偏导数全微分教案

高等数学教案

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数

偏导数与全导数-偏微分与全微分的关联

1。偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数 对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分 偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx（x,y）detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分 这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分 全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量 全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分

同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数 全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数 如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！

偏导数与全微分习题

偏导数与全微分习题 1. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 2. 习题8 17题。 3. 设?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x y y x f ，考察f (x , y )在点（0,0）的偏导数。 4. 考察?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x xy y x f 在点 （0,0）处的可微性。 5. 证 明 函 数 ?? ???=+≠+++=0 001sin )(),(222 22 22 2y x y x y x y x y x f 在 点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。 }

1． 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 y y x y x y y x f x 1) (2111 )1(1),(21 ??- -+='- ∴ 1)1,(='x f x 。 ： &

2.习题8 17题。 17. 设22)()(ln b y a x z -+-=（a , b 为常数），证明 02 22 2=??+??y z x z 。 先化简函数 ))()ln((2 1 22b y a x z -+-=， ， 2 222)()() ()()()(221b y a x a x b y a x a x x z -+--= -+--?=??， 2222) ()() ()()()(221b y a x b y b y a x b y y z -+--=-+--?=??， 2 22 2 222 2))()(()(2)()(b y a x a x b y a x x z -+----+-= ?? 2 22 22) )()(()()(b y a x a x b y -+----= ， 2 222 222 2))()(()(2)()(b y a x b y b y a x y z -+----+-= ?? 2 2222) )()(()()(b y a x b y a x -+----= ， ∴ 02 22 2=??+ ??y z x z 。 3. $

十偏导数与全微分(学生用)

第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+； (3) arctan x u y =； (4) sin()xy u xye =. 2．设22 22 221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，考察函数在(0,0)点的偏导数. 3 ．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) u = (2) yz x u xe e y -=++.

5．求下列函数在给定点的全微分： (1) u =在点(1,1,1)； (2) (u x y =+-0，1）. 6．证明函数22222 22, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 7 ．证明：函数22 220(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?在点(0, 0)处偏导数存在，但不可微. 8．设,x y 很小，利用全微分推出下列式(1)(1)m n x y ++的近似公式：

9．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 sin sin u x y y x =+,求633u x y ???； (2) ln()u ax by =+,求m n m n u x y +???. §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数指定的偏导数： （1）．设(,,),x y z Φ=Φ ,,,x u v y u v z uv =+=-=求, u v ?Φ?Φ ??. （2） 设),,22(xyz z y x f z --=求x z ?? 2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续） (1) 2 2 (,)u f xy x y =，22u x ?? ； (2) (,)x y u f y z =,2u x y ???； (3) 2 2 2 ()u f x y z =++,22u y ??； (4) (,,)x u f x y xy y =+,2u y x ???.

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 设2(,)f x y x y xy y +-=+ 则(,)f x y = （A ） A ． ()2x x y - B ．2xy y + C ．()2 x x y + D ．2x xy - 解： (,)()f x y x y x y y +-=+ []1()()()2 x y x y x y = ++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2． 22 1cos lim 1x x y o e y x y →→++= （D ） A ． 0 B ．1 C ． 1e D ． 2 e 解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos 0lim 11102x x y o e y e e x y →→∴==++++ 3．设(,) f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则0000(2,)(,)lim h o f x h y f x h y h →+--=（D ） A ．0 B ．'00(,)x f x y C ．'002(,)x f x y D ．'003(,)x f x y 解：原式=0000(2,)(,)lim 22h o f x h y f x y h →+-? 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h →--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y += 4．(,)z f x y =偏导数存在是(,)z f x y =可微的 （B ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系 朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192 摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。 关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续 对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的． 一、 全微分、偏导数和连续三者之间的关系 定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在． 定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分． 读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不 一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微． 偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续． 二、 全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系

定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立． 例1 ：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x ?→??-=?? 故z =在点(0,0)处对x 的偏导数不存在， 同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由定理1 z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在． 但z =在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为 即任意方向上的方向导数存在． 三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系 咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如： 例2： 2 222422,0,0,0,xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 它在任意方向上的方向导数为： 这一结果表明2 222422,00,0xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在． 但是222001lim (0,0)2 y x x x z z x x ++ →→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在． 证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为：

偏导数与全导数 偏微分与全微分的关系

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数