基本的投资组合模型
基本的投资组合模型
摘要
在市场经济活动中，投资成为了一个必不可少的环节。特别是如今物价上涨迅猛，人们生活水平逐渐提高，如何通过投资来获取更多的经济利益已成为一个社会的共同话题。也只有通过投资，消费者才能拥有多渠道的经济来源从而提高生活水平。投资方式的多样性决定了人们在投资过程中投资组合的多样性。而每一项投资在有其收益效果的同时也伴随着风险性，所以不同的投资组合方式将带来不同的效果。对于不同类型的投资者必然有不同的要求，从而适合不同的投资方式，所以意在建立在不同投资者的不同要求下应采用哪种投资方式的模型，使投资者能做出正确的选择。
关键词：股市；组合投资；均值；方差；收益；风险
目录
一、问题重述与分析 (2)
二、符号说明 (3)
三、模型假设 (3)
四、模型的建立与求解 (4)
五、模型的分析和检验 (9)
六、模型评价 (9)
七、参考文献 (9)
八、附录 (10)
一、问题重述与分析
1.1 问题重述
本案例中以投资股票为例，分析股票的选取和赢利问题。在股票市场上往往会有很多股票，每个股票都会有其对应所属的公司，公司的运作现况以及其未来在市场上的潜力都会影响该股票在股票市场的上涨或下跌，所以每一只股票都会有其内在的风险性。但是，对于不同股票，也就对应不同实力，不同前景的公司其收益性和风险性也会有所不同，所以不同的投资组合，以及每种组合中不同投入资金比例，将会造成其不同的收益效果。
1.2问题分析
在充满风险和机会的证券市场中，无论是个人还是机构投资者在进行证券投资时，总是以投入资金的安全性和流动性为前提，合理的运用投资资金，达到较小风险、较高收益的目的。投资于高收益的证券，很可能获得较高的投资回报；但是，高收益往往伴随着高风险，低风险常又伴随着低收益。如果投资者单独投资于某一种有价证券，那么一旦该有价证券的市场价格出现较大波动，投资者将蒙受较大的损失，所以，稳健的投资方法是将资金分散地投资到若干种收益和风险都不同的有价证券上，以“证券组合投资”的方式来降低风险。在马科维茨的组合投资模型中，数学期望代表着预期收益，方差或标准差代表着风险，协方差代表着资产之间的相互关系，进而资产组合的预期收益是资产组合中所有资产收益的简单加权平均，而资产组合的方差则为资产方各自方差与它们之间协方差的加权平均。确定最小方差资产组合首先要计算构成资产组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算资产组合的预期收益和风险。因此，研究证券投资组合的优化模型就显得十分重要了。对于我们的日常经济生活而言，也有了研究的实践意义。
风险可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认为风险越小。在一定的假设下用收益的方差（或标准差）来衡量风险确实是合适的。
1.3 问题提出
案例美国某三种股票（A，B，C）12年（1943—1954）的价格（已经包括了粉红在内）每年的增长情况如表6—6所示（表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况）。例如，表中第一个数据1.300的含义是股票A在1943年末价值是其年初价值的1.300倍，即收益为30%，其余数据的含义依此类推。假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？当期望的年收益率变化时，投资组合和相应的风险如何变化？
表：股票收益数据
二、符号说明
a1，a2 ，a3 股票A，B，C的利率，
b1，b2， b3 股票A，B，C产生该利率的风险性
x1，x2， x3 投资者投资股票A，B，C的资金占总投资的比例
ɡ投资的可行性
h1，h2， h3 股票A，B，C分别在1955年的市值
三、模型假设
模型一
（1）股票市场中股票虽然多，但是其他股票的行情或者其他股票背后的公司的运作情况并不会对这三只股票A，B，C造成影响，即该股票的涨跌是独立的。（另一种假设：股票市场中股票虽然多，但大致可分为三类，分别以股票A，B，C为代表，且每一类股票里面的股票收益均相同）
（2）股票的收益与其股票价格无关。
（3）三只（三种股票）其价格一致，不妨假设三只股票的价格在1955年值为1。
（4）假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金必须全部用于投资这三种股票。
（5）外界环境（如市场上物价的上涨和下跌）并不影响股票市值的涨跌。
模型二
（1）股票市场中股票虽然多，但是其他股票的行情或者其他股票背后的公司的运作情况并不会对这三只股票A，B，C造成影响，即该股票的涨跌是独立的。（另一种假设：股票市场中股票虽然多，但大致可分为三类，分别以股票A，B，C为代表，且每一类股票里面的股票收益均相同）
（2）股票的收益与其股票价格无关。
（3）三只（三种股票）其价格一致，不妨假设三只股票的价格在1943年初始值为1。
（4）假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金必须全部用于投资这三种股票。
（5）外界环境（如市场上物价的上涨和下跌）并不影响股票市值的涨跌。
模型三
（1）股票市场中股票虽然多，但是其他股票的行情或者其他股票背后的公司的运作情况并不会对这三只股票A，B，C造成影响，即该股票的涨跌是独立的。（另一种假设：股票市场中股票虽然多，但大致可分为三类，分别以股票A，B，C为代表，且每一类股票里面的股票收益均相同）
（2）股票的收益与其股票价格无关。
（3）假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金必须全部用于投资这三种股票。
（4）外界环境（如市场上物价的上涨和下跌）并不影响股票市值的涨跌。
四、模型的建立与求解
用决出变量x1，x2，x3分别表示投资人投资股票A，B，C的比例。则x1+x2+x3=1。以n=x1* b1+x2*b2+x3* b3表示组合投资的总风险性。H= x1* a1+x2*a2+x3* a3表示总盈利。
股票A：
（1）根据图表中数据画出散点图。
（2）猜想并假设其图像为三次函数：
并进行拟合得：
>> p=polyfit(x1,y1,3);
Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points
or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.
> In polyfit at 81
>> q=polyfit(x1,y1,5)
Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points
or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.
> In polyfit at 81
q =
1.0e+012 *
0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0082 -3.1766
>> t=polyfit(x1,y1,2)
Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points
or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.
由上述结果可以看出，多项式拟合并不适用于本例。
（3）为方便预测，故舍去前三年数据，并把数据进行缩小10^3再画散点图（以下计算中统一缩小10^3在拟合）
并进行拟合
得y=（-1.8182*x*x+7.1128*x-6.9552）*10^3
另x=1.955，得y=1.100
所以预测股票A在1955年的增长率为1.100
然后计算误差平方和r1=sum((polyval(p,x1)-y1).^2)=0.0146。即风险性为0.0146。
股票B
（1）根据图表中数据画出散点图。
由图表看出，1946年、1951年和1953年1954年的数据与大体趋势相差甚远，且若用所有数据进行拟合，所得结果为3.18显然与事实不符，所以舍去上述四年的数据，在进行拟合。
拟合y=（-0.1435*x*x*x+0.8456*x*x-1.6609*x+1.0873）即1955年股票B可能亏损。
计算得再1955年得0.955。
然后计算误差平方和r2=sum((polyval(q,x2)-y2).^2)=0.0261
股票C
（1）根据图表中数据画出散点图。
（2）尝试根据图表中数据进行三次拟合
拟合结果为y=0.2267*x*x*x-1.3245*x*x+2.5790*x-1.6739可算得在1955年利率为-3.12，这与理论偏差较大，因为前12年该股票均处于上升阶段，1954年更是有1.9的高利率。该图表中1946年，1950年数据与总体趋势偏差较大，所以选择舍弃1946年，1950年数据。
然后再进行三次拟合得y=0.5524*x*x*x-3.2277*x*x+6.2866*x-4.0814
计算得年份为1955年是股票C的利率为1.18。
然后计算误差平方和r3=sum((polyval(q,x3)-y3).^2)=0.1807
为方面对模型进行运算时的数据利用，所以整理出下表：
股票A B C
收益利率 1.1000.955 1.18
收益风险0.01460.02610.1807
模型一
求解思路：首先先分别根据表中数据分别画出股票A，B，C的散点图，然后根据散点图求出其大致曲线，从而预测三只股票在1955年的收益，从而决定其投资组合方式。
因为1955年三只股票的初始值一样，所以作为投资者，肯定会去投资能赢利的股票，即会考虑投资股票A和股票C（x2=0）。股票A的利率为a1=1.100，风险性（此处用误差平方和表征）为
b1=0.0146。与股票A相比，股票C利率较高为a3=1.180，但风险性为b3=0.1807。
①若投资者要求风险性低于0.1，n=x1* b1+x2*b2+x3* b3= x1* b1 +x3* b3≤0.1，
同时x1+x3=1，所得利润H= x1* a1+x2*a2+x3* a3= x1* a1 +x3* a3
计算得x1≤0.486，显然，当x1所占比例最大时，其利润最多，所以x2=0.514，
即股票A占投资比例的48.6%，股票C所占投资比例为51.4%。
因为在股票市场中风险性为0.1则风险性较低了，所以该投资比例较适合比较谨
慎的投资者。
②若投资者要求风险性可尽可能大以谋取高收益，则可以全部选择投资股票C。此
投资方法适用于喜欢刺激，适合高风险，高收益的投资者。但因为投资过程中忌
讳单一的投资方式，所以可采取经初略计算可采用股票A投资20%，股票C投资
80%。
模型二
求解思路：先通过这12年来的年利率求出1955年初时的股票价值，然后再进行投资组合。
假设三只股票的初始值为1，可计算得股票A的市值为h1=2.650，股票B的市值为h2=16.773，股票C的市值为h3=9.294。
虽然预测股票B在1955年属于亏损状态，但因为预测会有误差，即存在风险性，所以也有可能会盈利，关键是1955年股票B的市值高达16.773，所以倾向于高投资，高收益的投资者也可考虑投资该股票。
为了能更好的刻画投资的可行性，现在设定一个值为ɡ
总投资可行性k=x1*a1*h1*(1-b1)*ɡ1+x2*a2*h2*(1-b2)*ɡ2+x3*h3*a3*(1-b3)*ɡ3
=2.30*x1+3.12*x2+1.80*x3 ①
总风险性n=x1* b1+x2*b2+x3* b3=0.0146*x1+0.955*x2+0.1807*x3 ②
总收益H= x1* a1*h1+x2*a2*h2+x3* a3*h3
附加条件：x1+x2+x3=1 ③
当总投资可行性越高时则越可按照其比例投资，当然其风险也会越高。
由①，②，③三式消去x3后，得
k=0.5*x1+1.32x2+1.8
n=0.1807-0.1661*x1-0.0852*x2
可以看出x2越小，即投资股票B的比例越小，则风险性越小，但同时总投资可行性就越低，总收益H也越低。这与我们的主观理解相吻合，因为股票B价值虽高，但预测1955年有较高可能性处于亏损状态，不过一旦获利，由于其市场值较高，所以获利较高，但其误差平方和较低，即预测出错可能性较低，即获利的风险性较高。
⑴若投资者要总风险性低于0.1207，也可行性达到 2.5，则可解得x1=0.1107，x2=0.4884，由x1+x2+x3=1，可算出x3=0.4009。
所以，根据该投资者的要求，可在股票A上投资总资金的11%，在股票B上投资49%，在股票C上投资40%。
与各股票的风险性相比，可以看出此投资组合的风险性较高，适合喜欢高收益，高风险的投资者。
⑵若投资者要总风险性低于0.0507，也可行性一样达到 2.5，则可解得x1=0.6338,x2=0.2902,由x1+x2+x3=1，可算出x3=0.076。
所以，根据该投资者的要求，可在股票A上投资总资金的63%，在股票B上投资29%，在股票C上投资8%。
与各股票的风险性相比，可以看出此投资组合的风险性较低，适合喜欢谨慎投资的投资者。股票A的市场值最低，风险也最低，由计算结果知在股票A上投资较重则风险性较低，这与我们的主观理解相一致。
模型三
求解思路：与前两个模型不同的是模型三不知道在1955年三只股票的市值，所以设他们为h1，h2，h3，由模型二可大致推断，在前十二年内股票B和C的增长明显较快。但预测股票B在1955年的利率为负值，与模型二相类似，若股票B在1955年初的市场值较高，则可考虑也投资股票B，对于比较谨慎的要求低风险的投资者，则可只投资股票A和C。
总结：本案例中以模型一为主，目的在于分析投资过程中可考虑的几个方面。
五、模型的分析和检验
1、强健性分析：
有模型的计算结果可知，由模型所得答案与实际情况，我们的主观理解和猜想相一致，可见该模型还是有其一定的现实意义。
2、灵敏度分析：
为了检验该拟合方法对于本例的拟合效果，所以取股票A为例，进行灵敏度分析。
在利率一值处取一微小变量，即每年的利率都加0.1和0.2，进行拟合，
利率一项均加0.1时，得：y=（-1.8182*x*x+7.1128*x-6.9551）*10^3，计算得1955年股票A的年利率为1.218。
利率一项均加0.2时，得：y=（-1.8182*x*x+7.1128*x-6.9550）*10^3，计算得1955年股票A的年利率为1.318。
当年利率一栏发生微小变化时，随计算结果有差异，但得出的函数式变化不大，可见该函数可运用于本案例中实际的预测。
六、模型评价
优点：①该模型能在一定程度上预测股票在市场上价格的涨落，而且模型较为简单，与过去十二年里的实际情况拟合较好，能较好的预测未来几年内该三只股票的涨落趋势。
②通过忽略社会环境这一极为复杂，难以预测的因素与股票利率的关系，从而简化了模型，从宏观上能大致预测股票动向。
③由模型所得结论与现实相吻合。
缺点：①该模型舍弃了部分不合理的数据，这些数据可能是因为特定的社会环境造成，若考虑或者能更好的切合实际。
②该模型忽略了各股票之间的价格影响关系，所以所得结果可能会与实际稍有偏差。
七、参考文献
谢金星，薛毅优化建模与Lingo软件北京清华大学出版社 2005
章绍辉数学建模北京科学出版社 2010
八、附录
股票A的散点图编辑程序及拟合程序：
>> x1=[1.946,1.947,1.948,1.949,1.950,1.951,1.952,1.953,1.954];
>> y1=[0.954,0.929,1.056,1.038,1.089,1.090,1.083,1.035,1.176];
>> plot(x1,y1,'+')
>> polyfit(x1,y1,2)
ans =
1.0e+003 *
-1.8182 7.1128 -6.9552
>>r1=sum((polyval(p,x1)-y1).^2);
>> r1
r1 =
0.0146
股票B的散点图的编辑程序及拟合程序：
>> x2=[1.943,1.944,1.945,1.947,1.948,1.949,1.950,1.952];
>> y2=[1.225,1.290,1.216,1.144,1.107,1.321,1.305,1.390];
>> q=polyfit(x2,y2,3)
q=
1.0e+006 *