间填入运算符号和括号使算式的得数为6。 5 5 5 5 5 = 6 2、在数字1、2、 3、 4、5中间运算符号和括号使算式的得数为指定得数。 1 2 3 4 5 = 120 1 2 3 4 5 = 100 1 2 3 4 5 = 81 1 2 3 4 5 = 45 例2写出用四个4组成得数是0或1的算式。 解题要点：想一想，怎样的数相减、相乘会等于0？怎样的数相除会等于1？ 例题详解： 44－44=0 44÷44=1 （4-4）×44=0 4÷4×4÷4=1

冰老师的话：同数相减等于0，0与任何数相乘等于0，同数相除等于1。牛刀小试2 1、写出用五个5组成的得数是0-10的算式。 2、写出用五个3组成的得数为两位数的算式。（至少写出5个） 延伸拓展 写出用1、2、3、4、5组成的得数分别为47、135和1080的算式。 答案： 牛刀小试1： 1、5÷5＋5－5＋5=6 5＋5÷5×5÷5=6 5＋5÷5＋5－5=6 5×5÷5＋5÷5=6 2、（1＋2＋3）×4×5=120 （1×2＋3）×4×5=100 （1＋2）×3×（4＋5）=81 （1×2＋3）×（4＋5）=45 牛刀小试2 1、（5÷5＋5）×（5－5）= 0 （5＋5）÷5－5÷5=1 （5-5＋5＋5）÷5=2 5÷5＋（5＋5）÷5=3 5－55÷55=4 5÷5×5×5÷5=5 55÷55＋5=6 5÷5＋5÷5＋5=7 5＋（5＋5＋5）÷5=8 （55－5－5）÷5=9 5×5－（5＋5＋5）=10 答案不唯一。 2、33÷3＋3－3=11 33÷3＋3÷3=12 33÷3＋3＋3=17 33－33÷3=22

Matlab基础(数值计算、符号计算和绘图)

Matlab基础(数值计算、符号计算和绘图) 第一章 MATLAB帮助 1.常用的帮助命令 Help lookfor which set/get doc type edit helpin 2.帮助窗口 3.演示系统 第二章MATLAB基础 1.MATLAB特点 基本计算单元是矩阵、向量，功能的扩展性(除了基本部分外还有专业扩展部分) 2.MATLAB组成 MATLAB MATLAB Compiler Simulink Stateflow RTW 3.MATLAB主要功能 数学计算开发工具(MATLAB Editor M-Lint Code Checker MATLAB Profiler Directory Reports) 数据的可视化交互式编辑创建图形集成的算法开发编程语言和环境图形用户界面开发环境--GUIDE 开放性、可扩展性强专业应用工具箱 4.MATLAB变量 需要注意系统变量，如：ans eps i j pi 5.MATLAB数据类型 需要注意在命令窗口中可以通过输入help datatypes命令来获取MATLAB的数据类型列表。class函数可用来获取一个变量的数据类型。 需要注意MATLAB中变量默认的类型为双精度浮点型(double)。 MATLAB的数据类型名称同样就是数据类型转换的函数。 6.MATLAB路径管理 MATLAB搜索路径(菜单栏File-Set Path) MATLAB目录管理命令(path which addpath rmpath) 7.MATLAB工作空间 工作空间的存取(save load) 工作空间管理命令(who whos clear pack size disp length) 8.MATLAB的其他命令 管理命令和函数(help doc what type lookfor which path) 与文件和操作系统有关的命令(cd dir delete getenv ! unix) 控制命令窗口)(cedit clc clf home more) 启动和退出MATLAB(quit startup) 一般信息(info subscribe hostid whatsnew ver ) 第三章 MATLABA数据 1.矩阵的建立方式 命令窗口中直接输入 通过语句和函数建立矩阵(from:step:to linspace logspace)

三年级奥数专题之巧填算符

巧算算符 根据题目给定的条件和要求，填运算符号或括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏，这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法。 填运算符号问题，通常采用尝试探索法，主要尝试方法有两种： 1、逆推法，如果题目的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想那些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子。 2、凑数法，如果题目中的数字比较多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。 通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 【例１】在下面４个４之间填上＋、－、×、÷或括号，使等式成立 ４４４４＝８ 【例２】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。 １２３４５＝１０ 【例３】拿出都是８的四张牌，添上＋、－、×、÷或（），使等式成立，你能试一试吗？ ８８８８＝０８８８８＝１ ８８８８＝２８８８８＝３ 【例4】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000

【例5】在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9＝100 【例6】在下面算式合适的地方添上＋、－、×，使等式成立。 １２３４５６７８＝１ 课后训练 1、巧填运算符号，使等式成立。 （1）3333= 1 （2）4444= 2 （3）5555= 3 2、在下面的各数之间，填上适当的运算符号＋、－、×、÷和括号，使运算成立。 （1）4 4 4 4 = 5 （2）1 2 3 4 5=100 3、在下面算式适当的地方添上加号，使算是成立。 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1000 4、在下列各式中填入符号＋、－、×、÷或(),使得等式成立： （1）123=1 （2）1234=1 （3）12345=1 （4）123456=1 （5）1234567=1 （6）12345678=1

千算万算-10以内加减法-2个数相加减-符号运算-1000题-含答案

1.4( )5=9 21.7( )0=7 41.3( )1=2 61.7( )1=6 81.9( )8=1 2.4( )1=5 22.10( )4=6 42.5( )3=2 62.4( )6=10 82.9( )3=6 3.10( )3=7 23.10( )9=1 43.10( )8=2 63.4( )0=4 83.6( )0=6 4.3( )1=4 24.8( )1=9 44.4( )0=4 64.7( )1=8 84.7( )1=6 5.4( )0=4 25.6( )0=6 45.0( )3=3 65.10( )9=1 85.6( )0=6 6.10( )0=10 26.2( )1=1 46.2( )1=1 66.9( )9=0 86.10( )0=10 7.7( )0=7 27.5( )3=8 47.9( )0=9 67.4( )2=2 87.10( )9=1 8.6( )2=4 28.4( )4=0 48.0( )7=7 68.9( )5=4 88.10( )3=7 9.2( )2=0 29.2( )0=2 49.1( )2=3 69.10( )7=3 89.4( )4=0 10.3( )3=6 30.4( )2=2 50.5( )2=3 70.5( )4=1 90.7( )3=10 11.10( )7=3 31.4( )1=5 51.0( )3=3 71.5( )0=5 91.8( )6=2 12.3( )0=3 32.10( )10=0 52.0( )9=9 72.5( )3=2 92.10( )1=9 13.6( )5=1 33.1( )4=5 53.3( )2=1 73.5( )4=1 93.5( )0=5 14.5( )4=1 34.2( )0=2 54.9( )3=6 74.3( )5=8 94.3( )7=10 15.4( )5=9 35.9( )6=3 55.10( )2=8 75.3( )1=4 95.8( )3=5 16.6( )1=5 36.9( )0=9 56.3( )0=3 76.4( )4=8 96.6( )5=1 17.7( )3=10 37.8( )6=2 57.7( )5=2 77.2( )4=6 97.9( )0=9 18.3( )5=8 38.6( )4=2 58.7( )7=0 78.4( )1=5 98.2( )7=9 19.8( )2=6 39.9( )0=9 59.0( )7=7 79.0( )9=9 99.9( )3=6 20.8( )3=5 40.2( )1=3 60.3( )0=3 80.2( )0=2 100.4( )3=1

数学实验3(符号运算)参考答案

实验3 MATLAB符号运算功能 一、实验目的：掌握MATLAB符号运算功能的基本使用方法 1．符号矩阵的建立及符号矩阵的运算； 2．符号矩阵的简化； 3．符号矩阵的极限和微积分； 4．代数方程求解； 5．一元函数图象简易画法． 二、实验内容： 1.设)1 e x g x x - =x ( ) (- 1) 将) g写成MATLAB符号表达式； (x 2) 求出符号表达式) g； ('x 3) 利用"subs"命令求出)4(g和)4('g； 4) 利用"plot"命令画出函数) g在区间[-3，3]上的光滑图象； (x 5) 利用"ezplot"命令画出函数) g在区间[-3，3]上的图象并与4）所得结果进行 (x 比较. 运行命令： syms x; g=[x*(exp(x)-x-1)] diff(g) G=subs(g,[4]) G1=subs(diff(g),4) x=-3:0.01:3; y=x.*(exp(x)-x-1); plot(x,y) ezplot(g,[-3,3]) 程序运行结果： g = x*(exp(x)-x-1) ans = exp(x)-x-1+x*(exp(x)-1) G = 198.3926 G1 = 263.9908

-3-2-10123 -100 10 20 30 40 50 -3-2-10 123-5 5 10 15 20 25 30 x x (exp(x)-x-1) 用ezplot 作图较精确。 2. 设)1()(1--=x e x x g x ，1)(22+=x x g 1）利用"ezplot "命令画图估计函数)(1x g 与)(2x g 图象交点的x 值； 2) 利用"solve "命令求出函数)(1x g 与)(2x g 图象交点处x 的精确值.

ch_符号计算

第 2 章符号计算 符号计算： 解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果. 特点： 一，相对于MATLAB的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的. 二，在相当一些场合，符号计算解算问题的指令和过程，显得比数值计算更自然、更简明.三，大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式. Symbolic Math Toolbox?The computational engine underlying the toolboxes is the kernel of Maple software, a system developed primarily at the University of Waterloo, Canada and, more recently, at the Eidgen?ssiche Technische Hochschule, Zürich, Switzerland. Maple software is marketed and supported by Waterloo Maple, Inc. 运算引擎MuPAD MuPAD作为MATLAB7.8的符号计算工具箱，是一具有人工智能的数学软件.方程式可以处理复数计算，完美的绘图功能，图型输入，输出,可以输入多个2-D函数或极坐标函数或3-D 函数,选择所要绘图参数，就可以完成图形，以及图形的动画制作也是非常方便.数值计算结果并不是MATLAB命令行窗口所得的类似代码形式，而是规范数学格式.并拥有一内建的程序语言，帮助文档以及文本操作，文本操作在一定程度上可以取代word. MathWorks自从2008年10开始，在Matlab的新版本(Matlab2008a，即7.6之后)中使用MuPAD 内核替换原来的Maple符号计算内核！ 2.1符号对象和符号表达式 MATLAB依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量）、运算符及一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程. 2.1.1符号对象的创建和衍生 一生成符号对象的基本规则 ●任何基本符号对象都必须借助专门的符号函数指令sym或syms定义. ●任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性. 二符号数字 符号（类）数字的定义： sym('Num') 创建一个符号数字Num sc=sym('Num') 创建一个符号常数sc，该常数值准确等于Num 说明：Num代表一个具体的数字 Num必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于字符串参见附录A.1）. 【例2.1-1】符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异. a=pi+sqrt(5) % 创建方式 sa=sym('pi+sqrt(5)') Ca=class(a) % 类别判断 Csa=class(sa) vpa(sa-a) a = 5.3777

数学符号输入

1.几何符号 ⊥‖∠⌒⊙≡≌△ 2.代数符号 ∝∧∨～∫≠≤≥≈∞ 3.运算符号 ×÷√± 4.集合符号 ∪∩∈ 5.特殊符号 ∑Л（圆周率） 6.推理符号 |a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈← ↑→↓↖↗↘↙‖∧∨ 1 2 3 ④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ΓΔΘ∧ΞΟ∏∑ΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμν ξοπρστυφχψω x^n 表示x 的n 次方 x^(n/m) 表示x 的n/m 次方 √(x) 表示x 的开方 (如果x 为单个字母表达式，x 的开方可简表为√x) x^(-n) 表示x 的n 次方的倒数 log_a,b 表示以 a 为底 b 的对数 巧用智能ABC输入数学符号 我们利用“智能ABC”中提供的自定义词组功能，可以把经常使用的数学符号，定义为“新词”，来提高我们的录入速度。 具体做法是：启动“智能ABC”，右键点击输入法提示条最左侧的图标，在弹出的菜单中选中“定义新词”，在“新词”框中输入所需定义的词；在“外码”处输入代码，点击[添加]按钮。以后利用“u+外码”即可直接输入自定义词组。例如词组定义为“±”(加减号)，外码定义为“jjh”，则输入ujjh时，即直接输入了“±”。本人已把下列常用数学符号，定义好词组，供大家直接使用。 ±(加减号) ――外码:jjh

-(减号) ――外码:jh ×(乘号) ――外码:ch ÷(除法) ――外码:cf √(对号) ――外码:dh °(度) ――外码:du ⌒(弧) ――外码:hu ℃(摄氏度) ――外码:ssd ∠(角) ――外码:jiao ≡(恒等) ――外码:hd ≌(全等) ――外码:qd ≈(约等) ――外码:yd ∽(相似) ――外码:xs ≠(不等) ――外码:bd ≤(小于等于) ――外码:xydy ≥(大于等于) ――外码:dydy ∵因为――外码:yw ∴所以――外码:sy ⊥垂直――外码:cz ∥(平行) ――外码:px

巧填运算符号(三年级)

第10讲巧填运算符号 姓名 一、知识要点 根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2．如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 二、精讲精练 【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。 （1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有： （1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10 （2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：1＋2＋3×4－5=10 （3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有： （1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10 （4）从□÷5=10考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得数是50的算式。 练习1： 1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？

第2章0和1-语义符号化、符号计算化与计算自动化练习题答案解析

第2章0和1-语义符号化、符号计算化与计算自动化练习题答案解析

第2章符号化、计算化与自动化 1、易经是用0和1符号化自然现象及其变化规律的典型案例。下列说法不正确的是_____。(A)易经既是用0和1来抽象自然现象，同时又不单纯是0和1，起始即将0和1与语义“阴”和“阳”绑定在一起； (B)易经本质上是关于0和1、0和1的三画(或六画)组合、以及这些组合之间相互变化规律的一门学问； (C)易经仅仅是以自然现象为依托，对人事及未来进行占卜或算卦的一种学说； (D)易经通过“阴”“阳”(即0和1)符号化，既反映了自然现象及其变化规律，又能将其映射到不同的空间，反映不同空间事务的变化规律，例如人事现象及其变化规律。 答案：C 解释： 本题考核内容：考核0和1与易经

A．A的描述完全正确； B．B的叙述也完全正确； C．不正确，易经不仅仅以自然现象为依托，对事及未来进行占卜或算卦的一种学说，他 还是将现象抽象为符号，进行符号组合，利 用符号组合表达自然现象； D．D的表述完全正确，易经既反映了自然现象及其变化规律，还反映不同空间事物的变化规律； 具体内容请参考第二章视频“2. 0和1与易经”的“1.1～1.4”视频。 2、易经的乾卦是从“天”这种自然现象抽象出来的，为什么称其为“乾”而不称其为“天”呢？_____。 (A)易经创作者故弄玄虚，引入一个新的名词，其实没有必要； (B)易经的“乾”和“天”是不同的，“乾”是一种比“天”具有更丰富语义的事物； (C)“天”是一种具体事物，只能在自然空间中应用，若变换到不同空间应用，可能会引起混淆；而“乾”是抽象空间中的概念，是指具有“天”

实验10 符号计算基础与符号微积分(第7章)

实验10 符号计算基础与符号微积分 （第7章 MATLAB 符号计算） 一、实验目的 二、实验内容 1. 利用符号表达式求值 已知x=6,y=5，利用符号表达式求 z = 提示：定义符号常数x=sym(‘6’)，y=sym(‘5’)。 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）： 2. 分解因式 (1) x 4-y 4 (2) 5135 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）： 《数学软件》课内实验 王平

3. 化简表达式 21212 483(1)sin cos cos sin (2) 21x x x ββββ++-+ 4. 符号矩阵运算 已知 12010100100,010,001101a b c P P A d e f g h k ???? ?? ??????===?????? ???????????? 完成下列运算： (1) B=P 1·P 2·A 。 (2) B 的逆矩阵并验证结果。 (3) 包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵。 (4) B 的行列式值。 5. 用符号方法求下列极限或导数 sin tan 301(1)2(1)1cos(2)(1)lim (2)lim ,',''sin x x x x x e e x y y y x x +→→-+---=求 3222(4),,, cos ln x a t dA d A d A A dx dt dxdt t x x ??=???? 已知分别求 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）： 2222 0,1 (5)(,)(2),, x y xy x y y f f x y x x e x x y ---==??=-???已知求 6. 用符号方法求下列积分 48(1) (2)1dx x x ++?

机械基础ch2习题

2.1 平面机构运动简图及自由度 一、填空题 1.两构件通过____接触组成的运动副称为低副。 2.两构件____并产生一定____的联接称为运动副。 3.平面机构的运动副共有两种,它们是____副和____副。 4.两构件用低副联接时,相对自由度为____。 5.平面机构的自由度计算公式为F=____。 构件具有确定运动的条件为原动件的数目 ___ 机构的自由度。 二、选择题 (1) 车轮在轨道上转动，车轮与轨道间构成____。 A 转动副 B 移动副 C 低副 D 高副 (2) 平面运动副的最大约束数为____。 A 1 B 2 C 3 D 4 (3) 平面机构中，如引入1个转动副，将带入____个约束，保留了____个自由度。 A 1，2 B 2，1 C 1，1 (4) 平面机构中，若引入一个移动副，将带入____个约束，保留____个自由度。 A 2，1 B 1，2 C 1，1 (5) 在平面机构中，若引入一个高副，将带入____个约束，保留____个自由度。 A 2，1 B 1，1 C 1，2 (6) 具有确定运动的机构，其原动件数目应____自由度数目。 A 小于 B 等于 C 大于 D 大于等于 (7) 当m个构件在一处组成转动副时，其转动副数目为____个。 A m B m-1 C m+1 D m-2

(8) 当机构的自由度数F大于原动件数目时，机构____。 A 具有确定运动 B 运动不确定 C 构件被破坏 (9) 当机构的自由度数F小于原动件数目时，则____。 A 机构中运动副及构件被损坏 B 机构运动确定 C 机构运动不确定 (10) 若设计方案中，构件系统的自由度F=0，改进方案使F=1，可以在机构中适当位置____，以使其具有确定的运动。 A 增加一个构件带一低副 B 增加一个构件带一高副 C 减少一个构件带一低副 D 减少一个构件带一高副 三、判断题 1.两构件通过面接触组成的运动副称为低副。 2.两构件通过点或线接触组成的运动副称为低副。 3.运动副是两个构件之间具有相对运动的联接。 2.3 平面连杆机构 一、填空题 1.平面连杆机构由一些刚性构件用____副和____副相互联接而组成。 2.在铰链四杆机构中，能作整周连续旋转的构件称为____，只能来回摇摆某一 角度的构件称为____，直接与连架杆相联接，借以传动和动力的构件称为 ____，不与机架直接联接的构件称为____。 3.图示为一铰链四杆机构，设杆a最短，杆b最长。试用符号和式子表明它构成 曲柄摇杆机构的条件：（1）____________________________。（2）以____ 为架，则____为曲柄。 4.设右图已构成曲柄摇杆机构。当摇杆CD为主动件，机构处于BC与从动曲柄AB共线的两个极限位置，称为机构的两个____位置。